Luận văn Phép tính vi phân và tích phân cho một số hàm khoảng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

BÙI THỊ PHƯƠNG THẢO

PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN
CHO MỘT SỐ HÀM KHOẢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

ĐẮK LẮK, NĂM 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

BÙI THỊ PHƯƠNG THẢO

PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN
CHO MỘT SỐ HÀM KHOẢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Toán Giải Tích
Mã số

: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Thanh Tùng

ĐẮK LẮK, NĂM 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng
dẫn trực tiếp của TS. Trần Thanh Tùng. Trong quá trình nghiên cứu, các số liệu
và kết quả ghi trong luận văn là trung thực, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học đi trước với sự chân thành và biết ơn.

Bùi Thị Phương Thảo

i


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin chân thành cảm ơn:

✌ Ban Giám hiệu trường Đại học Tây Nguyên.
✌ Bộ môn Toán - Khoa KHTN và CN - Trường Đại học Tây Nguyên.
✌ Các thầy cô giáo Trường Đại học Tây Nguyên đã dạy dỗ, trang bị cho tác
giả những kiến thức quý giá và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, tạo mọi
điều kiện để hoàn thành tốt khóa học.
Đặc biệt, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Trần Thanh Tùng.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã đặt bài toán và tận tình
hướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này.
Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng
nghiệp, các học viên trong lớp Cao học Toán Giải tích K09 đã cộng tác, tạo điều
kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.

Đắk Lắk, tháng 10 năm 2016
Tác giả

Bùi Thị Phương Thảo

ii


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

i

LỜI CẢM ƠN

ii

MỤC LỤC

iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

v

MỞ ĐẦU

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1

Khái niệm về khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Các phép toán trên khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Một số tính chất cơ bản của khoảng . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4

Các loại hiệu thông dụng trong giải tích khoảng . . . . . . .

7

Hàm khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Định nghĩa hàm khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Một số phép toán của hàm khoảng . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Không gian metric khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4

Dãy khoảng và giới hạn của dãy khoảng . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2

iii


1.5

Tính liên tục, tính đo được của hàm khoảng . . . . . . . . . . . . .

14

1.5.1

Tính liên tục của hàm khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5.2

Tính đo được của hàm khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM KHOẢNG
2.1

2.2

17

Đạo hàm Hukuhara của hàm khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.1

Đạo hàm Hukuhara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2

Đạo hàm Hukuhara tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Tích phân của hàm khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CHO
HÀM KHOẢNG

24

3.1

Tính chất đạo hàm của hàm khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.1.1

Tính chất đạo hàm của hàm khoảng . . . . . . . . . . . . .

24

3.1.2

Tính chất đạo hàm của hàm F ♣tq ✏ C.g ♣tq . . . . . . . . . .

27

Tính chất tích phân của hàm khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.2.1

Tính chất tích phân của hàm khoảng . . . . . . . . . . . . .

29

3.2.2

Tính chất tích phân của hàm F ♣tq ✏ C.g ♣tq . . . . . . . . . .

37

Một số kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2

3.3

KẾT LUẬN

42

TÀI LIỆU THAM KHẢO

43

iv


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
KC ♣Rq

: Họ các khoảng khác rỗng, lồi và compac của R.

KC ♣Rn q

: Họ các khoảng khác rỗng, lồi và compac của Rn .

✑

✙

F ♣tq ✏ f ♣t; f ♣tqq

: Hàm giá trị khoảng hay còn gọi là hàm khoảng.

len ♣Aq

: Độ dài của A .

m♣Aq

: Trung điểm của A.

D♣A, B q

: Khoảng cách Hausdorff giữa A và B.

❛
❛gH

: Hiệu Hukuhara.
: Hiệu Hukuhara tổng quát.

DH X ♣tq

: Đạo hàm Hukuhara.

DgH X ♣tq

: Đạo hàm Hukuhara tổng quát.

DgH ♣iq F ♣tq

: Đạo hàm Hukuhara loại i.

DgH ♣iiq F ♣tq

: Đạo hàm Hukuhara loại ii.

✆

: Kết thúc chứng minh.

v


Danh sách hình vẽ

2.1

Hàm khoảng F1 ♣tq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2

Đạo hàm hàm F1 ♣tq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3

Hàm khoảng F2 ♣tq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4

Đạo hàm hàm F2 ♣tq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.1

Hàm khoảng F ♣tq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2

Hàm len♣F ♣tqq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.3

Hàm khoảng F ♣tq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.4

Hàm g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.5

Hàm ⑤g ⑤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1


MỞ ĐẦU
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Giải tích khoảng là một nhánh mới của toán học ứng dụng, ra đời vào những
năm năm mươi của thế kỉ 20. Những ý tưởng chính về Giải tích khoảng được
đưa ra trong luận án tiến sĩ của R. E. Moore tại đại học Stanford vào năm 1962,
sau đó được xuất bản thành sách với tiêu đề "Interval analysis" vào năm 1966.
Năm 1991, tạp chí quốc tế "Interval Computation" được sáng lập là mốc son
đánh dấu bước phát triển của lĩnh vực này, (từ năm 1995, tạp chí này phát hành
dưới tên "Reliable Computation"). Năm 1993, một hội nghị quốc tế về Giải tích
khoảng được tổ chức tại Lafayette, LA. Năm 1995, hội thảo quốc tế về ứng dụng
của Giải tích khoảng được tổ chức tại EL Paso, Texas.
Hàm khoảng là một lĩnh vực quan trọng trong Giải tích khoảng. Hiện nay,
có nhiều nhà toán học nghiên cứu về các phép toán vi phân và tích phân trên
hàm khoảng. Từ đó đưa ra một số kết quả quan trọng, là công cụ đắc lực để
nghiên cứu phương trình vi phân khoảng, phương trình vi phân tập, lí thuyết

