hệ phương trình, bài tập toán THPT

Bài số 3. HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
Trong những năm gần đây , đề thi đại học về Hệ phương trình đại số thường hay ra
dạng hệ có cấu trúc khá đặc biệt . Vì vậy cho nên ta phải ngiên cứu cách giải chúng .
Thông thường ta có một số phương pháp sau
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Là phương pháp chủ yếu dùng kỹ năng biến đổi hai phương trình của hệ đưa về các
phương trình đơn giản có thể rút x theo y hoặc ngược lại để thế vào phương trình
khác của hệ . Ta xét một số ví dụ sau
1. Loại 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc theo ẩn y. Khi
đó ta rút x theo y hoặc y theo x thay vào phương trình còn lại .
2
2
 x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x − 4 x + 1 ( 1)
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình : 
2
 xy + y + 1 = x ( 2 )

Giải
Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (2) cho nên từ phương trình (2)
2
ta có : y ( x + 1) = x − 1 ⇒ y = x − 1 ↔ y + 1 = x thay vào phương trình (1) ta có :
x 2 ( x ) ( x + x ) = 3x 2 − 4 x + 1 ⇔ ( x − 1) ( 2 x 3 + 2 x 2 − x − 1) = ( x − 1) ( 3x − 1)

⇔ ( x − 1) ( 2 x 3 + 2 x 2 − 4 x ) = 0 ⇔ x ( x − 1) ( x 2 + x − 2 ) = 0 ⇒ x = 0; x = 1; x = −2
 x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy
 x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình : 

Giải
Ta có x=y=0 là một nghiệm của hệ . Các cặp số (x;y) với x = 0, y ≠ 0; x ≠ 0, y = 0 không

là nghiệm của hệ .
1 1
 x + y + 2x + y = 5

Xét xy ≠ 0 chia hai vế phương trình cho xy ≠ 0 ta được : 
 1 + 1 + 3x − y = 4
 x y
Suy ra : 5 − 2 x − y = 4 + y − 3x ⇔ x = 2 y − 1(*) thay vào phương trình thứ hai ta có :

2y-1+y+y(2y-1)(5y-3)=4(2y-1)y

⇔ 3 y − 1 + y ( 10 y 2 − 11 y + 3) = 8 y 2 − 4 y ⇔ 10 y 3 − 19 y 2 + 10 y − 1 = 0 ⇔ ( y − 1) ( 10 y 2 − 9 y + 1) = 0

9 + 41
9 − 41
;y=
20
20
 9 + 41 41 − 1   9 − 41 − 41 − 1 
;
;
÷; 
÷
Đáp số : (x;y)= ( 1;1) , 
10 ÷
10 ÷
 20
  20
⇔ y − 1; y =

2. Loại 2. Một phương trình của hệ đưa về dạng tích của hai phương trình bậc
nhất hai ẩn . Khi đó ta dưa về giải hai hệ tương đương .
 xy + x + y = x 2 − 2 y 2 ( 1)
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình : 
 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y ( 2 )

Giải


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

Điều kiện : x ≥ 0, y ≥ 1
x = − y
x = 2 y +1

Phương trình (1) ⇔ ( x + y ) ( x − 2 y − 1) = 0 ⇒ 

Ta thay làn lượt từng trường hợp một vào phương trình (2) .Giải ra kết quả
5 x5 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − 2 ( x + y ) = 0 ( 1)
Ví dụ 2. ( ĐH-KA-2011) . Giải hệ phương trình sau :  2 2
2
( 2)
 xy ( + y ) + 2 = ( x + y )

Hướng dẫn

2
2
Từ (2) ta có : ( xy − 1) ( x + y − 2 ) = 0 ⇒ xy = 1 ∨ x + y = 2
• xy=1; từ (1) suy ra : y 4 − 2 y 2 + 1 = 0 ⇔ y = ±1 . Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(1;-1).

2
2
2
2
2
2
• Với : x + y = 2 ⇒ ( 1) ⇔ 3 y ( x + y ) − 4 xy + 2 x y − 2 ( x + y ) = 0
2

2

⇔ 6 y − 4 xy 2 + 2 x 2 y − 2 ( x + y ) = 0

⇔ ( 1 − xy ) ( 2 y − x ) = 0 → xy = 1 ∨ x = 2 y

Xét : xy=1 . Đã giải ở trên
 2 10

10   2 10

10 

2
2
;
;−
÷,  −
÷
Với : x=2y , thay vào x + y = 2 ⇒ ( x; y ) = 
5 ÷

5
5 ÷
 5
 

 2 10 10   2 10
10 
;
,  −
;−
÷
÷
÷
5  
5
5 ÷
 5

Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1), 

 x + y + x − y = 1 + x 2 − y 2 ( 1)
Ví dụ 3. Giải hệ sau : 
( 2)
 x + y = 1

Giải

Điều kiện : x ≥ 0; y ≥ 0 .
(1) ⇔ x + y − 1 x − y − 1 = 0 . Suy ra hệ trở thành :

(

)(

)

  x = 1; y = 0
  x + y = 1


x = 0
x
+
y
=
1
 
⇔   y = 1
⇒ ( x; y ) = ( 1;0 ) ; ( 0;1)


x
−
y
=
1



x = 1

  x + y = 1  


 y = 0
y −3

 x + y + x + 3 = x ( 1)
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình : 
 x+ y + x = x+3
( 2)


Điều kiện : x>0; y ≥ 3 .
y −3

Giải
y −3

Ta có : ( 1) ⇔ x + y − +3 = x . Suy ra :
• Với y=3 ; ta có : 2 x + 3 = 0 ⇔ x = −3 ( loại )

Th.s Nguyễn Dương

Trang 2

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
 x + y − x + 3 = x

⇒ x + 3 − x = x + y = x + x + 3 ⇔ y = 8 . Vậy
• Với y ≠ 3 ta có : 
 x + y + x = x + 3

hệ có nghiệm : (x;y)=(1;8 )
* Chú ý : Trong một số bài toán đôi khi ta phải cộng hoặc trừ hai phương trình của hệ
sau đó mới xuất hiện phương trình dạng tích .
 x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình sau : 
2
2
 xy ( x + y ) = 10

Hướng dẫn :

Ta sử dụng hằng đẳng thức : ( x + y ) = x 4 + y 4 + 4 xy ( x 2 + y 2 ) + 6 x 2 y 2
4

 x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41
Hệ đã cho ⇔ 
. Ta cộng vế với vế hai phương trình ta được :
2
2
4 xy ( x + y ) = 40
↔ x 4 + y 4 + 4 xy ( x 2 + y 2 ) + 6 x 2 y 2 = 81 ⇔ ( x + y ) = 81 ⇒ x = ±3
4

  x + y = 3
  x + y = 3



2
2
  xy ( x + y ) = 10
 xy ( 9 − 2 xy ) = 10
⇔
Hệ đã cho ⇔ 
. Học sinh giải tiếp .
  x + y = −3
  x + y = −3

2
2
  xy ( 9 − 2 xy ) = 10

  xy ( x + y ) = 10
 xy + x + y = x 2 − 2 y 2
Ví dụ 6. ( ĐH-KD-2008 ) .Giải hệ phương trình sau : 
 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y

Hướng dẫn

 y ( x + y ) + ( x + y ) + ( x − y ) ( x + y ) = 0

Hệ viết lại : 

