phân tích mất ổn định tấm kirchhoff sử dụng mô hình phần tử rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC
--------------------

NGUYỄN HỮU LỄ

PHÂN TÍCH MẤT ỔN ĐỊNH TẤM KIRCHHOFF
SỬ DỤNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ RỜI RẠC

Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tp.HCM, 12 - 2015


i

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS. Lương Văn Hải

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Mở Tp.HCM, ngày

tháng

năm 2016.
Thành phần Hội đồng đánh giá đề cương luận văn thạc sĩ gồm:
1............................................................................................
2............................................................................................
3............................................................................................
4............................................................................................
5............................................................................................
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA
XÂY DỰNG VÀ ĐIỆN


ii

ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

KHOA ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: NGUYỄN HỮU LỄ

MSHV: 1386058200016

Ngày, tháng, năm sinh: 21/04/1973

Nơi sinh: Sài Gòn

Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp
I. TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích mất ổn định tấm Kirchhoff sử dụng mô hình phần
tử rời rạc
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
1. Sử dụng các mô hình tính toán để phân tích mất ổn định của tấm.
2. Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để thiết lập công thức tính toán các ví dụ số
3. Kết quả của các ví dụ số sẽ đưa ra các kết luận quan trọng về mất ổn định của
tấm.
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ

: 01/03/2015

IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 01/09/2015
V. HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS. Lương Văn Hải

Tp. HCM, ngày... tháng... năm 2015

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

BAN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

PGS.TS. Lương Văn Hải
TRƯỞNG KHOA XÂY DỰNG VÀ ĐIỆN


iii

LỜI CẢM ƠN

Đề cương Luận văn thạc sĩ Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp nằm
trong hệ thống bài luận cuối khóa nhằm trang bị cho Học viên cao học khả năng tự
nghiên cứu, biết cách giải quyết những vấn đề cụ thể đặt ra trong thực tế xây
dựng… Đó là trách nhiệm và niềm tự hào của mỗi học viên cao học.
Để hoàn thành đề cương luận văn này, ngoài sự cố gắng và nỗ lực của bản thân,
tôi đã nhận được sự giúp đỡ nhiều từ tập thể và các cá nhân. Tôi xin ghi nhận và tỏ
lòng biết ơn đến tập thể và các cá nhân đã dành cho tôi sự giúp đỡ quý báu đó.
Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS. Lương Văn Hải.
Thầy đã đưa ra gợi ý đầu tiên để hình thành nên ý tưởng của đề tài và Thầy góp ý
cho tôi rất nhiều về cách nhận định đúng đắn trong những vấn đề nghiên cứu, cũng
như cách tiếp cận nghiên cứu hiệu quả.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Xây dựng và Điện, trường Đại
học Mở Tp.HCM đã truyền dạy những kiến thức quý giá cho tôi, đó cũng là những
kiến thức không thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa học và sự nghiệp của tôi
sau này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến ThS. Nguyễn Xuân Thăng đã giúp đỡ tôi rất
nhiều trong quá trình thực hiện luận văn này.
Đề cương Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực
của bản thân, tuy nhiên không thể không có những thiếu sót. Kính mong quý Thầy
Cô chỉ dẫn thêm để tôi bổ sung những kiến thức và hoàn thiện bản thân mình hơn.
Xin trân trọng cảm ơn.