mờ, ... Trong tài liệu [4] đã giới thiệu hàm khoảng dạng đặc biệt F ♣tq
với C

✏ C.g♣tq

✏ ra; bs, g♣tq là hàm thực, từ đó đưa ra một số ứng dụng quan trọng.

2. TỔNG QUAN TÀI LIỆU NGHIÊN CỨU
Có thể nói R. E.Moore là người đặt nền móng cho sự phát triển của Giải tích
khoảng, ông đã nghiên cứu và đưa ra những kiến thức cơ sở của Giải tích khoảng,
từ đó phát triển và ứng dụng Giải tích khoảng vào các lĩnh vực khác nhau xem
[7]. Khái niệm hàm khoảng được coi là trái tim của Giải tích khoảng. Một tính
chất quan trọng của hàm khoảng là hiệu Hukuhara và đạo hàm Hukuhara được
giới thiệu bởi nhà toán học Hukuhara, ông sử dụng hiệu Hukuhara để xây dựng
khái niệm đạo hàm Hukuhara và đạo hàm Hukuhara tổng quát xem [6, 8], trên
cơ sở đó các nhà toán học đã nghiên cứu về phương trình vi phân khoảng và mở
1


rộng ra phương trình vi phân mờ, vi phân tập xem [5, 8]. Gần đây, rất nhiều bài
báo dựa vào các tính chất của đạo hàm Hukuhara tổng quát đưa ra một số ứng
dụng quan trọng xem [4]. Do đó có rất nhiều nhà toán học quan tâm và đang
tiếp tục nghiên cứu. Trong đó có một số tác giả như: R. E. Moore (1966), L.
Stefanini, B. Bede (2012), Y. Chalco-Cano, A. Rufian-Lizana, H. Roman-Flore
(2013), ... Trong đề tài này chúng tôi mở rộng phép tính vi phân và tích phân
cho hàm khoảng dạng đặc biệt F ♣tq

✏ C.g♣tq với C ✏ ra; bs, g♣tq là hàm thực.

Hướng nghiên cứu của đề tài là mới và có ý nghĩa khoa học.

3. NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

✌ Đối tượng nghiên cứu
- Hàm khoảng, tính liên tục của nó, phép tính vi phân và tích phâncho hàm
khoảng.
- Phép tính vi phân và tích phân cho hàm F ♣tq

✏ C.g♣tq với C ✏ ra; bs, g♣tq

là hàm thực.

✌ Nội dung nghiên cứu
- Trình bày các kiến thức cơ bản về hàm khoảng.
- Đọc, hiểu và chứng minh chi tiết các định lí, mệnh đề, hệ quả liên quan
đến đạo hàm và tích phân hàm khoảng, từ đó mở rộng cho hàm khoảng đặc biệt
F ♣tq ✏ C.g ♣tq với C

✏ ra; bs, g♣tq là hàm thực.

- Trình bày một số ví dụ, bài tập.

✌ Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm tài liệu trong và ngoài nước có liên quan đến đề tài.
- Phân tích, tổng hợp các kết quả thu nhận được, hệ thống, tổng quát hóa
lại những vấn đề liên quan đến đề tài.

2


4. BỐ CỤC LUẬN VĂN

Luận văn được chia làm 3 chương
Chương 1
Chương này được xem như phần trình bày kiến thức cơ sở để tạo điều kiện
cho việc trình bày các kiến thức ở chương 2, chương 3. Vì vậy, chúng tôi trình
bày các khái niệm và tính chất cơ bản về khoảng, giới thiệu khái niệm hàm
khoảng, không gian metric khoảng, dãy khoảng và giới hạn dãy khoảng, tính
liên tục và đo được của hàm khoảng.
Chương 2
Trong chương này chúng tôi trình bày chi tiết các khái niệm, ví dụ về phép
đạo hàm và tích phân của hàm khoảng, giới thiệu khái niệm đạo hàm và tích
phân của hàm F ♣tq ✏ C.g ♣tq, C là một khoảng, g là hàm thực. Đưa ra điều kiện
tồn tại đạo hàm cho hàm khoảng.
Chương 3
Đây là chương thể hiện kết quả chính của luận văn. Trong chương này chúng
tôi trình bày chi tiết các tính chất, định lí, ví dụ về phép đạo hàm và tích phân
cho hàm khoảng đồng thời đưa ra một số kết quả quan trọng.