 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y

( x + y ) ( 2 y + 1 − x ) = 0
⇔

.
 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y

Học sinh giải tiếp . Đáp số : (x;y)=(5;2)
Loại 3: Một phương trình của hệ là phương trình bậc hai theo một ẩn chẳng hạn x là
ẩn . Khi đó ta coi y là tham số .
 y 2 = ( 5 x + 4 ) ( 4 − x ) ( 1)
Ví dụ 1. Giải hệ sau ;  2 2
 −5 x + y − 4 xy + 16 x − 8 y + 16 = 0 ( 2 )

Hướng dẫn :
2
2
Coi phương trình (2) là phương trình theo ẩn y ta có : y − 4 ( x + 2 ) y − 5 x + 16 x + 16 = 0
 y = 5x + 4

Giải theo y ta có : 
. Thay lần lượt hai trường hợp vào phương trình (1) ta sẽ
y = 4− x
tìm được nghiệm của hệ .
2
 2 x + 2 xy + y = 5
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau :  2
.
 y + xy + 5 x = 7

Hướng dẫn :
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta có : 2 x 2 − y 2 + xy + y − 5 x + 2 = 0
Th.s Nguyễn Dương

Trang 3

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
y +1

x=
2
2

⇔ 2 x + ( y − 5) x − y + y + 2 = 0 ⇒
2 . Thay từng trường hợp một vào phương

x
=
2
−
y


trình (1) ta tìm được nghiệm của hệ .
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ .
* Quan trọng là học sinh phải nhanh trí phát hiện ra ẩn phụ : u=f(x;y) và v=g(x;y)
trong hai phương trình của hệ , hoặc sau khi biến đổi để phát hiện ra u và v.
Thông thường phép biến đổi xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình hoặc chia
các vế phương trình cho một số hạng khác không có sẵn trong các phương trình của
hệ để tìm ra những phần chung mà sau đó ta đặt ẩn phụ .
Việc phát hiện ẩn phụ nhanh hay chậm phụ thuộc vào kỹ năng biến đổi cũng như kỹ

năng nhìn của từng học sinh một .
 x 2 + 1 + y ( x + y ) = 4 y
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau :  2
( x + 1) ( y + x − 2 ) = y

( 1)
( 2)

Hướng dẫn :
Ta thấy : y=0 không là nghiệm của hệ . Chia hai vế phương trình (1) và (2) cho y ta
 x2 + 1
 y +x+ y = 4
u + v = 2
x2 + 1

u
=
;v = x + y − 2 ⇒ 
có hệ :  2
. Đặt :
y
u.v = 1
 x + 1  ( x + y − 2 ) = 1

÷
 y 


Giải hệ trên suy ra u,v sau đó tìm được x,y .
 y + xy 2 = 6 x 2 ( 1)

Ví dụ 2. ( SPIHN-KA-2000). Giải hệ phương trình 
2 2
2
1 + x y = 5 x ( 2 )

Hướng dẫn
Nhận xét : x=0 không là nghiệm của hệ ( vì phương trình (2) vô nghiệm )
Chia hai vế của hai phương trình của hệ cho x 2 ≠ 0 . Khi đó hệ đã cho trở thành :
1  y 
y1
 y

 x  x ÷+ y  x ÷ = 6
 x  x + y ÷ = 6
 

⇔  
⇔ 
.
 1 + y2 = 5
 1 + y2 = 5
 x 2
 x 2
 sp = 6
1
uy ( u + y ) = 6
⇔ 3
Đặt : u = ; ⇒  2 2
x
 s − 5s − 6 = 0

u + y = 5

( s = u + y; p = uy )

Học sinh giải tiếp : Đáp số (x;y)=(1;2),(1/2;1)
3

2
2
=7
2
 4 xy + 4 ( x + y ) +
( x + y)

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau : 
2 x + 1 = 3

x+ y

Hướng dẫn :
Điều kiện : x + y ≠ 0
Th.s Nguyễn Dương

Trang 4

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
3

2
2

=7
2
3 ( x + y ) + ( x − y ) +
x
+
y
1
(
)

Khi đó hệ trở thảnh : 
. Đặt : u = x + y + x + y ; v = x − y
x + y + 1 + ( x − y ) = 3

x+ y
3u 2 + v 2 = 13
Hệ khi đó : 
. Học sinh giải tiếp tìm u,v sau đó tìm x,y .
u + v = 3
 x 2 ( y + 1) = 6 y − 2
( 1)
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau :  4 2
2 2
2
2
 x y + 2 x y + y ( x + 1) = 12 y − 1 ( 2 )

Điều kiện : y ≠ 0; y ≠ −1

Giải :
4y − 4

9 y +1

2
2
2
2
Khi đó : ( 1) ⇔ x y ( y + 1) = 6 y − 2 y ⇒ x − 2 = y + 1 ; x + 3 = y + 1 .
4 2
2 2
2
2
2
2
2
Thay vào (2) , ta có : x y + x y + y + 6 y − 2 y = 12 y − 1 ⇔ ( x − 2 ) ( x + 3) y − y + 1 = 0

⇔

4 ( y − 1) ( 9 y + 1) y 2

( y + 1)

2

y =1→ x = ± 2

y =1

= y −1 ⇔ 
2 ⇔
2
y = 1 → x = 0
 4 ( 9 y + 1) y = ( y + 1)

3



1 
( x + y ) 1 + ÷ = 18

 xy 
Ví dụ 5.( AN-98). Giải hệ phương trình sau : 
 x 2 + y 2  1 + 1  = 208
)  x2 y 2 ÷
(




Giải :

1 
1
 x + ÷+  y + ÷ = 18
x 

y

Hệ đã cho viết lại : 
 x 2 + 1  +  y 2 + 1  = 208
÷
÷ 

x2  
y2 


1
  x + x = 4

 u = 4
  y + 1 = 14


y
u + v = 18
u + v = 18
1
1
 v = 14 ⇔  
u
=
x
+
;
v

=
y
+
⇒
⇔
⇔
Đặt :
 2 2

 u = 14
x
y
1

uv = 56
u + v = 212

  x + x = 14
 v = 4

 y + 1 = 4
 
y

  x = 2 ± 3
  x 2 − 4 x + 1 = 0

 2
  y = 7 ± 4 3
  y − 14 y + 1 = 0

⇔
⇔
⇒ ( x; y ) = 2 − 3;7 − 4 3 ; 2 − 3;7 + 4 3 ....
2


x
−
14
x
+
1
=
0
 y = 2 ± 3


  y 2 − 4 y + 1 = 0

  x = 7 ± 4 3

(

Th.s Nguyễn Dương

Trang 5

)(

)

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
 x y 
 + ÷( x + y ) = 15
 y x 
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình sau :  2
2
 x + y  x 2 + y 2 = 85
)
 y 2 x 2 ÷(



Giải :
x y
Điều kiện : x ≠ 0, y ≠ 0 . Đặt : u = y + x ; v = x + y u > 2 .
x2 y 2
x2 + y2
v2
2
2
2
2
2
+
=
u

−
2;
x
+
y
=
x
+
y
−
2
xy
=
v
−
2
xy
;
u
=
⇒
xy
=
(
)
Khi đó ta có : 2 2
y
x
xy
u+2

uv = 15

Hệ ⇔  u 2 − 2  15v  = 85 . Học sinh giải tiếp tìm được u,v sau đó suy ra x,y .
)  u + 2 ÷
(