Tp. HCM, ngày

tháng 12 năm 2015

Nguyễn Hữu Lễ


iv

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Phần tử rời rạc là lĩnh vực khoa học và công nghệ mà đối tượng nghiên cứu cũng
như thao tác của nó có kích thước và dung sai trong dải từ 0.1 nm đến 100 nm Với
công nghệ này, cho phép chế tạo các thiết bị mới dựa trên các tính chất vật lý quen
biết của nguyên tử và phân tử. Những thiết bị chế tạo dựa vào công nghệ phần tử rời
rạc như MEMS và NEMS có các đặc tính siêu việt như nhỏ hơn, nhanh hơn, bền
hơn hoặc thêm nhiều đặc tính hoàn toàn mới so với các thiết bị được chế tạo trên
nền tảng công nghệ hiện nay. Các thiết bị MEMS và NEMS được cấu thành bởi các
phần tử như dầm, tấm và màng với kích thước rất nhỏ. Cả thí nghiệm và mô phỏng
nguyên tử đều cho kết quả chịu sự ảnh hưởng lớn từ kích thước nhỏ của các kết cấu
này. Với lý thuyết đàn hồi liên tục cổ điển, lý thuyết độc lập với quy mô của kết cấu
thì ta không thể dự đoán được ảnh hưởng của kích thước. Mặt khác, các mô hình
nguyên tử và phân tử thì bị hạn chế bởi khả năng tính toán và không phù hợp vơi
mô hình MEMS/NEMS. Vì vậy lý thuyết liên tục phụ thuộc vào quy mô kết cấu
nhận được nhiều sự chú ý trong việc mô hình các kết cấu và thiết bị có kích thước
nhỏ. Trong đó, lý thuyết cơ học liên tục phi cục bộ khởi xướng bởi Eringen và các
cộng sự được chấp nhận và ứng dụng rộng rãi. Theo lý thuyết phi cục bộ, quan hệ
giữa ứng suất và biến dạng sẽ khác biệt so với định luật Hook theo 1 hệ số ảnh
hưởng của quy mô nhỏ e0 . Một trong số các phương pháp để tính toán hệ số này là
sử dụng mô hình rời rạc tấm. Luận văn này tập trung vào việc phân tích mất ổn định
kết cấu tấm sử dụng mô hình phần tử rời rạc với các điều kiện biên khác nhau như
tấm đơn giản với 4 cạnh tựa đơn, tấm với 4 cạnh ngàm, tấm với 1 cạnh ngàm, 3
cạnh tựa đơn, tấm với 3 cạnh ngàm, 1 cạnh tựa đơn, tấm với 2 cạnh ngàm, 2 cạnh
tựa đơn. Đồng thời kết quả luận văn được so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn
truyền thống, khảo sát sự hội tụ của lực tới hạn của mô hình tấm sử dụng phần tử
rời rạc. Đây là luận văn nghiên cứu chủ yếu mang ý nghĩa về khía cạnh học thuật.
Kết quả nghiên cứu sẽ tạo cơ sở lý thuyết để phát triển các công cụ phân tích tấm
phi cục bộ theo mô hình tấm phần tử rời rạc và ứng dụng trong ngành vi điện cơ.

v

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của
thầy PGS.TS. Lương Văn Hải.
Các kết quả trong luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên
cứu khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc thực hiện của mình.

Tp. HCM, ngày

tháng 12 năm 2015

Nguyễn Hữu Lễ


vi

MỤC LỤC
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ ........................................................................ii
LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................... iii
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ ......................................................................... iv
LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................... v
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ................................................................................. ix
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ........................................................................... xi
MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT ............................................................................xii
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN ................................................................................ 14
1.1 Giới thiệu .................................................................................................... 14
1.1.1 Công nghệ phần tử rời rạc ................................................................14

1.1.2 Lý thuyết phi cục bộ .........................................................................15
1.2 Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài ....................................... 16
1.2.1 Các công trình nghiên cứu trên thế giới ...........................................16
1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước .............................................19
1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu ................................................................... 20
1.4 Cấu trúc luận văn ........................................................................................ 20
CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .................................................................... 22
2.1 Mô hình tấm phi cục bộ .............................................................................. 22
2.2 Biến dạng và moment uốn tấm Kirchhoff ................................................... 22
2.3 Mô hình tấm sử dụng phần tử rời rạc .......................................................... 24
2.4 Giải pháp thực hiện ..................................................................................... 28
2.4.1 Thế năng đàn hồi ..............................................................................28
2.4.2 Thế năng do lực nén ban đầu ............................................................28
2.4.3 Áp dụng nguyên lý Hamilton ...........................................................29
2.5 Lập trình và lưu đồ thuật toán ..................................................................... 32
CHƯƠNG 3. VÍ DỤ SỐ ....................................................................................... 33
3.1 Ví dụ 1: Phân tích dao động tự do tấm chữ nhật có bốn cạnh tựa đơn ....... 37


vii

3.1.1 Bài toán 1: khảo sát sự hội tụ của lực tới hạn của tấm có bốn cạnh
tựa đơn và so sánh kết quả của luận văn với phương pháp phần tử hữu hạn
(sap2000) .....................................................................................................40
3.1.2 Bài toán 2: Khảo sát lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc có bốn cạnh
tựa đơn khi thay đổi chiều dày h .................................................................42
3.1.3 Bài toán 3: Khảo sát lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc có bốn cạnh
tựa đơn khi thay đổi modul đàn hồi E .........................................................43
3.2 Ví dụ 2: Phân tích lực tới hạn tấm phần tử rời rạc có bốn cạnh ngàm ....... 44
3.2.1 Bài toán 5: Khảo sát lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc bốn cạnh