3


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi trình bày về định nghĩa khoảng trong R, các
phép toán và một số tính chất trên khoảng, cũng như các yếu tố khác của khoảng
như trung điểm, độ dài, độ lớn, metric, dãy khoảng và giới hạn của dãy khoảng
cùng các tính chất của nó. Ngoài ra trong phạm vi của chương, tôi sẽ trình bày các
loại hiệu thông dụng trong Giải tích khoảng như hiệu Hukuhara, hiệu Hukuhara
tổng quát, ... và các tính chất của chúng. Định nghĩa về hàm khoảng thông thường
và hàm khoảng đặc biệt F ♣tq ✏ C.g ♣tq với C là một khoảng, g là hàm thực. Phần

cuối chương trình bày tính liên liên tục, tính đo được của hàm khoảng. Kiến thức
trong chương này tham khảo từ [1], [4], [7], [8].

1.1

Khái niệm về khoảng
Trong Giải tích khoảng ta sẽ xét trên các khoảng đóng và được xác định bởi
A ✏ ra, as ✏ tt € R④a ↕ t ↕ a✉ .

1.1.1

Các phép toán trên khoảng

Cho λ € R và 2 khoảng A ✏ ra, as, B
Phép cộng: A   B

✏ ra   b, a   bs.
4

✏ rb, bs bất kì. Ta có:


Phép nhân

✩
✬
✫ λ.a, λ.a ,

s
r

✬
✪rλ.a, λ.as ,
A.B ✏ rminS, maxS s

λ.A ✏

khi λ ➙ 0.
khi λ ➔ 0.
với S

✏ tab,

ab, ab, ab✉.

Phép trừ
A✁B

✏ A   ♣✁B q ✏ ra ✁ b, a ✁ bs.

Nghịch đảo
Giả thiết rằng 0 ❘ A, khi đó nghịch đảo của khoảng A định nghĩa như sau
1
A

✏

✧

1
t

④a↕t↕a

Cụ thể
1
Nếu 0 ➔ a ➔ a hoặc a ➔ a ➔ 0 thì
A
Nếu a ↕ 0 ↕ a thì:

1
A

✩
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✫

✏

✒

✒

✜

➈
✁✽, a1 ✢

✚

✡

✁
✒

✁

Phép chia
A
B

✂

✏ A. B1

.

1 1
,
.
a a

1
,  ✽
¯
☎a
✜
1
✆✁✽, ✢
a

✏✬

✬
☎
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✆
✬
✬
✪

✯

✡

khi a ✏ 0 ➔ a
¯

✁

khi a ➔ a
¯✏0
✁

✡

1
,  ✽
a
¯

khi a ➔ 0 ➔ a
¯
✁

✏ ra, as.

Ví dụ 1.1.1. Cho các khoảng sau A ✏ r2; 3s , B

1
.
rb, bs

✏ r✁2; ✁1s , C ✏ r0; 1s.

Ta có ♣A   B q.C ✏ r0; 2s . r0; 1s ✏ r0; 2s;
✂ ✡
✚

✒
A
1
1
✁
1
✏ A. B ✏ r2; 3s . r✁2; ✁1s ✏ r2; 3s . ✁1; ✁2 ✏ r✁3; ✁1s.
B

5


1.1.2

Một số tính chất cơ bản của khoảng

Cho A ✏ ra, as , B
i) A   B

✏B A✏

✏

✑

✙

✏ rc, cs là các khoảng trong KC ♣Rq.

b, b , C

✑

✙

a   b, a   b ;

ii) A   ♣B   C q ✏ ♣A   B q   C

✏

✙

✑

a   b   c, a   b   c ;

iii) A   0 ✏ 0   A ✏ A, 0 € KC ♣Rq;
iv) A.B

✏ B.A ✏ rminS, maxS s . Trong đó S ✏ ta b, ab, ab, ab✉

v) ♣A.B q.C

✏ A.♣B.C q;

vi) A.1 ✏ 1.A ✏ A;
✂

1

vii) A.
A

✡

✘ 1 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A ✏ tra, as ⑤a ✘ 0✉;

viii) A ✁ A ✘ 0 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A ✏ tra, as ⑤a € R✉;
ix) A   B

✏ A   C ñ B ✏ C;

x) λ♣µAq ✏ ♣λµqA, ❅λ, µ € R.
1.1.3

Một số định nghĩa

Độ lớn, trung điểm và độ dài của khoảng
Cho khoảng A ✏ ra, as, ta nói độ lớn của khoảng A là khoảng cách lớn nhất từ
2 đầu của khoảng A đến khoảng 0. Kí hiệu là ⑤A⑤ và được tính bởi công thức

⑤A⑤ ✏ maxt⑤a⑤, ⑤a⑤✉.
Ta quy ước trung điểm của khoảng A
là m♣Aq.

✏ ra, as xác định bởi 21 ♣a   aq và kí hiệu

Độ dài (khác với độ lớn) của khoảng A kí hiệu là len♣Aq hoặc w♣Aq, xác định
bởi len♣Aq ✏ a ✁ a.
6

1.1.4

Các loại hiệu thông dụng trong giải tích khoảng

Khái niệm về hiệu 2 khoảng được đưa ra bởi Giáo sư Hukuhara, sau đó được
sử dụng nhiều trong phương trình vi phân. Có nhiều ứng dụng quan trọng.
Cho các khoảng A ✏ ra, as, B

✏ rb, bs.