1 
( x + y ) 1 + ÷ = 5

 xy 
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình sau : 
 xy + 1 = 4

xy

Hướng dẫn :
 u = 2

u + v = 5
1
1
v = 3
⇔
Điều kiện : xy ≠ 0 . Đặt : u = x + ; v = y + ⇒ 
 u = 3 . Học sinh giải tiếp .
x
y
uv = 6


 v = 2
 x 2 y + 2 y + x = 4 xy

Ví dụ 8. Giải hệ :  1 + 1 + x = 3
 x 2 xy y


Hướng dẫn :
Điều kiện : x ≠ 0, y ≠ 0 . Chia hai vế phương trình (1) cho xy , thêm 1 vào hai vế của
 1 1 1
x + x + x + y = 4

phương trình (2) và nhóm chuyển về dạng tích ⇒ 
 x + 1   1 + 1  = 4
÷
÷

x  x y 
u + v = 4
1
1 1
⇔ u = v = 4 . Học sinh giải tiếp .
Đặt : u = x + ; v = + ⇒ 
x
x y
uv = 4
 x ( 2 x + 3 y ) ( x − 1) = 14
2
 x + x + 3 y = 9

Ví dụ 9 . Giải hệ phương trình sau : 

Hướng dẫn

Th.s Nguyễn Dương

Trang 6

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
  x = 1y = 3
2

 x + x = 2
  x = 2; y = 1

2
( x + x ) ( 2 x + 3 y ) = 14


 2 x + 3 y = 7
⇔
⇔   x = 1 + 29 ; y = 1 − 29
Hệ viết lại :  2
2
2
2


( x + x ) ( 2 x + 3 y ) = 9
  x + x = 7


 2 x + 3 y = 2
  x = 1 − 29 ; y = 1 + 29
 
2
2
( 3 x + y ) 2 − 3 ( 9 x 2 − y 2 ) − 10 ( 3 x − y ) = 0

Ví dụ 10. Giải hệ phương trình sau : 
1
=6
3 x + y +
3x − y


Hướng dẫn

Điều kiện : 3x − y ≠ 0 ⇒ y ≠ 3x . Chia hai vế phương trình (1) cho 3x − y ≠ 0 . Khi đó
Phương trình (1) của hệ trở thành :
2

 3x + y 
 3x + y 
3x + y
3x + y
= 5∨

= −2 . Khi đó

÷ − 3
÷− 10 = 0 ⇒
3x − y
3x − y
 3x − y 
 3x − y 
 3x + y
3 x + y = 2
 x = 1; y = 2
 3x − y = 5


⇔ 1
⇔
* Trường hợp 1: 
x = 1 ; y = 2
=
3
1
3 x + y +

=6
5
5

 3x − y

3x − y

(

)

(

)


3 3 + 11
 3x + y
3 + 11
=
−
2

3
x
+
y
=
2

x=
;y=
 3x − y




12
4
⇔ 1
⇔
Trường hợp 2: 
3 3 − 11
3 x + y + 1 = 6
 3x − y = 2

3 − 11

x
=
;
y
=

3x − y

2
4
 x ( x + y − 1) = 3

Ví dụ 11. (ĐH-KD-2009 ). Giải hệ : 
5
2
( x + y ) − 2 + 1 = 0
x


Hướng dẫn :
Điều kiện : x ≠ 0 . Chia hai vế phương trình (1) cho x ≠ 0 , thì (1) trở thành :
3
3
= 0 ⇔ x + y = − 1 . Thế vào phương trình (2) của hệ thì (2) trở thành :
x
x
1
 x = 1; y = 1
2
 x =1
x = 1
5
4 6
3 
 3
⇔  − 1÷ − 2 + 1 = 0 ⇔ 2 − + 2 = 0 ⇔ 
⇔
⇒
⇔ ( x; y ) = ( 1;1) ,  2; ÷
3
x
x
x  x
 2
 x = 2  x = 2; y =
1 = 1

2
 x 2

 xy + x + 1 = 7 y
Ví dụ 12. ( ĐH-KB-2009 ). Giải hệ sau :  2 2
2
 x y + xy + 1 = 13 y
⇔ x + y +1−

Hướng dẫn
Nhận xét : y=0 không là nghiệm vì (1) vô lý , cho nên ta chia hai vế phương trình (1)
và (2) của hệ cho y ≠ 0; y 2 ≠ 0 . Khi đó hệ trở thành :

Th.s Nguyễn Dương

Trang 7

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

1 x
x 1
1


x + ÷+ = 7 ( 3 )
x
+
+
=
7

x
+
= −5

2


y y
y y
y

1 
1


⇔
⇔
⇔  x + ÷ −  x + ÷− 20 = 0 ⇒ 
2
x
1
1
y 
y


 x2 + +
= 13  x + 1  − x = 13 ( 4 )
x+ =4
2


÷


y y
y

y y

  x = 12 y

1
2

x = 1; y =
 1
 12 y + 5 y + 1 = 0

⇔
⇔
3 ⇒ ( x; y ) = 1; ÷, ( 3;1)

x = 3y
 3
x = 3; y = 1
 

 3 y 2 − 4 y + 1 = 0
5
 2

3
2
x
+
y
+
x
y
+
x
y
+
xy
=
−

4
Ví dụ 13. ( ĐH-KA-2008 ). Giải hệ : 
 x 4 + y 2 + xy ( 1 + 2 x ) = − 5

4

Hướng dẫn :
5
5
 2

2
 x + y + xy ( x + y ) + xy = − 4
u + v + uv = − 4

⇔
( u = x 2 + y; v = xy )
Hệ viết lại : 
2
5
5
( x 2 + y ) + xy = −
u 2 + v = −


4
4
2
 x + y = 0
 u = 0



5
  xy = − 5
 v=−

 

4
4
 3
25  
3



3
3
⇔
.....
⇒
x
;
y
=
;
−
,
1;
−
(
)

÷
Học sinh giải tiếp ta được :  
1

÷
1
 4
 x2 + y = −
16 ÷
2
u=−







2

2


3
3
  xy = −
 v = −


2
2

 
 x 4 + 2 x 3 y + x 2 y 2 = −2 x + 9
Ví dụ 14. ( ĐH-KB-2008 ). Giải hệ :  2
 x + 2 xy = 6 x + 6

Hướng dẫn :

( x 2 + xy ) 2 = 2 x + 9(3)
 x 2 ( x + y ) 2 = 2 x + 9

⇔

Hệ viết lại :  2
. Thay (4) vào (3) rút gọn ta có :
6 x + 6 − x2
 xy =
(4)
 x + 2 xy = 6 x + 6

2
x = 0
x = 0
x = 0
⇔ x 4 + 12 x 3 + 48 x 2 + 64 x = 0 ⇔  3
⇔
⇒

3

2
( x + 4 ) = 0  x = −4
 x + 12 x + 48 x + 64 = 0
17 

Học sinh giải tiếp . Đáp số nghiệm hệ : (x;y)=  −4; ÷
4

1
 1
x − x = y − y
Ví dụ 15. ( ĐH-KA-2003 ). Giải hệ : 
2 y = x3 + 1



Điều kiện : x, y ≠ 0
Th.s Nguyễn Dương

Hướng dẫn

Trang 8

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

x − y = 0
1 1
1 
Từ (1) của hệ : x − y − + = 0 ⇔ ( x − y ) 1 + ÷ = 0 ⇒ 
x y
 xy 
 xy = −1

2
• Nếu : x=y , thay vào (2) của hệ : ⇔ x − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1 → ( x; y ) = ( 1;1)
2

