bài giảng Duong tron

Chuyên đề II Đờng tròn
Phơng trình của đờng tròn
I.Kiến thức cơ bản
1.định nghĩa
2.Phơng trình chính tắc , với
( )
I a;b
( )
I ,R
:
( ) ( )
2 2
2
x a y b R + =
3.Phơng trình tổng quát
2 2
2 2 0x y Ax By C+ + + + = ,
2 2
R A B C= +
và
( )
I A; B
4.Bài toán cơ bản:
Bài toán1:Lập phơng trình đờng tròn
1.Biết tâm và bán kính
-Ví dụ:Viết phơng trình đờng tròn, biết tâm
( )
2 1I ;
và Bkính 3R =
2.Đi qua
( )

0 0
A x ; y
và tâm
( )
I a;b
-Ví dụ:Viết phơng trình đờng tròn
( )
C
, biết
( )
C
đi qua
( )
3 1A ;
, và tâm
( )
1 2I ;
3.Đi qua ba điểm có toạ độ cho trớc
-Ví dụ:
a)Viết phơng trình đờng tròn
( )
C
, biết
( )
C
đi qua
( ) ( ) ( )
1 4 4 0 2 2A ; ,B ; ,C ;
b)(ĐHQG-96) Lập phơng trình
( )

C
ngoại tiếp ABC ,3 cạnh có pt lần lợt là:
5 2 2 8y x , y x , y x= = + =
c)(ĐHTNguyên-98)
Cho
ABC

,biết
( )
2 4 0AB : x y + =
,
( )
1 0BC : x y+ =
,
( )
4 2 0AC : x y+ + =
Xác định tâm và tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC
d)Lập phơng trình đờng tròn
( )
C
, biết
( )
C
đi qua
( ) ( ) ( )
2 4 6 2 5 5A ; ,B ; ,C ;
e) Viết phơng trình đờng tròn
( )
C
, biết

( )
C
đi qua
( )
1 2A ;
và qua giao điểm của
( )
7 10 0d : x y + =
và
( )
2 2
2 4 20 0C : x y x y+ + =
4.Đi qua hai điểm và có tâm nằm trên
( )
0: Ax By C + + =
-Ví dụ:
a)Viết ptrình đờng tròn
( )
C
, biết
( )
C
đi qua
( ) ( )
3 1 5 5A ; ,B ;
và tâm nằm trên
Ox
b)Lập pt đờng tròn, biết đi qua
( ) ( )
0 1 1 0A ; ,B ;

và có tâm nằm trên
( )
2 0d : x y+ + =
c) Viết ptrình đờng tròn
( )
C
, biết
( )
C
đi qua
( ) ( )
1 2 2 1A ; ,B ;
và tâm nằm trên
( )
3 4 7 0d : x y+ + =
5.Biết tâm
( )
I a;b
và tiếp xúc với đờng thẳng
( )
0: Ax By C + + =
-Ví dụ:
a)Viết pt
( )
C
,biết tâm
( )
1 1I ;
và
( )

C
tiếp xúc với
( )
3 4 12 0d : x y+ =
b) Viết pt
( )
C
,biết tâm
( )
1 2I ;
và
( )
C
tiếp xúc với
( )
2 2 0d : x y =
6. Đi qua
( )
0 0
A x ; y
, và tiếp xúc với hai trục toạ độ.
-Ví dụ:
a) (ĐHBK-97)Viết pt
( )
C
, biết
( )
C
đi qua
( )

2 1A ;
và tiếp xúc với hai trục toạ độ
b)Đi qua
( )
4 2A ;
và tiếp xúc với hai trục toạ độ
c)Viết phơng trình đờng tròn
( )
C
, biết tâm nằm trên
( )
2 4 0: x y + =
và tiếp xúc với hai trục
toạ độ?
7.Tiếp xúc với hai đờng thẳng
( )
1 1 1 1
0: A x B y C + + =
,
( )
2 2 2 2
0: A x B y C + + =
và có tâm nằm
trên
( )
0: Ax By C + + =
-Ví dụ: Viết pt
( )
C
, biết

