Bài giảng Chương 2 Toán cao cấp C2

Chương 2
§1. Hệ phương trình tuyến tính
1. Định nghĩa
1.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính là một hệ thống gồm m phương trình bậc nhất n ẩn có
dạng sau
 a11 x1  a12 x2
a x  a x
 21 1
22 2





am1 x1  am 2 x2

 ... 

a1n xn



b1

 ...  a2 n xn
  


 b2
.

 

 ...  amn xn

 bm

(2.1)

trong đó các số aij gọi là các hệ số, các số bi gọi là các hệ số tự do và x1 , x2 ,..., xn là
các ẩn số.
1.1.1 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
Xét hệ phương trình tuyến tính (2.1). Đặt
 a11 a12

a
a22
A   21
 ... ...

 am1 am 2

... a1n 

... a2 n 
,
... ... 

... amn 

 x1 

 
x
X  2,
 ... 
 
 xn 

 b1 
 
b
B 2 
 ... 
 
 bm 

(2.2)

Khi đó hệ phương trình tuyến tính (3.1) có thể được viết lại như sau
A. X  B

(2.3)

trong đó A được gọi là ma trận các hệ số, B được gọi là cột các hệ số tự do và X
được gọi là cột các ẩn.
Ma trận A có được bằng cách viết thêm vào bên phải của ma trận A cột hệ số tự do
B , được gọi là ma trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính (2.1).

 a11

a

A   21
 ...

 am1

a12
a22
...
am 2

... a1n b1 

... a2 n b2 
... ... ... 

... amn bm 

(2.4)

1.2 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình tuyến gồm m phương trình , n ẩn được gọi là thuần nhất nếu
b1  b2  ...  bm  0 .

1


 a11 x1  a12 x2
a x  a x
 21 1
22 2




 
am1 x1  am 2 x2

 ...  a1n xn
 ...  a2 n xn

 0
 0

  

 ...  amn xn

 
 0

1.3 Hệ Crammer
Hệ phương trình tuyến tính (2.1) được gọi là hệ Cramer nếu m  n và det  A  0 .
 a11 x1  a12 x2
a x  a x
 21 1
22 2



 
an1 x1  an 2 x2

 ... 

a1n xn

 b1

 ...  a2 n xn
  

 ...  ann xn

 b2
 
 bn

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (2.1) là một bộ gồm các số  c1 , c2 ,..., cn  thỏa
mãn (2.1).
Ví dụ 1.
a)

 x1  7 x2

2 x1  3x2

 2 x3
 x3

 0
là một hệ hai phương trình tuyến tính thuần nhất

 0

2 x1  x2

 x1  3x2

 5
là một hệ hai phương trình tuyến tính không thuần nhất
 1

ba ẩn.
b)
hai ẩn.
c)

2 x1  x2  x3  1

Hệ phương trình  x1  x2  x3  4 Đây là một hệ Crammer do det A  7  0
 x  x  2 x  3
3
 1 2

và số phương trình là 3 bằng với số ẩn.
d)

Hệ phương trình thuần nhất luôn có nghiệm, trong đó có nghiệm là bộ

 x1 , x2 ,..., xn    0,0,...,0 . Nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường.
Ví dụ 2. Các hệ sau đây hệ nào là hệ thuần nhất, Crammer

 x1 2x 2

a) 2x1 3x 2

5x 2


3x 3  4
x3  1
6x 3  0

 x1 2x 2

b) 2x1 3x 2

5x 2


3x 3  0
x3  0
6x 3  0

2x1 3x 2
3x 5x

2
c)  1
 x1  x 2
5x1 8x 2

4x 3
6x 3
x3
10x 3

2x1 3x 2
3x 5x

2
d)  1
 x1  x 2
5x1 8x 2

4x 3
6x 3
x3
10x 3

6
8
3
 14

2

0
0
0
0

 x 2y 5z  4t  0

e) 
3y  z  3t  0
4x 2y 4z  t  0


2x 4y 5z  0

f)  x 2y z  0
2x 4y 7z  0


2. Tính chất
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất chỉ có 2 khả năng xảy ra: Hoặc có vô số
nghiệm hoặc chỉ có nghiệm duy nhất là  0,0,...,0 .
Định lý 2.1 Một hệ phương trình tuyến tính luôn chỉ có 3 khả năng sau xảy ra: hoặc
có nghiệm duy nhất, hoặc có vô số nghiệm, hoặc vô nghiệm.
3. Ẩn tự do, ẩn cơ sở
3.1 Ẩn tự do
Ẩn tự do là ẩn mà giá trị nhận được là một số thực tùy ý thuộc  .
Trong tính tóan người ta thường kí hiệu là x     ( nếu x là ẩn tự do)
3.2 Ẩn cơ sở
Ẩn cơ sở hay còn gọi là ẩn phụ thuộc là ẩn mà giá trị nhận được phụ thuộc vào một
hay nhiều ẩn tự do.
4. Định lí Cronecker – Capelli
Hệ phương trình (2.3) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của
ma trận bổ sung A , nghĩa là

 

r  A  r A .

Định lý 2.2 Giả sử A là dạng ma trận hóa của hệ phương trình tuyến tính A. X  B thì

 

 

r A  r  A hoặc r A  r  A   1 . Hơn nữa

a) Nếu r  A   r  A   1 thì hệ vô nghiệm.
b) Nếu r  A  r  A  n , n là số ẩn số, thì hệ có nghiệm duy nhất.
c) Nếu r  A   r  A   r  n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n  r tham số.

3


§2. Giải hệ phương trình tuyến tính
1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Định lý 2.3 Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương nếu hai ma trận
mở rộng của chúng tương đương nhau, nghĩa là có thể biến đổi từ ma trận này thành
ma trận kia qua một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp theo dòng.
Dựa vào định lý 3.2, ta có phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính như sau:
Xét hệ phương trình tuyến tính
A. X  B

và ma trận mở rộng của nó là A .


Dùng các phép biến đổi sơ cấp theo dòng biến đổi ma trận A về các dạng ma


trận đơn giản (ma trận tam giác trên hoặc ma trận bậc thang theo dòng), kí hiệu là A .




Giải hệ phương trình tương ứng với ma trận mở rộng là A .