Hiệu thông thường của hai khoảng
Ta nói hiệu A ✁ B là hiệu MinKovski giữa hai khoảng A và B, xác định
A✁B

✏ A   ♣✁B q ✏ ra ✁ b, a ✁ bs.

Hiệu Hukuhara của hai khoảng
Cho A, B là hai khoảng và A, B

€ KC ♣Rq nếu tồn tại khoảng C € KC ♣Rq sao

cho A ✏ B   C thì ta gọi C là hiệu Hukuhara của A và B.
Kí hiệu C

✏ A ❛ B. Khi đó khoảng C ✏ rc, cs xác định bởi c ✏ a ✁ b và c ✏ a ✁ b.

Hiệu Hukuhara chỉ tồn tại khi và chỉ khi c ↕ c hay len♣Aq ➙ len♣B q và C

✏ A❛B

duy nhất.

✏ r✁1; 0s , B ✏ r2; 4s , C ✏ r0; 2s.
1, len♣B q ✏ 2, len♣C q ✏ 2 nên A ❛ C, A ❛ B không tồn tại.
B ❛ A ✏ r3; 4s, C ❛ A ✏ r1; 2s .
Ví dụ 1.1.2. các khoảng A

Ta có: len♣Aq

Các tính chất của hiệu Hukuhara
Cho các khoảng A, B, C, D

€ KC ♣Rq. Ta có

i) A ❛ A ✏ 0;
ii) Nếu tồn tại A ❛ B và C ❛ D thì tồn tại

♣A   C q ❛ ♣B   Dq ✏ ♣A ❛ B q   ♣C ❛ Dq;
iii) α.♣A ❛ C q ✏ α.A ❛ α.C,

❅α € R;

iv) Nếu tồn tại A ❛ B và A ❛ ♣B   C q thì tồn tại ♣A ❛ B q ❛ C
7

✏ A ❛ ♣B   C q;

✏

v) Nếu tồn tại A ❛ B và B ❛ A sao cho A ❛ B
vi) Nếu tồn tại A ❛ B thì tồn tại

✏ B ❛ A thì A ✑ B;

♣✁Aq ❛ ♣✁B q và ♣✁Aq ❛ ♣✁B q ✏ ✁♣A ❛ B q.

Hiệu Hukuhara tổng quát
Như định nghĩa trên ta thấy rằng hiệu Hukuhara có thể không tồn tại khi
len♣Aq ↕ len♣B q điều này gây khó khăn khi khảo sát khoảng cách giữa hai khoảng.
Ta cần một hiệu mạnh hơn là hiệu Hukuhara tổng quát.
Định nghĩa 1.1.1. [8] Cho hai khoảng A, B

€ KC ♣Rq hiệu Hukuhara tổng quát

(gH) của A, B kí hiệu A ❛gH B và được định nghĩa như sau:
A ❛gH B

✩
✬
✫

♣aqA ✏ B   C
✪♣bqB ✏ A   ♣✁1qC

✏Cô✬

khi len (A)➙ len (B)

khi len (A)➔ len (B)

Ví dụ 1.1.3. Cho các khoảng A ✏ r1; 2s , B

✏ r0; 3s.
Ta có: A ❛gH B ✏ r✁1; 1s và B ❛gH A ✏ r✁1; 1s.
Mệnh đề 1.1.4. [8] Cho hai khoảng A, B

€ KC ♣Rq. Khi đó

i) Hiệu Hukuhara tổng quát tồn tại và duy nhất. Ta có
A ❛gH B

✏ C ✏ rc, cs

với
c ✏ minta ✁ b, a ✁ b✉
c ✏ maxta ✁ b, a ✁ b✉.
ii) A ❛gH A ✏ 0;
iii) ♣A   B q ❛gH B

✏ A;

iv) Nếu A ❛gH B tồn tại theo trường hợp ♣aq thì B ❛gH A tồn tại theo trường hợp

♣bq và ngược lại;
v) 0 ❛gH ♣A ❛g B q ✏ ♣✁B q ❛gH

♣✁Aq;
8

vi) ♣A ❛g B q

✏ ♣B ❛g Aq ✏ C nếu và chỉ nếu
B ✁ A ✏ A ✁ B không bao hàm A ✏ B);

vii) A ❛gH B

1.2
1.2.1

✏

C

0 và A

✏

B (chú ý rằng,

✏ 0 ô D♣A, B q ✏ 0.

Hàm khoảng
Định nghĩa hàm khoảng

Ñ KC ♣Rq được gọi là hàm khoảng nếu F ♣tq ✏
✙
✑

f ♣tq , f ♣tq . Trong đó, f ♣tq , f ♣tq là hai hàm thực thỏa mãn f ♣tq ↕ f ♣tq , t € T với
T ✏ ♣t1 , t2 q là khoảng mở.
Định nghĩa 1.2.1. [4] Ánh xạ F : T

Ta có lớp hàm khoảng đặc biệt.