ngàm khi thay đổi độ cứng liên kết .............................................................48
3.2.2 Bài toán 6: Khảo sát sự hội tụ lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc có
bốn cạnh ngàm với các kích thước khác nhau ............................................49
3.3 Ví dụ 3: Phân tích lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc có hai cạnh ngàm, hai
cạnh tựa đơn ................................................................................................ 51
3.3.1 Bài toán 7: Khảo sát sự hội tụ lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc có
hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn .................................................................55
3.4 Ví dụ 4: Phân tích lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc có một cạnh ngàm, ba
cạnh tựa đơn ................................................................................................ 56
3.4.1 Bài toán 10: Khảo sát lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc một cạnh
ngàm, ba cạnh tựa đơn ................................................................................60
3.5 Ví dụ 5: Phân tích lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc có ba cạnh ngàm, một
cạnh tựa đơn ................................................................................................ 61
3.5.1 Bài toán 11: Khảo sát lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc ba cạnh
ngàm, một cạnh tựa đơn ..............................................................................65
3.5.2 Bài toán 12: Khảo sát lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc với các
điều kiện biên khác nhau .............................................................................66
3.6 Ví dụ 6: Khảo sát mất ổn định tấm chữ nhật Kirchhoff phần tử rời rạc với
bốn cạnh tựa đơn theo tỉ lệ cạnh a/b ........................................................... 68
3.6.1 Bài toán 13: Khảo sát lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc theo tỉ lệ
cạnh a/b với điều kiện biên tựa đơn ............................................................71


viii
CHƯƠNG 4. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................... 73
4.1 Kết luận ....................................................................................................... 73
4.2 Kiến nghị ..................................................................................................... 74
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 75
PHỤ LỤC

.......................................................................................................... 80

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG ................................................................................... 96


ix

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1 Cấu trúc của vật liệu phần tử rời rạc ..........................................................14
Hình 2.1. Mô hình tấm phi cục bộ ............................................................................22
Hình 2.2. Mô hình tấm phần tử rời rạc biên ngàm chịu lực nén P ..........................24
Hình 2.3. Biến dạng của tấm khi chỉ đặt một lò xo theo phương x .........................26
Hình 2.4. Biến dạng của tấm khi chỉ đặt một lò xo theo phương y...........................27
Hình 2.5. Lưu đồ thuật toán ......................................................................................32
Hình 3.1. Sơ đồ ví dụ 1 .............................................................................................34
Hình 3.2. Sơ đồ ví dụ 2 .............................................................................................34
Hình 3.3. Sơ đồ ví dụ 3 .............................................................................................35
Hình 3.4. Sơ đồ ví dụ 4 .............................................................................................35
Hình 3.5. Sơ đồ ví dụ 5 .............................................................................................36
Hình 3.6. Sơ đồ ví dụ 6 .............................................................................................36
Hình 3.7. Khảo sát sự hội tụ lực tới hạn của tấm 1m x 1,5m có bốn cạnh tựa
đơn .........................................................................................................41
Hình 3.8. Khảo sát sự hội tụ lực tới hạn của tấm 2m x 2m có bốn cạnh tựa đơn .....41
Hình 3.9. Khảo sát sự hội tụ lực tới hạn của tấm 2m x 2,5m có bốn cạnh tựa
đơn .........................................................................................................42
Hình 3.10. Khảo sát lực tới hạn của tấm 2m x 2m có bốn cạnh tựa đơn khi thay
đổi chiều dày h.......................................................................................43
Hình 3.11. Khảo sát lực tới hạn của tấm 2m x 2m có bốn cạnh tựa đơn khi thay
đổi modul đàn hồi E ..............................................................................44
Hình 3.12. Biểu đồ thể hiện lực tới hạn theo độ cứng của liên kết ...........................49

Hình 3.13. Khảo sát sự hội tụ lực tới hạn của tấm 1m  1.5m bốn cạnh ngàm ..........50
Hình 3.14. Khảo sát sự hội tụ lực tới hạn của tấm 2m  2.5 m bốn cạnh ngàm .........51
Hình 3.15. Khảo sát sự hội tụ lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc 2m  2m hai
cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn .................................................................55


x
Hình 3.16. Khảo sát sự hội tụ lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc 2m  2m một
cạnh ngàm, ba cạnh tựa đơn ..................................................................60
Hình 3.17. Khảo sát sự hội tụ lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc 2m  2m ba
cạnh ngàm, một cạnh tựa đơn ................................................................65
Hình 3.18. So sánh lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc với các điều kiện biên .......67
Hình 3.19. Khảo sát lực tới hạn theo tỉ lệ cạnh a/b với bốn cạnh tựa đơn ................72