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
3x1  2 x2

 x1  x2
4 x  x
2
 1



x3

 5



x3

 0

 5 x3

 3

Giải:
Ma trận A của hệ này là
3 2 1 


A   1 1 1
 4 1 5 


 3 2 1 5


Nên ma trận mở rộng A   1 1 1 0  .
 4 1 5 3 



Ta có
 3 2 1 5
 1 1 1 0  d 3d  1 1 1 0 
 1 1 1 0 

 d1  d2 
 d32  4 d11 
 d3  5 d 2 


 1 1 1 0    3 2 1 5    0 1 4 5    0 1 4 5  .
 4 1 5 3 
 4 1 5 3 
 0 5 9 3 
 0 0 11 22 








 1 1 1 0 


Do đó A   0 1 4 5  .
 0 0 11 22 






Hệ phương trình ứng với ma trận mở rộng A là
4


 x1  x 2  x3  0


  x2  4 x3  5

11x3  22


Giải hệ này thật dễ dàng. Từ phương trình cuối, ta được x3  2 . Thế x3 vào phương
trình thứ hai, ta được x2  3 . Thế x2 , x3 vào phương trình đầu ta được x1  1 .
Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau
2 x1  x2  x3  1

a)  x1  x2  x3  4
 x  x  2 x  3
3
 1 2
x


d) 
2 x



x







f )
3x1



3x


 1



y

 x1  x2  2 x3  4

b) 2 x1  3x2  3x3  3
5 x  7 x  4 x  10
2
3
 1
 0

 y  3z  3
 2y  z  3

 x1  2 x2  3x3  2

c) 2 x1  3x2  3x3  3
5 x  7 x  4 x  4

2
3
 1

 y z
3



e) 3x 5 y 9 z  2



 x 3 y 3z  3


3x
 6x
 6 x  4 x  5
2
3
4
5
 7 x  8x
 5x  8x  9
2
3
4
5
 9 x  12 x  9 x  6 x  15

2
3
4
5

2. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:

x  2y  z  0



a ) 2 x  4 y  z  0



 x  2y  z  0


x1  2 x2



c) 2 x1  4 x2




3x1  6 x2


x  y 
z
 0



b) 2 x  3 y 
5z
 0



3x  my  (m 1) z  0


 x3  2 x4  0
 x3  3x4  0
 x3  4 x4  0

1 2 1 


Đối với câu a ta có ma trận mở rộng A cũng là ma trận hệ số A=A= 2 4 1  . Từ đây


1 2 -1
1 2 1 
1 2 1 
1 2 1 



 d 2  d 2  2d1 


0 0 0  d 2  d3 0 0 2 . Vậy hệ phương trình
ta có A= 2 4 1 






 d3  d3  d1 



1 2 -1  0 0 2
0 0 0 

viết lại như sau

x 2 y  z  0


 z  0, x  y  0 . Ta nhận xét rằng chỉ có một phương trình


2 z  0




nhưng đến hai ẩn. Vậy sẽ phải có một ẩn tự do.
5


Chọn y là ẩn tự do nên ta đặt y      x   . Nghiệm tổng quát của hệ phương
trình là (, , 0) . Từ nghiệm tổng quát ta có thể tìm được nghiệm riêng cho hệ
phương trình trên khi gán cho  một giá trị cụ thể, chẳng hạn như với
  2  (2, 2, 0) là một nghiệm riêng của hệ.

Câu b, c làm tương tự.
Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:
 x  y  z t u  0




3x 2 y  z t 3u  0


a) 
y
2 z 2t 6u  0


5 x 4 y 3z 3t u  0









2 x  y z t u  1



 x  y  z t 2u  0
b) 

3x 3 y 3z 3t 4u  2




4 x 5 y 5 z 5t 7u  3

3. Phương pháp Cramer
Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn và n phương trình
 a11 x1  a12 x2
a x  a x
 21 1
22 2






an1 x1  an 2 x2

 ... 

a1n xn

 b1

 ...  a2 n xn

 b2

  

 ...  ann xn

 
 bn

Đặt
 a11 a12 ... a1n 


a21 a22 ... a2 n 

A
 
   



 a1n an 2 ... ann 

và

 b1 
 
b
B 2

 
 bn 

Với mỗi j  1,..., n ta gọi A j là ma trận có được từ ma trận A bằng cách thay cột j của
A bởi ma trận cột B .

 a11 a12

 a21 a22
Aj   a31 a32


 
a
 n1 an 2

...
...
...

...

b1
b2
b3

bn

...
...
...

...

a1n 

a2 n 
a3n 

 
ann 

Cột j

Định lý 2.4 Nếu  x1 , x2 ,..., xn  là một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính A. X  B
thì
A x j  Aj ,

j  1, 2,..., n

(2.5)

Định lý 2.5 Xét hệ phương trình tuyến tính A. X  B . Khi đó
i) Nếu A  0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là  x1 , x2 ,..., xn  , với
6


xj 

Aj
A

.

(2.6)

ii) Nếu A  0 và tồn tại j  1, 2,..., n sao cho A j  0 thì hệ phương trình vô nghiệm.
iii) Nếu A  0 và A j  0, j  1, 2,..., n thì hệ phương trình không có nghiệm duy nhất
(nghĩa là có thể vô nghiệm hoặc có thể có vô số nghiệm).
Trong trường hợp (iii), muốn biết hệ phương trình vô nghiệm hay có vô số nghiệm thì
ta phải dùng phương pháp Gauss-Jordan để giải.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình sau
2 x1  3x2

 x1  x2
3x  x
2
 1



x3

 1

 x3
 2 x3

 6
 1

Giải:
Ta có
2 3
A1
3

1
1  23  0 .
2

1
1

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất, theo công thức (3.6), ta tính
1 3
A1  6
1

1
1

2 1

1
1  23 ,
2

1

2 3 1

A2  1 6 1  46 , A3  1
3 1 2
3

1
1

6  69 .
1

Vậy
x

A1 23

 1,
A 23

x2 

A2 46
A
69

 2 , x3  3 
 3.
A
23
A 23

Chú thích: Phương pháp giải hệ phương trình bằng cách áp dụng định lý trên được gọi
là phương pháp Cramer. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi giải và biện luận hệ
phương trình trong trường hợp số ẩn bằng số phương trình. Tuy nhiên, phương pháp
Cramer chỉ mang ý nghĩa về mặt lý thuyết nhiều hơn về mặt hực hành, vì nếu muốn
giải n phương trình tuyến tính n ẩn, ta phải tính  n  1 định thức cấp n .
Ví dụ 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau
 x1

a) 2 x1
 mx
 1




2 x2
 m  2  x2







x2



2 x3
 m  5  x3

 m  1 x3

mx1  x2


0


 x1 mx2
.
b)
2


x1
 x2

 2









7

 x3

1

 x3

m

mx3  m 2


4. Phương pháp Gauss và phương pháp Gauss-Jordan
4.1 Phương pháp Gauss
Dựa vào định lý 3.5 và định lý 3.6, chúng ta có thuật toán sau để giải hệ phương trình
tuyến tính
A. X  B

Bước 1. Lập ma trận bổ sung A :
A   A B

.