Ñ KC ♣Rq , F ♣tq ✏ C.g ♣tq trong đó
C ✏ ra, bs € KC ♣Rq là khoảng đóng không đổi, g : T Ñ R là hàm thực. Khi đó, ta
xác định f ♣tq , f ♣tq như sau
Định nghĩa 1.2.2. [4] Cho hàm khoảng F : T

f ♣tq ✏

✩
✬
✫a.g t

♣q
✬
✪ b.g ♣tq

nếu g ♣tq ➙ 0
nếu g ♣tq ➔ 0

, f ♣tq ✏

✩
✬
✫ b.g t

♣q
✬
✪a.g ♣tq

nếu g ♣tq ➙ 0
nếu g ♣tq ➔ 0

Một tính chất quan trọng ở đây, f ♣tq , f ♣tq trong biểu thức trên không cần sai
số từ g. Mặt khác, ta dễ dàng thấy rằng nếu f ♣tq , f ♣tq khả vi tại t0 thì g cũng khả
vi tại t0 . Nhưng điều ngược lại thì không đúng.
Ví dụ 1.2.1. Cho C

✏ r✁1; 2s

và g ♣tq

✏

t3

  t.

Hiển nhiên g là khả vi. Hàm

f ♣tq , f ♣tq xác định như sau
✩
 
✬
✫ 2 t3

✟

 t
f ♣tq ✏
 
✟
✬
✪✁ t3   t

✩
✬
✫

Rõ ràng f ♣tq , f ♣tq không khả vi tại t ✏ 0.

9

✁

  3
t

✟

 t
, f ♣tq ✏
 
✟
✬
✪ 2 t3   t

nếu t → 0
nếu t ↕ 0

nếu t ↕ 0
nếu t → 0


1.2.2

Một số phép toán của hàm khoảng
✑

✙

✑

✙

Cho các hàm khoảng và khoảng sau: F1 ♣tq ✏ f1 ♣tq , f1 ♣tq , F2 ♣tq ✏ f2 ♣tq , f2 ♣tq ,
A ✏ ra, as, λ € R.
Các phép toán tổng, hiệu thông thường, lũy thừa định nghĩa tương tự như phép
toán trên khoảng. Ta lưu ý các phép toán sau
✑

✮

✦

✦

✮✙

λF1 ♣tq ✏ min λf1 ♣tq , λf1 ♣tq , max λf1 ♣tq , λf1 ♣tq
A   F1 ♣tq ✏ ra   f1 ♣tq , a   f1 ♣tqs;

;

✙

✑

F1 ♣tq❛F2 ♣tq ✏ f1 ♣tq ✁ f2 ♣tq , f1 ♣tq ✁ f2 ♣tq điều này chỉ xảy ra khi len ♣F1 ♣tqq ➙
len ♣F2 ♣tqq , t € T ;

✩
✬
✫ F1 t

♣ q ❛ F2 ♣tq
✬
✪✁ ♣F ♣tq ❛ F ♣tqq
2
1
F1 ♣tq .F2 ♣tq ✏ rmin S ♣tq , min S ♣tqs với
F1 ♣tq ❛gH F2 ♣tq ✏

nếu len ♣F1 ♣tqq ➙ len ♣F2 ♣tqq
nếu len ♣F1 ♣tqq ↕ len ♣F2 ♣tqq

✦

✮

S ♣tq ✏ f1 ♣tq f2 ♣tq ; f1 ♣tq f2 ♣tq ; f1 ♣tq f2 ♣tq ; f1 ♣tq f2 ♣tq .

1.3

Không gian metric khoảng

€ KC ♣Rq , A ✏ ra, as và B ✏
rb, bs. Khoảng cách Hausdorff giữa A và B (kí hiệu D♣A, B q) cho bởi công thức
Định nghĩa 1.3.1. [8] Cho hai khoảng bất kì A, B

D♣A, B q ✏ maxt⑤a ✁ b⑤, ⑤a ✁ b⑤✉.
Mệnh đề 1.3.1. Cho các khoảng A, B, C, E

€ KC ♣Rq , λ € R. Khi đó, ta có

i) D ♣A, B q ➙ 0 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A ✑ B;
ii) D ♣A   C, B   C q ✏ D ♣A, B q và D ♣A, B q ✏ D ♣B, Aq;
iii) D ♣λA, λB q ✏ D ♣λB, λAq ✏ ⑤λ⑤ ♣A, B q;
iv) D ♣A, B q ↕ D ♣A, C q   D ♣C, B q;
10


v) D ♣A   C, B   E q ↕ D ♣A, B q   D ♣C, E q.
Hệ quả 1.3.2. Cho các khoảng A, B, C, E

€ KC ♣Rq , λ € R. Khi đó, ta có

i) Nếu tồn tại A ❛ B thì D ♣A ❛ B, 0q ✏ D ♣A, B q;
ii) Nếu tồn tại A ❛ B, A ❛ C thì D ♣A ❛ B, A ❛ C q ✏ D ♣B, C q;
iii) Nếu tồn tại A ❛ B, C ❛ E thì D ♣A ❛ B, C ❛ E q ✏ D ♣A   E, B   C q;
iv) Nếu tồn tại A ❛ B, A ❛ ♣B   C q thì tồn tại ♣A ❛ B q ❛ C và ♣A ❛ B q ❛ C

✏

A ❛ ♣B   C q.
Nhận xét 1.3.3. Với A, B

€ KC ♣Rq ta có D ♣A, B q ✏ 0 ô A ❛ B ✏ 0.

