bài tập lượng giác

Bài tập phương trình lượng giác
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT
1) 5cosx - 2sin2x = 0

2) sin4x = 2cos2x - 1

3) 8sinxcosxcos2x = -1

4)

2 + 2 + cos x = 1
6) 6tan(2x - π /3) = -2 3
8) tan(2x - π /3)tan( π /6 - x) = 1

5) sin2x – sinx = 0
7) 2sin2x + 2 sin4x = 0
9) cot2xcot(-x + π /4) = 1

sin 2 x

= tan 6 x
π
2cos x − 2sin
4
x
4 x
12) cos
− sin 4 = sin 2 x
2
2
10)

2

11) cot 2 x +
4

2

1
= 25
sin 4 2 x

13) sin x + cos x =
8

8

17
32

14) tan2x - tan3x – tan5x = tan2xtan3xtan5x
15) tan22x - tan23x + tan5x = tan22xtan23xtan5x
16) Tìm các nghiệm thuộc [0; π ] của phương trình sin(3x- π /6) = 3 / 2
17) Tìm các nghiệm thuộc [-2000;1800] của phương trình cot(450 - x) =

3 /3

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1) 3tan 2 x − 3tan x −

5
=0
2

2) cot x − tan x + 4sin 2 x =

2
sin 2 x

3) 5sin x − 4sin x − 1 = 0

4) cos 2 x − 3cos x − 4 = 0

5) 2cos x − 3cos x + 1 = 0

6) cos(4 x + 2) + 3sin(2 x + 1) = 2

7) tan 3 x − 3tan 3 x + 1 = 0

8) cos 2 x + 6cos 2 x =

1 + 2sin 2 x − 3 2 sin x + sin 2 x
9)
=1
2sin x.cos x − 1

10) sin2 2x – 2cos2x +3/4 = 0

11) sin2 2x – sin2x = sin2π /4

12)

2

2

4

4

13)

4 sin 2 2 x + 6 sin 2 x − 9 − 3 cos 2 x
=0
cos x

14)

3
sin 2 x

2

25
16

= 3cot x + 3

cos x(cos x + 2 sin x ) + 3 sin x(sin x + 2 )
=1

sin 2 x − 1

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI

sin x,cos x

1) sin 2 x − 3cos 2 x = 3

2) 2(sin x + cos x)cos x = 3 + ( 3 + 1)cos 2 x

3) (1 + 3)sin x + (1 − 3)cos x = 2

4) cos7 x − sin 5 x =

5)

3 sin x + cos x = 3

3(cos5 x − sin 7 x)

6) 10cos x − 24sin 2 x = 13

Chúc các em học tốt!


Bài tập phương trình lượng giác
7) sin 2 x +

6 cos x = 3cos 2 x + 2 sin x

9) sin 4 x − cos 4 x = 1 + 2 2 sin x.cos x
11) 2( 3 sin x − cos x) =
12)

8) 4cos3 x − 3 sin 3 x = 1 + 3cos x
10) 2 2(sin x + cos x )cos x = 3 + cos 2 x

7 sin 2 x + 3(cos 4 x − sin 4 x)

x π
x π
x 2π
3x π
2 cos( − ) − 6 sin( − ) = 2sin( +
) − 2sin( + )
5 12
5 12
5 3
5 6

13) (Công nghiệp 96) cos7xcos5x 14) (Mỏ 95) 3sin3x -

3 sin 2 x = 1 – sin7xsin5x

3 cos9x = 1 + 4sin33x

15) (GTVT 00) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x
16) (KTQD 97) Tìm các nghiệm trong (2π /5; 6π /7): cos7x - 3 sin7x = - 2
17) (BCVT 01) 4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3 3 cos4x = 3
18) 2sin4x + 3cos2x + 16sin3xcosx – 5 = 0