2

1 
1 3


• Nếu xy=-1 , thay vào (2) của hệ : x + x + 2 = 0 ⇒  x 2 − ÷ +  x + ÷ + = 0 .
2 
2 2

4

Phương trình này vô nghiệm . Do đó hệ vô nghiệm .
III. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Loại 1. Một phương trình của hệ có dạng : f(x)=f(y). Một phương trình cho ta biết
tập giá trị của x hoặc y . Từ đó suy ra hàm số f(x) đơn điệu suy ra x=y .
3
3
 x − 5 x = y − 5 y ( 1)
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau :  8 8
 x + y = 1( 2 )

Hướng dẫn :
Từ (2) suy ra : x , y ≤ 1 .
3
2
Từ (1) ta xét hàm số : f(t)= t − 5t ⇒ f '(t ) = 3t − 5 < 0 ∨ t ∈ [ −1;1]
Do vậy f(t) là một hàm số nghịch biến . Vậy để có (1) chỉ xảy ra khi x=y .
1



1

1

1   1

1 

8
Khi đó (2) trở thành : x = ⇔ x = ± 8 ⇒ ( x; y ) =  − 8 ; − 8 ÷;  8 ; 8 ÷
2
2
2
2
2 2



 



3
3
 x − 3 x = y − 3 y
Ví dụ 2.( Ngoại thương -2000) . Giải hệ phương trình :  6 6
 x + y = 1

Hướng dẫn :
Học hinh giải ví dụ 1 , từ đó suy ra cách giải ví dụ 2.
Loại 2. Hệ đối xứng mà sau khi biến đổi thường đưa về dạng f(x)=f(y) hoặc f(x)=o.
Trong đó f là một hàm số đơn điệu .
 x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau : 
2
x −1
 y + y − 2 y + 2 = 3 + 1

Hướng dẫn giải
u + u 2 + 1 = 3v
Đặt u=x-1;v=y-1 khi đó hệ có dạng : 
v + v 2 + 1 = 3u

Trừ hai phương trình vế với vế ta có phương trình : u + u 2 + 1 + 3u = v + v 2 + 1 + 3v (*)
2
u
Xét hàm số : f (u ) = u + u + 1 + 3 ⇒ f '(u ) = 1 +

Để có (*) thì chỉ xảy ra khi u=v.Thay vào (1)

(

)

u
u +1
2

(

+ 3u ln 3 > 0 . Hàm số đồng biến .

)

⇔ u + u 2 + 1 = 3u ⇔ ln u + u 2 + 1 = u ln 3 ⇒ f (u ) = ln u + u 2 + 1 − u ln 3

Th.s Nguyễn Dương

Trang 9

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
1+
⇔ f '(u ) =

u

u 2 + 1 − ln 3 = 1 − ln 3 < 0 ∨ u . Chứng tỏ hàm số nghịch biến . Nhưng
u + u2 +1
u2 +1

ta lại có f(0)=0 vì vậy phương trình có nghiệm u=0 và v=0 .Do đó hệ có nghiệm duy
nhất : x=y=0.
( 4 x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0
Ví dụ 2. ( ĐH-KA-2010 ) .Giải hệ phương trình sau :  2 2
 4 x + y + 2 3 − 4 x = 7

Hướng dẫn
3
5
4

2
2
 5−t 
3
3
⇔ 4 x3 + x = t  3 −
÷⇔ 8x + 2 x = t + t .
2 


Điều kiện : x ≤ , y ≤ . Đặt : t = 5 − 2 y ⇒ y =

1
5 − t 2 ) , thay vào (1)của hệ ta có :
(
2

Xét hàm số : f ( x) = x3 + x ⇒ f '( x) = 3x 2 + 1 > 0 ∨ x → f ( x) đồng biến cho nên vế trái
chẳng qua là khi t=2x . Do đó : 5 − 2 y = 2 x ⇔ y =

5 − 4 x2
. Thay vào phương trình (2)
2

2

 5 − 4 x2 
 3
của hệ ta được : g ( x) = 4 x + 
÷ + 2 3 − 4 x = 0 ∨ x ∈  0; ÷

 4
 2 
2

Dễ thấy x=0 và x=3/4 không là nghiệm .

2
Ta xét : g '( x) = 8 x − 8 x  − 2 x ÷−
5
2

4
4
 3
= 4 x ( 4 x 2 − 3) −
< 0 ∨ x ∈  0; ÷,
3 − 4x
3 − 4x
 4


1
1
với : g ( ) = 0 ⇒ x = ; y = 0 là nghiệm của hệ
2
2
 x 5 + xy 4 = y10 + y 6 ( 1)
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau : 
2
 4 x + 5 + y + 8 = 6 ( 2 )

Hướng dẫn
4
5

Điều kiện : x ≥ − . Chia cả hai vế của phương trình (1) cho y 5 ≠ 0
5

x x
⇒  ÷ +  ÷ = y 5 + y . Hàm số : f (t ) = t 5 + t ; f '(t ) = 5t 4 + 1 > 0 ∨ t ∈ R .
 y  y
x
2
Chứng tỏ f(t) đồng biến . Cho nên để có (*) thì chỉ xảy ra khi y = y ↔ x = y

Thay vào phương trình (2) ta được : 4 x + 5 + x + 8 = 6 ⇒ x = 1
Vậy hệ có nghiệm là : (x;y)=(1;-1)
IV. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Với phương pháp này học sinh cần quan sát nắm chắc các biểu thức không âm trong
hệ để có thể vận dụng các bất đẳng thức Cô si để đánh giá .

Th.s Nguyễn Dương

Trang 10

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
2 xy


= x2 + y
x + 3 2
x − 2x + 9

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau : 
2 xy
y +
= y2 + x
2
3

y − 2y + 9

Hướng dẫn
Cộng hai vế phương trình của hệ vế với vế ta có :
2 xy
3

x − 2x + 9
2

+

2 xy
3

y − 2y + 9
2

= x 2 + y 2 . Ta có : x=y=0 là một nghiệm của hệ .

Ta có : 3 x 2 − 2 x + 9 = 3 ( x − 1) + 8 ≥ 2 ⇒ VT ≤ xy + xy = 2 xy . Khi đó : VP = x 2 + y 2 ≥ 2 xy .
Cho nên dấu bằng chỉ xảy ra khi : x=y=1. Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(o;0);(1;1)
2

 y = − x 3 + 3 x + 4
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau : 
3
 x = 2 y − 6 y − 2

Hướng dẫn
( y − 2 ) = − ( x + 1)

( x − 2 ) ( 1)
2
( x − 2 ) = 2 ( y + 1) ( y − 2 ) ( 2 )


Hệ đã cho ⇔ 

2

Nếu y>2 từ (1)suy ra x<2 . Vô lý vì (2) vô nghiệm
Nếu y<2 từ (2) suy ra x<2 . Vô lý vì (1) vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : (x;y)=(x;2)

( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 4 ) = 1 + y 7

Ví dụ 3.Giải hệ phương trình sau : 

2
4
7
( 1 + y ) ( 1 + y ) ( 1 + y ) = 1 + x

Hướng dẫn
Dễ thấy : x=y=0 hoặc x=y=-1 là nghiệm của hệ
Xét : x>0

⇔ 1 + y 7 = ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 4 ) = 1 + x + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x 6 + x 7 > 1 + x 7 ⇒ y > x

⇔ 1 + x7 = ( 1 + y ) ( 1 + y 2 ) ( 1 + y 4 ) = 1 + y + y 2 + y3 + y 4 + y 5 + y 6 + y 7 > 1 + y 7 ⇒ x > y