Định nghĩa 1.3.2. Cho F, G là các hàm khoảng xác định bởi T
tự

Ñ KC ♣Rq. Thứ

↕ cho không gian các hàm khoảng như sau:
F

1.4

↕ G ô f ↕ g và f ↕ g, t € T.

Dãy khoảng và giới hạn của dãy khoảng
✏

✘ ✏

✘

✏

✘

Định nghĩa 1.4.1. Cho t1 , t1 , t2 , t2 , ..., tn , tn , ... là các dãy có các phần tử là
các khoảng trong không gian metric Hausdorff KC ♣Rq.
Đặt Tn

✏

✏

✘

  ✟   ✟

tn , tn với tn , tn là các dãy số thực được định nghĩa trên R. Khi đó,

♣Tnqn€N là dãy các khoảng.
Định nghĩa 1.4.2. Cho dãy khoảng ♣Tn qn€N với ♣Tn q ✏
Ta nói ♣Tn qn€N hội tụ về khoảng T0

✏

✏

✥✏

✘

tn , tn : tn

✘

↕ tn, ❅n € N

t0 , t0 khi và chỉ khi:

❅ε → 0, ❉n ♣εq € N sao cho D ♣Tn, T0q ➔ ε, ❅n ➙ n ♣εq .
Nhận xét 1.4.1. lim tn
nÑ ✽

✏ t0 và nÑ ✽
lim tn ✏ t0 .

Ví dụ 1.4.2. Cho dãy khoảng An

✏

✒

✚

1
2
,3 ✁ ❄
, Bn
4
n

n
11

✏

✒

✚

1
, ♣✁1qn ✁ 1 .
n

✭

.


✂ ✡

✒

✂

✡✚

2
1
; lim 3 ✁ ❄
✏ r0; 3s.

Ta có: lim An ✏ lim
4
nÑ ✽
nÑ ✽
n nÑ ✽
n
Vậy dãy khoảng An hội tụ về khoảng r0; 3✩s khi n Ñ  ✽.
Xét lim Bn . Ta có, lim
nÑ ✽

✏

nÑ ✽

✘

✬
✫ 0,

n chẳn

✁

n lẻ

♣✁1q ✁ 1 ✏ ✬
n

✪ 2,

Vậy không tồn tại giới hạn của dãy Bn khi n Ñ  ✽.
Định lí 1.4.3. Nếu một dãy khoảng hội tụ trong KC ♣Rq thì giới hạn đó là duy
nhất.

Ñ KC ♣Rq, lấy t0 €
tại t0 nếu ❅ε → 0, ❉δ → 0 thỏa mãn

Định nghĩa 1.4.3. Cho hàm khoảng F : T
KC ♣Rq là giới hạn của F

T . Ta nói L

€

0 ➔ ⑤t ✁ t0 ⑤ ➔ δ thì D ♣F ♣tq, Lq ➔ ε.
hay lim F ♣tq ✏ L ô lim ♣F ♣tq ❛ Lq ✏ 0.
tÑt0

tÑt0

Định lí 1.4.4. Cho hàm khoảng F : T
t0

€ T . Khi đó

Ñ

KC ♣Rq thỏa F ♣tq

✒

✏

✑

✙

f ♣tq , f ♣tq và

✚

lim F ♣tq ✏ lim f ♣tq ; lim f ♣tq .
tÑt0

tÑt0

tÑt0

Ñ KC ♣Rq với F ♣tq ✏ C.g♣tq trong đó
C ✏ ra, bs € KC ♣Rq, g là hàm thực và t0 € T . Nếu tồn tại lim g ♣tq thì lim F ♣tq tồn
tÑt
tÑt
Định lí 1.4.5. [4] Cho hàm khoảng F : T

0

0

tại và
lim F ♣tq ✏ C lim g ♣tq.

tÑt0

tÑt0

(1.1)

Chứng minh. Giả sử lim g ♣tq ✏ g0 và (1.1) không xảy ra. Khi đó tồn tại ε → 0 thỏa
mãn ❅δ

tÑt0

→ 0 và 0 ➔ ⑤t ✁ t0⑤ ➔ δ, ta có D ♣ra, bs g♣tq, ra, bs g0q → ε.

Mà
max D ♣e, ra, bs g0 q → ε

(1.2)

max D ♣d, ra, bs g ♣tqq → ε

(1.3)

e€ra,bs.g ♣tq

và
d€ra,bs.g0

12

Từ (1.2) tồn tại c1

€ ra, bs thỏa mãn
⑤c1g♣tq ✁ wg0⑤ → ε, ❅w € ra, bs .