xi

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 3.1. Thông số tấm ví dụ 1, 2 ............................................................................33
Bảng 3.2. Thông số tấm ví dụ 3, 4, 5, 6 ....................................................................33
Bảng 3.3. So sánh kết quả tấm phần tử rời rạc bốn cạnh tựa đơn .............................42
Bảng 3.4. So sánh kết quả lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc khi thay đổi độ
cứng liên kết với SAP2000 ....................................................................49
Bảng 3.5. So sánh lực tới hạn tấm phần tử rời rạc bốn cạnh ngàm ..........................51
Bảng 3.6. So sánh lực tới hạn tấm phần tử rời rạc 2m  2m hai cạnh tựa đơn,
hai cạnh ngàm với SAP2000 .................................................................56
Bảng 3.7. So sánh lực tới hạn tấm phần tử rời rạc 2m  2m một cạnh ngàm, ba
cạnh tựa đơn với SAP2000 ....................................................................61
Bảng 3.8. So sánh lực tới hạn tấm phần tử rời rạc 2m  2m ba cạnh ngàm, một
cạnh tựa đơn với SAP2000 ....................................................................66

Bảng 3.9. So sánh lực tới hạn của tấm phần tử rời rạc với các điều kiện biên
khác nhau với phần mềm SAP2000 ......................................................67


xii

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method)

MEMS

Hệ vi điện cơ (Micro Electro Mechanical Systems)

NEMS

Hệ nano điện cơ (Nano Electro Mechanical Systems)

Ma trận và vectơ
K

Ma trận độ cứng

w

Vectơ chuyển vị nút

Ký hiệu

Ux

Thế năng đàn hồi phương x

Uy

Thế năng đàn hồi phương y

T

Động năng



Ứng suất pháp

E

Modul đàn hồi



Biến dạng



Khối lượng riêng

n

Số phần tử theo một phương



Tần số dao động

h

Chiều dày tấm

lx

Chiều dài tấm theo phương x

ly

Chiều dài tấm theo phương y



Hệ số poison

Cx

Độ cứng lò xo theo phương x

Cy

Độ cứng lò xo theo phương y

a

Chiều dài một phần tử theo phương x


xiii

b

Chiều dài một phần tử theo phương y

u

Vectơ chuyển vị

w

Chuyển vị đứng (độ võng)

x

Góc xoay quanh trục x

y

Góc xoay quanh trục y


Tổng quan

14

CHƯƠNG 1.

TỔNG QUAN

1.1 Giới thiệu
1.1.1 Công nghệ phần tử rời rạc
Công nghệ phần tử rời rạc là ngành công nghệ liên quan đến việc thiết kế, phân
tích, chế tạo và ứng dụng các cấu trúc, thiết bị và hệ thống bằng việc điều khiển
hình dáng, kích thước trên quy mô micromet.

Hình 1.1 Cấu trúc của vật liệu phần tử rời rạc
Công nghệ phần tử rời rạc có tiềm năng ứng dụng làm thành phần chủ chốt
trong những dụng cụ thông tin kỹ thuật có những chức năng mà trước kia chưa
có. Chúng có thể lắp ráp trong những vật liệu trung tâm cho điện từ và quang.
Những cấu trúc này là một trạng thái độc nhất của vật chất có những hứa hẹn
đặc biệt cho những sản phẩn mới và rất hữu dụng.
Nhờ vào kích thước nhỏ, những cấu trúc phần tử rời rạc có thể đóng gói chặt lại
và do đó làm tăng tỉ trọng gói. Tỉ trọng gói cao có nhiều lợi điểm: tốc độ xử lý
dữ liệu và khả năng chứa thông tin tăng. Tỉ trọng gói cao là nguyên nhân cho
những tương tác điện và từ phức tạp giữa những phần tử rời rạc. Đối với phần


Tổng quan

15

tử rời rạc, đặc biệt là những phần tử hữu cơ lớn, những khác biệt nhỏ về năng
lượng giữa những cấu hình khác nhau có thể tạo được các thay đổi đáng kể từ

