Mũ logarit Thầy Hùng

Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Tài liệu bài giảng:

01. MỞ ĐẦU VỀ LŨY THỪA
Thầy Đặng Việt Hùng
1) Khái niệm về Lũy thừa
Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a.a...a, với n là số tự nhiên.
1
Lũy thừa với số nguyên âm: a − n = n , với n là số tự nhiên.
a
m

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a n = n a m =

( a)
n

m

với m, n là số tự nhiên.

1

Đặt biệt, khi m = 1 ta có a n = n a .
2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa
 a 0 = 1, ∀a
Tính chất 1:  1
 a = a, ∀a
 a > 1: a m > a n ⇔ m > n

Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến): 
m
n
0 < a < 1: a > a ⇔ m < n
 am > bm ⇔ m > 0
Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): với a > b > 0 thì  m
m
 a < b ⇔ m < 0
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa
Nhóm công thức 1:

Nhóm công thức 2:

a m .a n = a m + n

n

a =a =

n

ab = n a . n b ,

n

a na

=
, ∀a ≥, b > 0
b nb

am
= a m−n
an

(a )

m n

= a mn = ( a n )

m

m
n

m

( a)
n

m

1
2



→ a =a ;

3

1
3

a =a ; a =a
n

1
n

∀a, b ≥ 0

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau :
1
a) a .  
a

2 −1

2

( )

c) a

3

b) a π . 4 a 2 : a 4π

3

3

d) a 2 . .a1,3 : a 3

2

Hướng dẫn giải:
1
a) a 2 .  
a

2 −1

=a

2

(a )
−1

2 −1

= a 2 a1−

2

=a.

1
π 4

2

b) a . a : a

( )

c) a

3

3

4π

=a

1
a2
= a π = a2 = a
a
π

3. 3

3

d) a 2 . .a1,3 : a 3

2

= a3
=

a 2. .a1,3
2

= a1,3

a
Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức :

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

1

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
a)

a2

(a

2

−b

a

c)
a

a)

− b2

2

2 5
3

a2

(a
(a
b)

a

3

)

−b

5

3

− b2

2
2

2 3

3

2 5
3

5

2 3
3

−b
3

+b

+1 =

2

a4

7

7
3

3

)
− 1)( a

−b

(a
b)

+1

2

+a 3 b

a

c)

3

7

2 7
3

(a

+a

−a

3

2

−b

(a
+ a3

3

3

2 7
3



a

=

a4

3

3

−b

5
3

−b
a

+a

−a

+ a3

3

3

)

3

 1π 
π
π 2
a
+
b
−
(
)  4 ab 



2

) +1 = a

3

3

+b

3

2

+b

3

+a

2

−b

3

=

a
(a − b )
) = ( a − 1)( a + 1) a ( a + 1 + a ) = a
(
a ( a − 1)( a + 1 + a )

2

3

)( a

)(

− 1 a2

π

Hướng dẫn giải:

2

3

)

3

7

+a 3 b 3 +b

d)

2 3

7
3

2

3

3

3

3

3

2 5
3

3

+a 3 b

7
3

+b

2 7
3

2

−b

2

2 3

2 3

3
7

2 7
 2 5
3
3
3
3
a
+
a
b
+
b




2a




=a

5
3

−b

3

3

)

+1

7
3

π

 1 
2
d) ( a + b ) −  4 π ab  = a 2 π + b 2 π + 2a π b π − 4a π b π = ( a π − b π ) = a π − b π


Ví dụ 3: Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
π

π 2

11

a) A = 5 2 3 2 2

b) B = a a a a : a 16
b3 a
a b
Hướng dẫn giải:

c) C = 4 x 2 3 x

d) D =

5

( a > 0)

( ab > 0 )

1
1


1
1
1
5
5




31
3
1
3
1
 
   3

3
5



5
3




a) A = 2 2 2 =   2 2 .2  .2  =  2 2  .2 =  2 2 .2  = 2 2 5 = 210




      

 







b) B = a a a a : a

11
16


 3 1
   2  2
=  a 

  



1



a



1
2

1
2
1
1
15
2


11

11
7
11
3
1
16
+1  2
+1  2


a

.a  : a 16 =   a 4  .a  : a 6 =  a 8  : a 16 = 11 = a 4


 



a 16
 



Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức sau :
3
3
  34

 34


4
4
a
−
b
a
+
b







1
1

a −b
a −b   4





4
a) A = 3
− 1
: a −b 

b) B = 
− ab 
1
1
1 1
1  




a2 − b2
 a 4 + a 2 b 4 a 4 + b 4  




Hướng dẫn giải:


1
1
1
1
1 1




1
1

1
1
2
2
2 2



a −b
a2 − b2   4
a
−
b
a
−
b
a
−
b
−
a
+
a
b
1



4
4

a) A = 3
− 1
: a − b4  = 1 1
−
:
a
−
b
=
. 1
=


1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 




 4
  4






4
2 4
4
4
4
4
2
4
4
2
4
4
a + b 
a a + b  a + b 
a a + b  a −b 
 a + a b
 



 

1
1
1



b2  a2 − b2 
b
= 1
=
1 
 1
a
a 2  a 2 − b 2 
1
2

1
2

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

−1

2

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

3

3
3
1 1
1
1
  34
  32
 34

 12
   12

4
4
2
2 2
2
2
−
+
−
−
−
−
a
b
a
b
a
b

a
b
a
b
a
b

 



 
(a − b)











b) B = 
− ab  = 
= a −b
1
1
1

1
1
1
=



 

a2 − b2
a2 − b2
 a2 − b2 

 




 

Ví dụ 5: Đơn giản các biểu thức sau (với giả thiết chúng có nghĩa)
2
 3 32
1
 a b   a    14

a2 + 4

4
a) A =  3  + 

:
a
+
b
b)
B
=
 

2
b a   a b3   

 a2 − 4 


a 
 +4
 2a 

Hướng dẫn giải:
a
1


+
1
1
a 2b2 + 1
 + a  :  a 4 + b 4  = b ab3 =



1
1
2
3
1
1


 ab  
 a 4 + b 4 ab3  a 4 + b 4 






2 a 2 ⇔ a ≥ 0
=
=
a
−2 ⇔ a < 0

3
2
 32 12
 3
1
 a b  2  a    14


 a b

a) A =  3  + 
 :  a + b 4  =  3 1
3  
  b 2 a 2
b a  a b   




a2 + 4

b) B =

=

a2 + 4

 a2 − 4 
( a2 + 4)
a 
 +4 a
4a 2
 2a 
Ví dụ 6: Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau :
2
1
 2


 1
 
a
b
a) 3 a + 3 b  a 3 + b 3 − 3 ab 
b)  a 3 + b 3  :  2 + 3 + 3 
b
a



 
Hướng dẫn giải:
2
2
2
2
3
3


a) 3 a + 3 b  a 3 + b 3 − 3 ab  = 3 a + 3 b  3 a − 3 a 3 b + 3 b  = 3 a + 3 b = a + b




1
1
 13
 31 31  31

 13 13
3
3
1 1
a
+
b
a
b
a
+
b



a b
1
3 3


 13

a
b
a
b

b)  a + b 3  :  2 + 3 + 3  =  1 1 2
=
= 1

2
2
1
1
b
a
 13


 
3
3
3
2a 3 b 3 + a 3 + b 3
a
+
b
a +b 


BÀI TẬP LUYỆN TẬP
2

(

)

(

)

2

(

)( )

( )

( ) ( )

Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi các biểu thức đã tồn tại)
a) A = 4 x 2 3 x .
d) D = 3

b) B = 5

23 3 2
.
3 2 3

b3 a
.
a b

c) C = 5 2 3 2 2 .

e) D = 4 3 a8 .

5

f) F =

3

b2 b

.

b b

Bài 2: Có thể kết luận gì về số a trong các trường hợp sau?
2

1

−
−
a) ( a − 1) 3 < ( a − 1) 3 .

−3
−1
b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) .

1
c)  
a

−0,2

< a2 .

1

d) (1 − a )

−

1
3

> (1 − a )

−

1
2

e) ( 2 −

.

3
a)4

> (2 − a) .
2

 1 2  1 
f)   >  

a
a

−

1
2

.

Bài 3: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = 


3+ 2 −

(

3− 2



 

) (
1
2

3+ 2

)

1
2

+


3− 2


−1

b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 .

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

3

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
4x
.
4x + 2
a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.