Bước 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận A đưa ma trận A về
dạng bậc thang dòng.
Bước 3. Căn cứ vào hạng của ma trận A và của ma trận A để kết luận về số nghiệm
của hệ phương trình.


Nếu r  A  r  A thì hệ vô nghiệm.



Nếu r  A  r  A  n thì hệ có nghệm duy nhất.



Nếu r  A   r  A   r  n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n  r tham số.

Ví dụ 7. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss
 x1  3x2

 x1  2 x2
2 x  11x
2
 1



5 x3

 3x3

 12 x3



7 x4

 4 x4
 25 x4



9 x5

 5 x5
 22 x5

 1
 2.
 4

Giải.
 1 3 5 7 9 1  d d
1 3 5
7
9 1

 d32  21d1 

A   1 2 3 4 5 2    0 5 2 11 4 1 
 2 11 12 25 22 4 

 0 5 2 11 4 2 




1 3 5
7
9 1



  0 5 2 11 4 1  .
0 0 0
0
0 3 

d3  d 2

Ta thấy rằng r  A  2 vì

1

3

0 5

 

1

3

1

 5  0 và r A  3 vì 0 5 1  15  0
0 0 3

Vậy r  A   r  A   1 nên hệ vô nghiệm.
Ví dụ 8. Giải các hệ phương trình sau

8


 x1  5 x2

a) 2 x1  x2
5 x  3 x
2
 1

 4 x3
 2 x3
 8 x3

 3x4
 x4
 x4

 x  y  z t u
7





3x 2 y  z t 3u  2



b) 
y
2 z 2t 6u  23


5 x 4 y 3z 3t u  12







 1
 0.
 1

2 x  y z t u  1



 x  y  z t 2u  0

c) 

3x 3 y 3z 3t 4u  2




4 x 5 y 5 z 5t 7u  3

2 x 2 y  z t
u
1



 x 2 y z t 2u
1
d) 

4 x 10 y 5 z 5t 7u
1




2 x 14 y 7 z 7t 11u  1

4.2 Phương pháp Gauss-Jordan
Định nghĩa Nếu ma trận cuối cùng thu được trong thuật toán Gauss-Jordan có dạng

 A ' B ' thì

A ' được gọi là ma trận rút gọn theo dòng từng bậc của A (hay nói tắt là

ma trận rút gọn), kí hiệu RA .
Mục đích của phương pháp này để việc tính các ẩn chính theo tham số được dễ dàng
hơn, ta có thể biến đổi ma trận A về dạng bậc thang dòng rút gọn. Phương pháp này
được minh họa cụ thể trong ví dụ 9 (b) bên dưới.
Ví dụ 9. Cho hệ phương trình
 x1  2 x2

 x1  x2
3x  6 x
2
 1

 5 x3
 3x3


x3

 9
 2 .
 25

Ta có ma trận mở rộng của hệ phương trình là
 1 2 5 9 



A   1 1 3 2  .
 3 6 1 25 



Ma trận cuối cùng thu được trong thuật toán Gauss-Jordan là
1 0 0 2 


A   0 1 0 3  .
 0 0 1 1 




Do đó ma trận thu gọn theo dòng từng bậc là
1 0 0


RA   0 1 0  .
0 0 1



Nhận xét:

9


Trong quá trình biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận bổ sung A , ta cần lưu ý các

điểm sau:


Nếu thấy xuất hiện một dòng bằng không thì có thể xóa bỏ dòng đó.



Nếu thấy xuất hiện hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau thì xóa đi một dòng.



Nếu thấy xuất hiện một dòng dạng  0 0 ... 0 a  ,

a  K \ 0

(Tức là dòng chỉ có một phần tử duy nhất khác không ở cột tự do) thì kết luận ngay hệ
vô nghiệm ma không cần biến đổi tiếp.
Ví dụ 10. (ví dụ tổng hợp các phương pháp) Giải các hệ phương trình sau
 x1  x2

a) 2 x1  x2
 x  2x
2
 1



x3

 2

 2 x3
 3x3




 3x2

 4 x3

 5 x4

 13

 6 x2
 9 x2




x3
x3

 x4
 2 x4




14
13

 3x2

 2x3

 4 x4



9

 x1  4 x2
2 x  3x

2
c)  1
 x1  7 x2
3x1  x2

 3x3
 5 x3
 2 x3

 22
 12
 34

 2 x3



 2 x1  x2

d)  x1  2 x2
x  x
2
 1

 3x3
 x3

 x4
 3x4

 1
 3

 2 x3

 2 x4



2 x1
4 x
 1
b) 
6 x1

2 x1

6
2

0

4

Giải.
1 1 1
a) Ta có det  A  2 1 2  18  0 ,
1 2 3

Hệ là hệ Cramer, ta tính nghiệm theo công thức (3.6)
2 1 1
det  A1   6 1 2  18 ,
2

2

1 2 1
det  A2   2 6 2  36 ,

3

1

2

3

1 1 2
det  A3   2 1 6  18
1 2 2

Do đó nghiệm duy nhất của hệ là x1  1, x2  2, x3  1 .
10


b) Nhận xét: Hệ phương trình đã cho là một hệ gồm 4 phương trình và 4 ẩn số. Tuy
nhiên ta có thể dễ dàng kiểm tra rằng A  A1  A2  A3  A4  0 . Do đó ta không thể
giải hệ này bằng phương pháp Cramer được mà phải giải hệ bằng phương pháp Gauss.
Lập ma trận bổ sung và tiến hành các bước biến đổi sơ cấp theo dòng:
2

4
A
6

2

3 4

5 13 
 2 3 4 5 13 
 d 2  2 d1
 dd32 



d3 3 d1
6 1 1 14  d4 d4  d1  0 0 9 11 40 

 0 0 13 13 52 
9 1 2 13 



3 2 4 9 
9 22 
0 0 2

Chia dòng ba cho 13 rồi đổi chỗ dòng hai và ba cho nhau, ta có
 2 3 4 5 13 
 2 3 4 5 13 

 d3  d3  9 d 2 

d4 d4  2 d2
 0 0 1 1 4  
 0 0 1 1 4 
 0 0 9 11 40 
 0 0 0 2 4 




 0 0 2 9 22 
 0 0 0 7 14 

Xóa dòng bốn (vì dòng ba và dòng bốn tỉ lệ với nhau), rồi chia dòng ba cho  2 ta có
 2 3 4 5 13 


 0 0 1 1 4 
 0 0 0 1 2 



 

rank  A  rank A  3 .

Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với hệ
2 x1






 3x2

 4 x3
x3

3x  5

 5 x4  13  x1  2
2

 x4  4
 x  K
.
 2
x4  2
 x3  2

x2  K
 x4  2

Nhận xét: Để việc tính các ẩn chính theo tham số được dễ dàng hơn, ta có thể biến đổi
A về dạng bậc thang dòng rút gọn. Trong ví dụ này ta có thể biến đổi tiếp tục như sau:

 2 3 4 5 13  d d  d
 2 3 4 0 3 

 d12d125 d33 

 0 0 1 1 4    0 0 1 0 2 
 0 0 0 1 2 
 0 0 0 1 2 






3
5
1  2 0 0 2 

 2 3 0 0 5 
d


 d1  21 
d1  d1  4 d 2

0
0
1
0
2

 0 0 1 0 2 


 0 0 0 1 2 
 0 0 0 1 2 







Ma trận sau cùng có dạng bậc thang dòng rút gọn, ta dễ dàng thấy được
11


3

5

 x1  2 x2  2

 x2  K
 x3  2

 x4  2

Đây chính là phương pháp Gauss-Jordan.
c) Ta sẽ giai hệ này bằng phương pháp Gauss-Jordan, nghĩa là sẽ thực hiện các phép
biến đổi sơ cấp trên dòng của A cho đến khi thu được dạng bậc thang dòng rút gọn.
 1 4 3 22 
1
 d 2  2 d1

 dd32 

d3  d1
2 3 5 12  d4 d4 3d1  0

A

 1 7 2 34 
0



 3 1 2 0 
0

4

3 22 

11 1 56 
11 1 56 

11 11 66 

Xóa dòng ba (vì dòng ba và dòng hai giống nhau), ta được
 1 4 3 22 
 1 4 3 22 
 1 4 3 22 
d

 d3  d3  d 2 
 d3  103 

 0 11 1 56    0 11 1 56    0 11 1 56 
 0 11 11 66 
 0 0 10 10 
 0 0 1 1 






 1 4 0 19  d2  d2  1 4 0 19 

1 0 0 1 

 d3 11d3 
 d1  d1  4 d2 

  0 11 0 55  
  0 1 0 5    0 1 0 5 
 0 0 1 1 
 0 0 1 1 
 0 0 1 1






d1  d1  3 d3
d 2  d 2  d3

Rõ ràng, hệ có nghiệm duy nhất là: x1  1, x2  5, x3  1 .
d) Lập ma trận bổ sung A và thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của A , ta
có:
 2 1 3 1 1 
 1 2 1 3 3  d  d  2 d   1 2  1 3 3 

 d1  d2 
 d32 d32  d1 1 

A   1 2 1 3 3    2 1 3 1 1 
 0 3 1 5 5

1 1 2 2 4
1 1 2 2 4
 0 3 1 5 7






 1 2 1 3 3 


  0 3 1 5 5  .
 0 0 0 0 2


d3  d3  d 2

Từ dòng ba của ma trận cuối cùng, ta có thể kết luận hệ phương trình đã cho vô
nghiệm.
4. Ứng dụng
4.1 Mô hình cân bằng thị trường.

12


Thị trừơng gọi là cân bằng khi lượng cung = lượng cầu (giao điểm của đường cung và
đường cầu). Giá P0 và lượng Q0 tương ứng tại điểm cân bằng thị trường lần lượt gọi là
giá cân bằng và lượng cân bằng.
a) Trường hợp một mặt hàng

Gọi P là giá thị trường của một mặt hàng nào đó
QD là lượng cầu của mặt hàng đó
QS là lượng cung của mặt hàng đó
Giả sử Mối quan hệ giữa QD , QS và P là mối quan hệ tuyến tính, nghĩa là

P= aQ D + b

P= cQS + d

P= aQ0 + b
Thi
truong
can
bang
Q

Q

Q


D
S
0

P= cQ0 + d

Ví dụ 1. Cho các phương trình cung, cầu của một loại hàng hóa như sau:

4P  Q D  240

. Hãy tìm giá cân bằng và lượng cân bằng

 5P  QS  30
Ví dụ 2. Cho các phương trình cung, cầu của một loại hàng hóa như sau:

P  Q D  125


3
 P  2 QS  15
1) Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng.
2) Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng nếu như nhà nước đánh thuế 5
đồng/mỗi đơn vị sản phẩm. Hãy cho biết người mua hay người bán phải trả thuế này.
b) Trường hợp nhiều mặt hàng
Giả sử có hai mặt hàng 1, 2 trong thị trường có liên hệ với nhau. Lượng cầu QD1, QD2
của mặt hàng 1 và mặt hàng 2 phụ thuộc vào cả hai giá P1, P2 của hai mặt hàng. Nếu
các hàm cầu là tuyến tính, ta có:

 Q D1  a1  b1P1  c1P2
với a1, b1, c1, a2, b2, c2 là các hằng số

Q D2  a 2  b 2 P1  c 2 P2
Trong đó dấu của a1, b1, c1 được quy định như sau:

c  0
a1  0, b1  0,  1
 c1  0

(thay the)
(phu thuoc)

Tương tự cho a2, b2, c2
Ví dụ 3. Cho hàm cung, cầu của ba mặt hàng như sau

13


 Q D1  70  P1  2P2  6P3 ; QS1  P1  4

 Q D2  76  3P1  P2  4P3 ; QS2  P2  3
Q  70  2P  3P  2P ; Q  3P  6
1
2
3
S3
3
 D3
1) Hãy xác định giá cân bằng của ba mặt hàng
2) Các mặt hàng này là có thể thay thế lẫn nhau hay phụ thuộc nhau?.
Ví dụ 4. Xét thị trường có 3 mặt hàng, ta gọi là mặt hàng thứ 1, mặt hàng thứ 2, mặt
hàng thứ 3. Người ta nghiên cứu thấy hàm cung và cầu của 3 mặt hàng trên phụ thuộc
vào giá của chúng như sau:

 Q D1  2P1  P2  P3  8; QS1  P2  4P1  P3  5

Q D2  P1  P3  2P2  10; QS2  P1  4P2  P3  2
 Q  4P  P  P  5; Q   P  P  4P  1
1
3
2

S3
1
2
3
 D3
Hãy tìm điểm cân bằng của thị trường.
Ví dụ 5. Xét thị trường có 3 mặt hàng, ta gọi là mặt hàng thứ 1, mặt hàng thứ 2, mặt
hàng thứ 3. Người ta nghiên cứu thấy hàm cung và cầu của 3 mặt hàng trên phụ thuộc
vào giá của chúng như sau:

Q D1  9P1  P2  P3  210; QS1  11P1  2P2  P3  20

 Q D2  P1  6P2  135; QS2  2P1  19P2  P3  50
 Q  2P  4P  220; Q  2P  P  11P  10
1
3
S3
1
2
3
 D3
1) Tìm điểm cân bằng thị trường
2) Tìm điểm cân bằng thị trường với điều kiện bổ sung:
- Lọai hàng thứ nhất nhập khẩu thểm 96 (đơn vị); lọai hàng thứ hai xuất khẩu đi 70
(đơn vị); lọai hàng thứ ba nhập khẩu thêm 57 (đơn vị).
4.2 Mô hình Input- Output của Leontief
Trong mô hình này ta sẽ quy ước cùng nhau một số khái niệm chung là
a) Mỗi ngành chỉ sản xuất một mặt hàng thuần nhất
Ví dụ 6.
Ngành thép thì sản xuất thép

Ngành điện thì sản xuất điện
….
2) Mỗi một ngành kinh tế chỉ sử dụng một tỷ lệ cố định của các đầu vào( hay một
cách kết hợp cố định các yếu tố đầu vào) cho sản xuất đầu ra.
Ví dụ 7. Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm đầu ra của ngành 1 cần:
0.4 đơn vị nguyên liệu đầu vào của ngành 1 a11
14


0.1 đơn vị nguyên liệu đầu vào của ngành 2 a21
0.2 đơn vị nguyên liệu đầu vào của ngành 3 a31
Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm đầu ra của ngành 2 cần:
0.2 đơn vị nguyên liệu đầu vào của ngành 1 a12
0.3 đơn vị nguyên liệu đầu vào của ngành 2 a22
0.2 đơn vị nguyên liệu đầu vào của ngành 3 a32
Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm đầu ra của ngành 3 cần:
0.1 đơn vị nguyên liệu đầu vào của ngành 1 a13
0.4 đơn vị nguyên liệu đầu vào của ngành 2 a23
0.3 đơn vị nguyên liệu đầu vào của ngành 3 a33
Các thông tin trên được biểu diễn dưới dạng một ma trận gọi là ma trận hệ số đầu vào

 a11 a12
 0.4 0.2 0.1 



A   0.1 0.3 0.4  hay A   a 21 a 22
 0.2 0.2 0.3 
a



 31 a 32

a13 

a 23 
a 33 

Với aij có nghĩa là cần 1 lượng hàng hóa thứ i có giá trị aij (đơn vị tiền tệ) để sản xuất
ra 1 đơn vị sản phẩm đầu ra của ngành j
Tổng quát
Đầu ra

2
 1

 a11 a12
A   a 21 a 22

 ...
a
 n1 a n 2

3 ... n 

a13 ... a1n  1
a 23 ... a 2n  2 Đầu vào

 ...
... ... a nn  n

 x1 
Gọi X=  x 2   (x1; x 2 ; x 3 ) là tổng sản lượng đầu ra của 3 ngành
x 
 3
 y1 
 
Y=  y 2   (y1; y 2 ; y3 ) là tổng nguyên liệu đầu vào của 3 ngành
y 
 3
Để sản xuất x1 đơn vị đầu ra của ngành 1, x2 đơn vị đầu ra của ngành 2, x3 đơn vị đầu
ra của ngành 3 thì tổng nguyên liệu lấy từ:
Ngành 1: 0.4x1  0.2x 2  0.1x 3  y1
Ngành 2: 0.1x1  0.3x 2  0.4x 3  y 2
15


Ngành 3: 0.2x1  0.2x 2  0.4x 3  y3
A.X=Y
Ví dụ 8.
Quay lại Ví dụ 7 ta có các yêu cầu sau:
1) Tìm tổng nguyên liệu đầu vào của 3 ngành để sản xuất được 10 đơn vị đầu ra của
từng ngành
* Trường hợp 1

X YD
 X  AX+D
 (I  A)X  D
X  (I  A) 1 D
Một số câu hỏi liên quan đến (I-A)-1

1) Ý nghĩa kinh tế của (I-A)-1
Ví dụ 9.
Quay lại Ví dụ 7 ta có yêu cầu sau:
2) Tìm mức sản lượng của 3 ngành sao cho sau khi trừ nguyên liệu đầu vào còn dư để
đáp ứng cho yêu cầu của khách hàng( gọi là ngành kinh tế mở) là D= (40;110;40)
Ví dụ 10. Trong mô hình Input-Output của Leontief, cho ma trận hệ số đầu vào

 0.3 0.4 0.1 
A   0.2 0.3 0.2 
 0.2 0.1 0.4 


1) Tìm lượng đơn vị đầu vào của 3 ngành để sản xuất được 10 đơn vị đầu ra của mỗi
ngành.
2) Tìm lượng đơn vị đầu ra của 3 ngành sản xuất được từ 10 đơn vị đầu vào của mỗi
ngành.
3) Tìm mức sản lượng của 3 ngành, sao cho sau khi trừ nguyên liệu đầu vào còn dư để
đáp ứng cho yêu cầu của ngành kinh tế mở là D=(200;300;200).
Ví dụ 11. Xét một nền kinh tế có 2 ngành, 1 ngành sản xuất điện ngành kia sản xuất
gas. Giả sủ một đơn vị đầu ra của ngành điện cần số đơn vị đầu vào là : 0.3 điện; 0.1
gas; 1.0 nước. Giả sử một đơn vị đầu ra gas cần số đơn vị đầu vào là: 0.2 điện; 0.4
gas; 1.2 nước.
1) Hãy tìm một phương trình ma trận liên quan giữa X và Y biết
X=(x1; x2; x3) là số đơn vị đầu ra của 2 ngành
16