những tương tác đó. Vì vậy chúng có nhiều tiềm năng cho việc điều chế những
vật liệu với tỉ trọng cao và tỉ số của diện tích bề mặt trên thể tích cao, chẳng hạn
như bộ nhớ.
Những phức tạp này hoàn toàn chưa được khám phá và việc xây dựng những kỹ
thuật dựa vào phần tử rời rạc đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc khoa học căn bản tiềm
ẩn trong chúng. Những phức tạp này cũng mở đường cho sự tiếp cận với những
hệ phi tuyến phức tạp mà chúng có thể phô bày ra những lớp biểu hiện trên căn
bản khác với những lớp biểu hiện của cả hai cấu trúc phân tử và cấu trúc ở quy
mô micromet.
Khoa học phần tử rời rạc là một trong những biên giới của khoa học chưa được
thám hiểm tường tận. Nó hứa hẹn nhiều phát minh kỹ thuật lý thú.
1.1.2 Lý thuyết phi cục bộ
Những kết cấu như dầm, tấm và màng với kích thước micro được dùng phổ
biến trong thành phần của các thiết bị MEMS và NEMS. Cả thí nghiệm và mô
phỏng nguyên tử đều cho kết quả chịu sự ảnh hưởng lớn từ kích thước trong đặc
tính cơ học khi kích thước của những kết cấu này trở nên rất nhỏ.
Lý thuyết đàn hồi liên tục cổ điển, lý thuyết độc lập với quy mô, không thể dự
đoán được ảnh hưởng của kích thước. Mặt khác, các mô hình nguyên tử và phân
tử thì bị hạn chế bởi khả năng tính toán và không phù hợp với mô hình
MEMS/NEMS. Vì vậy lý thuyết liên tục phụ thuộc vào quy mô nhận được đông
đảo sự chú ý trong việc mô hình các kết cấu và thiết bị có kích thước nhỏ.
Trong đó, lý thuyết cơ học liên tục phi cục bộ khởi xướng bởi Eringen và các
cộng sự được chấp nhận và ứng dụng rộng rãi.
Lý thuyết đàn hồi phi cục bộ của Eringen (1983) [2] được áp dụng rộng rãi
trong lĩnh vực cơ học phần tử rời rạc nhờ vào khả năng tính toán có xét tới ảnh
hưởng của chiều dài nhỏ của các dầm, cột, vòng, tấm, vỏ. Điểm khác biệt cơ


Tổng quan

16

bản giữa lý thuyết đàn hồi cổ điển và lý thuyết đàn hồi phi cục bộ là định nghĩa
của ứng suất:
-

Lý thuyết đàn hồi cổ điển: ứng suất tại 1 điểm là hàm của biến dạng cục
bộ tại điểm đó

-

Lý thuyết phi cục bộ: ứng suất tại 1 điểm là hàm của biến dạng tất cả các
điểm trong môi trường liên tục

Trong trường hợp vật liệu đàn hồi, 1 hướng, quan hệ ứng suất biến dạng phi cục
bộ được cho bởi

   e0a 

2

d 2
dx 2

 E

(1.1)

trong đó  là ứng suất pháp,  là biến dạng, E là mô đun Young, e0 là hệ số
chiều dài nhỏ và a là chiều dài đặc trưng lấy bằng chiều dài giữa 2 nguyên tử.

Nếu cho e0 bằng không thì ta nhận được định luật Hooke thông thường. Để tính
toán hệ số ảnh hưởng quy mô nhỏ e0 , Wang (2013) [15] đã sử dụng mô hình
dầm phần tử rời rạc làm liên tục hóa bằng các phương pháp củng cố hệ rời rạc,
sau đó so sánh với mô hình dầm phi cục bộ.
1.2 Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài
Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, nhiều nghiên cứu phân tích ứng
xử của các cấu kiện có kích thước rất nhỏ như dầm, cột, tấm, vỏ sử dụng lý
thuyết phi cục bộ đã được thực hiện.
1.2.1 Các công trình nghiên cứu trên thế giới
Lý thuyết cơ học phi cục bộ được giới thiệu bởi nhà khoa học Mỹ Eringen
(1972) [1] và (1983) [2], trong đó giả thiết rằng trạng thái ứng suất tại một điểm
chịu ảnh hưởng của sự biến dạng của tất cả các điểm liên tục, hoàn toàn khác
hẳn với lý thuyết môi trường liên tục cổ điển cho rằng ứng suất tại một điểm chỉ
phụ thuộc vào biến dạng tại điểm đó.
Với mô hình dầm, lý thuyết phi cục bộ đàn hồi được ứng dụng rất nhiều công
trình nghiên cứu. Mô hình dầm dựa trên lý thuyết phi cục bộ đàn hồi được đưa