 1 
 2 
 2010 
b) Tính tổng S = f 
+ f 
 + ... + f 
.
 2011 
 2011 
 2011 
Bài 5.1: So sánh các cặp số sau

Bài 4: Cho hàm số f ( x) =

5

π 2
π
a)   và  
2
2

6
7

3

d)  

10

3

7
8

2

và  

Bài 5.2: So sánh các cặp số sau
a) 3 30 và 5 20
3

π
b)  
2

2

π
và  
5

π
e)  
6

5

π

và  
5

b)

4

5 và

4

c) 17 và 28
Bài 6: Tìm x thỏa mãn các phương trình sau?

d) 13 và

1) 4 x = 5 1024

2)

4) ( 3 3 )
7)

2x

1
= 
9

x−2

x

(

12 ) . ( 3 ) =
x

x

−x

1
6

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

10
4

 4
và  
7

5
2

2

x +1

23
=

8
125

−x

27
=
64

8) 0, 2 x = 0,008
11) 71− x.41− x =

4

 3
c)  
5

7
5

2  8 
5)   .  
 9   27 

1

 0, 25 
.322 x −8 = 

0,125
 8 

10)

5 2
 
25

3

3

3) 81 − 3 x =
3
6)  
2

1
32

x 2 −5 x + 6

3 x −7

 9 
9)  

 49 

=1

7
= 
3

7 x −3

1
28

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Tài liệu bài giảng:

02. CÔNG THỨC LOGARITH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
1) Khái niệm về Logarith
Logarith cơ số a của một số x > 0 được ký hiệu là y và viết dạng y = log a x ⇔ x = a y
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức logarith sau

log 2 4;

log 3 81;

log

2

32; log

2

(8 2 )

Hướng dẫn giải:

• log 2 4 = y ⇔ 2 = 4 ⇔ y = 2 
→ log 2 4 = 2
y

• log 3 81 = y ⇔ 3y = 81 = 34 ⇔ y = 4 
→ log3 81 = 4
• log

• log

( 2 ) = 32 = 2 = ( 2 ) ⇔ y = 10 → log 32 = 10
(8 2 ) = y ⇔ ( 2 ) = 8 2 = 2 . 2 = ( 2 ) ⇔ y = 7 → log (8 2 ) = 7
y

32 = y ⇔
2

10

5

2

y

2

7

3

2

Ví dụ 2: Tính giá trị của
a) log 2 2 32 = ..........................................................................................................................................................
b) log 2 128 3 2 = .....................................................................................................................................................
c) log 3 81 3 = ........................................................................................................................................................
d) log 3 3 243 3 = ......................................................................................................................................................
Chú ý:
Khi a = 10 thì ta gọi là logarith cơ số thập phân, ký hiệu là lgx hoặc logx
Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) được gọi là logarith cơ số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu là lnx, (đọc là len-x)
2) Các tính chất cơ bản của Logarith
• Biểu thức logarith tồn tại khi cơ số a > 0 và a ≠ 1, biểu thức dưới dấu logarith là x > 0.
• log a 1 = 0 ;log a a = 1, ∀a
b > c ⇔ a > 1
• Tính đồng biến, nghịch biến của hàm logarith: log a b > log a c ⇔ 
b < c ⇔ 0 < a < 1

3) Các công thức tính của Logarith
Công thức 1: log a a x = x, ∀x ∈ ℝ ,(1)
Chứng minh:
Theo định nghĩa thì hiển nhiên ta có log a a x = x ⇔ a x = a x
Ví dụ 1: log 2 32 = log 2 25 = 5;log 2 16 = log

2

24 = log

( 2)

8

2

= 8...

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) P = log 1
a

a 5 a 3 a2
a4 a

b) Q = log

.

a

a a a a.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có

a 5 a 3 a2
a4 a

=

1
2
a.a 5 .a 3
1
1
a 2 .a 4

=

1 2
1+ +
a 5 3
1 1
+
a2 4
1

b) Ta có

=

28
a 15
3
a4

=

28 3
−
a 15 4

=

67
a 60


→ P = log 1

67
a 60

a

3

7

67

 1 − 60
67
= log 1   = − .
 a 
60
a

15

a a a a = a a a.a 2 = a a.a 4 = a.a 8 = a 16 
→ Q = log

15
8

15
a

a 16 = log

a

( a)

=

15
.
8

Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

1

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
b) B = log a a 3 a 2 5 a a

a) A = log a a3 a 5 a

c) log 1
a

a 5 a3 3 a 2
a4 a

Hướng dẫn giải:

a) A = log a a 3 a 5 a = log a  a



1 1 37
 = 3+ + =
2 5 10

1
1
 1+  1 + 1 + 2 3 
3


27
3


3 25
b) B = log a a a a a = log a  a  2 5   = 1 +   = 1 + 3


10
 10 


 1+ 53 + 32 
a 5 a3 3 a 2
a
91
 34 3 
= − log a  1 1  = −  −  = −

c) log 1
4
60
a a
 15 4 
a
 a2+4 


Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau:
1 1
3+ +
2 5

a) log 1 125 = .....................................................

b) log

2

64 = ....................................................................

5

c) log16 0,125 = ..................................................

d) log 0,125 2 2 = ..........................................................

e) log 3 3 3 3 3 = ................................................

f) log 7 7 8 7 7 343 = ............................................................

Ví dụ 5: Tính giá trị các biểu thức sau:

(

)

a) P = log a a 3 a 5 a = ..................................................................................................................................

(

)

b) Q = log a a 3 a 2 4 a 5 a = ............................................................................................................................
Công thức 2: a log a x = x, ∀x > 0 , (2)
Chứng minh:
Đặt log a x = t ⇒ x = at , ( 2 ) ⇔ at = at
Ví dụ 1: 2

log 2 3

= 3, 5

log 5 6

( )

= 6,

3

log 3 4

 1
= ( 3 ) 2 



log 3 4

1

1

log 4
= ( 3) 3  2 = ( 4 ) 2 = 2...



Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) 2log8 15 = .....................................................
 1 log81 5

3)  
= .....................................................
 3 

2) 2
4)

log 2

2

64

= ....................................................................

log3 4

( 9)
3

= ....................................................................

Công thức 3: log a ( x. y ) = log a x + log a y , (3)
Chứng minh:
 x = a log a x

→ x. y = a log a x .a log a y = a log a x + log a y
Áp dụng công thức (2) ta có 
log a y
 y = a
Áp dụng công thức (1) ta được : log a ( x. y ) = log a aloga x + loga y = log a x + log a y ⇒ dpcm
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 2 24 = log 2 ( 8.3) = log 2 8 + log 2 3 = log 2 23 + log 2 3 = 3 + log 2 3

b) log 3 81 = log 3 ( 27.3 ) = log 3 27 + log 3 3 = log 3 33 + log 3 3 = 3 + 1 = 4
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:

4
4 10
a) log 2 4 3 16 = log 2 4 + log 2 3 16 = log 2 22 + log 2 2 3 = 2 + = .
3 3
3

b) log 1 27 3 = log 1 27 + log 1
3

3

c) log 2 8 5 32 = log 2 8 + log

3

3

−

1
1
3 = log 1 3 + log 1 3 = log 1   + log 1  
 3 
 3 
3
3
3
3
5

2

−3

1
3

3

32 = log

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

2

23 + log

2

2 = log

2

6

2

( 2)

+ log

1
3

1
10
= −3 − = − .
3
3
2

2

( 2)

= 6 + 2 = 8.

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Ví dụ 3: Cho biết log a b = 2;log a c = 2 Tính giá trị của log a x với

a) x = a 3b 2 c .................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
b) x = ab3 a 3bc ......................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................

x
Công thức 4: log a   = log a x − log a y , (4)
 y
Chứng minh:
log x
x a log a x
 x = a a
Áp dụng công thức (2) ta có 

→
= log y = a log a x −log a y
log a y
y
a a
 y = a
x
Áp dụng công thức (1) ta được : log a   = log a a loga x − loga y = log a x − log a y ⇒ dpcm
 y
4

5

32
5 4 7
Ví dụ 1: log 2 3
= log 2 32 − log 2 3 16 = log 2 2 2 − log 2 2 3 = − = .
2 3 6
16
1
Ví dụ 2: Cho biết log a b = ;log a c = 3 Tính giá trị của log a x với

3
ab 2 c
a) x =
.................................................................................................................................................................
3
abc 2
........................................................................................................................................................................................
b) x =

a 5bc 3

.........................................................................................................................................................
a 4 abc3
.......................................................................................................................................................................................