( )
C
tiếp xúc với hai đờng thẳng a)
( )
1
2 1 0d : x y+ =
,
( )
2
2 2 0d : x y + =
và có tâm nằm trên
( )
3
1 0d : x y =
b)
( )
1
2 0d : x y =
,
( )
2
2 2 0d : x y + =
và có tâm nằm trên
( )
3
1 0d : x y+ =
8.Có tâm nằm trên
( )
0: Ax By C + + =
, và giao với hai đờng tròn(có pt cho trớc) dới 1 góc

vuông(tt tại giao điểm của đờng tròn này đi qua tâm của đờng tròn kia)
-Ví dụ: a)Viết pt
( )
C
,biết tâm thuộc
( )
2 2 0d : x y+ + =
, và giao với hai đờng tròn
( )
2 2
1
6 0C : x y x+ =
,
( )
2 2
2
8 0C : x y y+ + =
dới 1 góc vuông?
b) Viết pt
( )
C
,biết tâm thuộc
( )
2 2 0d : x y+ + =
, và giao với hai đờng tròn
( )
2 2
1
4 0C : x y x+ =
,

( )
2 2
2
2 0C : x y y+ + =
dới 1 góc vuông?
Bài toán2:Viết phơng trình các tiếp tuyến(tt) của đờng tròn
1)Viết pt tt của
( )
C
:
( ) ( )
2 2
2
x a y b R + = tại
( ) ( )
0 0
M x ; y C
Pt tt:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
0x a x x y b y y + =
-Ví dụ:a)Viết pt tt của
( )
C
:
2 2
2 8 8 0x y x y+ = tại
( )
4 0M ;
b) Viết pt tt của

( )
C
:
2 2
2 6 6 0x y x y+ = , biết tt đi qua
( )
1 1M ;
2)Pt tt của
( )
C
:
( ) ( )
2 2
2
x a y b R + = , biết tt đi qua
( ) ( )
0 0
A x ; y C

Phơng pháp1
b1/ Lập pt
( )

đi qua
( )
0 0
A x ; y
,
( )
( )

( ) ( )
( )
0 0
2 2
0 0
0 0
0 0
0
y k x x y
: n x x m y y ,n m
x x y y

= +


+ = + >


+ =


b2/ Dùng Đkiện tiếp xúc buộc
( )

là tt của
( )
C
( )

la tt của

( )
C <=>

( )
( )
d I , R =
. Từ đó suy ra các tt cần tìm !
-Phơng pháp2
b1/Họ tt của
( )
C
có pt
( ) ( )
d : x a cos y b sin R


+ =
b2/
( ) ( )
0 0
2 2
1
Acos B sin R
A x ; y d
cos sin



+ =

<=>

+ =

cos n
sin m


=

<=>

=

Từ đó suy rat t cần tìm !
-Ví dụ: a)Viết pt tt của
( )
C
:
2 2
2 8 8 0x y x y+ = , biết tt đi qua
( )
4 6A ;
b) Viết pt tt của
( )
C
:
2 2
2 2 1 0x y x y+ + = , biết tt đi qua
( )

2 2A ;
3) Viết pt tt của
( )
C
, biết tt có hệ số góc

cho trớc(Trực tiếp, hoặc gián tiếp)
b1/ Lập pt đờng xiên có hệ số góc

:
( )
0: y x b x y b

= + <=> + + =
b2/
( )

la tt của
( )
C <=>

( )
( )
d I , R =
Từ đó suy ra các tt cần tìm !
-Ví dụ: Viết pt tt của
( )
C
:
2 2

2 6 9 0x y x y+ + = , biết tt :
a) Song song với
( )
2 0d : x y + =
b) Vuông góc với
( )
3 4 1 0: x y =
c) Tạo với
( )
1 0a : x y =
một góc
0
45
4)Viết pt tt chung của hai đờng tròn
( ) ( )
1 2
C & C
Phơng pháp1:
b1/ Ta có:
( )
2 2
0 0: Ax By C ,A B + + = + >
b2/
( )

là tt chung của
( ) ( )
1 2
C & C <=>

( )
( )
1 1
2 2
d I , R
d I , R
=


=


Từ đó suy ra giàng buộc gữa A,B,C suy rat t cần tìm!
-Phơng pháp2:
b1/Họ tt của
( )
1
C
có pt
( ) ( )
1 1 1
d : x a cos y b sin R