Tổng quan

17

ra lần đầu tiên bởi Peddieson và cộng sự (2003) [22], Sudak và cộng sự (2003)
[26]. Từ đó rất nhiều bài báo được xuất bản về phân tích đàn hồi phi cục bộ về
uốn, mất ổn định và dao động cho phần tử dạng dầm trong hệ thống cơ học
phần tử rời rạc. Zhang và cộng sự (2004) [42] đã phân tích sự mất ổn định của
ống nano cacbon nhiều lớp chịu ảnh hưởng của hiệu ứng quy mô nhỏ. Zhang và
cộng sự (2005) [43] đã phân tích dao động tự do của ống nano cacbon lớp kép
dựa vào lý thuyết phi cục bộ. Wang và cộng sự (2006) [8] phân tích mất ổn định
của ống nano trên mô hình dầm Timoshenko phi cục bộ. Tiếp tục dao động của

dầm Timoshenko phi cục bộ cũng được khảo sát bởi Wang và cộng sự (2007)
[9]. Wang và cộng sự (2007) [10] khảo sát dao động dầm nano chịu ứng suất
ban đầu. Reddy và cộng sự (2007) [23] đã ứng dụng lý thuyết phi cục bộ vào
các mô hình dầm khác nhau. Challamel và cộng sự (2008) [31] đã tính toán hệ
số quy mô nhỏ cho dầm công xôn phi cục bộ. Tounsi và cộng sự (2008) [3]
khảo sát ảnh hưởng của quy mô nhỏ trong lan truyền sóng trong ống nano kép.
Zhang và cộng sự (2010) [44] đã dựa trên mô hình dầm mới kết hợp phi cục bộ
và lý thuyết Gradient để khảo sát uốn, dao động và mất ổn định. Wang và cộng
sự (2010) [11] đã đưa ra các nghiên cứu gần đây về mất ổn định của ống nano
cacbon. Elishakoff và cộng sự (2012) [21] đã giới thiệu một số kết quả về dao
động và mất ổn định của biến dạng cắt bậc cao của mô hình dầm phi cục bộ.
Một số so sánh mô hình đàn hồi phi cục bộ với mô phỏng phần tử động đã được
tiến hành để tính toán hệ số quy mô nhỏ như Duan và cộng sự (2007) [40] và
Narendar và cộng sự (2011) [36]. Wang và cộng sự (2013) [12] chỉ ra rằng hệ
số ảnh hưởng của quy mô nhỏ không phụ thuộc vào loại phân tích mà phụ thuộc
vào ứng suất dọc trục ban đầu trong dao động của dầm, trong đó mất ổn định là
trường hợp đặc biệt của dầm dao động có ứng suất dọc trục khi tần số dao động
riêng bằng 0. Điều này giải thích tại sao mỗi khi phân tích dao động hay mất ổn
định lại cho một hệ số ảnh hưởng quy mô nhỏ khác nhau.
Đối với mô hình ống, lý thuyết phi cục bộ cũng được áp dụng để phân tích, điển
hình như. Wang và cộng sự (2006) [34] đã xét đến ảnh hưởng nhỏ cho hiệu ứng
vi mô truyền sóng của ống đôi nano cacbon có tường bao quanh. Wang và cộng


Tổng quan

18

sự (2006) [35] nghiên cứu dao động của ống nano cacbon sử dụng lý thuyết cơ
học phi cục bộ liên tục. Yoon và cộng sự (2003) [24] đã tính toán dao động của

ống nano cacbon trong nhiều lớp. Ru và cộng sự (2000) [13] tính toán tải trọng
uốn tới hạn của ống nano cacbon. Pradhan (2008) [37] phân tích phi tuyến cho
các ống nano cacbon.
Một số ứng dụng lý thuyết phi cục bộ để giải quyết mô hình tấm cũng được đề
xuất. Naderi và Saidi (2003) [4] sửa đổi lý thuyết phi cục bộ của tấm Midlin
cho phân tích tải tới hạn của tấm nano. Pin Lu và cộng sự (2007) [33] đề xuất lý
thuyết phi cục bộ đàn hồi của tấm. Pradhan (2008) [38] áp dụng lý thuyết phi
cục bộ cho tính toán dao động của tấm. Jomehzadeh và cộng sự [18] áp dụng
giải pháp Levy cho tính toán dao động tự do của tấm có xét đến ảnh hưởng của
chiều dài tỉ lệ nhỏ. Wang và cộng sự (2010) [14] đưa ra ảnh hưởng của lý
thuyết cơ học phi cục bộ lên dao động của tấm. Huu-Tai Thai và cộng sự (2011)
[20] đã sử dụng phương pháp Levy để phân tích dao động tự do của tấm trực
hướng dựa trên việc chỉnh sửa lý thuyết tấm. Mohammadi và cộng sự (2013)
[30] sử dụng giải pháp Levy cho phân tích phi cục bộ của dao động cơ nhiệt của
tấm trực hướng trong môi trường đàn hồi. Shuohui Yin và cộng sự (2014) [39]
đã tính toán cho tấm vật liệu chức năng sự dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc 1
theo các hàm dạng ISO không có hiện tượng cắt khóa. Yufeng Xing và cộng sự
((2008) [45] đề xuất giải pháp mẫu khép kín cho phân tích dao động tự do của
tấm chữ nhật Mindlin. Gupta (2009) [6] đã phân tích dao động tự do của tấm
kép chữ nhật hai hướng theo cấp số nhân biến dày. Duan và cộng sự (2007) [16]
đưa ra giải pháp chính xác để tính toán tấm tròn chia nhỏ kích thước micro và
nano dựa trên lý thuyết phi cục bộ. Behfar và cộng sự (2005) [7] đã phân tích
dao động của nhiều tấm grapheme với kích thước nano trong môi trường đàn
hồi. Jomeh Zadeh (2011) [19] kết nối phương trình phi cục bộ đàn hồi cho phân
tích dao động ba chiều của tấm nano.
Với sự tương đồng trong ứng xử của mô hình phần tử rời rạc và mô hình phi
cục bộ, mô hình phần tử rời rạc cũng trở thành một công cụ mạnh mẽ và đơn
giản trong việc tính toán ứng xử các cấu kiện như dầm, tấm… Challamel và