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a) y = log 1
2


x2 + 1 
b) y = log 1  log 5

x+3 
5 

x −1
x+5



x2 + 2 
f) y = log 0,3  log 3

x+5 


e) y = lg ( − x 2 + 3 x + 4 ) +

d) y = log 1
2

1
x2 − x − 6

c) y = log 2

x−3
x +1

x −1
− log 2 x 2 − x − 6
x +1

x −1
g) y = log
2x − 3

Hướng dẫn giải:
x −1


 x −1
log 1
≥0
≤1
 x −1
 −2

−1 ≤ 0
≤ 0 → x ≥ −1
x −1
 2 x +1
 x + 1


a) y = log 1
. Điều kiện : 
⇔
⇔  x +1
⇔  x +1
2 x+5
 x −1 > 0
 x − 1 > 0  x < −1; x > 1  x < −1; x > 1
 x + 1
 x + 1

Vậy D = (1; +∞ )



x2 + 1 

 x2 − x − 2
log 1  log 5
≥0
≥0

x+3 
x
+
3
 3
 x2 + 1

≥1



 x 2 − 5 x − 14
x2 + 1 
x2 + 1
x+3
b) y = log 1  log 5
.
Đ
i
ề
u
ki
ệ
n
:

0
≤
log
≤
1
⇔
⇔
≤0




5
2
x+3 
x+3
x+3
5 

0 < x + 1 ≤ 5 


 x > −3
x2 + 1
x+3
0
<
≤5



x+3


 −3 < x < −1; x > 2
⇔
⇒ x ∈ ( −3; −2 ) ∪ ( 2;7 )
 x < −3; −2 < x < 7
Phần còn lại các em tự giải nốt nhé!

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

3

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Tài liệu bài giảng:

02. CÔNG THỨC LOGARITH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
3) Các công thức về logarith (tiếp theo)
Công thức 5: log a bm = m.log a b , (5)
Chứng minh:

(

Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b

)

m

= a m.loga b

Khi đó log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm

log 2 27 = log 2 33 = 3log 2 3; log 5 36 = log 5 62 = 2log 5 6

Ví dụ 1:

1

log 2 4 32 = log 2 ( 32 ) 4 =

1
5
log 2 32 =
4
4
−4

1
62.45
1
Ví dụ 2: 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 + log 1 45 = log 1
= log 1 81 = log 1   = −4.
2 3

3
3
3
3
3
3 20
3
3 3
1
50 3
Ví dụ 3: log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5
= log 5 25 = 2.
2
2 3
1
3
Ví dụ 4: Cho biết log a b = ;log a c = Tính giá trị của log a x với
2
4
3 2
ab c
a) x =
...............................................................................................................................................................
4 2
a bc 3
........................................................................................................................................................................................
b) x =

ab3 a 3bc
.....................................................................................................................................................

bc3

........................................................................................................................................................................................

Công thức 6: log a n b =
Chứng minh:

( )

Đặt log a n b = y ⇒ a n

y

1
log a b , (6)
n

= b ⇔ a ny = b

Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y =
hay log a n b =

1
log a b
n

1
log a b ⇒ dpcm
n

1
log 2 16 = 2.4 = 8.
1
22
2
1
log 5 2 64 = log 1 64 = log 2 64 = 5.6 = 30.
1
25
5
log 2 16 = log 1 16 =

Ví dụ 1 :

Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log an b m =
Ví dụ 2: log 3 5 125 = log

1
3 4

4

1
53

(5 )

3
9
= 4 log 5 5 = ;

1
4
3

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

m
log a b
n

( 32 2 ) = log( ) ( 2 )

11

log 2

2

2

1

3

=

11
log
3

2

2=

11
.
3

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức A =

log 3 3 27 = log 3

3

(3 3 )

 27 
log 1  5  = log − 1
3 2
3  9 

log

3

 33

 52
3

 27 
log 3 3 27 + log 1  5 
9
3 
1
1
log 3 + log 1  
81
3
3  

4

.

Hướng dẫn giải:
2

=2

 1
13
13

26
=
log 3 3 5 = −2. = − .
1

5
5
 −
2

1
= log 1 3−4 = −4.2 log 3 3 = −8 
→A=
81
32

 27 
log 3 3 27 + log 1  5 
3  9 

1
1
log 3 + log 1  
81
3
3 
log c b
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) log a b =
, (7)
log c a

Chứng minh:

(

4

26
5 = 4.
=
−8 + 4 5
2−

)

Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b =

log c b
⇒ dpcm
log c a

Nhận xét :
+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
log a b = log a c.log c b
log b b
1
+ Khi cho b = c thì (7) có dạng log a b =
=
.
log b a log b a
Ví dụ 1: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:

a) Cho log 2 14 = a 
→ A = log 2 49 = ?
b) Cho log15 3 = a 
→ B = log 25 15 = ?
Hướng dẫn giải:
a) Ta có log 2 14 = a ⇔ a = log 2 ( 2.7 ) = 1 + log 2 7 ⇒ log 2 7 = a − 1.
Khi đó A = log 2 49 = 2log 2 7 = 2 ( a − 1) .

1
1− a

log 3 5 = − 1 =

1
1

a
a
b) Ta có log15 3 = a ⇔ a =
=

→
a
log 3 15 1 + log 3 5
log 3 =
5
1− a


1

1
log 3 15
1
1
B = log 25 15 =
= a = a =

→B =
.
log 3 25 2log 3 5 2 1 − a 2 (1 − a )
2 (1 − a )
a

Ví dụ 2: Cho log a b = 3. Tính
a) A = log

b
a

b
.
a

b) B = log

ab

b
.
a

Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có log a b = 3 ⇒ log b a =

a) A = log

b
a

b
= log
a

b
a

b − log

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

b
a

1

a=

3

.

1
1
−
=
 b
 b  log
log b 
 log a 

 a 
 a 

2

b

1
b − log

a
b

−

log

a

1

b − log

a

a

=

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
=

1
1
1
1
3 −1
3 −1
−
=
−
=

→A=
.
1 − 2log b a log a b − 2 1 − 2

3 −2
3−2
3 −2
3

b
2
log a
 b
log a b − 1
b
3 −1
a
Cách khác: Ta có được A = log b
= log
=
=
2 
 = log b =
 b 
b
a log
log a b − 2
a
3−2

  a 
a2
a
a 2

 a 
a
b
1
1
1
1
b) B = log ab
−
=
−
. = log ab b − log ab a =
a
log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log
b

a

b

=

1
1
1
1
2 3 −1
2 3 −1
−
=

−
=

→B =
.
1
1 1 + log a b
1
1 1+ 3
3
+
1
3
+
1
log b a +
+
2
2
2 3 2
b2
2
log a
2
b
 b 
b
a = 2log a b − 1 = 2 3 − 1 .
Cách khác: Ta có B = log ab
= log

= log ab
=
2 

( ab )  a 
a log a ab 1 + log a b
a
1+ 3
Ví dụ 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
log 2 3 + 3 log 5 5
 14 − 12 log9 4
log125 8 
log 7 2
1+ log 4 5
2
+ 25
b) 16
a)  81
+4
 .49


1
log 7 9 − log 7 6

− log 4 
c) 72  49 2
+5 3 
d) 36log 6 5 + 101− lg 2 − 3log9 36



Hướng dẫn giải:
1 1
1
1
1
2 .3log5 2 

 − log9 4

 4 − log 4  2log 23 
3

log 4
a)  814 2
+ 25log125 8  .49log7 2 = ( 3)  4 2 9  + 5 53  72log7 2 =  31− log3 4 + 5 3
 7 7 =  + 4  4 = 19
4








=

1

log2 3+3log5 5

b) 161+log4 5 + 4 2
= 42(1+log4 5) + 2log2 3+6log5 5 = 16.25 + 3.26 = 592
 1 log7 9− log7 6
1
− log 4 
 9
c) 72  49 2
+ 5 5  = 72 7 log7 9− 2 log7 6 + 5−2 log5 4 = 72  +  = 18 + 4,5=22,5
 36 16 


log6 5
log9 36
log6 25
1−lg2
log5
d) 36 +10 −3 = 6 +10 = 25+ 5 = 30
Ví dụ 4: Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
a) A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10
b) B = 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45
2
3
3
3

(

1
c) C = log 36 2 − log 1 3
2
6

)

d) D = log 1 ( log 3 4.log 2 3)
4

Hướng dẫn giải:
15.18
1
3
a) A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 = log 9
= log 9 33 = log 3 33 =
10
2
2
1
 36.45 
2
4
b) B = 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 
 = log 1 9 = − log 3 3 = −4
2
20

3

3
3
3 
3
1
1
1
1
1
c) C = log 36 2 − log 1 3 = log 6 2 + log 6 3 = log 6 2.3 =
2
2
2
2
2
6
1
1
d) D = log 1 ( log 3 4.log 2 3) = − log 4 ( log 2 3.log 3 4 ) = − log 4 ( log 2 4 ) = − log 2 2 = −
2
2
4

Ví dụ 5: Hãy tính :
1
1
1
1
a. A =
+

+
+ .......... +
log 2 x log 3 x log 4 x
log 2011 x
b. Chứng minh :
log a b + log a x
+ log ax ( bx ) =
1 + log a x
Học trực tuyến tại: www.moon.vn

( x = 2011!)

