Luận văn Điểm bất động chung của các ánh xạ co suy rộng trong không gian meetric riêng

❇é ●✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚➞② ◆❣✉②➟♥

◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ P❤➢î♥❣

➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣
❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ s✉② ré♥❣
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❚❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝

➜➽❦ ▲➽❦ ✲ ✷✵✶✻


❇é ●✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚➞② ◆❣✉②➟♥

◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ P❤➢î♥❣

➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣
❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ s✉② ré♥❣
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❚❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿

❚♦➳♥ ●✐➯✐ tÝ❝❤

▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✳✵✷

❈➳♥ ❜é ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝
P●❙✳ ❚❙✳ ❚r➬♥ ❱➝♥ ➣♥

➜➽❦ ▲➽❦ ✲ ✷✵✶✻


✐
▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥

❚➠✐ ①✐♥ ❝❛♠ ➤♦❛♥ ➤➞② ❧➭ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ñ❛ r✐➟♥❣ t➠✐✳ ❈➳❝ ❦Õt
q✉➯ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ sö ❞ô♥❣ ✈➭ trÝ❝❤ ❞➱♥ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝✱ râ r➭♥❣✳
➜➽❦ ▲➽❦✱ ♥❣➭② ✵✷ t❤➳♥❣ ✶✶ ♥➝♠ ✷✵✶✻

◆❣➢ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥

◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ P❤➢î♥❣




ờ

ợ t t trờ ọ ớ sự
ớ t tì tú ủ t P r
tỏ ò ết s s ế t ớ
ỉ t ữ ế tứ ệ tr ọ t
ứ ọ ị t ử ờ t tớ
ủ ệ ự ệ ò t ọ qí
tr ộ trờ ọ ệ
rờ P t ệ tỉ ú ỡ t ề ệ
t ợ t tr q trì ọ t t ố
ù t ì q ồ ệ ọ
ọ ó tí t trờ ọ t

ề ệ t ợ ú ỡ t t ệ ụ tr sốt q
trì ọ t
ù ó ề ố ỗ ự ọ t ứ s
tr ỏ ữ tế sót rt ợ
ữ ý ế ó ó ủ qí ồ ệ ọ ể
ợ tệ
t

ọ
ễ ị Pợ


✐✐✐
▼ô❝ ▲ô❝

❚r❛♥❣

▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥

✐

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥

✐✐

▼ô❝ ❧ô❝

✐✐✐

❉❛♥❤ ♠ô❝ ❦Ý ❤✐Ö✉

✐✈

▼ë ➤➬✉

✈

❈❤➢➡♥❣ ✶✳

➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣

✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✶✳

❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ

✶✳✷✳

➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣

✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ➜✐Ó♠ trï♥❣ ♥❤❛✉ ✈➭ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦
s✉② ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣

✶✺

✷✳✶✳ ➜✐Ó♠ trï♥❣ ♥❤❛✉ ✈➭ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ s✉②
ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣
✷✳✷✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✺

➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ②Õ✉ s✉② ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸✵

❑Õt ❧✉❐♥

✹✺

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✹✻


✐✈
❉❛♥❤ ♠ô❝ ❝➳❝ ❦Ý ❤✐Ö✉

{0, 1, 2, . . .}

N
N∗
Q

:

❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥✱ ❤❛②

:

❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥ ❦❤➳❝ ✵✱ ❤❛②

:

❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè ❤÷✉ tû

R
R+
R−

:

❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝

:

❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝ ❦❤➠♥❣ ➞♠✱ ❤❛②

:

❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝ ❦❤➠♥❣ ❞➢➡♥❣✱ ❤❛②

[a, b]

:

➜♦➵♥

[a, b)

:

◆ö❛ ❦❤♦➯♥❣

x∈X

:

P❤➬♥ tö

A⊂B

: A ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❝ñ❛ B

A∪B

: A ❤î♣ B

A∩B

: A ❣✐❛♦ B

A×B

:

❚Ý❝❤ ❉❡s❝❛rt❡s ❝ñ❛

(X, p)

:

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣

p (x, y)

:

❑❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛

Ψ

:

❚❐♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ tõ

:
:

x ❝ñ❛ t❐♣ ❤î♣ X

A ✈➭ B

x ✈➭ y

[0, ∞) ✈➭♦ [0, +∞),

ϕ−1 ({0}) = {0}

❚❐♣ ❤î♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➭♠ ✭❝✮ s♦ s➳♥❤
❍×♥❤ ❝➬✉ ♠ë t➞♠

A

❇❛♦ ➤ã♥❣ ❝ñ❛

A

[0, ∞) ✈➭♦ [0, +∞),

ψ −1 ({0}) = {0}

❚❐♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ tõ

Bp (x, ε) :
:

(−∞, 0]

[a, b), ❤❛② t❐♣ ❤î♣ {x ∈ R : a ≤ x < b}

✈➭

Φ1

[0, +∞)

[a, b], ❤❛② t❐♣ ❤î♣ {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}

✈➭

Φ

{1, 2, 3, . . .}

x ❜➳♥ ❦Ý♥❤ ε




ở
í ọ ề t
í tết ể t ộ ột tr ữ ủ ề ứ q
trọ ủ tí ó ó ề ứ ụ tr t ọ ĩ
tt ết q q trọ t ể ế tr í tết ể t
ộ í tr tr ủ ủ
í trở t ột ụ ổ ụ ể
qết t ề sự tồ t tr ề ủ tí t ọ
ứ ụ ủ ó ì tế ó ột số ớ ở rộ ủ ị í
ớ ề ỉ
ề ệ t ổ
ó ề ở rộ ệ tr
tts ớ tệ ệ tr r ột ở
rộ ủ tr tr ị ĩ ủ ó ề ệ d(x, x)