Tổng quan

19

cộng sự (2013) [32] đã phân tích và hiệu chỉnh chiều dài cho tải tới hạn của mô
hình phần tử rời rạc. Wang và cộng sự (2013) [15] đã phân tích tải tới hạn và
dao động cho dầm giữa lý thuyết phần tử rời rạc và lý thuyết phi cục bộ của
Eringen. Tuy nhiên, hiện nay vẫn chưa có nghiên cứu nào sử dụng mô hình
phần tử rời rạc để phân tích mất ổn định cho tấm. Luận văn này tập trung vào
phân tích mất ổn định cho tấm sử dụng mô hình phần tử rời rạc.
1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước
Hiện nay, ở trong nước việc nghiên cứu về các kết cấu có kích thước nano rất ít.
Một số nghiên cứu về vấn đề này như Lê Minh Đức (2008) [46] tổng hợp vật
liệu nano composite dạng vỏ-lõi trên cơ sở polimer dẫn điện. Huỳnh Anh
Hoàng và cộng sự (2010) [47] đã tối ưu hóa quá trình tổng hợp cacbon nano
ống từ LPG. Phạm Như Phương và cộng sự (2011) [48] tổng hợp nano TiO2
dạng ống bằng phương pháp thủy nhiệt.
Lý thuyết phi cục bộ có thể phản ánh chính xác ứng xử của các kết cấu phần tử
rời rạc. Điều mà lý thuyết đàn hồi cục bộ cổ điển không làm được. Hệ số ảnh
hưởng của quy mô nhỏ e0 trong lý thuyết phi cục bộ được xác định bằng nhiều
phương pháp như thí nghiệm, mô phỏng phân tử, so sánh với mô hình sóng
phân tán của Born-Karman. Nhưng các phương pháp trên đều rất phức tạp và
khó khăn trong tính toán và kết quả có được phụ thuộc vào loại phân tích dao
động hay mất ổn định. Sự ra đời của mô hình phần tử rời rạc đã đem lại phương
pháp mới tính toán hệ số ảnh hưởng của quy mô nhỏ. Tuy nhiên, hiện nay ở
trong nước vấn đề về mô hình phần tử rời rạc vẫn chưa được nghiên cứu nhiều.
Luận văn thạc sĩ Phạm Xuân Tùng (2014) [49] đã phân tích dao động và mất
ổn định của dầm dựa trên mô hình vi kết cấu. Luận văn thạc sĩ Lê Văn Trình
(2015) [50] đã phân tích dao động tự nhiên của tấm sử dụng mô hình vi kết cấu.
Chưa có công trình nghiên cứu sử dụng mô hình phần tử rời rạc để phân tích

mất ổn định cho tấm. Luận văn này tập trung vào phân tích mất ổn định cho tấm
sử dụng mô hình phần tử rời rạc.


Tổng quan

20

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu
Mục tiêu của luận văn nhằm phân tích mất ổn định của mô hình tấm phần tử rời
rạc, áp dụng nguyên lý Hamilton để rút ra phương trình đăc trưng, từ đó tính ra
lực mất ổn định.
Để đạt được mục tiêu trên, các vấn đề nghiên cứu trong phạm vi luận văn sẽ
được thực hiện:
-

Thiết lập các phương trình năng lượng như năng lượng biến dạng đàn
hồi, thế năng do ứng suất ban đầu.

-

Áp dụng nguyên lý Hamilton để rút ra được phương trình đặc trưng, từ
đó tính được lực mất ổn định.