3

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
+

k ( k + 1)
1
1
1
+
+ ......... +
=
log a x log a2 x

log ak x 2 log a x
Hướng dẫn giải:

a) A =

1
1
1
1
+
+
+ .......... +
= log x 2 + log x 3 + ... + log x 2011 = log x 1.2.3...2011 = log x 2011!
log 2 x log 3 x log 4 x
log 2011 x

Nếu x = 2011! Thì A= log 2011! ( 2011!) = 1

log a b + log a x
1 + log a x
log a bx log a b + log a x
Ta có log ax bx =
=
⇒ đpcm.
log a ax
1 + log a x
b) Chứng minh : log ax ( bx ) =

Chứng minh :

k ( k + 1)
1
1
1
+
+ ......... +
=
log a x log a2 x
log ak x 2 log a x

VT = log x a + log x a 2 + ...log x a k = (1 + 2 + 3 + ... + k ) log x a =

k (1 + k )
2log a x

= VP

Ví dụ 6: Chứng minh rằng :
a) Nếu : a 2 + b 2 = c 2 ; a > 0, b > 0, c > 0, c ± b ≠ 1 , thì log c + b a + log c −b a = 2 log c + b a.log c −b a
b) Nếu 0log a N log a N − log b N
=
( a, b, c ≠ 1)
log c N log b N − log c N
2log a x.log c z
c) Nếu log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự đó) thì log b y =
log a x + log c z
a + b ln a + ln b
d) Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn : a 2 + b 2 = 7ab . Chứng minh : ln
=

3
2
Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết a 2 = c 2 − b 2 = ( c − b )( c + b ) ⇒ 2 = log a ( c − b ) + log a ( c + b )
⇔2=

1
1
+
⇔ 2log c −b a.log c + b a = log c + b a + log c −b a
log c − b a log c + b a

b) Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b 2 = ac
1
1
1
1
Lấy logarith cơ số N hai vế ta được 2log N b = log N a + log N c ⇔
−
=
−
log b N log a N log c N log b N
log a N − log b N log b N − log c N
log a N log a N − log b N
. ( đpcm )
⇔
=
⇔
=
log a N .log b N

log c N .log b N
log c N log b N − log c N
c) Nếu log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng thì log x a + log z c = 2log y b
⇔

2log a x.log c z
1
1
2
+
=
⇔ log b y =
log a x log c z log b y
log a x + log c z

d) Nếu : a + b = 7 ab ⇒ ( a + b )
2

2

a + b ln a + ln b
a+b
= 9ab ⇔ 
=
.
 = ab ⇒ ln
3
2
 3 
2

2

Ví dụ 7: Tính
a. A = log 6 16 . Biết : log12 27 = x
b. B = log125 30 . Biết : lg 3 = a;lg 2 = b
c. C = log 3 135 . Biết: log 2 5 = a;log 2 3 = b
d. D = log 6 35 . Biết : log 27 5 = a;log 8 7 = b;log 2 3 = c
e. Tính : log 49 32 . Biết : log 2 14 = a
Hướng dẫn giải:
log 3 27
3
3
3− x
3− x
a) A = log 6 16 . Từ : log12 27 = x ⇔
(*)
=
= x ⇒ log 3 4 = − 1 =
⇔ log 3 2 =
log 3 12 1 + log 3 4
x
x
2x

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

4

Mobile: 0985.074.831

Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Do đó : A = log 6 16 =

2 ( 3 − x ) .2 x 12 − 4 x
log 3 24
4log 3 2
=
. Thay từ (*) vào ta có : A=
=
log 3 6 1 + log 3 2
x ( x + 3)
x+3

log 2 5
a
a + 3b
+3= +3=
log 2 3
b
b
1
1
d) Ta có : a = log 27 5 = log 3 5 ⇒ log 3 5 = 3a; b = log 8 7 = log 2 7 → log 2 7 = 3b (*)
3
3
log 2 5.7 log 2 5 + log 2 7 log 2 3.log 3 5 + log 2 7 b.3a + 3b 3b ( a + 1)

Suy ra : D = log 6 35 =
=
=
=
=
log 2 2.3
1 + log 2 3
1 + log 2 3
1+ b
b +1
e) Ta có : log 2 14 = a ⇔ 1 + log 2 7 = a ⇒ log 2 7 = a − 1

c) Từ : C = log 3 135 = log 3 5.33 = log 3 5 + 3 =

Vậy : log 49 32 =

log 2 25
5
5
=
=
2
log 2 7
2log 2 7 2 ( a − 1)

Ví dụ 8: Rút gọn các biểu thức
a) A = ( log a b + log b a + 2 )( log a b − log ab b ) log b a − 1
1
b) B = log 2 2 x 2 + ( log 2 x ) x log x ( log2 x +1) + log 22 x 4
2

c) C = log a p + log p a + 2 ( log a p − log ap p ) log a p
Hướng dẫn giải:
2

 log a b + 1 
a) A = ( log a b + log b a + 2 )( log a b − log ab b ) log b a − 1 = 
 (1 − log ab a ) − 1 =
 log a b 
2

2

2

 log a b + 1  
 log a b + 1  

 log a b + 1   log a b 
log a a 
1

 1 −
 −1 = 
 1 −
 −1 = 
 
 −1
 log a b   log a ab 
 log a b   1 + log a b 
 log a b   1 + log a b 

log a b + 1
1
=
−1 =
= log b a
log a b
log a b
1
1
2
b) B = log 2 2 x 2 + ( log 2 x ) x log x ( log 2 x +1) + log 22 x 4 = 1 + 2log 2 x + ( log 2 x )( log 2 x + 1) + ( 4log 2 x ) =
2
2
2
2
2
= 1 + 3log 2 x + ( log 2 x ) + 8 ( log 2 x ) = 9 ( log 2 x ) + 3log 2 x + 1

c) C = log a p + log p a + 2 ( log a p − log ap p ) log a p =
=

( log a p + 1) 
log a p

log a2 p 

 log a p =
 1 + log a p 

(

log a p

)

( log a p + 1)
2
a

log p

2


log a p 
 log a p −
 log a p =
1 + log a p 


3

Ví dụ 9: Chứng minh rằng
1
a) log ( a − 3b ) − log 2 = ( log a + log b ) với : a > 3b > 0; a 2 + 9b 2 = 10ab
2
b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
b
c
+ log 2a = log a2

c
b
+ log a b.log b c.log c a = 1
c
a
b
+ Trong ba số : log 2a ;log 2b ;log 2c luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
b
c
a
b
c
a
Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết a > 3b > 0; a + 9b = 10ab ⇔ a − 6ab + 9b 2 = 4ab ⇔ ( a − 3b ) = 4ab
2

2

2

2

Ta lấy log 2 vế : 2log ( a − 3b ) = 2log 2 + log a + log b ⇔ log ( a − 3b ) − log 2 =

1
( log a + log b )
2

b

c
= log a2 .
c
b
−1
2
b
c
b 
c
c
c
* Thật vậy : log a = log a   = − log a ⇒ log a2 =  − log a  = log a2
c
b
b
c
b
b
 



b) Chứng minh : log 2a

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

5

Mobile: 0985.074.831

Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
* log a b.log b c.log c a = 1 ⇔ log a b.log b a = log a a = 1
2

c
a
b 
b
c
a
* Từ 2 kết quả trên ta có log log 2b log 2c =  log a .log b log c  = 1
b
c c
a a
c a
a b
 bc
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
2
a
b

Ví dụ 10: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 6 3.log 3 36 = ......................................................................
b) log 3 8.log 4 81 = ......................................................................
1

.log 25 3 2 = .................................................................
5
Ví dụ 11: Cho log a b = 7. Tính
a
a) A = log a b
.
b3

c) log 2

b) B = log b 3 ab 2 .
a

Ví dụ 12: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
49
a) Cho log 25 7 = a; log 2 5 = b 
→ P = log 3 5
=?
8
b
b) Cho log ab a = 2 
→ Q = log ab
=?
a
Công thức 8: a logb c = c logb a , (8)
Chứng minh:

(

Theo công thức (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a.loga c ⇔ a logb c = a loga c

Ví dụ 1: 49log7 2 = 2log7 49 = 22 = 4;

( )
2

log 2 27

= 27 log 2

)

logb a

= c logb a ⇒ dpcm

1

2

= 27 2 = 3 3...

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 36log6 5 + 3

log3 4

− 3log9 36 = ..........................................................................................................