0

ợ t tế ề ệ

d(x, x) d(x, y)

=

r ó

ứ tí t ủ ộ tụ tr tr r
ũ ứ ột số ị ý ể t ộ tr
tr r ề t ọ
t tt r r s
tr r r ũ t tr ứ t
ớ t ợ ị ý ể t ộ ủ
s rộ ể t ộ ủ ế s rộ tr
tr r
ể t ợt ứ ọ ú t tế ớ ứ
tì ể ột ó ệ tố tí t ố q ệ ữ
s rộ ết q ề ể t ộ ủ
s rộ tr tr r r sở t ệ t
ớ sự ớ ủ t P r ú t


✈✐
➤➲ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ➤Ò t➭✐✿ ✧➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ s✉② ré♥❣ tr♦♥❣

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣✧✳

✷✳ ▼ô❝ t✐➟✉ ❝ñ❛ ➤Ò t➭✐
◆❤➺♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✈➭ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ s✉②
ré♥❣✱ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ s✉②
ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣✳

✸✳ ➜è✐ t➢î♥❣ ✈➭ ♣❤➵♠ ✈✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
✲ ➜è✐ t➢î♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣✱ ❞➲② ❈❛✉❝❤②✱ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣ ➤➬② ➤ñ✱ t➠♣➠ s✐♥❤ ❜ë✐ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝
r✐➟♥❣ ✵✲➤➬② ➤ñ✱ ❞➲② ✵✲❈❛✉❝❤②✱ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✱ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣✱ ➤✐Ò✉
❦✐Ö♥ ❝♦✱ ➳♥❤ ①➵ ❝♦✱ ➳♥❤ ①➵

ϕ ❝♦✱

❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝♦ ②Õ✉ s✉② ré♥❣✱ ➳♥❤ ①➵ ❝♦

②Õ✉ s✉② ré♥❣✱ ➳♥❤ ①➵ t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤ ②Õ✉✱ ➤✐Ó♠ trï♥❣ ♥❤❛✉✱ ➤✐Ó♠ trï♥❣ ❤î♣✱
➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ✈➭ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ s✉② ré♥❣✱ ➤✐Ó♠ ❜✃t
➤é♥❣ ✈➭ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ②Õ✉ s✉② ré♥❣✱✳✳✳
✲ P❤➵♠ ✈✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❧➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✈➭ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❝➳❝ ➤è✐ t➢î♥❣
tr➟♥❀ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵
❝♦ s✉② ré♥❣✱ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ②Õ✉ s✉② ré♥❣✱ ❝➳❝ ✈Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤ä❛ ❝❤♦ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠
tr➟♥ ✈➭ ❤✐Ö✉ ❧ù❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➢❛ r❛✳

✹✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
✲ ❉ï♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤✱ t➠♣➠✱ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤➭♠✳
✲ ❙ö ❞ô♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❚♦➳♥ ❧ý t❤✉②Õt✳

✺✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
✲ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ s✉② ré♥❣✱ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ②Õ✉
s✉② ré♥❣✱ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣✱ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝

➳♥❤ ①➵ ❝♦ s✉② ré♥❣✱ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ✈➭ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣
❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ②Õ✉ s✉② ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣✳
✲ ➜➢❛ r❛ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ♥❤❐♥ ①Ðt ♠í✐ ✈Ò ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✈➭ ♠è✐ q✉❛
❤Ö ❣✐÷❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ s✉② ré♥❣✱ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ②Õ✉ s✉② ré♥❣✱ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✱
➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣ ✈➭ ♠ét


✈✐✐
sè ✈Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤ä❛ ✳

✻✳ ❈✃✉ tró❝ ❧✉❐♥ ✈➝♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✷ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ✈í✐ ♥❤❛♥ ➤Ò ➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣
❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ♠ô❝

✶ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ✈✐Ö❝ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ❝❤♦ ✈✐Ö❝ tr×♥❤ ❜➭② ❧✉❐♥
✈➝♥✳ ❈➳❝ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❣å♠✿ ▼➟tr✐❝ r✐➟♥❣✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣ ➤➬② ➤ñ✱ t➠♣➠ s✐♥❤ ❜ë✐ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣✱ ❞➲② ✵✲❈❛✉❝❤②✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣ ✵✲➤➬② ➤ñ✱

T ✲f

✲❞➲②✱ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✱ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣✱ ❝➳❝

➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝♦ s✉② ré♥❣✱ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝♦ ②Õ✉ s✉② ré♥❣✱ ➳♥❤ ①➵ ❝♦✱ ➳♥❤ ①➵ ϕ✲❝♦✱
➳♥❤ ①➵ ❝♦ s✉② ré♥❣✱ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ②Õ✉ s✉② ré♥❣✳ ❚r×♥❤ ❜➭② ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t
❝ñ❛ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣ ✈➭ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ s✉②
ré♥❣✱ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ②Õ✉ s✉② ré♥❣✳ ❈❤♦
✈Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤ä❛ ✈Ò ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ➤ã✳ ❚r×♥❤ ❜➭② ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❝➳❝ ❦❤➳✐
♥✐Ö♠ ✈➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝➬♥ ❞ï♥❣ ❝❤♦ ❝➳❝ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ò s❛✉✳ ▼ô❝ ✷ tr×♥❤ ❜➭②
♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò ➤✐Ó♠ trï♥❣ ♥❤❛✉ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ✈➭ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠

❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤ ②Õ✉✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐Õt ❝➳❝
➤Þ♥❤ ❧ý ➤ã✳ ◆❣♦➭✐ r❛ ❝ß♥ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❤Ö q✉➯ ✈➭ ❝➳❝ ✈Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤ä❛ ✳
❈❤➢➡♥❣ ✷✱ ✈í✐ ♥❤❛♥ ➤Ò ➜✐Ó♠ trï♥❣ ♥❤❛✉ ✈➭ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛
❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ s✉② ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱

♠ô❝ ✶ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò ➤✐Ó♠ trï♥❣ ♥❤❛✉ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤
①➵ ✈➭ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ s✉② ré♥❣
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐Õt ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤ã✳ ❚r×♥❤
❜➭② ♠ét sè ❤Ö q✉➯ ✈➭ ❝➳❝ ✈Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤ä❛✳ ▼ô❝ ✷ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ✈✐Ö❝ tr×♥❤ ❜➭②
♠ét sè ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ②Õ✉ s✉② ré♥❣
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐Õt ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤ã✳ ❚r×♥❤
❜➭② ♠ét sè ❤Ö q✉➯ ✈➭ ✈Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤ä❛✱ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐Õt ✈Ò ❝➳❝ ❦Õt q✉➯
➤ã✳





ể t ộ ủ
tr tr r
P ú t ớ tệ ột số ế tứ sở ệ
trì ủ ồ tr r tr r
tr r ủ t s ở tr r
tr r

0

0 ủ ể t ộ ể t ộ ề

ệ s rộ ề ệ ế s rộ

s rộ ế s rộ rì ột số tí t
ủ tr r ột số ị ý ề ể t ộ ủ s
rộ



ế tứ ị

ị ĩ



X

ột t ợ rỗ

X R+ ợ ọ ột tr r ptr tr X
x, y, z X

x = y ỉ p (x, x) = p (x, y) = p (y, y)



p (x, x) p (x, y)

p (x, y) = p (y, x)



p (x, z) p (x, y) + p (y, z) p (y, y)

ptr

s ớ ọ

t ó



ó

p:Xì

(X, p) ợ ọ ột tr r



í ụ

max {x, y}



ớ ọ

X = R+ p : X ì X R+
x, y X

ó

(X, p)

ị ở

p (x, y) =

ột tr

r
t t t p tỏ ề ệ ủ ị ĩ
t ì trò ủ

x y z

sử

x, y, z

t tí tổ qt t

ó t ó

max {x, z} max {x, y} + max {y, z}

max {y, y} p (x, z) p (x, y) + p (y, z) p (y, y) ớ ọ x, y, z X

p



tỏ ề ệ ủ ị ĩ ó

(X, p)

ột

tr r


X = R = {x R : x 0}

ớ

x, y R

t ị ĩ

p (x, y) = min {x, y} ó p ột tr r tr R

tì

X = [0, 1] ớ x, y X t ị ĩ p (x, y) = emax{x,y} 1

p ột tr r tr X
ễ t r ế

ét

số p

s

tì

: X ìX [0, ) ợ ở ps (x, y) = 2p (x, y)p (x, x)p (y, y)

ớ ọ

x, y X

ột tr tr

ị ĩ



p tr r tr X

> 0



í ệ

X

(X, p)

tr r

x X

Bp (x, ) = {y X : p (x, y) < p (x, x) + }

ọ

Bp (x, ) ì ở t x í tr tr r
(X, p)
ị ý

ợ tt ì ở tr tr r

(X, p) sở ủ ột t p tr X
ứ ễ t r

X =

Bp (x, )

sử

Bp (x, )

xX,>0

Bp (y, )

ì ở tù ý tr tr r

(X, p)

Bp (x, ) Bp (y, ) = ó ớ ỗ z Bp (x, ) Bp (y, ) t ó

Bp (z, ) Bp (x, )Bp (y, ) ớ := p (z, z)+min { p (x, z) , p (y, z)}
ị ý ợ ứ


✸
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✻✳

❈❤♦

✭❬✶✸❪✮

(X, p) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣ ✈➭ ❞➲② {xn } ⊂ X ✳ ❑❤✐ ➤ã

✭✶✮ ❉➲② {xn } ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤é✐ tô tí✐ ➤✐Ó♠ x

∈ X ♥Õ✉ p (x, x) = lim p (x, xn )✳
n→∞

✭✷✮ ❉➲②{xn } ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤② ♥Õ✉

lim p (xn , xm )

n,m→∞

tå♥ t➵✐ ✈➭

❤÷✉ ❤➵♥✳
✭✸✮ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣
❈❛✉❝❤②

{xn } tr♦♥❣ X

(X, p)

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➬② ➤ñ ♥Õ✉ ♠ä✐ ❞➲②

➤Ò✉ ❤é✐ tô tí✐ ➤✐Ó♠

x∈X

s❛♦ ❝❤♦

p (x, x) =

lim p (xn , xm )✳

n,m→∞

✭✹✮ ❉➲②{xn } tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣
♥Õ✉

lim

n,m→+∞

✭✺✮ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥

X
✭✻✮

(X, p) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ 0✲❈❛✉❝❤②

p(xn , xm ) = 0✳

(X, p) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ 0✲➤➬② ➤ñ ♥Õ✉ ♠ä✐ ❞➲② 0✲❈❛✉❝❤② tr♦♥❣