-

Phát triển thuật toán, sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để xây dựng
chương trình tính toán.

-

Kết quả thu được so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn truyền
thống.

-

Khảo sát sự hội tụ của mô hình tấm sử dụng phần tử rời rạc.

1.4 Cấu trúc luận văn
Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:
Chương 1: giới thiệu tổng quan về mô hình tấm sử dụng phần tử rời rạc,
tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước, cũng như mục tiêu và
hướng nghiên cứu của đề tài.
Chương 2: trình bày cách thiết lập phương trình đặc trưng để rút ra lực
mất ổn định.
Chương 3: trình bày các ví dụ số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trình
Matlab.
Chương 4: đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và
kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai.
Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích
nghiên cứu của đề tài.


Tổng quan

21

Phụ lục: 1 số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số
trong Chương 3.

Cơ sở lý thuyết

22

CHƯƠNG 2.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này sẽ trình bày lý thuyết phi cục bộ của Eringen ứng dụng trên tấm và
phương pháp phân tích mất ổn định của tấm phần tử rời rạc. Ứng xử phi cục bộ của
một mô hình tấm sử dụng phần tử rời rạc về toán học tuân theo phương trình sai
phân hữu hạn. Do đó, ta có thể thiết lập được phương trình để phân tích ứng xử của
tấm Kirchhoff. Tuy nhiên trong luận văn này chỉ phân tích mất ổn định của tấm
Kirchhoff.
2.1 Mô hình tấm phi cục bộ
Việc áp dụng lý thuyết phi cục bộ vào tấm xuất phát từ việc tích phân trên một miền
diện tích tấm.

Hình 2.1. Mô hình tấm phi cục bộ

-

Biểu thức quan hệ giữa ứng suất và biến dạng phi cục bộ được cho bởi:

  (e0a)2 ''  E
trong đó:
e0

: Hệ số chiều dài nhỏ

a

: Chiều dài đặc trưng giữa 2 nguyên tử

2.2 Biến dạng và moment uốn tấm Kirchhoff
Véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tấm Kirchhoff được tạo bởi:

(2.1)


Cơ sở lý thuyết

23

u   w  x

 y 

T

(2.2)

Các thành phần trong mặt phẳng u , v và w được biểu diễn như sau:
u  x, y, z   z  x ( x, y )

 v ( x , y , z )  z  y ( x, y )
 w  x , y , z   w 0 ( x, y )


 h h
( x, y )  , z    ; 
 2 2

(2.3)

Từ (2.3), ta có được biến dạng uốn của tấm:
T

 b   x  y  xy   z   x , x

 y, y

 x , y   y , x 

T

(2.4)

Từ biến dạng uốn của tấm ta có được ứng suất uốn của tấm
T

 b   x  y  xy   D b  Dz   x , x

 y, y

 x , y   y , x 

T

(2.5)

Với D là độ cứng của tấm được xác định như sau


1 
0 

E 
D
 1
0 
2 
1  
1  
0 0

2 


(2.6)

Moment uốn của tấm được xác định như sau
 M xx  h 2
  x, x 
 D11






 M yy    Dz   y , y zdz   D21
 M  h 2
   
 0
y,x 
 y
 x, y

D12
D22
0

0    x, x 


0    y , y 

D66  
 x, y   y,x 

(2.7)

Với D11 , D22 , D12 , D21 và D66 được xác định như sau:
Eh3
D11  D22 
12(1   2 )

 Eh3
D12  D21 

12(1   2 )
Gh3
D66 
12

(2.8)


Cơ sở lý thuyết

24

2.3 Mô hình tấm sử dụng phần tử rời rạc
Xem xét mô hình tấm được cấu thành từ n phần tử lặp lại có chiều dài là a x b
được nối bằng các lò xo có độ cứng C x và C y , nên tổng chiều dài tấm có được là
L1  n  a , L2  n  b . Chiều dài phần tử a x b liên quan đến khoảng cách giữa các

nguyên tử về mô hình vật lý phần tử rời rạc, liên quan trực tiếp đến sự rời rạc của
nguyên tử trong vật chất. Hình 2.2 là ví dụ tấm với biên ngàm.

Hình 2.2. Mô hình tấm phần tử rời rạc biên ngàm chịu lực nén P

Xét moment tại một lò xo theo phương x ta có
M xxi  Cx ( xi   x (i 1) )  Cx  x , x

(2.9)

Tương tự đối với phương y và xy ta cũng có
M yy  C y  y , y

(2.10)

M xyi  Cxy (  x ,y   y , x )

(2.11)