32 − log3 2.4 2

= .............................................................................................................................
27 log3 4
c) C = 81log3 5 + 27 log9 36 + 34log9 7 = .........................................................................................................
log

3

b) B =

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

6

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Tài liệu bài giảng:

04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Các ví dụ giải mẫu:
Ví dụ 1. Giải phương trình 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 .
Hướng dẫn giải:
1
Ta có 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 ⇔ 2 x + 2 x.2 + 2 x.22 = 5 x + 2.5x.
5

x
7
 2
5
⇔ (1 + 2 + 4 ) .2 x = 1 +  .5 x ⇔ 7.2 x = .5 x ⇔   = 5 ⇔ x = log 5 5
5
 5
2
2
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = log 5 5.
2

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
1) 2 x

2

+3 x −2

= 16 x +1

2) 3− x

2

+4 x

x +10

1

243
Hướng dẫn giải:
=

x +5

3) 16 x −10 = 0,125.8 x −15

x = 2
= 24 x + 4 ⇔ x 2 + 3x − 2 = 4 x + 4 ⇔ x 2 − x − 6 = 0 
→
 x = −3
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = –3.
2
2
 x = −1
1
2) 3− x + 4 x =
⇔ 3− x + 4 x = 3−5 ⇔ − x 2 + 4 x = −5 ⇔ 
243
x = 5
Vậy phương trình có nghiệm x = −1; x = 5.

1) 2 x

2

+3 x −2

= 16 x +1 ⇔ 2 x

x +10

x +5

3) 16 x −10 = 0,125.8 x −15 ,

2

+3 x − 2

(1) .

 x − 10 ≠ 0  x ≠ 10
Điều kiện: 
⇔
 x − 15 ≠ 0
 x ≠ 15
x +10

x +5

4.
3.
1
x + 10
x+5
= 2−3 ; 8 = 23 nên ta có (1) ⇔ 2 x −10 = 2−3.2 x −15 ⇔ 4.
= −3 + 3.
8

x − 10
x − 15
x = 0
4( x + 10)
60
⇔
=
⇔ x 2 − 5 x − 150 = 15 x − 150 
→
x − 10
x − 15
 x = 20
Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = 20.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

Do 16 = 24 ; 0,125 =

(

2
1)  
3

x

)

x

27

9
.  =
64
8

2) 4.9 x −1 = 3 22 x +1

3)

(

5 + 2)

x −1

x −1

= ( 5 − 2 ) x +1

Hướng dẫn giải:
x

x

x

3

x

3

27
2 9
2 9 3
3 3
1)   .   =
⇔  .  =   ⇔   =   
→ x = 3.
64
3 8
3 8 4
4 4
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

2) 4.9

x −1

=3 2

2 x +1

⇔

4.9x −1
3.2

2 x +1
2

2x − 3

=1 ⇔ 3

.2

2−

2 x +1
2

2x − 3

=1⇔ 3

.

( 2)

3− 2x

 3 
=1⇔ 

 2

2x − 3

0

3
 3 
=1 = 
 ⇔ x = 2.
 2

3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = .
2
x

Cách khác: 4.9 x −1 = 3 22 x +1 ⇔ 16.81x −1 = 9.22 x +1 ⇔ 16.
Học trực tuyến tại: www.moon.vn

81x
 81  18.81  9 
= 9.2.4 x ⇔   =
⇔ 
81
16
 4
 2

2x

3

3
9

=  ⇔ x= .
2
2

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
x −1

3) ( 5 + 2 ) = ( 5 − 2 ) x +1 , (1) .
Điều kiện: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1.
x −1

(

)(

)

(

1
= 5+2
5+2
1− x
1 


x =1
⇔ ( x − 1)  1 +
(1) ⇔ x − 1 =
 = 0 ⇔  x = −2
x +1
x +1


Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = –2.
Do

5+2

5 − 2 = 1 
→ 5−2=

)

−1

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

1)  2 2


(

)

1

x +3 2

2
x −1


x



=4

2)

(

3+ 2

)

x 2 −5 x

=

(

3− 2

)

6

2

3) 5 x − 3x

2

+1

(

= 2 5x

2

−1

− 3x

2

−2

)

Hướng dẫn giải:



1)  2 2


(

)

1

x +3 2

(

3

(1) ⇔ 2 (
x

)

x +1

2
x −1


x



(1) .

= 4,

x > 0
Điều kiện: 
x ≠1

) = 22 ⇔ 3 ( x + 1) = 2 ⇔ 2 x − 5 x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ⇔ x = 9.

x −1

x

(

)

x −1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9.

2)

(

3+ 2

(

Do

)

3+ 2

x 2 −5 x

)(

=

(

)

( 2 ).

6

3− 2 ,

)

3 − 2 = 1 
→

(

)

3− 2 =

(

1
3+ 2

)

=

(

3+ 2

)

−1

.

x = 2
⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ 
x = 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 và x = 3.
2
2
2
2

2
2
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
3) 5 x − 3x +1 = 2 5 x −1 − 3x − 2 ⇔ 5 x − 3.3x = 5 x − 3x ⇔ 5 x − 5 x = 3.3x − 3x
5
9
5
9

( 2) ⇔ (

3+ 2

)

x2 −5 x

(

=

3+ 2

(

)

−6

)

x2

x2

3

3 2 25 2
125
5
5
5
⇔ 5 x = 3x ⇔   =
⇔   =   
→ x = ± 3.
5
9
27
3
 3
3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = ± 3.

Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ 1: Giải phương trình
a) 7 x + 7 x +1 + 7 x + 2 = 342

b) 5 x + 10.5 x −1 + 18 = 3.5 x +1

c) 7.5 x − 2.5x−1 = 11

d) 14.7 x + 4.32 x = 19.32 x − 7 x

Ví dụ 2: Giải phương trình
a) 2 x

2

−1

− 3x = 3x
2

x +10

2

−1

− 2x

2

+2

b) 2 x

x +5

c) 16 x −10 = 0,125.8 x −15

d)

(

2

+3 x −2

= 16 x +1

5 + 2)

x −1

x −1

= ( 5 − 2 ) x +1

Ví dụ 3: Giải phương trình
a)

(

c) 2 x

x −3

x +1

10 + 3) x −1 = ( 10 − 3) x +3
3

−4

=8

2x−

8
3

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

b) 9

x 2 +1

= 32− 4 x

d) ( x 2 − 2 x + 2 )

9 − x2

= 3 x2 − 2 x + 2

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

(

e) 2

cos x

+ x2

)

x +1
x

= 2

cos x

+ x2

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM SỐ MŨ
Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1. Giải phương trình: 25 x − 30.5 x + 125 = 0
Hướng dẫn giải:

Phương trình đã cho tương đương: ( 5 x ) − 30.5 x + 125 = 0 .
2

Đặt t = 5 x , điều kiện t > 0.
t = 5
Khi đó phương trình trở thành: t 2 − 30t + 125 = 0 ⇔ 
t = 25
x
+ Với t = 5 ⇔ 5 = 5 ⇔ x = 1 .
+ Với t = 25 ⇔ 5 x = 25 ⇔ 5 x = 52 ⇔ x = 2 .
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 2.
Ví dụ 2. Giải phương trình: 3x + 2 + 3− x = 10 .
Hướng dẫn giải:

3x = 1 = 30
2
x = 0
1
Ta có 3x + 2 + 3− x = 10 ⇔ 9.3x + x = 10 ⇔ 9.( 3x ) − 10.3x + 1 = 0 ⇔  x 1
⇔
−2

3
3 = =3
 x = −2

9
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0, x = −2.

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

1) 5

x

1− x

−5

+4=0

2) 3

x

x
2
− 8.3

+ 15 = 0

3) 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0

Hướng dẫn giải:

1) 5

x

− 51−

x

+ 4 = 0, (1) .

Điều kiện: x ≥ 0.
5 x = 1
 x =0
x = 0
− 5 = 0 
→
⇔
⇔
x
x
5
x = 1
5 = 5  x = 1
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1.
 3 x =3
x
2x
x
x = 2

2) 3x − 8.3 2 + 15 = 0 ⇔ 3 − 8. 3 + 15 = 0 
→
⇔
 x = log 5 = log 25
x
3

3
 3 =5 

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ; x = log3 25.

(1) ⇔ 5

x

−

5

( )

+4=0⇔ 5

x

2

+ 4.5

( )

x

( )
( )

( )

3x + 4 = 3 ⇒ x = −3
3) 32 x +8 − 4.3x + 5 + 27 = 0 ⇔ 32( x + 4) − 4.3x + 4.3 + 27 = 0 ⇔ 32( x + 4) − 12.3x + 4 + 27 = 0 
→  x+4
2
3 = 9 = 3 ⇒ x = −2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và x = –3.