Y=(y1; y2; y3) là số đơn vị đầu vào của 3 ngành
2) Cho biết giá mỗi đơn vị nguyên liệu đầu vào điện, gas và nước lần lượt là 8, 4, 1.
Hãy tìm tổng chi phí để sản xuất 1000 đơn vị đầu ra của từng ngành

3) Cho biết nhu cầu của ngành kinh tế mở là D=(40;80). Hãy tìm mức sản lượng của 2
ngành để đáp ứng nhu cầu của 2 ngành đó và ngành kinh tế mở. Tìm lượng đơn vị đầu
vào của ngành nước
Câu hỏi phụ: Trong Ví dụ 9 cho biết ma trận (I-A)-1 có ý nghĩa gì ? Với

I  A

1

 41 16 15 
1 

  15 40 25  . Giả sử rằng nhu cầu ngành mở đối với ngành 1 tăng
20 

 16 16 40 

thêm 1 đơn vị, nghĩa là D=(41;110; 40)
Kết luận: Các số liệu ở cột j trong ma trận (I-A)-1 cho ta lượng đơn vị phải sản xuất
thêm của từng ngành khi nhu cầu của ngành mở tăng thêm 1 đơn vị.
* Trường hợp 2
Khi nhu cầu của ngành kinh tế mở thay đổi theo chiều hướng tăng thêm một lượng là

D thì nhu cầu đầu ra của các ngành thay đổi như thế nào
X  (I  A) 1 D
Ví dụ 10: Quay lại ví dụ 7 ta có các yêu cầu tiếp sau:
3) Nếu nhu cầu của ngành mở đối với ngành 2 tăng thêm một đơn vị thì mỗi ngành
phải sản xuất thêm bao nhiêu đơn vị?.
4) Nếu nhu cầu của ngành mở đối với ngành 1 giảm 1 đơn vị, đối với ngành 2 tăng 2
đơn vị, đối với ngành 3 tăng 1 đơn vị thì mức sản lượng của 3 ngành phải tăng hay

giảm bao nhiêu?.
4.3 Mô hình trao đổi Leontief
Giả sử nền kinh tế quốc dân được chi thành nhiều ngành; ví dụ như ngành sản xuất,
ngành giao thông, ngành giải trí, ngành dịch vụ. Giả sử biết tổng đầu ra trong một năm
của từng ngành trong nền kinh tế. Ta gọi tổng đầu ra tính bằng tiền (ví dụ: đơn vị tỉ
đồng) của ngành là giá của ngành đó.
Kết quả do Leontief đưa ra:
Tồn tại các giá cân bằng của các tổng đầu ra của tất cả các ngành sao cho mỗi
ngành đều có số thu bằng số chi
Ví dụ 11: giả sử một nền kinh tế có 3 ngành là than, điện và thép. Giả sử đầu ra của
từng ngành được phân phối cho 3 ngành theo tỉ lệ như sau:
17


-

Ngành than phân phối cho ngành than 0%, cho ngành 60%, cho ngành thép
40%.

-

Ngành điện phân phối cho ngành than 40%, cho ngành điện 10%, cho ngành
thép 50%.

-

Ngành thép phân phối cho ngành than 60%, cho ngành điện 20%, cho ngành
thép 20%.

Gọi giá của 3 ngành trên lần lượt là P1, P2, P3. Tìm các giá cân bằng.

Giải.
Tổng chi phí của ngành than là 0.4 P2  0.6 P3  P1

(1)

Tổng chi phí của ngành điện là 0.6 P1  0.1P2  0.2 P3  P2

(2)

Tổng chi phí của ngành thép là 0.4 P1  0.5P2  0.2 P3  P3

(3)

Từ (1) , (2), (3) ta có hệ phương trình tuyến tính sau:

10 P1 4 P2 6 P3  0




6 P1 9 P2 2 P3  0


4 P1 5P2 9 P3  0






Ta giải hệ như sau:
 10 4 6







 5 2 3
 1 7 5  d  d  6d 1 7 5 

1
2
2
1

6 9 2 d1  d1 6 9 2 d1  d1  d3 6 9 2


  
 d  d  4d 0 33 28


2
4 5 8  
3
3
1
  4 5 8 


4 5 8 




0 33 28

Dòng 2, 3 tỉ lệ với nhau nên ta bỏ đi 1 dòng bất kỳ ( dòng 3).
Hệ phương trình viết lại như sau:

P1 7 P2




33P2



5P3

0

28P3  0

 P3  33; P2  28; P1  31

Nghiệm tổng quát của hệ là (31, 28,33)
Với   1 thì giá cân bằng sẽ là (31, 28, 33). Vậy thu chi của từng ngành sẽ cân đối

nếu đầu ra của than được định giá là 31 tỉ đồng, của điện là 28 tỉ đồng và của thép là
33 tỉ đồng.

18


Bài tập
1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss hoặc Gauss-Jordan
2 x1  x2

a) 3x1  2 x2
5 x  4 x
2
 1

 2 x3
 2 x3
 3x3

 10
 1,
 4

2 x1  x2

b) 3x1  4 x2
3x  2 x
2
 1

 x3
 2 x3
 4 x3

 4
 11,
 11

 x1  2 x2

c) 2 x1  x2
3x  2 x
2
 1

 x3
 4 x3

 7
 17 ,

 2 x3

 2 x3

 14

2 x1

d) 4 x1  2 x2

 x  4x
2
 1

 10
 5.
 4

 3x3

2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer
 x1  x2

a) 2 x1  x2
4 x  x
2
 1
 x1

c)  x1  2 x2
2 x  4 x
2
 1

 2 x3

 1

 2 x3
 4 x3

 4 ,
 2

 2 x3



 2 x3

 7 ,


5 x1  x2

b)  3x1  2 x2
 7x  4x
2
 1
 2 x1 

d)  3x1 
 x 
 1

2
4

3. Giải các phương trình sau
 2 x1 


a)  x1 
4x 
 1

x2

 2 x3

 2

x2

 2 x3







4 x2

 x1  2 x2

b) 5 x1  x2
3x  x
2
 1

x3

5,
4

 4 x3

 31

 2 x3

 29 ,



x3

 10

 x1  x2
3x  x

2
c)  1
2
x

3
x
2

 1
 x1  2 x2

 2 x3

 3x4



 x3
 x3
 3x3

 2 x4
 x4
 x4

 4
,
 6
 4

 2 x2
 x1

 3x3
 2 x3

 4 x4
 3x4




 2 x2
 3x2

 x3
 2 x3

 2 x4
 x4

 1
 5

x2

x

e)  1
3x1  2 x2
4 x1  3x2

 3x3

 4 x4

 5

 2 x3

 3x4
 5 x4

 4
,
 12
 5

 x1
2 x

d)  1
3x1
4 x1

 3x3

19

1

5
1

,

 2 x3

 10

 x3
 3x3

 12 ,
 4

x2



2 x3



2 x2



2 x3

 m.