(1.4)

Ta thấy rằng hằng số c1 trong (1.4) không thể bằng 0, nếu 0 ❘ ra, bs thì hiển nhiên

€ ra, bs, từ bất đẳng thức (1.4) chỉ ra rằng ❅w € ra, bs cho w ✏ 0, lấy
⑤c1g♣tq → ε⑤ suy ra c1 ✘ 0.

đúng; nếu 0

Cho w

✏ c1 thay vào (1.4) ta có
⑤wg♣tq ✁ wg0⑤ ✏ ⑤c1⑤ ⑤g♣tq ✁ g0⑤ → ε,

suy ra lim g ♣tq ✘ g0 . Tương tự, từ (1.3) ta có lim g ♣tq ✘ g0 . Cả hai trường hợp ta
tÑt0

tÑt0

thấy kết quả mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy tồn tại lim F ♣tq và (1.1) luôn xảy ra.
tÑt0

Chú ý 1.4.6. Chiều ngược lại thì không đúng.

Ví dụ 1.4.7. Cho hàm g : R Ñ R xác định bởi g ♣tq ✏

✩
✬
✫ 1

nếu t ➙ 0

✬
✪ 1 nếu t

✁

➔0

, c ✏ r✁2; 2s .

Ta thấy rằng lim g ♣tq không tồn tại vì lim  g ♣tq ✘ lim✁ g ♣tq. Hàm khoảng F được
tÑ0

tÑ0

tÑ0

xác định bởi F ♣tq ✏ r✁2; 2s .g ♣tq ✏ r✁2; 2s , ❅t € R. Ta có lim F ♣tqq ✏ r✁2; 2s.
Rõ ràng lim F ♣tq tồn tại nhưng lim g ♣tq không tồn tại.
tÑ0

tÑ0

tÑ0

Ñ KC ♣Rq với F ♣tq ✏ C.g♣tq trong đó
C ✏ ra, bs € KC ♣Rq, g là hàm thực và t0 € T . Nếu tồn tại lim F ♣tq thì một trong
tÑt
Định lí 1.4.8. [4] Cho hàm khoảng F : T

0

các trường hợp sau xảy ra
i) Tồn tại lim g ♣tq và lim F ♣tq ✏ C lim g ♣tq;
tÑt0

tÑt0

tÑt0

ii) Tồn tại lim ⑤g ♣tq⑤, a ✏ ✁b và lim F ♣tq ✏ C lim ⑤g ♣tq⑤.
tÑt0

tÑt0

tÑt0

13


Chứng minh. Theo định nghĩa hàm F ♣tq ✏ C.g ♣tq. Ta có
F ♣tq ✏ rmin tag ♣tq, bg ♣tq✉ , max tag ♣tq, bg ♣tq✉s ✏ rm1 ♣tq, m2 ♣tqs
Vì lim F ♣tq tồn tại nên lim m1 ♣tq, lim m2 ♣tq tồn tại suy ra lim ♣m1 ♣tq   m2 ♣tqq tồn

tÑt0

tÑt0

tÑt0

tÑt0

tại. Nhưng m1 ♣tq   m2 ♣tq ✏ ♣a   bqg ♣tq
• Nếu a   b ✘ 0 thì tồn tại lim g ♣tq do đó (i) xảy ra.
tÑt0

✏ r✁b, bs
Khi đó F ♣tq ✏ r✁b, bs g ♣tq ✏ r✁b ⑤g ♣tq⑤ , b ⑤g ♣tq⑤s. Vì lim F ♣tq tồn tại nên lim g ♣tq
tÑt
tÑt

• Nếu a   b ✏ 0 thì b ✏ ✁a, b → 0 và C

0

0

tồn tại do đó (ii) xảy ra.

Ví dụ 1.4.9. Cho g ♣tq ✏ t2 , C
Ta có F ♣tq ✏

✏

✁2t2, 3t2

✘

✏ r✁2; 3s. Tính lim
F ♣tq.
tÑ1

, lim F ♣tq tồn tại tức lim ✁2t2 , lim 3t2 tồn tại.
tÑ1

tÑ1

Hiển nhiên lim t tồn tại. Khi đó lim F ♣tq ✏ r✁2; 3slim t
tÑ1

1.5
1.5.1

2

tÑ1

tÑ1

tÑ1

2

✏ r✁2; 3s.

Tính liên tục, tính đo được của hàm khoảng
Tính liên tục của hàm khoảng

Cho hàm khoảng F : T

Ñ KC ♣Rq thỏa F ♣tq ✏

Định nghĩa 1.5.1. Hàm F ♣tq liên tục tại t0

❅ε → 0, ❉δ ♣εq → 0 : ❅t € T

€T

✑

✙

f ♣tq , f ♣tq và t0

€ T.

khi và chỉ khi

nếu ⑤t ✁ t0 ⑤ ➔ δ thì D ♣F ♣tq, F ♣t0 qq ➔ ε.

Định nghĩa 1.5.2. Ta nói F ♣tq liên tục trái tại t0

€T

kí hiệu lim F ♣tq
tÕt0

✏ F ♣t0q

khi và chỉ khi

❅ε → 0, ❉δ ♣εq → 0 : ❅t € T

nếu 0 ➔ t0 ✁ t ➔ δ thì D ♣F ♣tq, F ♣t0 qq ➔ ε.