Ví dụ 4. Giải phương trình 2 x

2

−x

− 22+ x − x = 3.
2

Hướng dẫn giải:

Đặt 2 x

2

−x

= t (t > 0). . Phương trình trở thành t −

Ví dụ 5. Giải phương trình 4 x −

x2 −5

− 12.2 x −1−

x 2 −5

t = 4
 x = −1
4
=3⇔ 
⇒
t
t = −1 ( L)  x = 2
+8= 0.
Hướng dẫn giải:

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Đặt 2 x −

x = 3
2
t = 2  x − x − 5 = 1
= t (t > 0) ⇒ 

⇒
⇔
x = 9
t = 4  x − x 2 − 5 = 2

4

x 2 −5

Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ: Giải phương trình
a) 9 x

2

+1

c) 4 x +

− 3x

x2 − 2

+1

2

−6=0

− 5.2 x −1+

b) 9 x

x2 − 2

2

−1

− 36.3x

2

−3

+3=0

d) 43+ 2 cos x − 7.41+ cos x − 2 = 0

−6=0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài I: Giải các phương trình sau:
1) ( 0, 2 )

x − x2

(

4) 9. 3

1
7)  
8

)

=5

x2 − x

3
2)  
2

6 x −10

x −1

= 81

x −1

= 16.

( 4)
3

5) 10

x

x

x

1) ( x + 1)

x −3

(

=1

)

3) x 2 − x + 1

(

5) x 2 − 2 x + 2

(

7) x − 5 x + 4
2

8) x − 3

x −1

)

=1

4 − x2

x2 − 4

4)

(

 2
= 
 3

x2 −6 x +

(

3) 3 + 2 2
6) e

1
= 
 3

5
2

2 x +3

=1

10 − 3

)

5 x −7

9)

5 x −3 x3

(

= 19 + 6 10

)

x 2 −1

)

4 x −1

1
= 
e

x +1
27 x −1

(

= 3− 2 2

)

2 x +3

x2 −3

4 x−2

1
= .81 x + 2
9

2 x 2 −1

= 16 2

x − x2

6) ( x + 2 )

=1

)

x −2

=1

x2 − x −5

= ( x + 2)

x +10

Đ/s: x = -1; x = 5


5 ± 13
x=
Đ/s: 
2

 x = −2
 x = −1
Đ/s:  x = 2
 x = 4

=1

= ( x − 3)

x2 − x

(

2) 2

2

)

11)

5 x 2 − 4 x −1

x 2 − 4 x −1

8) 9

1  1 
10) 3x.  =  
 3   27 
Bài II: Giải các phương trình sau

x 2 − x −5

2

9) ( x + 1)
= 1 Đ/s: x = 3
Bài III: Giải các phương trình sau
x −3

1) 2 x.3x −1.5 x − 2 = 12

2) 5 4 x − 6 = 253 x − 4

3) 9.22 x = 8. 32 x+1

4) 32 x −7 = 0.25.128 x −3

5)

(

10 + 3

)

x−4
x

=

(

x −5

10 − 3

)

x

x+4

7) 3.4 x +1 + 3−1.9 x + 2 = 6.4 x +1 − 2−1.9 x +1
8) 9 x − 2
9) 5

x+

1
2

x+

3
2

=2

x+

1
2

Đ/s : x =

− 32 x −1

− 9 x = 32 x − 2 − 5

x−

1
2

10) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

6)

(

5+2

7
5

x +17

)

x −3

=

(

5−2

Đ/s : x = 13

)

x −3
x +1

Đ/s: x = −

1
2

 9 
Đ/s: x = log 9 

2 2 2 
3
2
Đ/s: x = 0

Đ/s: x =

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Tài liệu bài giảng:

04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P2

Thầy Đặng Việt Hùng
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Phương trình chia rồi đặt ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình: 3.9 x + 7.6 x − 6.4 x = 0 .
Hướng dẫn giải:
 3  x 2
  = ⇒ x = −1
2x
x
3
2
3
3
Phương trình đã cho tương đương: 3.   + 7.   − 6 = 0 ⇔ 
.
x

2
2
3


  = −3 < 0
 2 
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = −1.

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
−

1

−

1

−

1

b) 4 x + 6 x = 9 x
d) (ĐH khối A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0

a) 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x = 0
c) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0

Hướng dẫn giải:
x

a) Chia cả hai vế của (1) cho 9 ta được
 4  x 4
  =
12
16
4
4
3
3
x =1
→   x
⇔

(1) ⇔ 64 − 84.  + 27.  = 0 ⇔ 27.   − 84.  + 64 = 0 
2

x = 2
 9
9
3
3
 4  16  4 
  = =  
9 3
 3 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
b) Điều kiện: x ≠ 0.
 3 t 1 + 5
  =
t
t
2t
t
1
9
6
3
3
2
Đặt − = t , ( 2 ) ⇔ 4t + 6t = 9t ⇔   −   − 1 = 0 ⇔   −   − 1 = 0 ⇔  2 t

x
4 4

2
2
 3  1− 5
<0
  =
2
 2 
x

x

2x

x

t
1+ 5 
1
 3  1+ 5
3
Từ đó ta được   =
⇔ t = log 3 
→ x = − = − log 1+ 5   .
 

2
2
2
t
 

2

2
2

c) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 ⇔ 81.9 x + 45.6 x − 36.4 x = 0
 3  x 4  3  −2
  = =  
x
x
2x
x
9 2
2
9
6
3
3
⇔ 81.   + 45.   − 36 = 0 ⇔ 81.  + 45.   − 36 = 0 ⇔ 

→ x = −2.
x

4
4
2
2
3




= −1 < 0
 2 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –2.
d) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0
  3 x 3
.  =
x
x
x
3x
2x
x
2
2
 12   18 
 27 
3
3
3

⇔ 3 + 4.   −   − 2.   = 0 ⇔ 2.   +   − 4.  − 3 = 0 ⇔

→ x = 1.
x

8 8
 8 
2
2

2
3


.
  = −2 < 0
  2 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Dạng 2: Phương trình có tích cơ số bằng 1
Cách giải:
Do ab = 1 ⇔ ( ab )

f ( x)

= 1 
→ b f ( x) =

1
a

f ( x)

1
t

Từ đó ta đặt a f ( x ) = t , (t > 0) 
→ b f ( x) =

Chú ý:

(
(

Một số cặp a, b liên hợp thường gặp:

)(
5 + 2 )(

) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 1
5 − 2 ) = 1; ( 7 + 4 3 )( 7 − 4 3 ) = 1...

2 +1

2 − 1 = 1;

( 2 ± 1)
3 = (2 ± 3)

3± 2 2 =

2

7±4

2

Một số dạng hằng đẳng thức thường gặp:

Ví dụ mẫu.
Giải các phương trình sau:

a)

(

2+ 3

) +(
x

2− 3

)

x

=4

b)

c) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 x +3

x

(

3

...

3+ 8

d) ( 2 + 3 )

x

) +(
x

( x −1)

2

3

3− 8

)

+ (2 − 3)

x

=6

x − 2 x −1
2

=

4
2− 3

Hướng dẫn giải:

a)

(

Do

Đặt

2+ 3

) +(
x

(

2+ 3

(

2+ 3

2− 3

)

x

)(

2 − 3 =1⇔

)

)

= t , (t > 0) 
→

x

(1) .

= 4,

(

2+ 3

(

) .(
x

2− 3

)

x

)

2− 3

x

= 1 
→

(

2− 3

)

x

=

1

(

2+ 3

)

x

1
= .
t

t = 2 + 3
1
Khi đó (1) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 1 = 0 
→
t
t = 2 − 3

(
3⇔(

)
3) =2−

Với t = 2 + 3 ⇔

2+ 3

Với t = 2 −

2+

x

=2+ 3 =

x

(

) → x = 2.
3) = ( 2 + 3 )
2

2+ 3

(

3 = 2+

−2

−1


→ x = −2.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2.

b)

(

Do

Đặt

3+ 8

3

(

3

(

3

) +(

3+ 8

x

)(

3+ 8

)

3

x

3

3− 8

)

x

( 2).

= 6,

) (

)(

)

3− 8 = 3 3+ 8 3 + 8 =1⇔

= t ,(t > 0) 

→

(

3

3− 8

)

x

(

3

3+ 8

) .(
x

3

3− 8

)

x

= 1 

→

(

3

3− 8

)

x

=

1

(

3

3+ 8

)

x

1
= .
t

t = 3 + 8
1
Khi đó ( 2 ) ⇔ t + − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 1 = 0 
→
t
t = 3 − 8
Với t = 3 + 8 ⇔

(

3

3+ 8

)

x

(

= 3+ 8 ⇔ 3+ 8

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

)

x
3

= 3 + 8 

→ x = 3.