4 x2

 mx3



2
4


 x1  2 x2

f)  x1  2 x2
x  2x
2
 1
 x1
2 x

g)  1
 x1
 x1





x3



 1




x3
x3

 x4
 5 x4

x4

 1,
 5

x2

 3x3

 1

 x2
 x2
 2 x2

 2 x3
 x3
 3x3





1

,
3
1







x4
x4

 x1  2 x2
2 x  x

2
h)  1
 x1  7 x2
3x1  x1
 x1  2 x2
x  x

2
i)  1
2
x

3
x

2
 1
9 x1  9 x2

x3
x3




x5
x5

 0
 0

,

 5 x3

 5 x4

 5 x5

 0

 2 x3



x4



 0

 3x3
 4 x3





3x4
x4
5 x4

 2 x5
 3x5
 2 x5





 6 x3

 16 x4

 2 x5

 25

x5

0
2
.
7

4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau
mx1  x2

a)  x1  mx2
x
 1  x2



x3

 1



x3

 1,

 mx3

mx1  x2

b)  x1  mx2
x
 1  x2

 1



x3





x3



 mx3

1

m.
 m2

5. Tìm a để hệ phương trình sau vô nghiệm, có một nghiệm duy nhất và có vô số
nghiệm

 x  y  3z  a

ax  y  5 z  4 .
 x  ay  4 z  a


6. Tính hạng của các ma trận sau:
 0 4 10 1 
 4 8 18 7 

a) 
10 18 40 17 


 1 7 17 3 

1 1 1 1 
1 1 1 1 

d) 
1 1 1 1 


1 1 1 1

 2 1 11 2 
 1 0 4 1

b) 
11 4 56 5 



 2 1 5 6 

2 1 2 1 2 1

e)

1 2 1 2 1 2
3 4 3 4 3 4
5 5 6 7 5 5

20

2 0
1 2
c) 
 3 2

 5 2
2
1

1
f) 
1
1

1

3 1
2 3
5 4 

8 5

1 1 1
3 1 1 
1 4 1

1 1 5
2 3 4

1 1 1


7. Biện luận theo tham số thực  hạng của các ma trận sau:
1 2 3 4 5
 4 6 8 9 10 

a) 
 5 8 11 13 16 


10 16 22 26  

2
1
b) 
3


5

 1 2
  1
c) 
1 

1 2

1 2
2 5
d) 
3 7

 5 12

1 1

1
1 1 1
0 1 1

2 1 1 

8
0 1 1 0 0 
4 2 4 1 1

5 5 8 3 

1 3 4 2

 1
3 1 2 3 
4 1 3 4 

7 2 5  

1 0

8. Với giá trị nào của    thì hạng của các ma trận sau đây bằng 1
 1 2 1 
a)  2  2 
 3 6 3

2
3
1

b)  3 6   9 
 4 8   12 

5 
1 3

c)  4 12   5 
 5 15   10 

9. Xét xem các hệ phương trình tuyến tính thực sau đây có phải là hệ Cramer hay

không rồi giải chúng
 2 x1  x2  x3  4

a) 3x1  4 x2  2 x3  11
3x  2 x  4 x  11
2
3
 1

 x1  x2  2 x3  1

b) 2 x1  x2  2 x3  4
4 x  x  4 x  2
3
 1 2

 3x1  4 x2  x3  7

c)  x1  2 x2  3x3  0
7 x  10 x  5 x  2
2
3
 1

 x1  2 x2  4 x3  31

d) 5 x1  x2  2 x3  29
 3x  x  x  10
 1 2 3



 x  2 x  3x  2 x  6
 2 x  x  3x  2 x  4
2
3
4
3
4
 1
 1 2
e)  2 x1  x2  2 x3  3x4  24 f) 3x1  3x2  3x3  2 x4  6
3x  2 x  x  2 x  4
 3x  x  x  2 x  6
2
3
4
4
 1
 1 2 3
2 x1  3x2  2 x3  x4  8
 3x1  x2  3x3  x4  6

10. Giải và biện luận các hệ phương trình thực sau đây theo tham số m  
mx1  x2  x3  1,

a)  x1  mx2  x3  m,

2
 x1  x2  mx3  m ,

 m  3 x  y  2 z  m,

b) mx   m  1 y  z  2m,

3  m  1 x  my   m  3 z  3,

 3m  1 x  2my   3m  1 z  1,

c) 2mx  2my   3m  1 z  m,

2
 m  1 x   m  1 y  2  m  1 z  m ,

 x  my  m 2 z  1,

d)  x  2 y  4 z  2,
 x  3 y  9 z  3,

21


 x  2 y  z  2t  m,

e)  x  y  z  t  2m  1,
 x  7 y  5 z  t   m,


 x  2 y  z  t  m,


f) 2 x  5 y  2 z  2t  2m  1,
3x  7 y  3 z  3t  1,


 x  y  2 z  2t  0,
2 x  y  z  t  3,

g) 
3x  z  t  3,
5 x  y  m,

2 x  y  z  2t  3u  3,
 x  y  z  t  u  1,

h) 
3x  y  z  3t  4u  6,
5 x  2 z  5t  7u  9  m,

2 x  y  z  t  1,
 x  2 y  z  4t  2,

k) 
 x  7 y  4 z  11t  m,
4 x  8 y  4 z  16t  m  1,

2 x  y  z  2t  4,
 x  y  z  2t  3,

l) 
2 x  2 y  2 z  t  3,

 x  y  2 z  t  m,

11. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp Gauss-Jordan và phương pháp
Gauss rồi so sánh các công thức nghiệm.
 x  y  z  t  7,
3x  2 y  z  t  3u  2,

a) 
b)
y

2
z

2
t

6
u

23,

5 x  4 y  3z  3t  u  12,

2 x  y  z  t  u  1,
 x  y  z  t  2u  0,


3x  3 y  3z  3t  4u  2,
4 x  5 y  5 z  5t  7u  3.