➤Ò✉ ❤é✐ tô t❤❡♦ t➠♣➠ τp ✱ ➤Õ♥ ➤✐Ó♠

x∈X

s❛♦ ❝❤♦

p(x, x) = 0✳

➳♥❤ ①➵ f : X → X ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ t➵✐ ➤✐Ó♠ x0 ∈ X ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐
ε > 0✱ tå♥ t➵✐ sè δ > 0 s❛♦ ❝❤♦ f (Bp (x0 , δ)) ⊂ Bp (f x0 , ε)✳

◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✼✳

✶✮ ◆Õ✉ ❞➲②

{xn }

❤é✐ tô tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣

(X, p)✱ t❤× ♥ã ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤②✳
✷✮ ◆Õ✉ ❞➲②
❞➲② ❝♦♥

M

M

❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣ ➤➬② ➤ñ

(X, p)

❧➭ ➤➬② ➤ñ✳

❇æ ➤Ò ✶✳✶✳✽✳

✭✐✮

✈➭ ❝ã

{xnk } ❤é✐ tô ✈Ò ➤✐Ó♠ x ∈ X ✱ t❤× ❞➲② {xn } ❝ò♥❣ ❤é✐ tô ✈Ò x✳

✸✮ ◆Õ✉
t❤×

{xn } ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣ X

{xn }

✭❬✶✸❪✮ ●✐➯ sö

(X, p) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã

❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣

❝❤Ø ♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

(X, p)

(X, ps )✳

♥Õ✉ ✈➭



tr r

(X, p) ủ ế ỉ ế

(X, ps ) ủ ữ lim ps (xn , x) = 0 ế ỉ

tr

n+

ế

p(x, x) = lim p(xn , x) =
n+

ị ý

T :XX

sử

(X, p)

lim

n,m+

p(xn , xm ).

tr r ủ

s

1
p(T x, T y) (max{p(x, y), p(x, T x), p(y, T y), [p(x, T y) + p(y, T x)]}),
2
ớ ọ x, y X tr ó : R+ R+ tụ s




(t) < t

ỗ

n (t)

ộ tụ ớ ọ

t > 0

ó

T

ó ột

n=1
ể t ộ t

ổ ề

tr


X

sử

s

(X, d) tr {yn } ột

{d(yn , yn+1 )} t lim d(yn , yn+1 ) = 0 ế
n

{y2n } tì tồ t > 0 số



{mk } {nk } s mk > nk > k ố s

{d(y2mk , y2nk )}, {d(y2mk , y2nk +1 )}, {d(y2mk 1 , y2nk )}, {d(y2mk 1 , y2nk +1 )}
tớ

k

ổ ề

tr
ế

X

sử (X, p) tr r {yn } ột

s

{p(yn , yn+1 )} t lim p(yn , yn+1 ) = 0
n

{y2n } tì tồ t > 0

{mk } {nk } s mk > nk > k ố s
{p(y2mk , y2nk )}, {p(y2mk , y2nk +1 )}, {p(y2mk 1 , y2nk )}, {p(y2mk 1 , y2nk +1 )}
tớ

k

ị ĩ

í ó

sử

f, g : X X

từ t

X




✺
◆Õ✉
✈➭

ω = f x = gx ✈í✐ x ∈ X ✱ t❤× x ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ trï♥❣ ♥❤❛✉ ❝ñ❛ f

g ✈➭ ω ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❣✐➳ trÞ trï♥❣ ♥❤❛✉ ❝ñ❛ f
❈➷♣ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵

f, g ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤ ②Õ✉ ♥Õ✉ ❝❤ó♥❣ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ t➵✐

❝➳❝ ➤✐Ó♠ trï♥❣ ♥❤❛✉ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭
♠➭

gf x = f gx t➵✐ ♠ä✐ ➤✐Ó♠ x ∈ X

f x = gx✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳✶✸✳

❝ñ❛ t❐♣
t❤×

g✳

✈➭

X✳

◆Õ✉

✭❬✶✶❪✮ ●✐➯ sö

f

✈➭

g

f, g : X → X

❧➭ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤ ②Õ✉

❝ã ♠ét ❣✐➳ trÞ trï♥❣ ♥❤❛✉ ❞✉② ♥❤✃t

ω ❧➭ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛ f

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ t➵✐

t➵✐ ♠ä✐

g✳

✭❬✼❪✮ ●✐➯ sö X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠✳ ❍➭♠ ψ

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✹✳

❍➭♠

✈➭

ω = f x = gx✱

x0 ∈ X

♥Õ✉

:X→R

lim sup ψ(x) ≤ ψ(x0 )✳

x→x0

ψ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ tr➟♥ X

♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥

x ∈ X✳

❍➭♠

ψ

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ tr➟♥

tô❝ tr➟♥✱ tr♦♥❣ ➤ã

X

♥Õ✉ ❤➭♠

−ψ

❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥

(−ψ)(x) = −ψ(x) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X ✳

◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✱ ❤➭♠

ψ

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ t➵✐

x0 ∈ X

♥Õ✉

lim inf ψ(x) ≥ ψ(x0 )✳

x→x0

➜➠✐ ❦❤✐✱ t❛ ✈✐Õt

lim ψ(x)✱ lim ψ(x) ❧➬♥ ❧➢ît t❤❛② ❝❤♦ lim sup ψ(x) ✈➭

x→x0

x→x0

x→x0

lim inf ψ(x)✳

x→x0

❇æ ➤Ò ✶✳✶✳✶✺✳

◆Õ✉

✭❬✶✸❪✮ ●✐➯ sö (X, p) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣ ✈➭ {xn }

xn → x ∈ X

✈➭

p(x, x) = 0✱

t❤×

lim p(xn , z) = p(x, z)

n→+∞

⊂ X✳

✈í✐ ♠ä✐

z ∈ X✳
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✶✻✳

❤✐Ö✉

●✐➯ sö

(X, p)