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Với t = 3 − 8 ⇔

(

3

3+ 8

)

x

(

= 3− 8 = 3− 8

)

−1

(

⇔ 3+ 8

x
3

) = (3 − 8 )

−1


→ x = −3.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±3.

c) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2
x

x

x

x

x+ 3

x

 5 − 21 
 5 + 21 
⇔

 + 7.
 = 8,
 2 

2 

x

( 3) .

x

x

 5 − 21   5 + 21   5 − 21 5 − 21 
 5 − 21 
1
Ta có 
.
→
 
 = 
 = 1 
 =
x
 2  
2   2
2 
 2 
 5 + 21 




2 
x

x

 5 + 21 
 5 − 21  1
Đặt 
→
 = t ,(t > 0) 
 = .
 2 

2 
t

t = 1
1
2
Khi đó ( 3) ⇔ + 7t − 8 = 0 ⇔ 7t − 8t + 1 = 0 
→ 1
t
t =
 7
x

 5 + 21 

Với t = 1 ⇔ 
→ x = 0.
 = 1 

2 
x

 5 + 21 
1
1
Với t = ⇔ 
→ x = log 5+
 = 
7

2 
7

21
2

1
 .
7

x = 0
1
Vậy phương trình có hai nghiệm  x = log

5 + 21  

7

2

d) ( 2 + 3 )

(

( x −1)2

+ (2 − 3)

)

2 − 3 ( 2 + 3 )( 2 + 3 )

Đặt t = ( 2 + 3 )

x2 − 2 x

x 2 − 2 x −1

x2 − 2 x

=

(

)

(

)

+ (2 − 3)

x2 − 2 x

x 2 − 2 x +1
x 2 − 2 x −1
4
⇔ 2 − 3 (2 + 3)
+ 2 − 3 (2 − 3)
=4
2− 3

+ (2 − 3)

x2 − 2 x

, (t > 0) 
→(2 − 3)

= 4 ⇔ (2 + 3)

x2 − 2 x

x2 − 2 x

= 4,

( 4 ).

1
= .
t

(
(


t = 2 + 3
 2+ 3
1
2
Khi đó ( 4 ) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t − 4t + 1 = 0 
→
⇔
t
t = 2 − 3
 2+ 3


)
)

x2 − 2 x

x2 − 2 x

=2+ 3

 x2 − 2 x = 1
⇔ 2
 x − 2 x = −1
=2− 3

Với phương trình x 2 − 2 x = 1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 2 ± 2
Với phương trình x 2 − 2 x = −1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1.
x = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm 
x = 2 ± 2
Dạng 3: Phương trình đặt ẩn phụ trực tiếp bằng phép quan sát

2x
18
= x −1 1− x
x −1
x
2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2
Hướng dẫn giải:
8
1
18
Viết lại phương trình dưới dạng: x −1
+ 1− x
= x −1 1− x
2 +1 2 +1 2 + 2 + 2
x −1
u = 2 + 1

Đặt 
, u, v > 1
1− x
v = 2 + 1

Ví dụ 1: Giải phương trình:

8

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

+

Mobile: 0985.074.831


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

(

)(

Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

)

Ta có u.v = 2 x −1 + 1 . 21− x + 1 = 2 x −1 + 21− x + 2 = u + v
18
8 1
u = v = 2

u + 8v = 18 
 + =
Phương trình tương đương với hệ  u v u + v ⇔ 
⇔
u = 9; v = 9
u + v = uv
u + v = uv
8

x −1
2 + 1 = 2
+ Với u = v = 2, ta được:  1− x
⇔ x =1
2 + 1 = 2
 2 x −1 + 1 = 9
9

+ Với u = 9; v = , ta được:  1− x
9 ⇔ x=4
8
2 + 1 =
8

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 1 và x = 4.

Ví dụ 2: Giải phương trình: 22 x − 2 x + 6 = 6
Hướng dẫn giải:

Đặt u = 2 ; u > 0.
x

Khi đó phương trình thành u 2 − u + 6 = 6

Đặt v = u + 6, điều kiện v ≥ 6 ⇒ v 2 = u + 6
2
u − v = 0
u = v + 6
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ  2
⇔ u 2 − v 2 = − ( u − v ) ⇔ ( u − v )( u + v ) = 0 ⇔ 
u + v + 1 = 0
v = u + 6
u = 3
+ Với u = v ta được: u 2 − u − 6 = 0 ⇔ 
⇔ 2x = 3 ⇔ x = 8
u = −2( L)


−1 + 21
u =
21 − 1
21 − 1
2
+ Với u + v + 1 = 0 ta được u 2 + u − 5 = 0 ⇔ 
⇔ 2x =
⇔ x = log 2

2
2
−1 − 21
(1)

u =
2

21 − 1
.
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 8 và x = log 2
2
Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ 1: Giải phương trình

a) 125 x + 50 x = 2 3 x +1
b) 4

−

1
x

+6

−

1
x

=9

−

1

x

c) (ĐH khối A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0
Ví dụ 2: Giải phương trình

(

a) 3 + 5

) + (3 − 5 )
x

x

− 7.2x = 0

b) 4lg10 x − 6lg x = 32lg100 x
Ví dụ 3: Giải phương trình
a) ( 2 −1) x + ( 2 + 1) x − 2 2 = 0.B − 07

(
) (
) =
c) ( 2 + 3 )
+ (2 − 3 )
10 + 3

b)

x2

+

10 − 3

x2 − 1

x 2 − 2 x +1

x 2 − 2 x −1

Ví dụ 4: Giải phương trình
a)

(

7+4 3

) +(
sin x

10 + 4

7−4 3

)

sin x

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

=

(

101

10 2 − 3

)

=4

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

(

b) 7 + 5 2

) +(
x

)(

2 −5 3+ 2 2

)

x

+ 3(1 + 2) x + 1 − 2 = 0

Ví dụ 5: Giải phương trình
a) 5.2

3 x −1

− 3.25−3 x + 7 = 0

b) 4.33 x − 3x +1 = 1 − 9 x
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) ( 5 +
c)

(

24 )

x

+ (5 −

) (
x

5 + 21 +

(

e) 2 + 3

24 )

x

x

)

= 10
x

x

x

7+3 5 
7−3 5 
b) 
 + 7 
 =8
2 
2 




5 − 21 = 5.22

d)

) + (7 + 4 3 )(2 − 3 )
x

x

(

= 4 2+ 3

)

(

4 − 15

) (
x

+

4 + 15

)

x

=8

Bài 2: Giải các phương trình sau:
1
x

1
x

1
x

1

1

1

a) 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0

b) 2.4 x + 6 x = 9 x

c) 6.32 x − 13.6 x + 6.22 x = 0

d) 3.16 x + 2.81x = 5.36 x

e) 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x = 0
Bài 3: Giải các phương trình sau:

) ( 5 − 1) = 2
b) ( 26 + 15 3 ) + 2 ( 7 + 4 3 )
a) 3

(

x

5 +1 −

x

x

x +1
x

(

−2 2+ 3

)

x

−1 = 0

Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 5.3 2 x −1 −7.3x −1 + 1 − 6.3x + 9 x +1 = 0

b) 4 x + 4− x + 2 x + 2− x = 10

c) 31− x − 31+ x + 9 x + 9− x = 6

d) 8 x +1 + 8.(0,5)3 x + 3.2 x + 3 = 125 − 24.(0,5) x

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Tài liệu bài giảng:

04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
IV. PHƯƠNG PHÁP LOGARITH HÓA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Khái niệm:
Là phương trình có dạng a f ( x ) .b g ( x ) = c, (1)
trong đó a, b nguyên tố cùng nhau, f(x) và g(x) thường là hàm bậc nhất hoặc bậc hai.
Cách giải:
Lấy logarith cơ số a hoặc cơ số b cả hai vế của (1) ta được
(1) ⇔ log a a f ( x ) .b g ( x ) = log a c ⇔ log a a f ( x ) + log a b g ( x ) = log a c ⇔ f ( x) + g ( x) log a b = log a c,

(

)

( 2).