19) (Thương mại 00) 3 sin 2 x − 2 cos 2 x = 2 2 + 2 cos 2 x
20) (SP Quy Nhơn 98) sin x + 3 cos x + sin x + 3 cos x = 2
π
5π
4sin( + x)sin( + x )
21)
22) 4(sin 4 x + cos 4 x ) + 3 sin 4 x = 2
6
6
+
2
tan
x
=
0
cos 2 x
23) sin 3 x.cos x +

1
1
2
cos 4 2 x = sin x.cos 3 x + sin 4 2 x +
4
4
8

24) sin2x + cos2x =

2 sin3x

25) cos3x – sinx =

π
3
1
− 3x) +
sin 5 x + cos 5 x = 0
2
2
2
28) sin(x + π /4) + cos(x + π /4) = 2 cos7x
26) cos(

2 cos(x – π /5) + cos3x

27) sin3x =

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP ĐỐI VỚI

sin x , cos x

2) 3sin x − 4sin x cos x + cos x = 0
2

1) 2 3 cos 2 x + 6sin x.cos x = 3 + 3
3)

3 (cosx –sin3x )

1 − tan x

= 1 + sin 2 x
1 + tan x

4) sin ( x −
3

π
) = 2 sin x
4

5) 6cos3 x + 10sin 3 x − 11sin x − 3cos x = 0

6) sin 2 x sin x + sin 3 x = 6cos 3 x

7) cos3 x − sin 3 x = sin x − cos x

8) 4sin x + 6cos x =

9) 8cos x =

3
1
+
sin x cos x

10) 8sin x =

11) sin 3 x − 5sin 2 x cos x + 7sin x cos 2 x − 2cos 3 x = 0

Chúc các em học tốt!

1
cos x

3
1
+
cos x sin x


Bài tập phương trình lượng giác
PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI
1) sin x + cos x − 2sin x cos x + 1 = 0

sin x , cos x

2) sin 3 x + cos3 x = sin 2 x + sin x + cos x

3) tan x − 3 cot x − sin x + 3 cos x + 1 − 3 = 0
4) 2(tan x − sin x ) + 3(cot x − cos x) + 5 = 0

5) sin x + cos x = 2(sin x + cos x)

6) 1 + cos3 x − sin 3 x = sin 2 x

7) sin x + cos x = ( 3 − 1)cos 2 x

8) cos x +

1

1
10
+ sin x +
=
cos x
sin x 3

3

3

9) sin 2 x + 2 sin( x −

10) sinxcosx + cosx + sinx = 1

5

5

π
) =1
4

11) 1 + tan x = 2 2 sin x
PTLG ĐỐI XỨNG

tan x , cotx

1) tan 3 x + tan 2 x + tan x + cot 3 x + cot 2 x + cot x = 6
2) tan x − cot x − 3(tan x + cot x ) − 3(tan x − cot x ) + 10 = 0

3

3

2

2

4) 5(tan x + cot x) − 3(tan x + cot x) − 8 = 0
2

3) tan 3 x + tan 2 x + cot 2 x + cot 3 x − 4 = 0

11
1
− 2
3 sin x
4
4
2
7) 8(tan x + cot x ) = 9(tan x + cot x ) − 10
5) tan x − 2(tan x + cot x) =
2

2

2
+ tan x + cot x + 2 tan 2 x = 8
2
sin x

8) sin x + cos x = tan x + cot x
6)

BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1) 2 cos x + sin x = 1

2)

log 6 x− x 2 (sin 3 x + sin x) = log 6 x − x2 sin 2 x
10

3) sin 3 x + cos3 x + sin 3 x cot x + cos 3 x tan x = 2sin 2 x
5) sin x sin 3 x + sin 4 x sin8 x = 0

4) sin 3 x = 2sin 3 x

ĐẶT ẨN PHỤ
1) tan 2 x − 3tan x − 9cot x + 9cot 2 x + 2 = 0
2) cos 2 x + cos 4 x + cos6 x = cos x cos 2 x cos3 x + 2
3) 2 + sin x cos x + sin x + cos x =
2
4) cos2x - 3cosx = 4 cos

2
2
6) sin 3 x = sin 3( x +

x
2

6
sin 2 x + 2 sin x + cos x
π
5) tan x + tan( x + ) = 1
4

π
π
) − 3 sin( − 3 x) + 2
2
2

7) 2cos2x + 2tan2x = 5

Chúc các em học tốt!