Vậy hệ vô nghiệm . Tương tự khi y>0 hệ cũng vô nghiệm
Xét : x<-1 ⇒ 1 + x 7 < 0 ⇒ y < −1
2
3
4
5
6
7
7
Ta có : 1+ ( x + x ) + ( x + x ) + ( x + x ) + x > 1 + x ⇒ y > x . Tương tự khi y<-1 ta có x>y
Hệ cũng vô nghiệm
Xét trường hợp -1Kết luận : Hệ có nghiệm : (x;y)=(0;0);(-1;-1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
( x − y ) 2 y = 2
a.  3 3

 x − y = 19

( NNI − 2000 ) ( x = ty )

Th.s Nguyễn Dương

 2 y ( x 2 − y 2 ) = 3x

b.  2 2
 x ( x + y ) = 10 y

Trang 11

( MDC − 98) ( x = ty )

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
3

 2 x + y = x 2
 x 2 + xy + y 2 = 19 ( x − y ) 2
( HH − 2001)
( TL − 2001)
c.  2
d. 
2
 x − xy + y = 7 ( x − y )
 2 y + x = 32

y


Bài 2. Giải các hệ phương trình sau :
5
 2
3
2
 x + y + x y + xy + xy = − 4
a. 
 x 4 + y 2 + xy ( 1 + 2 x ) = − 5

4

( KA − 2008 )

 xy + x + 1 = 7 y

b. 

2 2
2
 x y + xy + 1 = 13 y

( KB − 08)

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau :
 x 4 − x 3 y + x 2 y 2 = 1
a.  3
2

 x y − x + xy = −1
 x 2 + y = y 2 + x
c.  x + y x −1
 2 − 2 = x − y

 x 4 + 2 x 3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9
( CD − KB − 08 )
b.  2
 x + 2 xy = 6 x + 6
2
 1− x2
3
x
+ xy + = 2 y
 2
2
d. 
 x2 y + 2x 2 − 2 x2 y − 4x + 1 = 0
)
(

Bài 4. Giải các hệ phương trình sau :
1 + x 3 y 3 = 19 x 3
a. 
2
2
 y + xy = −6 x


{ ( x + y ) 1 + xy1 ÷ = 5




c.

(x

2


1 
+ y 2 ) 1 + 2 2 ÷ = 49
 x y 

 x 3 + 2 xy 2 + 12 y = 0
b.  2 2
8 y + x = 12
2
2
 2 x + 5 xy + 2 y + x + y + 1 = 0
d.  2 2
 x + y + 4 xy + 12 x + 12 y + 10 = 0

Bài 5. Giải các hệ phương trình sau :
 x 2 − 12 xy + 20 y 2 = 0
a. 
ln ( 1 + x ) − ln ( 1 + y ) = x − y
 2 x 2 y + y 3 = 2 x 4 + x 6
c. 
2

( x + 2 ) y + 1 = ( x + 1)

 x3 − 3x 2 = y 3 − 3 y − 2

 x−2
b. 
2
 y −1 
log y  y − 1 ÷+ log x  x − 2 ÷ = ( x − 3)





x

2 + 6 y = y − x − 2 y
d. 
 x + x − 2 y = x + 3y − 2


Bài 6. Giải các hệ phương trình sau
2 xy
 2
2
x + y + x + y = 1
a. 
 x + y = x2 − y


 y x 2 − y 2 = 48
b. 
 x + y + x 2 − y 2 = 24

 2 xy + 3 x + 4 y = −6
c.  2
2
 x + 4 y + 4 x + 12 y = 3

2y

= −2
x − y +
x
d. 
 2 xy − 2 y 2 + x = 0


Bài 7. Giải các hệ phương trình sau
 2 x 2 + 2 y 2 = 1 + 2 x + y
a.  2
 2 y + 2 x + y + 1 = 6 xy

Th.s Nguyễn Dương

 x 2 y 2 + y 4 + 1 = 3 y 2
b.  2
 xy + x = 2 y

Trang 12

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
y −3

 x+ y + x+3 =
x
d. 
 x+ y + x = x+3


 x2 y + y = 2

c.  2 1 2 2
x + 2 + x y = 3
x


Bài 8. Giải các hệ phương trình sau :
a. 

3

2
2
=7
2
 4 xy + 4 ( x + y ) +

( x + y)

b. 
2 x + 1 = 3

x+ y

 x 2 y + 2 y + x = 4 xy

c.  1 + 1 + x = 3
 x 2 xy y


2 xy

x
+
= x2 + y

3 2
x − 2x + 9

d. 
2 xy
y +
= y2 + x
2
3

y − 2y + 9

 x + y + − y = 1 + x − y
2

2

 x + y = 1

Bài 9. Giải các hệ phương trình sau :
 x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy
a. 
 x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy

 x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y
c. 
2
2
 y ( x + y ) = 2 ( x + 1) + 7 y

 x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41
b. 
2
2
 xy ( x + y ) = 10
 x 3 + 4 y = y 3 + 16 x
d. 
2
2
1 + y = 5 ( x + 1)

Bài 10. Giải các hệ phương trình sau :
 x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 + 2 xy
a. 
2
2
 x + x y + xy = y + xy + 1
2
2
 x + xy + y = 3
c.  3
3
 x + 2 y = y + 2 x

 x 2 + 2 y 2 + 2 x + 8 y + 6 = 0
b.  2
 x + xy + y + 4 x + 1 = 0
 x 2 + y 2 + 2 x = 3
d.  3 3
2
2
2
 2 ( x + y ) + 6 x = 5 + 3 ( x + y )

Bài 11. Giải các hệ phương trình sau :
 x 2 + y 2 + xy = 3

a.  x5 + y 5 31
 x3 + y 3 = 7


 y 2 + ( 4 x − 1) 2 = 3 4 x ( 8 x + 1)
b.  2
 40 x + x = y 14 x − 1

 x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y
c. 
2
2
 y ( x + y ) = 2 ( x + 1) + 7 y

 x 2 y + y 3 = x 4 + x 6
d. 
2
( x + 2 ) y + 1 = ( x + 1)

Bài 12. Giải các hệ phương trình sau :
 x − y s inx

e = siny
 π 
a. 
 x ∈  0; 4 ÷÷


3 8 x 2 + 3 + 1 = 6 2 y 2 − 2 y + 1 + 8 y 



1 
 3 x 1 +

÷= 2

 x+ y
c. 
 7 y 1 − 1  = 4 2

÷

 x+ y


2
2
 x + y = 5
b.  4 4
2 2
 x + y + 6 x y + 20 xy = 81

( 4 x 2 + x ) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0
d.  2 2
 4 x + y + 2 3 − 4 x = 7

Trong bài viết này có sử dụng một số tư liệu của các thày : Nguyễn Trung Kiên ,
thày: Phạm văn Hùng . Tôi xin chân thành cảm ơn các thày .
Th.s Nguyễn Dương

Trang 13

ĐT: 0932528949

Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

CHUYÊN ĐỀ 1:
KHẢO SÁT HÀM SỐ - BÀI TOÁN LIÊN QUAN
CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU - CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
(1) Tìm m để hàm số: y =