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣✱

p(x, A) = inf{p(x, a) : a ∈ A} ✈➭ A ❧➭ ❜❛♦ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ A✳

a ∈ A ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ p(a, A) = p(a, a)✳

A ⊂ X✳

❑ý

❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã


✻
▼❛tt❤❡✇s ➤➲ ➤➢❛ r❛ ♠ét ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛
❇❛♥❛❝❤ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣ ➤➬② ➤ñ ♥❤➢ s❛✉✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✼✳

r✐➟♥❣ ➤➬② ➤ñ

✭❬✶✸❪✮ ●✐➯ sö

(X, p)

f :X→X

❧➭ ➳♥❤ ①➵ tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

✈➭♦ ❝❤Ý♥❤ ♥ã s❛♦ ❝❤♦ ❝ã ♠ét sè t❤ù❝

c

✈í✐

0≤c<1

t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

p(f x, f y) ≤ cp(x, y),
❑❤✐ ➤ã✱

f

x, y ∈ X.

❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❞✉② ♥❤✃t✳

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✽✳

①➵

✈í✐ ♠ä✐

✭❬✺❪✮ ●✐➯ sö

f, g : X → X

(X, d) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ ✈➭ ✷ ➳♥❤

(X, d) ✈➭♦ ❝❤Ý♥❤ ♥ã ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

tõ

ψ(d(f x, f y)) ≤ ψ(d(gx, gy)) − ϕ(d(gx, gy)) ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X,
tr♦♥❣ ➤ã

ψ, ϕ ∈ Ψ✳

X ✱ t❤× f

✈➭

✈➭

f (X) ⊂ g(X) ✈➭ g(X) ❧➭ t❐♣ ❤î♣ ❝♦♥ ➤ã♥❣ ❝ñ❛

g ❝ã ♠ét ❣✐➳ trÞ trï♥❣ ♥❤❛✉ ❞✉② ♥❤✃t tr♦♥❣ X ✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ♥Õ✉ f

g ❧➭ t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤ ②Õ✉✱ t❤× f

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✾✳

①➵

◆Õ✉

✭❬✺❪✮ ●✐➯ sö

f, g : X → X

tõ

♥➭♦ ➤ã ✈➭ ✈í✐ ♠ä✐

✈➭

g ❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❞✉② ♥❤✃t✳

(X, d) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ ✈➭ ✷ ➳♥❤

(X, d) ✈➭♦ ❝❤Ý♥❤ ♥ã s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ❝➳❝ ❤➭♠ ψ ∈ Ψ, ϕ ∈ Φ

x, y ∈ X

tå♥ t➵✐

4 (x, y) t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
u(x, y) ∈ Nf,g

ψ(d(f x, gy)) ≤ ψ(u(x, y)) − ϕ(u(x, y)),
tr♦♥❣ ➤ã
❑❤✐ ➤ã✱

✶✳✷

f

✭✶✳✶✮

✭✶✳✷✮

4 (x, y) = {d(x, y), d(x, f x), d(y, gy), 1 [d(x, gy) + d(y, f x)]}✳

Nf,g
2
✈➭

g ❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❞✉② ♥❤✃t✳

➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣

❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣

❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠

T ✲f ✲❞➲②✱ ♠ét sè ❦ý ❤✐Ö✉

✈➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝



s rộ tỏ ề ệ ữ tỷ tr tr
r ột số í ụ ọ
í ệ

sử

s
ị ở

(X, p) tr r T, f : X X

T X f X

f xn = T xn1

ớ ỗ

ớ ọ

x0 X t ét {xn } X

n N

ó t ó r



ợ

{T xn }

T f ớ ể x0 t
f = inf{p(f x, f x) : x X}

Xf = {x X : p(f x, f x) = f }.



ét r ó
ỉ

Xf =

f = min{p(f x, f x) : x X}

ề

Xf =

ò ế t

ú

X = [0, +)

p(x, y) = max{x, y} ớ ọ x, y X f x = x ớ x = 0 f (0) > 0 tì
t ó

f = 0 Xf =

ờ sử



T



f

từ

ớ ỗ

X



X ớ T X f X

x, y X t ó

p(T x, T y) max{kp(f x, f y), p(f x, f x), p(f y, f y)},
tr ó
ét

ột

(T, f ) s ú tỏ ề ệ

ọ tt


(X, p) tr r ý ệ F



k [0; 1)
ế

(T, f ) F tì ớ ỗ x X t ó
f p(T x, T x) p(f x, f x).

t ì

T X f X t ó {p(T x, T x) : x X} = B A =

{p(f x, f x) : x X} ì B A t ó inf A inf B ó từ t
f T

t ó

f T p(T x, T x) p(f x, f x)



ổ ề



sử

Xf = ế u, v Xf
ứ ì

T

(X, p) tr r ớ (T, f ) F



ể trù ủ

(T, f ) F



u, v Xf

T



f tì f u = f v.

ể trù ủ

f t ó
p(f u, f v) max{kp(f u, f v), p(f u, f u), p(f v, f v)}.