10


Bài tập phương trình lượng giác
8) cos x + 2cos 2 x = 2 + cos3 x
10) tan 2 x + cot 2 x +
3

3

9) sin x + cos x = (sin x + cos x) +
8

6

8
= 3
sin 2 x sin 4 x

11) 2cos 2 x − 8cos x + 7 =

6) sin x + sin ( x +

5) sin x = cos x + cos 3 x
2

10

10

5
cos 2 x
4

1
cos x

CÔNG THỨC HẠ BẬC
2) 2sin2 (x + 1) = 1
4) cos2 (x – π /5) = sin2(2x + 4π /5)

1) 4cos2(2x - 1) = 1
3) cos2 3x + sin2 4x = 1
2

8

4

2

4

π
π 9
) + sin 4 ( x − ) =
4
4 8

BIẾN ĐỔI THÀNH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
1) 1 + cos x + cos 2 x + cos3 x = 0

2) 1 + sin x + cos3 x = cos x + sin 2 x + cos 2 x

3) sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x
4) 2cos3 x + cos 2 x + sin x = 0

5) cos x + cos3 x + 2cos5 x = 0

6) 2sin 3 x − cos 2 x + cos x = 0

7) sin 3 x + cos3 x = cos 2 x

8) cos x + sin x + cos x = 0

9) cos x + sin x = cos x + sin 2 x + sin x

10) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x

11)

2

3

3

3

1 + cos x
cos x
14) 1 + tanx = sinx + cosx

1 − tan x
= 1 + sin 2 x
1 + tan x
1 − cos x
2
13) tan x =
1 − sin x
15) (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx

16) sin2x(1 + tanx) = 3sinx(cosx - sinx) + 3

17) 1 + tanx = 2sinx +

18) 1 + 3sin2x = 2tanx
20) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx
22) sin2x + cos2x + tanx = 2
24) 2cos3 x + cos2x + sinx = 0

19) sin2x + 2tanx = 3
21) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
23) 2sin3x – sinx = 2 cos3 x – cosx + cos2x
25) (cosx – sinx )sinxcosx = cos2xcosx

26) cos3x – sin3x = cos2x

27)

28) 2cos2x + sin2xcosx + cos2xsinx = 2(sinx +cosx)
29) tan2x – tanxtan3x = 2
31) tanx +cot2x = 2cot4x
33) tan2x – tanx tan3x = 2
35) 3tan3x + cot2x = 2tanx + 2/ sin4x
37) tanx + 2cot2x = sin2x
39) sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2
41) cos2x + cos22x + cos23x = 1
43) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2

30) tanx + tan2x = tan3x
32) tanx – 3cot3x = 2tan2x
34) 6tanx+ 5cot3x = tan2x
36) cos2x + cos22x + cos23x + cos2 4x = 3/2
38) sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx

40) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
42) sin23x - cos24x = sin25x - cos26x

2
12) tan x =

44)

1 − cos 4 x
sin 4 x
=
2 sin 2 x 1 + cos 4 x

45)

1
cos x

sin 3 x + cos 3 x
= cos 2 x
2 cos x − sin x

1 + 2 sin 2 x − 3 2 sin x + sin 2 x
=1
2 sin x cos x − 1

Chúc các em học tốt!