Ta nói F ♣tq liên tục phải tại t0

❅ε → 0, ❉δ ♣εq → 0 : ❅t € T

€T

kí hiệu lim F ♣tq ✏ F ♣t0 q khi và chỉ khi
t×t0

nếu 0 ➔ t ✁ t0
14

➔ δ thì D ♣F ♣tq, F ♣t0qq ➔ ε.


Nhận xét 1.5.1. Nếu lim F ♣tq ✏ lim F ♣tq ✏ F ♣t0 q thì F ♣tq liên tục tại t0 .
t×t0

tÕt0

Định nghĩa 1.5.3. Hàm F ♣tq liên tục trên khoảng T0
tục tại mọi t0

khi và chỉ khi F ♣tq liên

€ T0

Nhận xét 1.5.2. Hàm F ♣tq liên tục tại t0
f ♣tq , f ♣tq liên tục tại t0

€

T khi và chỉ khi các hàm thực

€ T.

Định nghĩa 1.5.4. Cho hàm khoảng F : T
t0

❸T

€ T . Hàm F ♣tq liên tục tại t0 € T

Ñ

KC ♣Rq thỏa F ♣tq

✏

C.g ♣tq và

khi và chỉ khi lim F ♣tq ✏ F ♣t0 q.

Định lí 1.5.3. Cho hàm khoảng F : T

tÑt0

Ñ KC ♣Rq thỏa F ♣tq ✏ C.g♣tq và t0 € T .

Nếu g là hàm liên tục tại t0 thì F là hàm liên tục tại t0 .
Định lí 1.5.4. Cho hàm khoảng F : T

Ñ KC ♣Rq thỏa F ♣tq ✏ C.g♣tq và t0 € T .

Nếu F là hàm liên tục tại t0 thì một trong các trường hợp sau xảy ra:
i) g liên tục tại t0 ;
ii) ⑤g ⑤ liên tục tại t0 và a ✏ ✁b.
1.5.2

Tính đo được của hàm khoảng

Trong mục này, ta kí hiệu A là một σ-đại số các tập con của tập hợp T . Các
tập thuộc A được gọi là các tập đo được. Tập T xét với σ-đại số được gọi là
không gian đo được. Kí hiệu B ♣Rq và B ♣KC ♣Rqq lần lượt là σ-đại số Borel của R
và ♣KC ♣Rq , Dq tức là B là σ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của R và

♣KC ♣Rq , Dq.
Các kết quả sau đây ở [5], ta phát biểu cho R ✏ 1
Định nghĩa 1.5.5. Cho hàm khoảng F : T

Ñ KC ♣Rq. Ta nói F

là đo được nếu

tt € T : F ♣tq ⑨ B✉ € B ♣Rq , ❅B € B ♣KC ♣Rqq .
hay ta có thể viết F ✁1 ♣Aq ✏ tt € T : F ♣tq ❳ A ✘ ∅✉ với mọi tập A của R.
15


Tính chất 1.5.1. Các khẳng định sau là tương đương:

♣iq F : T Ñ KC ♣Rq là đo được;
♣iiq F ✁1 ♣B q €

B ♣Rq ,

♣iiiq F ✁1 ♣Oq €

B ♣Rq với mọi tập mở O của R;

♣ivq F ✁1 ♣C q €

B ♣Rq với mọi tập đóng C của R;

❅B €

B ♣Rq ;

16

Chương 2

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CỦA
HÀM KHOẢNG
Trong phạm vi Chương 2 chúng tôi sẽ sử dụng định nghĩa hiệu Hukuhara ở
Chương 1 để xây dựng khái niệm khả vi Hukuhara, khả vi Hukuhara tổng quát
và điều kiện tồn tại của chúng. Từ đó đưa ra định nghĩa điểm tới hạn, điểm xoay.
Phần cuối của chương sẽ trình bày về tích phân hàm khoảng. Nội dung của chương
tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [7], [8].

2.1

Đạo hàm Hukuhara của hàm khoảng

Trong phần này ta xét hàm khoảng F : T
2.1.1

Ñ KC ♣Rq , F ♣tq ✏

✙

✑

f ♣tq , f ♣tq .

Đạo hàm Hukuhara

Ñ KC ♣Rq. Ta nói rằng F có đạo

hàm Hukuhara tại t0 € T nếu tồn tại DH F ♣t0 q € KC ♣Rq sao cho với mọi h → 0 đủ
nhỏ, tồn tại F ♣t0   hq ❛ F ♣t0 q, F ♣t0 q ❛ F ♣t0 ✁ hq và
F ♣t0   hq ❛ F ♣t0 q
lim
✏ lim F ♣t0q ❛ F ♣t0 ✁ hq ✏ D F ♣t q,
Định nghĩa 2.1.1. [8] Cho hàm khoảng F : T

hÑ0 

h

hÑ0 

h

H

0

Nếu F có đạo hàm Hukuhara tại t0 thì ta nói F khả vi Hukuhara tại t0 .

17