ừ s r r (1k)p(f u, f v)

= 0 p(f u, f v) p(f v, f v) =

p(f v, f v) = f ì tế từ ề ệ ủ tr r t s r p(f u, f v) =
f = min{p(f x, f x) : x X} ĩ t ó f u = f v
ổ ề

ế

fX

xX

sử

(X, p) tr r (T, f ) F

ủ ủ

X

tì ớ ỗ

s N

ó tử

s

ứ

1
p(f x, f x) = p(f x, T x) < f + .
s
ể x0 X ứ

r ỗ

T f

{T xn } ớ ể x0 tr T X rớ ết từ ét

t s r r p(T xn+1 , T xn+1 )

p(f xn+1 , f xn+1 ) = p(T xn , T xn )

{p(T xn , T xn )} t t r = inf{p(T xn , T xn )}
1
M=
.p(f x0 , T x0 ) + p(f x0 , f x0 ) ó t ó
k1

ó



r = inf{p(T xn , T xn )} = lim p(T xn , T xn ) p(f x0 , f x0 ).
n+

sẽ ứ r

p(f x0 , T xn ) M,

ớ ọ

ể tứ ú ớ

n N.



n = 0, 1 sử r ú

ớ

n 1 ó t ó
p(f x0 , T xn+1 ) p(f x0 , T x0 ) + p(T x0 , T xn+1 )
p(f x0 , T x0 ) + max{kp(f x0 , T xn ), p(f x0 , f x0 )}
k
p(f x0 , T x0 ) +
.p(f x0 , T x0 ) + p(f x0 , f x0 )
1k
= M.
ờ ớ t ỳ

ớ ọ

n n0



> 0 t ọ số n0 N s p(T xn , T xn ) < r +

2k n0 .M < r + ớ ỗ số tự m n 2n0 t

ó

p(T xn , T xm ) max{kp(T xn1 , T xm1 ), p(T xn1 , T xn1 )}
max{k 2 p(T xn2 , T xm2 ), p(T xn2 , T xn2 )}
... .............................................................

max{k n0 p(T xnn0 , T xmn0 ), p(T xnn0 , T xnn0 )}
max{k n0 [p(T xnn0 , f x0 ) + p(f x0 , T xmn0 )], p(T xnn0 , T xnn0 )}
< r + .
ó ì

r p(T xn , T xn ) p(T xn , T xm ) < r +
ớ ỗ

m n 2n0 t t ợ
lim

n,m+
ì

fX

p(T xn , T xm ) = r =

ủ ủ

sử x

p(f xn , f xm ).

X s r tồ t z f X

p(z, z) = lim p(z, T xn ) =
n+

lim

n,m+

lim

n,m+

s

p(T xn , T xm ) = r.

X s f x = z t sẽ ỉ r r p(f x, f x) = p(f x, T x) = r

t từ tứ t s r tồ t t I1 , I2 , I3


N s


✶✵
✭✐✮

p(T xn , T x) ≤ kp(f xn , f x) ✈í✐ ♠ä✐ n ∈ I1 ❀

✭✐✐✮

p(T xn , T x) ≤ k(f xn , f xn ) ✈í✐ ♠ä✐ n ∈ I2 ❀
p(T xn , T x) ≤ k(f x, f x) ✈í✐ ♠ä✐ n ∈ I3 ✳

✭✐✐✐✮

❘â r➭♥❣✱ Ýt ♥❤✃t ♠ét tr♦♥❣ ❝➳❝ t❐♣ ❤î♣ I1 , I2 , I3 ❧➭ ✈➠ ❤➵♥✳ ●✐➯ sö r➺♥❣ Ii0
❧➭ ✈➠ ❤➵♥✱ ✈í✐

1 ≤ i0 ≤ 3✳ ❑❤✐ ➤ã✱ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝

p(f x, T x) ≤ p(f x, T xn ) + p(T xn , T x) − p(T xn , T xn ),
❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❧✃② ❣✐í✐ ❤➵♥ ❦❤✐

n → +∞ ✈í✐ n ∈ Ii0 ✱

t❛ s✉② r❛

p(f x, T x) ≤

p(f x, f x) ✈➭ ✈× t❤Õ tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣ t❛ ❝ã p(f x, T x) = p(f x, f x)✳
❈✉è✐ ❝ï♥❣✱ ♥Õ✉ t❛ ❝❤ä♥
➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

x0 ∈ X

s❛♦ ❝❤♦

p(f x0 , f x0 ) < ρf +

1
s ✱ t❤× tõ

T ✲f ✲❞➲② ✈➭ ❧❐♣ ❧✉❐♥ tr➟♥ t❛ s✉② r❛ r➺♥❣
1

p(f x, f x) ≤ p(f x0 , f x0 ) < ρf + .
s

◆Õ✉

x0 ∈ Xf ✱ t❤× t❤× tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ T ✲f ✲❞➲②✱ ρf

❇æ ➤Ò ✶✳✷✳✺✳

◆Õ✉

fX

✭❬✹❪✮ ●✐➯ sö

✈➭

Xf

t❛ ❝ò♥❣ ❝ã

x ∈ Xf ✳

(X, p) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ r✐➟♥❣ ✈➭ (T, f ) ∈ F ✳

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ➤➬② ➤ñ ❝ñ❛

X✱

t❤× tå♥ t➵✐

u ∈ Xf

s❛♦ ❝❤♦

fu = Tu ✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆❤ê ❇æ ➤Ò ✶✳✷✳✹ tå♥ t➵✐ ♠ét ❞➲②

{xn } ⊂ X

1
p(f xn , f xn ) = p(f xn , T xn ) < ρf + ,
n
✈í✐ ♠ä✐

✭✶✳✺✮

n ∈ N✳ ➜➬✉ t✐➟♥✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣
lim

n,m→+∞
❱í✐

s❛♦ ❝❤♦

p(f xn , f xm ) = ρf .