(2m + 1) x − 2m − 2
nghịch biến trên từng KXĐ của nó.
mx + m 2 − 1

(2) Tìm a, b để hs : y = x 4 + ax 2 + b có một cực trị bằng

3
khi x=1
2

1
3

(3) Cho hàm số y = x 3 − mx 2 − x + m + 1 (Cm ) .
a. CMR : với mọi m hàm số đã cho luôn có cực trị .
b. Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất
(4) Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 . Tìm m để hàm số luôn có ba điểm cực trị tạo thành
ba đỉnh của tam giác đều
(5) Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m . Xác định m để hàm số có CĐ, CT thoả mãn
a)Lập thành một tam giác đều
b)Lập thành một tam giác vuông
c)Lập thành một tam giác có diện tích bằng 4

(6) Cho hàm số y =

x 2 + mx − 2
. Xác định m để
mx − 1

a)Hàm số có cực trị
b)Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thoả: x1+x2 = 4x1x2
c)Hàm số có cực đại , cực tiểu có hoành độ dương
CHỦ ĐỀ 2: KHẢO SÁT SỰ BT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HS y = f(x)
Bài 1: Cho hàm số y = – x3 – 3x
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng y = – 9x.
Bài 2: Cho hàm số y = x3 – (1 -2m)x2+(2–m)x + m + 2 (m: tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= 2
2. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu,
đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Bài 3: Cho hàm số y =

x −1
(1)
x

1. Khảo sát và đồ thị hàm số (1).
2. CMR với mọi m ≠ 0 thì đường thẳng y = mx – 2m luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai
điểm phân biệt và trong đó có ít nhất một giao điểm của nó có hoành độ dương.
Bài 4: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 (Cm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –3

Th.s Nguyễn Dương

Trang 14

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

2. Tìm m để (Cm) cắt đthẳng y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các
tiếp tuyến với (Cm) tại B và C vuông góc với nhau
Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + mx (1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm
cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng (d) x –2y–5 = 0
Bài 6: Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + m
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0
2. Xác định m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với các hoành
độ lập thành một cấp số cộng.
Bài 7: Cho hàm số y = x4 – 6x2 + 5
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm m để phương trình sau: x4 – 6x2 – log2m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 8: Cho hàm số y =

2x − 4
(C)
x +1

1. Khảo sát hàm số
2. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận

của (C).
Bài 9: Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m3 – m2 (Cm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2. Xác định m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Bài 10: Cho hàm số y = x3 – 3ax2 + 4a3
1. Tìm a để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng y=
x
2. Tìm a để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm A, B, C sao cho AB = BC
Bài 11: Cho hàm số y =

2x − 4
x +1

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng các khoảng cách từ nó đến hai đường
tiệm cận là nhỏ nhất.
1
3

Bài 12: Cho hàm số y = x 3 −

m 2 1
x +
2
3

(Cm).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=2.
2. Gọi M∈(Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C m) tại M song song với

đường thẳng 5 x − y = 0 .
x3
11
Bài 13: Cho hàm số y = − + x 2 + 3x −
(C).
3
3

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
2. Tìm trên (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.
Bài 14: Cho hàm số y =

x+3
x −1

(C).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Cho M0(x0; y0) ∈ (C). Tiếp tuyến của (C) tại M 0 cắt các tiệm cận của (C) tại A, B.
Cminh M0 là trung điểm AB.
1
2

4
2
Bài 15: Cho hàm số y = x − 3x +

5
2

(C).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại x =a cắt (C) tại 2 điểm khác nữa.

Th.s Nguyễn Dương

Trang 15

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
x−m
Bài 16: Cho hàm số y =
(m: là tham số) (1).
x−2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.
2. Tìm m để trên đồ thị của hàm số (1) có ít nhất 1 điểm cách đều 2 trục tọa độ, đồng

thời hoành độ và tung độ của điểm này trái dấu nhau.
Bài 17: Cho hàm số y =

x+3
x+2

(C) (1).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1).
1

2

2. Chứng minh rằng đường thẳng y = x − m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B.
Xác định m sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.
Bài 18: Cho hàm số y = 2mx 4 − x 2 − 4m + 1 (1).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=-1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 5.
CHỦ ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ
Bài 1: Cho (C) : y = 2x 3 - x 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để (d): y = m cắt (C) tại ba điểm có hoành độ x 1 ; x 2 ; x 3 . Tính tổng:
x12 + x22 + x32 ?

Bài 2: Cho (C) : y =

2x +1
−x +1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 2m - 1 cắt (C) tại hai điểm trên cùng một
nhánh.
Bài 3: Cho hs : y =

x +1
x -1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) CMR đường thẳng (d): 2x – y + m = 0 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B trên
2 nhánh của (C). Tìm m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 4: Cho (C) : y =

−2 x + 1
x +1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng (d): y = – x + 3m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB =
2 2 . Tìm tọa độ của A ; B

CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI (C) y = f(x)
Bài 1:
3
2
a. Cho hàm số y = x − 3x + 2 (C ) Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông

góc với ∆ : 3x − 5 y − 4 = 0

Th.s Nguyễn Dương

Trang 16

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
4
2
b. Cho hàm số y = x + x − 2 (C ) Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song

với ∆ : 6 x + y − 1 = 0
1

3

Bài 2: Cho hàm số y = x 3 −

m 2 1
x +
2
3

(Cm )

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 2

b) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng – 1 . Tìm m để tiếp tuyến của (C m) tại
điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0.
Bài 3: Cho hs : y = 4x 3 − 3x + 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) tại A(-

3
; 1) và tìm giao
2

điểm B (khác A) của (d) và (C)
1
2

Bài 4: Cho hàm số y = x 4 − 3x 2 +

5

2

c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

d) Gọi M là điểm thuộc (C) có hoành độ x M = a . Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại điểm
M cắt (C) tại hai điểm khác M.
Bài 5: Cho hs : y = x 3 + 3x 2 + mx +1

có đồ thị là (C m )

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0
b) Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm A(0 ; 1), B, C sao cho tiếp tuyến
của (C m ) tại B và C vuông góc với nhau
Bài 6: Cho hs : y =

x−2
x +1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Viết Pttt ( ∆ ) với (C) tại điểm A(a ; y) với a ≠ -1
c) Tính khoảng cách từ M(-1 ; 1) tới ( ∆ ). Tìm a để khoảng cách đó lớn nhất
CHỦ ĐỀ 5 : BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA (C) VỚI Ox
Bài 1:
a. Tìm m để hs : y =

m −1 3
x + mx 2 + (3m – 2)x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
3

b. Tìm m để pt : x 3 + 3x 2 - 9x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Bài 2:
a. Tìm m để hs : y = x 3 - 3x 2 - 9x + m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành
độ lập thành một cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó
b. Tìm a, b để pt : x 3 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
Tìm cấp số cộng đó

Th.s Nguyễn Dương

Trang 17

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

Bài 3: Cho HS: y = x 3 - mx 2 + (2m + 1)x – (m + 2)
 OA 

(C m ). Tìm m để (C m ) cắt trục
2

 OA 

2

19

hoành tại 3 điểm phân biệt A(1 ; 0) ; B ; C thỏa : 
÷ +
÷ =

48
 OB   OC 
Bài 4: Cho HS: y =

1 3
2
x - mx 2 - x + m + (C m ). Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm
3
3

phân biệt có hoành độ x 1 ; x 2 ; x 3 thỏa : x12 + x22 + x32 > 15
Bài 5: Cho HS: y = 2x 3 - 3(m + 2)x 2 + 6(m + 1)x – 3m + 6

(C m )

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = - 1
b) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 6: Cho hs : y = x 4 - 2(m + 1)x 2 + 3(m – 1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0
b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một
cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó
Bài 7: Cho hs : y = - x 4 + 2(m + 1)x 2 - 2m – 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0
b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một
cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó
MộT Số BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH :
Câu 1:(A09) Cho hàm số y =

x+2
(1)

2x + 3

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành,
trục tung lần lượt tại 2 điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Câu 2: (B09) Cho hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 (1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2
2
b. Với các giá trị nào của m, phương trình x x − 2 = m có đúng 6 nghiệm thực phân

biệt?
Câu 3: (D09) Cho hàm số y = x 4 − (3m + 2) x 2 + 3m(Cm ), m là tsố.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0

b. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn
2.
Câu 4: (A2010). Cho hsố y = x 3 − 2 x 2 + (1 − m) x + m
a.
b.

