bài 6: Đường Tròn

1
Bài 6 ĐƯỜNG TRÒN
I/ Phương trình đường tròn
+ Trong mặt phẳng, cho đường tròn ( C ) có tâm I(a;b),
có bán kính R .
M(x;y) (C) khi và chỉ khi : IM = R
∈
⇔
222
Rb)(ya)(x =−+−
⇔
(x – a)
2
+ (y - b)
2
= R
2
Từ đó ta có PT của đường tròn tâm I(a;b) , bán kính
R là : (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
+ Ngược lại PT : x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0
⇔
x

2
+ y
2
- 2ax - 2by + a
2
+ b
2
= a
2
+ b
2
- c
⇔
(x - a)
2
+ (y - b)
2
= a
2
+ b
2
– c
Khi a
2
+ b
2
– c > 0 đây là PT của đường tròn tâm
I(a;b) , bán kính R =
cba
22

−+
2
+ Như vậy PT của đường tròn còn có dạng :
x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0 với a
2
+ b
2
– c > 0
II/ Ví dụ :
1. Viết PT đường tròn biết :
a) Đường tròn có đường kính AB , với A(-5;1) , B(3; - 7) .
b) Đường tròn có tâm I( 3 ; - 5 ) và tiếp xúc với đường
thẳng (d) : 4x – 3y - 2 = 0
c) Đường tròn đi qua 3 điểm A(-3;1) , B(3; 0) ,C(0;-1).
Giải
a) + Tâm I là trung điểm của AB : I(-1;-3)

+ Bán kính R =
24
2
28
2
6464
2
==
+

=
AB
Vậy PT của đường tròn là :
(x + 1)
2
+ (y + 3)
2
= 32
3
b) + Tâm I (3;- 5)
+ Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (d) :
4x – 3y - 2 = 0
5
5
25)3.(4.3
d[I/(d)]R =
−−−
==⇔
Vậy PT đường tròn là : (x – 3)
2
+ (y + 5)
2
= 25
c) + PT đường tròn có dạng : x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0
+ Đường tròn đi qua 3 điểm A(-3;1) , B(3; 0) ,C(0;-1).










=+−
=++
=++−
⇔
0c2b1
0c6a9
0c2b6a10









=
−=+
=−−
⇔
1
9

1
c-2b
c6a
0c2b6a











−
=
−
=
−
=
⇔
3
20
6
17
18
7
c
b

a
Vậy PT đøng tròn là :
0
3
20
3
17
9
7
22
=−−−+ yxyx
4
2. Cho đường cong (C) có PT :
x
2
+ y
2
+ 2(m – 1)x – 6my + 9m
2
+ 4 = 0
Tìm m để (C) là một đường tròn , xác đònh tâm và
bán kính của (C)
Giải
Ta có : a = m – 1 ; b = - 3m ; c = 9m
2
+ 4
(C) Là đường tròn khi : a
2
+ b
2

– c > 0
⇔
(m – 1)
2
+ 9m
2
– 9m
2
- 4 > 0
⇔
m
2
– 2m - 3 > 0
⇔
m < - 1 ; m > 3
Vậy với m < - 1 hoặc m > 3 thì (C) là một đường tròn
có tâm I(- m + 1 ; 3m ) và bán kính
32mmR
2
−−=
5
3. Xác đònh tâm và bán kính của các đường tròn sau :
a) x
2
+ y
2
– x + 3y – 4 = 0
b) - x
2
– y

2
+ 4x – 6y + 5 = 0
c) 2x
2
+ 2y
2
– 3x – y - 1 = 0
Giải
4c ;
2
3
b;
2
1
a : có Ta a) −==
−
=
Vậy tâm
2
26
4
4
9
4
1
R kính bánvà )
2
3-
;
2

1
I( =++=
b) – x
2
– y
2
+ 4x – 6y + 5 = 0
x
2
+ y
2
- 4x + 6y - 5 = 0
a = - 2 ; b = 3 ; c = - 5
⇔
Ta có :
Vậy tâm
23594 =++=R kính bánvà I(2;-3)
c) 2x
2
+ 2y
2
- 3x - y - 1 = 0
⇔
x
2
+ y
2
- 3/2 x - 1/2 y - 1/2 = 0
6
2

1
c ;
4
1
b;
4
3
a −=−=−=
Ta có :
Vậy tâm
4
2
2
1
16
1
16
9
R kính bánvà )
4
1
;
4
3
I(
3
=++=
III/ Phương tích của một điểm đối với một đường tròn .
Cho đường tròn (C) : x
2

+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0
và điểm M(x
0
;y
0
) .
P (M/(C)) = IM
2
- R
2

= (x
0
+ a)
2
+ (y + b)
2
- a
2
- b
2
+ c
+ (C) có tâm I(-a;-b) , bán kính R =
+ ta có :
cba
22
−+
= x

0
2 + y
0
2
+ 2ax + 2by + c
IV/ Trục đẳng phương của hai đường tròn .
P (M/(C))
= x
0
2
+ y
0
2
+ 2ax + 2by + c
Vậy