(2) thu được là phương trình bậc nhất của x, hoặc phương trình bậc hai có thể giải đơn giản.
Chú ý:
Những dạng phương trình kiểu này chúng ta cố gắng sử dụng tính chất của hàm mũ để biến đổi sao cho c = 1. Khi đó
việc logarith hóa hai vế với c = 1 sẽ cho phương trình thu được đơn giản hơn rất nhiều.
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
b) 5x.3x = 1
Hướng dẫn giải:

a) 3x.2 x+1 = 72

c) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x

2

3x.2 x +1
= 1 ⇔ 3x − 2.2 x − 2 = 1 ⇔ 6 x −2 = 1 
→ x = 2.
9.8
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

a) 3x.2 x +1 = 72 ⇔

(

b) 5x.3x = 1 ⇔ log 3 5 x.3x
2

2

) = log 1 ⇔ log 5
3

3

x

+ log 3 3x = 0 ⇔ x log 3 5 + x 2 = 0
2

x = 0
⇔ x ( log 3 5 + x ) = 0 
→
 x = − log 3 5
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = –log35.

( )

( )

c) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x ⇔ 8.73 x = 8.52 x ⇔ 73 x = 52 x ⇔ lg 73 x = lg 52 x ⇔ 3 x.lg 7 − 2 x.lg 5 = 0

→ x ( 3lg 7 − 2lg 5 ) = 0 ⇔ x = 0.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0.

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a) 5 x.8

a) 5 x.8

x +1
x

x +1
x

2 x −1

= 500

= 500,

(1) .

c) 2 x −3 = 5 x
Hướng dẫn giải:

2

−5 x + 6

d) x 2lg x = 10 x

Điều kiện: x ≠ 0.

 x −3 
x−3
= 53− x ⇔ log 2  2 x  = log 2 53− x ⇔

= ( 3 − x ) log 2 5


x


x = 3
⇔ ( log 2 5 ) x 2 − 3 ( log 2 5 − 1) x − 3 = 0 
→
1
 x = log 5

2

(1) ⇔ 5x.2

3

x +1
x

b) 5 x.2 x +1 = 50

2 x −1

= 53.22 ⇔ 2

b) 5 x.2 x +1 = 50,
2 x −1

( 2 ).

x −3
x

(

)

Điều kiện: x ≠ –1.

2 x −1

−1 
2x −1
= 1 ⇔ log 2  5 x − 2.2 x +1  = log 2 1 = 0 ⇔
− 1 + ( x − 2 ) log 2 5 = 0


x +1


x = 2
x − 2 = 0

(1 + log 2 5)
1
⇔ x − 2 + ( x − 2 )( x + 1) log 2 5 = 0 
→
⇔

x = −
=−
1 + ( x + 1) log 2 5 = 0
log 2 5
lg 5


( 2 ) ⇔ 5x.2 x +1

2 x −1

= 52.2 ⇔ 5 x − 2.2 x +1

−1

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ; x = −
c) 2 x −3 = 5 x

2

(

−5 x + 6

(

)

⇔ log 2 2 x −3 = log 2 5 x

2

1
.
lg 5

−5 x + 6

) ⇔ x −3 = (x

2

)

− 5 x + 6 log 2 5

x = 3
x − 3 = 0

⇔ ( x − 3) 1 − ( x − 2 ) log 2 5 = 0 
→
⇔

 x = log 2 50 = log 5 50
 x log 2 5 = 1 + 2log 2 5

log 2 5
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 ; x = log5 50.

d) x 2lg x = 10 x,

( 4 ) . Điều kiện: x > 0.

( 4 ) ⇔ lg ( x

lg x = 1
 x = 10
= lg (10 x ) ⇔ 2lg x − lg x − 1 = 0 ⇔ 
⇔
1
lg x =
 x = 10

2

2lg x

)

2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 10 ; x = 10.

BÀI TẬP LUYỆN TÂP:
Bài 1. Giải phương trình
x −1
x

a) 5x.8

= 500

x

b) 3x.8 x +1 = 36
c) 34 = 43
x

x

Bài 2: Giải các phương trình sau :
a) 53− log5 x = 25 x

b) 9.x log9 x = x 2

c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3

d) x

3 2
3( log x ) − log x
3

= 100. 3 10

Bài 3: Giải các phương trình sau :
a) x log 9 + 9log x = 6

b) 3log 2 x + x log 2 3 = 63log2 x

c) 4log2 2 x − x log2 6 = 2.3log2 4 x

d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3

(

lg 100 x 2

2

)

Bài 4: Giải các phương trình sau :
a) 2

(

2 log 3 x 2 −16

)

+2

(

)

log 3 x 2 −16 +1

= 24

b) 21+( log2 x ) + 224 = x 2log 2 x
2

c) xlgx −3lg x−4,5 = 10−2lg x
2

Bài 5: Giải các phương trình sau :
a) 4 x

2

+ 2 x −8

9

= 5x−2

b) 7 x.2 x+1 = 392

2 x −1

d) 5x.2 x +1 = 50

e) 2 x

2

−2 x

.3x =

3
2

c) 2 x.39− x = 8
2

f) 3x −1 = 5x

2

−1

HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1. Giải phương trình
a) 5 x.8
a) 5 x.8

x −1
x

x −1

x

x

= 500

b) 3x.8 x+1 = 36

= 500 ⇔ 5 .2
x

3( x −1)
x

= 5 .2 ⇔ 2
3

2

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

3( x −1)
x

−2

= 53 − x ⇔

c) 34 = 43
x

x

x = 3
x−3
= ( 3 − x ) log 2 5 ⇔ 
x
 x = − log 2 5

Mobile: 0985.074.831


Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
x

b) 3x.8 x +1 = 36 ⇔ 3

3x
x+1

3x

−2

= 22.32 ⇔ 3 x +1 = 4 ⇔

 x ≠ −1
2 + log3 4

x−2
= log3 4 ⇔ 
⇒x=
x +1
1 − log3 4
(1 − log3 4 ) x = 2 + log3 4

x

x
x
 4
c) 34 = 43 ⇔ 4 x = 3x.log3 4 ⇔   = log3 4 ⇒ x = log 4 ( log3 4 )
 3
3

Bài 2: Giải các phương trình sau :
a) 53− log5 x = 25 x

b) 9.x log9 x = x 2
3 2
3( log x ) − log x
3

c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3
d) x
GIẢI
x > 0
x > 0


3− log5 x
a) 5
= 25 x ⇔  53
⇔ 3
⇔ x2 = 5 → x = 5
2 2
=
x
5
5
=
x
25

 log5 x
5

= 100. 3 10

b) 9.x 9 = x 2 ⇔ Lấy loga cơ số 9 hai vế , ta có phương trình :
 x > 0
 x > 0
x > 0
⇔
⇔
⇔
⇔ x=9>0

2
2

1 + ( log 9 x ) − 2log 9 x = 0 ( log 9 x − 1) = 0 log 9 x = 1
log x

c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3 . Sử dụng công thức : a logc b = blogc a . Phương trình biến đổi thành :
3log2 x > 0
⇔ 9log2 x − x 2 .3log2 x + 3log2 x = 0 ⇔ 3log2 x ( 3log2 x − x 2 + 1) = 0 ⇔  log x
⇔ 3log2 x = x 2 − 1
2
2
x
3
−
+
1
=
0

t
2
t
Đặt : t = log 2 x ⇒ x = 2 ↔ x = 4 . Phương trình :
t

t

3 1
⇔ 3log2 x = x 2 − 1 = 3t = 4t − 1 ⇔   +   − 1 = 0 .
4 4
t

t

t

t

3 1
3 3 1 1
Xét hàm số f (t ) =   +   − 1 → f '(t ) =   ln   +   ln   < 0 .
4 4
4 4 4 4
Chứng tỏ hàm số f(t) là một hàm số nghịch biến.
Do f(1) = 0 cho nên với t = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất log 2 x = 1 → x = 2 .
d) x

3 2
3( log x ) − log x
3

3 2
3( log x ) − log x
3

x

= 100. 3 10 . Lấy log hai vế , phương trình trở thành :


t = log x


2
1
3


= 100. 3 10 ⇔  3( log x ) − log x  log x = 2 + ⇔ 0 < x ≠ 1
3
3 


2
7
3t 4 − t 2 − = 0
3
3






0 < x ≠ 1
7

t = log x
−

3
x
=

10
7



⇔ 0 < x ≠ 1 ⇔ log x = −
⇔
7
3
 2

 x = 10 3

t
=
−
1



7
 2 7
log x =
3

 t =
9
 
Bài 3: Giải các phương trình sau :
a) x log 9 + 9log x = 6

b) 3log 2 x + x log 2 3 = 63log2 x

c) 4log2 2 x − x log2 6 = 2.3log2 4 x

d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3

2

(

lg 100 x 2

)

0 < x ≠ 1
1
0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1  0 < x ≠ 1

2
a) x log 9 + 9log x = 6 ⇔  log x
⇔
⇔
⇔
↔
=
10
= 10
x

 log x
 2log x

1
log x
= 3 log x =
9 + 9 = 6
9 = 3
3

2

Học trực tuyến tại: www.moon.vn

Mobile: 0985.074.831