(1), m là tham số.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành
độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 < 4

Th.s Nguyễn Dương

Trang 18

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
2x +1
Câu 5: (B2010).Cho hàm số y =
(1) (C)
x +1

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b.

Tìm m để đường thẳng y = -2x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ).

Câu 6.(D 2010). Cho hàm số y = x 4 − x 2 + 6(1) (C)
a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b.

Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường
1
6

thẳng y= x − 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và
B đến trục hoành bằng nhau.
Câu 7. (A2011)Cho hàm số y =

−x +1
(1)
2x −1

(C)

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b.

Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt A và B. Gọi k1,k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại
A và B. Tìm m để tổng k1+k2 đạt giá trị lớn nhất.

4
2
Câu 8. (B2011) Cho hàm số y = x − 2(m + 1) x + m(Cm ), m là tsố.

a.
b.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
Tìm m để đồ thị hàm số(1) có 3 điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC trong
đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn

lại.

Câu 9. (D2011)Cho hàm số y =
a.
b.

2x +1
(1)
x +1

(C)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
Tìm k để đường thẳng y = kx+2k+1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

Câu 10. (A2011)Cho hàm số y =

−x +1
(1)
2x −1

(C)

c.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
d.
Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt A và B. Gọi k1,k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại

A và B. Tìm m để tổng k1+k2 đạt giá trị lớn nhất.
4
2
Câu 11: (B2011) Cho hàm số y = x − 2(m + 1) x + m(Cm ), m thamsố

4

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b.Tìm m để đồ thị hàm số(1) có 3 điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC trong đó O là
gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.

Th.s Nguyễn Dương

Trang 19

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
2x +1
Câu 12. (D2011)Cho hàm số y =
(1) (C)
x +1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b.Tìm k để đường thẳng y = kx+2k+1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
Câu 13: (A2012) cho hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 + m2 (1), với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác vuông

cân.
Câu 14: (B2012) cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 3m3 (1), với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích
bằng 48.
Câu 15: (D2012) cho hàm số y =

2
3

x3 - mx2 - 2(3m2 - 1)x+ 2
3 (1)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.
b. Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị x1,x2 sao cho:
x1x2 +2(x1 +x2) = 1
Câu 16: (A2013) Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3mx - 1 (1), với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=0
b. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; + ∞ )
Câu 17:(B2013) Cho hàm số y = 2x3 - 3(m + 1)x2 + 6mx (1), với m
là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc
với đường thẳng y = x + 2
Câu 18:(D2013) Cho hàm số y = 2x3 - 3mx2 + (m - 1)x+1 (1), với m
là tham số cực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1
b) Tìm m để đường thẳng y = -x +1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt

CHUYÊN ĐỀ 2: LƯỢNG GIÁC

Giải các phương trình :

Th.s Nguyễn Dương

Trang 20

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
π
cos 2 x − 1
2
1. tan( + x) − 3 tan x =
2
cos 2 x

1
1
7π
+
= 4sin( − x)
2. sin x sin( x − 3π )
4
2

1
3. cos x.cos 2 x.sin 3 x = sin 2 x
4

4. sin 2 x.sin x + cos 5 x.cos 2 x =

1 + cos8 x
2

π
6
6
2
5. sin x + cos x = 2sin ( x + )
4
6. sin 2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0
π
3

7. sin 2 ( x + ) + sin 2 ( x +

2π
3 − sin x
)=
3
2

8. cos3 x.tan 5 x = sin 7 x
9.

1
1
π
+

= 2 sin( x + )
cos x sin x
4

10. 2sin 3 x + 4 cos 3 x = 3sin x
11. cos 4 x − sin 4 x + cos 4 x = 0
12. 1 + sin x + cos x + tan x = 0
π
2

13. 3tan 2 ( x − ) = 2(

1 − sin x
)
sin x

14. sin 3x − 3 cos 3 x = 2 sin 2 x
15. cos3 x + sin 3 x + 2sin 2 x = 1
16. (2sin 2 x − 1) tan 2 2 x + 3(2 cos 2 x −) = 0
17. cos 3x cos3 x − sin 3 x.sin 3 x =
18. tan(

2+3 2
8

3π
sin x
− x) +
=2
2

1 + cos x

π
2

19. tan( + x) − 3 tan 2 x =

cos 2 x − 1
cos 2 x

20. sin x cos 2 x + cos 2 x(tan 2 x − 1) + 2sin 3 x = 0
MộT Số BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH :
(D2011)

sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1
=0
tan x + 3

(A2011)

1 + sin 2 x + cos 2 x
= 2 sin x sin 2 x
1 + cot 2 x

(B2011) sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx
(A2012)

3 sin 2 x + cos 2 x = 2 cos x − 1

Th.s Nguyễn Dương

Trang 21

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

(B2012) 2(cos x + 3 sin x ) cos x = cos x − 3 sin x + 1
(D2012) sin 3x + cos 3x − sin x + cos x = 2 cos 2 x

(A2013) 1 + tan x = 2 2 sin x +


π

4

(D2013) sin3x + cos2x - sinx = 0

CHUYÊN ĐỀ 3:
PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
– BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 2 x

x2 − 6 x −

5
2

2)

2

3) 2 x +1.5 x = 2.102 x +5

4)

2 x.3x −1.5x − 2 = 12

5) 7. 3 x+1 - 5 x+ 2 = 3 x+ 4 - 5 x+3

6) 3 x+1 + 3 x− 2 - 3 x−3 + 3 x− 4 = 750

2

− x+8

= 41 − 3 x

= 16 2

1

3

7) 2 x + 2 x −1 + 2 x− 2 = 3x − 3x −1 + 3x − 2

8) 9 x − 2 x + 2 = 2 x+ 2 − 32 x −1

9) 7 3x + 9.5 2x = 5 2x + 9.7 2x

10) 2 x −1 - 3 x = 3 x −1 - 2 x
2

2

2

2

+2

Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 3 2x-5 = 4
4) 5 x . 8

x −1
x

3) 2 x

5) 5 x .