+ =
Họ tt của
( )
2
C
có pt

( ) ( )
2 2 2
d : x a cos y b sin R


+ =
b2/
( ) ( )
1 2
C & C
có tt chung
d d

<=>
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
2 2 2
x a cos y b sin R
x a cos y b sin R



+ =

<=> + =


=

2 2
1
U cos V sin W
cos sin


+ =

=>

+ =

sin n
cos m


=

=>

=

Thay vào ta đợc tt cần tìm !
-Ví dụ: viết pt tt chung của
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 2
2 2 1 0 2 1 4C : x y x y & C : x y+ + = + + =
5) Bài toán khác:

1. Lập phơng trình đờng thẳng đi qua
( )
2; 4M
và cắt
( ) ( ) ( )
2 2
: 1 3 4C x y + = tại hai điểm
,A B
sao cho
AM MB=
2.Lập pt
( )

đi qua
( )
3; 4M
và cắt đờng tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 2 4 9x y

+ = tại hai điểm
,A B
sao
cho
2MA MB=
?
4. Cho
( )
2 2

2 4 4 0C : x y x y+ + =
Hãy viết pt các tt kẻ từ
( )
3 5A ;
tới
( )
C
b)Giải sử các tt trên tiếp xúc với
( )
C
tại M & N . Tính MN =?
4. Cho
( ) ( )
2 2
2 4 2 6 0
m
C : x y mx m y m+ + + =
.
a) Tìm
m
để họ
( )
m
C
là đờng tròn?
b) Tìm quỹ tích tâm của
( )
m
C
khi

m
thay đổi
c)Tìm tất cả các điểm cố định mà họ
( )
m
C
đi qua khi
m
thay đổi?
5.Cho
( ) ( )
2 2
2 1 4 5 0
m
C : x y m x my+ + + =
.
a)Tìm tập hợp tâm của họ
( )
m
C
khi
m
thay đổi
b) CMr có hai đờng tròn trong họ
( )
m
C
ttiếp xúc với
( )
2 2

1 0C : x y+ =
6.(ĐHNNI-98)Cho ABC , biết
( ) ( ) ( )
3;1 , 0;7 , 5; 2A B C
a) Cmr:
ABC

vuông , tính diện tích?
b)Giải sử
M
chạy trên
( )

ngoại tiếp
ABC

. Cmr khi ấy trọng tâm
G
của
ABC

luôn chạy
trên một đờng tròn, viết pt chính tắc của đờng tròn đó?
7.Cho
( )
2 2
2 4 4 0C : x y x y+ =
.Hãy viết pt các tt kẻ từ
( )
2 2A ;

tới
( )
C
. Giải sử các tt
tiếp xúc với
( )
C
tại M & N . Tính diện tích
AM N
?
8.Cho
( )
2 2
4C : x y+ =
và
( )
2 4A ;
. Từ kẻ 2tt
1
MT
,
2
MT
tới
( )
C
. Trong đó
1 2
T ,T
là các tiếp

điểm
a)Viết pt
1 2
TT
b)viết pt tt của
( )
C
, bết tt song song với
1 2
TT
II. Bài tập đề nghị
Cho
( )
2 2
2 2 1 0C : x y x y+ + =
. Viết pt tt của
( )
C
, biết tt tạo với
( )
0d : x y+ =
góc
0
60

=
Viết pt tt chung của
( )
2 2
1

6 5 0C : x y x+ + =
và
( )
2 2
2
12 6 44 0C : x y x y+ + =
(ĐHQGHN-97)Cho
( )
2 2
2 4 4 0C : x y x y+ =
. Viết pt
( )

đi qua
( )
2 1M ;
và cắt tại hai
điểm
,A B
sao cho
AM MB=
5.Cho
( ) ( )
2 2
2 2 1 0
m
C : x y m x my+ + =
.
a)Tìm quãy tích tâm của họ
( )

m
C
khi
m
thay đổi
b.Cmr khi
m
thay đổi, họ
( )
m
C
luôn đi qua hai điểm cố đinh. Hãy tìm các điểm đó?
c) khi
2m
=
viết pt các tt kẻ từ
( )
3 0M ;
tới
( )
2
C
?