ε > 0 ❝❤♦ tr➢í❝✱ t❛ ❝❤ä♥ sè n >

✭✶✳✻✮

3
✳ ❚õ ◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✷✳✷✱ t❛ s✉② r❛
ε(1−k)

ρf ≤ p(T xn , T xn ) ≤ p(f xn , f xn ) = p(f xn , T xn ) < ρf +

1
ε
< ρf + (1−k).
n
3


✶✶
➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦

ε
p(f xn , T xn ) − p(T xn , T xn ) < (1 − k).
3
❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐

n, m >

3
✱ t❛ ❝ã
ε(1 − k)

p(f xn , f xm ) ≤ p(f xn , T xn ) + p(T xn , T xm ) + p(T xm , f xm )
− p(T xn , T xn ) − p(T xm , T xm )

= p(f xn , T xn ) − p(T xn , T xn ) + p(T xm , f xm )
− p(T xm , T xm ) + p(T xn , T xm )
2
< ε(1 − k) + max{kp(f xn , f xm ), p(f xn , f xn ), p(f xm , f xm )}.
3
◆Õ✉

max{kp(f xn , f xm ), p(f xn , f xn ), p(f xm , f xm )} = kp(f xn , f xm )✱

t❤× t❛ ❝ã

2
p(f xn , f xm ) < ε(1 − k) + kp(f xn , f xm ),
3
2
✈➭ ✈× t❤Õ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t❛ t❤✉ ➤➢î❝ p(f xn , f xm ) < 3 ε✳ ❚õ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ♥➭②✱ t❛ s✉② r❛

ρf ≤

lim

n,m→+∞

p(f xn , f xm ) = 0✳

◆Õ✉

max{kp(f xn , f xm ), p(f xn , f xn ), p(f xm , f xm )}
1

= max{p(f xn , f xn ), p(f xm , f xm )} < ρf + ε(1 − k),
3
t❤× t❛ t❤✉ ➤➢î❝

1
2
ρf ≤ p(f xn , f xm ) < ε(1 − k) + ρf + ε(1 − k).
3
3
❚õ ➤✐Ò✉ ♥➭② t❛ s✉② r❛ r➺♥❣

lim

n,m→+∞

p(f xn , f xm ) = ρf ✳

◆❤➢ ✈❐②✱ tr♦♥❣ ❝➯ ❤❛✐ tr➢ê♥❣ ❤î♣ tr➟♥ t❤× ❝➠♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✻✮ ➤Ò✉ ➤ó♥❣✳ ❱×

fX

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ➤➬② ➤ñ ❝ñ❛

X ✱ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ z ∈ f X

p(z, z) = lim p(z, f xn ) =
n→+∞

lim

n,m→+∞

s❛♦ ❝❤♦

p(f xn , f xm ) = ρf .



sử
r

uX

u Xf

s

f u = z ừ tứ p(f u, f u) = p(z, z) t s r

ờ t sẽ ứ r

p(f xn , f xn ) = p(f xn , T xn )



p(f u, f u) = p(f u, T u) ì

f p(T xn , T xn )

ớ ọ

n N

t t

ợ

p(f u, T u) p(f u, f xn ) + p(f xn , T xn ) + p(T xn , T u)
p(f xn , f xn ) p(T xn , T xn )
= p(f u, f xn ) + p(T xn , T u) p(T xn , T xn )
p(f u, f xn ) f + p(T xn , T u)
p(f u, f xn ) f + max{kp(f xn , f u), p(f xn , f xn ), p(f u, f u)}.
n +



p(f u, T u) =

tr t tứ tr t t ợ

p(f u, f u) = p(T u, T u) = f

ó t ó

f u = T u

ú t trì ột số ị ý q trọ ề ể t ộ
tr tr r
ị ý

fX

ế

sử (X, p) tr r ớ (T, f )

ủ ủ

t
tí ế

X

z = f u = T u ớ u Xf

f Xf Xf tì T



f

tì

T



f

F

ó ột ể trù

ữ ế

T



f

t

ó ột ể t ộ t

z Xf
ứ ờ ổ ề ổ ề tồ t

z = f u = T u trị trù t ủ T
ế

T



f

t tí ế

f Xf Xf

f

u Xf
ớ

s

p(z, z) = f

ờ ổ ề từ

Tz =

T f u = f T u = f z Xf ĩ p(f z, f z) = f t s r r f z = f u
ì tế ờ ệ ề t ó
ủ

T



z

ể t ộ t ố

f z Xf

ị ý

sử

(X, p) tr r



T, f : X X sử r ề ệ s ợ tỏ
p(T x, T y) max kp(f x, f y),
ớ ọ

x, y X tr ó k [0, 1)

X T

ủ

t



f

t tí ế tì

ế

T

fX
f

,



ủ

ó ột ể t ộ

z X

ứ õ r



p(f x, f x) + p(f y, f y)
2

(T, f ) F ờ ổ ề tồ t u Xf

z = f u = T u ế v X

tì ờ ổ ề t ó

s

f u = f v

tứ t t ợ

p(f v, f v) > p(f u, f u)

ế

tì từ


r ỗ trờ ợ ú t


f

ó ột trị trù

t trù ờ ệ ề ì

T



s r ợ r

r

T

f

fu = fv

f v = T v p(f v, f v) = p(f u, f u)

p(f u, f v) = p(T u, T v) kp(f u, f v)

p(f u, f v) = p(T u, T v) < p(f v, f v)

s

ì tế

T

f

ó ột ể t ộ t

t tí ế t s

z X

ế tr ị ý ị ý ú t ọ

f (x) = x

tì

ú t ó ết q ị ý ị ý ủ ộ sự tr

í ụ

sử

X = [0, 6]



p : XìX R

ợ ị ĩ ở

p(x, y) = max{x, y} ớ ọ x, y R ó ễ ể tr ợ r
(X, p) tr r ủ

sử

T, f : X X

ị ĩ ở tứ t ứ

Tx =


fx =

2x 1

ế

x [1, 3],

3

ế

x (3, 6].