2 x  2 y  z  t  u  1,
 x  2 y  z  t  2u  1,

c) 
d)
4 x  10 y  5 z  5t  7u  1,
2 x  14 y  7 z  7t  11u  1,

3x  y  2 z  t  u  1,
2 x  y  7 z  3t  5u  2,


 x  3 y  2 z  5t  7u  3,
3x  2 y  7 z  5t  8u  3,

12. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ứng với các hệ đã cho trong bài 11.
13. Biện luận theo tham số thực  hạng của các ma trận sau:
1 2 3 4 5
 4 6 8 9 10 

a) 
 5 8 11 13 16 


10 16 22 26  

2
1
b) 

3

5

 1 2
  1
c) 
1 

1 2

1 2
2 5
d) 
3 7

 5 12

1 1

1
1 1 1
0 1 1

2 1 1 

22

8
0 

4 2 4 1 1

5 5 8 3 

1 3 4 2
0 1 1 0

 1
3 1 2 3 
4 1 3 4 

7 2 5  

1 0


 1 2
  1
f) 
1 

1 2

1 7 2 4 
1 17 4 10 

e) 
4 3 3 1 



3 1 2  

1 1

1
1 1 1
0 1 1

2 1 1 

14. Với giá trị nào của  thì hạng của ma trận
 1
2

 2



12 
1 3 1 
8 16 24 

1 2 3
4

8

bằng 3
15. Định  để hạng của ma trận sau đây nhỏ nhất
3



1

2

4
4 10 1 
7 17 3 

2 4 3

1

1

16. Giải các hệ phương trình sau đây theo phương pháp Cramer
2 x  y  3z  9
x  y  z  6


a) 3x  5 y  z  4 b) 2 x  3 y  4 z  21
4 x  7 y  z  5
7 x  y  3 z  6


4 x1  3x2  x3  2 x4  4

c) 8 x1  5 x2  3x3  4 x4  12
3x  3x  2 x  2 x  6

2
3
4
 1
 x1  x2  5 x3  2 x4  1

d) 2 x1  x2  3x3  2 x4  3
 x  x  3x  4 x  3
3
4
 1 2

23


17. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp Gauss hoặc Gauss-Jordan
3x1  2 x2  5 x3  x4  3
2 x  3x  x  5 x  3

2
3
4
a)  1
x

2
x

4
x



3
2
4
 1
 x1  x2  4 x3  9 x4  22
 x1  x2  x3  x4  x5  15
 x  2 x  3x  4 x  5 x  35
2
3
4
5
 1
b)  x1  3x2  6 x3  10 x4  15 x5  70
 x  4 x  10 x  20 x  35 x  126
2
3
4
 1
 x1  5 x2  15 x3  35 x4  70 x5  210

2 x1  7 x2  3x3  x4  5
 x  3x  5 x  2 x  3

2
3
4
c)  1
 x1  5 x2  9 x3  8 x4  1

5 x1  18 x2  4 x3  5 x4  12
4 x1  3x2  2 x3  x4  8
3x  2 x  x  3x  7

2
3
4
d)  1
2
x

x

5
x

6
4
 1 2
5 x1  3x2  x3  8 x4  1

18. Giải và biện luận các hệ phương trình sau đây theo tham số thực m  
3mx   3m  7  y   m  5  z  m  1

a)  2m  1 x   4m  1 y  2mz  m  1

4mx   5m  7  y   2m  5  z  0

 2m  1 x  my   m  1 z  m  1


b)  m  2  x   m  1 y   m  2  z  m

 2m  1 x   m  1 y   2m  1 z  m
 5m  1 x  2my   4m  1 z  1  m

c)  4m  1 x   m  1 y   4m  1 z  1

2  3m  1 x  2my   5m  2  z  2  m
 3m  1 x  2my   3m  1 z  1

d) 2mx  2my   3m  1 z  m

2
 m  1 x   m  1 y  2  m  1 z  m

24


 x  2 y  z  2t  m

e)  x  y  z  t  2m  1
 x  7 y  5 z  t  m


x  2 y  z  t  m

f) 2 x  5 y  2 z  2t  2m  1
3 x  7 y  3 z  3t  1


 x  y  2 z  2t  0
2 x  y  z  t  3

g) 
3x  z  t  3
5 x  y  m

2 x  y  z  2t  3u  3
x  y  z  t  u  1

h) 
3x  y  z  3t  4u  6
5 x  2 z  5t  7u  9  m

2 x  y  z  t  1
 x  2 y  z  4t  2

i) 
 x  7 y  4 z  11t  m
4 x  8 y  4 z  16t  m  1

2 x  y  z  2t  4
 x  y  z  2t  3

k) 
2 x  2 y  2 z  t  3
 x  y  2 z  t  m

19. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:
2 x1  x2  4 x3  0


a) 3x1  5 x2  7 x3  0 ;
4 x  5 x  6 x  0
2
3
 1

2 x1  x2  5 x3  7 x4  0

b) 4 x1  2 x2  7 x3  5 x4  0
2 x  x  x  5 x  0
4
 1 2 3

3x1  2 x2  5 x3  2 x4  7 x5  0
6 x  4 x  7 x  4 x  5 x  0

2
3
4
5
c)  1
;
3x1  2 x2  x3  2 x4  11x5  0
6 x1  4 x2  x3  4 x4  13x5  0

6 x1  2 x2  3x3  4 x4  9 x5  0
3x  1x  2 x  6 x  3x  0

2

3
4
5
d)  1
6 x1  2 x2  5 x3  20 x4  3x5  0
9 x1  3x2  4 x3  2 x4  15 x5  0

6 x1  7 x2  4 x3  5 x4  8 x5  0
4 x  4 x  8 x  5 x  4 x  0

2
3
4
5
e)  1
1x1  9 x2  3x3  5 x4  14 x5  0
3x1  5 x2  7 x3  5 x4  6 x5  0

25