6) 3 x . 8 x+ 2 = 6

2

= 500

2

2) 2 x . 3 x = 1
x +1

+4

= 3x − 2
x

8 x = 100

Bài 3: Giải các phương trình sau:
1) 2.16 x − 15.4 x − 8 = 0

2) 22 x +6 + 2 x + 7 − 17 = 0

3) 34 x +8 − 4.32 x +5 + 27 = 0

4) 8 x − 2

5) 9

x2 −2 x − x

− 7.3

x2 − 2 x − x −1

2

3 x +3
x

+ 12 = 0

6) 3.49 x + 2.14 x − 4 x = 0

=2

7) 3.16 x + 2.8x = 5.36 x

8) (3 + 5) x + 16.(3 − 5) x = 2 x+3

9) 4 x +1 + 2 x + 4 = 2 x + 2 + 16

10) 2.4− x − 6− x = 3.9− x

11) 3 x + 3 3−2x = 6

12)

( 3) + ( 3)

13) (4 + 15) x + (4 − 15) x = 62

14)

(

Th.s Nguyễn Dương

1

5

1

x

2− 3

10

) +(
x

Trang 22

1

x−10

= 84

2+ 3

)

x

=4

ĐT: 0932528949


Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

Bài 4: Giải các phương trình sau:
1) log 5 x = log 5 ( x + 6) − log 5 ( x + 2)
2) log 5 x + log 25 x = log 0.2 3
2
3) log x (2 x − 5 x + 4) = 2

4) l o g( x 2 + 2 x − 3) + l o g

x+3
=0
x −1

5) log 3 (2 x + 1) − log 1 (3 − x) = 0
3

1
2

6) log 3 (log 9 x + + 9 x ) = 2 x
7)

1
l o g(5 x − 4) + l o g x + 1 = 2 + l o g 0,18
2

8) l o g(l o g x) + l o g(l o g x 3 − 2) = 0
x
x
9) log 2 (4.3 − 6) − log 2 (9 − 6) = 1

10)

1
2
+
=1
4 − log x 2 + log x

11) log 2 x + 10 log 2 x + 6 = 0
Bài 5: Giải các bất phương trình sau
6

2) 3x + 9.3− x − 10 < 0

1) 9 x < 3 x+ 2

3) 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x ≤ 0
4) 25.2 x − 10 x + 5x > 25
5) 52 x + 5 < 51+ x + 5

x

x −1

6) ( 5 − 2) x +1 ≤ ( 5 + 2) x −1
7)
2

21− x + 1 − 2 x
≤0
2x −1

1
2 x −1

≥2

8)

1
3 x +1

10) 1 < 5 x
2

11) ( 5 + 1) − x + x + 2− x

2

+ x +1

< 3.( 5 − 1) − x

2

1
3
2

x +1

−x

1
− 1 1 − 3x
≥

9)

< 25

+x

Bài 6: Giải các bất phương trình sau
2
1) log 8 ( x − 4 x + 3) ≤ 1

2) log 3 x − log 3 x − 3 < 0

2
3) log 1 [ log 4 ( x − 5)] > 0

4)

2
5) log 2 x + log 2 x ≤ 0

6) log 3 (log 1 x) ≥ 0

3

Th.s Nguyễn Dương

6
4
+
>3
log 2 2 x log 2 x 2
2

Trang 23

ĐT: 0932528949


Bi 3: H Cể CU TRC C BIT
x 2
7) log 5 (4 + 144) 4 log 5 2 < 1 + log 5 (2 + 1)
x

2

8) log 1 ( x 6 x + 8) + 2 log 5 ( x 4) < 0
5

9) (B2011)

3 2 + x 6 2 x + 4 4 x 2 = 10 3x

Bi 7 : Gii cỏc h phng trỡnh v bt phng trỡnh :
1)

x 2 + xy = x + 2

( 2 y 2 + 5) x + 13 x 2 = 26

x + y xy = 3

x 1 + 2 y = 1

2)

2
3
3log 9 (9 x ) log 3 y = 3

x 2 + xy + y 2 = 4
x + xy + y = 2

3)

4)

1 3

2x + y = x

5)
2 y + 1 = 3

x y


x + y + z = 9

6) xy + yz + xz = 27
1 1 1
+ + =1
x y z

x + 1 + y + 1 = 4

7)

5
2
3
2
x + y + x y + xy + xy = 4

x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x ) = 5

4

8)

xy + x + y = x 2 2 y 2
9)
10)
x 2 y y x 1 = 2 x 2 y
x( x + y + 1) 3 = 0

5

2
( x + y ) x 2 + 1 = 0


11)

13) (A2011)

12)

x 4 + 2 x 3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9
2
x + 2 xy = 6 x + 6
xy + x + 1 = 7 y
2 2
2
x y + xy + 1 = 13 y
log 2 (3 y 1) = x

x
x
2
4 + 2 = 3 y

5 x 2 y 4 x y 2 + 3 y 3 2( x + y ) = 0

xy ( x 2 + y 2 ) + 2 = ( x + y ) 2

x 3 3 x 2 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 9 y

( x, y )
14)(A2012) 2 2
1
x + y x + y =
2


15) (D2012)

xy + x 2 = 0
( x , y )
3
2
2
2
2 x x y + x + y 2 xy y = 0

CHUYấN 4:

NGUYấN HM - TCH PHN

1/ Tỡm nguyeõn haứm cuỷa caực haứm soỏ sau
3
a/ f ( x) = x + cos x

c/ h( x) =
e/ n( x) =

1
x

3 2
+ + 5 sin x
x4 x

4 x 3 3x 2 + 2
x2

Th.s Nguyn Dng

4
b/ g ( x) = 5 x 2 x +

1
cos 2 x

x
2
d/ m( x) = 4 tan x + 2

3
2
g/ p ( x) = (2 x 3)

Trang 24

T: 0932528949


Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

i/ y= x2 (5 –x )4

h/ y = x + 3 x + 4 x
2/ Tìm các nguyên hàm sau
a/ ∫ sin x ⋅ e

cos x

b/ ∫ sin 7 x ⋅ cos 5 xdx

dx

2

∫ 4 x − 3 dx

e/ ∫

4
4
c/ ∫ (cos x + sin x)dx

2x + 3
dx
x + 3x + 7

f/

∫

a/ f ( x) = sin 2 x cos x biết rằng nguyên hàm này bằng 0 khi x =

π
3

2

cot x − tan x − 2 tan 2 x
dx
sin 4 x

3/ Tìm nguyên hàm của hàm số

b/ f ( x) =

3x 4 − 2 x 3 + 5
; biết rằng nguyên hàm này bằng 2 khi x= 1
x2

x π
c/ f ( x) = 2 cos( − ) biết rằng nguyên hàm này bằng 0 khi x = 0
2

2
d/ f ( x) = 2 x −

3
x

6

và F(1) = 4

e/ f(x) = cos5x.cos3x

π
F( ) = 1
4

và

4/ Tính các tích phân sau
2

a/ ∫ xdx

b/

1

8

∫

d/

1

x

1

2

e/

dx

∫x

c/

x dx

3

1

2

dx
3

∫

2

4

∫ (x

4

2

− 3 x)dx

f/

1

2

∫ (2
1

3
x + )dx

x

2

x 2 − 2x
dx
g/ ∫
x
1

2x + 6x 2 − 4x 3
dx
h/ ∫
− 2x3
1
π
3

1

x 3 + 9 x 2 + 3x − 5
dx
k/ ∫
x
+
1
0

2 − cos 3 x
dx

p/ ∫
cos 2 x
π
6

π
4

∫
π

q/

tan x − 2
dx
sin 2 x
2

i/

6

∫ cot
π

2

xdx

4

π
3

j/

π
2

dx
x
x
sin 2 cos 2
4
2
2

∫
π

t/

π
3

1 − cos 2 x

dx
∫
π 1 + cos 2 x

6

5/ Tính các tích phân sau
4

a/

∫

x − 2 dx

3

b/

0

Th.s Nguyễn Dương

∫

4

x 2 − 4 dx

c/

−4

∫

x 2 − 6 x + 9dx

2

Trang 25

ĐT: 0932528949

d/