1



2

2x



6

ế

x = 1,

ế

x (1, 34 ),

ế

x [ 43 , 3],

ế

x (3, 6].

ợ


✶✹
T

➜Ó ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣
✶✳✷✳✼ ✈í✐

k=

✈➭

f

t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝♦ ✭✶✳✼✮ tr♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý

5

6 ✱ t❛ ①Ðt ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ s❛✉ ➤➞②✳

❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✶✳ ❱í✐

x = y = 1. ❚❛ ❝ã

p(f 1, f 1) + p(f 1, f 1)
2
p(f 1, f 1) + p(f 1, f 1)
= max kp(f 1, f 1),
2

p(T 1, T 1) = 1 =

❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✷✳ ❱í✐

.

x, y ∈ [1, 43 ) ✈➭ x < y ✳ ❚❛ ❝ã

p(f 1, f 1) + p(f 1, f 1)
5
p(T x, T y) = 2y − 1 ≤ .2 ≤ max kp(f 1, f 1),
6
2
❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✸✳ ❱í✐

x ∈ [1, 3] ✱ y ∈ [ 43 , 3] ✈➭ x < y ✳ ❚❛ ❝ã

5

p(f 1, f 1) + p(f 1, f 1)
p(T x, T y) = 2y − 1 ≤ .2 ≤ max kp(f 1, f 1),
6
2
❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✹✳ ❱í✐

.

.

x ∈ [1, 3] ✈➭ y ∈ (3, 6]✳ ❚❛ ❝ã

p(f 1, f 1) + p(f 1, f 1)
5
p(T x, T y) = max{3, 2y−1} ≤ .6 ≤ max kp(f 1, f 1),
6
2
❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✺✳ ❱í✐

x, y ∈ (3, 6] ✳ ❚❛ ❝ã

p(f 1, f 1) + p(f 1, f 1)
5
p(T x, T y) = 3 ≤ .6 ≤ max kp(f 1, f 1),
6
2
❱×

fX

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ➤➬② ➤ñ ❝ñ❛

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✼✱

T

✈➭

f

X ✱ ✈➭ T

✈➭

f

.

❧➭ t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤ ②Õ✉✱ ♥❤ê

❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❞✉② ♥❤✃t

z = 1✳

.

ể trù ể t ộ
ủ s rộ
tr tr r


ể trù ể t ộ ủ

s rộ tr tr r

P ú t trì ột số ết q ề ể trù
ể t ộ ủ s rộ tr tr
r

ị ĩ



: [0, +) [0, +) tỏ ề

ệ


tụ




(t) < t ỗ

n (t) ộ tụ ớ ọ t > 0.

n=1
ợ ọ
ý ệ
ị ý

r ủ

(c)s s (c) rs t

1 t ợ tt (c)s s
sử

A, B, S T

từ tr

(X, p) í ó s AX T X, BX SX
p(Ax, By) (M (x, y))

ớ ọ





x, y X tr ó 1

1
M (x, y) = max{p(Sx, T y), p(Ax, Sx), p(By, T y), [p(Sx, By)+p(Ax, T y)]}.

2



ế ột tr t trị

AX, BX, T X



SX

t ó ủ

(X, p) tì




A S

ó ột ể trù

B

ó ột ể trù



T

ữ ế

S

{A, S} {B, T } t tí ế tì A, B, T



ó ột ể t ộ t
ứ sử

tồ t


x1 X

T x1 = Ax0 ì BX SX tồ t x2 X

s

Sx2 = Bx1

x0 ột ể tù ý tr X ì AX T X
s

ế tụ q trì t ó tể ự ợ

{xn } {yn } tr X

ợ ị ĩ ở

y2n = T x2n+1 = Ax2n , y2n+1 = Sx2n+2 = Bx2n+1 , ớ ọ n N.



ờ t sẽ ứ r {yn } tr tr
r

(X, p)

t ì

p(y2p1 , y2p+1 ) + p(y2p , y2p ) p(y2p1 , y2p ) +

p(y2p , y2p+1 ) t ó
M (x2p , x2p+1 ) = max{p(Sx2p , T x2p+1 ), p(Ax2p , Sx2p ), p(Bx2p+1 , T x2p+1 ),
1
[p(Sx2p , Bx2p+1 ) + p(Ax2p , T x2p+1 )]}
2
= max{p(y2p1 , y2p ), p(y2p , y2p1 ), p(y2p+1 , y2p ),
1
[p(y2p1 , y2p+1 ) + p(y2p , y2p )]}
2
max{p(y2p1 , y2p ), p(y2p+1 , y2p ),
1
[p(y2p1 , y2p ) + p(y2p , y2p+1 )]}
2
= max{p(y2p1 , y2p ), p(y2p , y2p+1 )}.

t ó
(M (x2p , x2p+1 )) (max{p(y2p1 , y2p ), p(y2p , y2p+1 ))}).