Bài tập phương trình lượng giác

1 − cos 2 x
sin 2 2 x
cos 2 x
1
+ sin 2 x − sin 2 x
48) cot gx − 1 =
1 + tgx
2
cos 2 x + 3 cot g 2 x + sin 4 x
=2
50)
cot g 2 x − cos 2 x

sin 2 x + 2 cos 2 x − 1
= cos x
cos x − cos 3 x + sin 3 x − sin x
2
49) cotx – tanx + 4sin2x =
sin 2 x

46) 1 + cot g 2 x =

47)

PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
1) cos 4 x + cos 8 x = sin 12 x + sin 16 x + 2
2

2

2

2

2) 4cos 2 x + 3tan 2 x − 4 3 cos x + 2 3 tan x + 4 = 0
3)

tan x −1 + cot x −1 =

(

1
sin 2 x

5) sin x + cos x = 2(sin x + cos x ) +
8

7) sin

2009

8

10

)

4) sin x + 3 cos x sin 3 x = 2
10

5
1
sin 6 x + cos 6 x
cos 2 x 6) (sin10 x + cos10 x) = 2
4
4
sin 2 x + 4cos 2 2 x

x + cos 2010 x =1

8) sin20x + cos20x = 1

9) cos2x – cos6x + 4(3sinx – 4sin3x + 1) = 0

1 2
sin 3x = sinx sin2 3x
4
cos 2 x + 1 − sin 2 x = 2 sin x − cos x

10) sin2x +

11) cos2xcos25x = 1

12)
13) cos3 x + sin3 x = 2 – sin4x
14) (cos4x – cos2x)2 = 5 + sin3x
15) (cos4x – cos2x)2 = 6 + 2sin3x
16) 2(cos6x + cosx)2 = 4 + cos2 (3x/2)
17) cosπx = x2- 4x +5
18) 4 4 sin 2 x − 4 sin x + 2 + 8 sin 2 x − 8 sin x + 11 = 1 – 12sin2x + 12 sinx

19) cos13 x + sin14 x = 1

20) cos3x +

2 − cos 2 3 x = 2(1 + sin 2 2 x)

21) sinx + 2 − sin 2 x + sin x 2 − sin 2 x =3
22) sin4xcos16x = 1
2
3
2
3
23) tanx + tan x +tan x +cotx +cot x +cot x = 6
24) cos2xcos25x = 1
25) sin5x +cos5x + sin2x + cos2x = 1 + 2
26) cos2x +cos4x+ cos6x = cosxcos2xcos3x +2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
cotx
1)
= tanx + 1/sinx
2) sinx +cosx + sinx -cosx = 2
3) sinx -cosx + 4sin2x = 1

4) 8cos2x – 2cosx – 1 = 1 -2cos2x

5)

1 − cos x − 1 + cos x
= 4 sin x
cos x

7)

sin 2 x − 2 sin x + 2 = 2 sin x − 1

9) sin4xsinx – sin3xsin2x =
10)

6)

sin x + 3
=1
sin 2 x + 2 sin x − 3

8) 3 + 4 6 − (16 3 − 8 2 ) cos x = 4 cos x − 3

1
cos 3 x + 1 + cos x
2

3 sin 2 x − 2 cos 2 x = 2 2 + 2 cos 2 x

11) 2 sin(3 x +

Chúc các em học tốt!

π
) = 1 + 8 sin 2 x cos 2 2 x
4

Bài tập phương trình lượng giác
HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

x + y = π / 3

1)  sin x
 sin y = −2

sin 2 x = cos x cos y
3) 
2
cos x = sin x sin y

2 x − y = 2π / 3

2) 
y 1
sin x − sin 2 = 2
sin x + sin y = 3 / 2
4)  2
2
sin x + sin y = 5 / 4
4 2 sin 3 x cos x = sin y
6) 
4 2 cos 3 x sin x = cos y

 t anx − tan y + t anxtany + 1 = 0
5) 
cos 2 y + 3 cos 2 x = −1

sin y − 2 sin x = 0
2 cos x + cos y = 1

sin y = 5 sin x
3 cos x + cos y = 2

7) 

8) 

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
1) (sin x − 4cos x )(sin x − 2sin x.cos x) = 2cos x
2

2

4

2) tan x − 3cot x = 4(sin x + 3 cos x)

3) 3(cotx - cosx) – 5(tanx - sinx) = 2

sin 6 x + cos6 x
4) 8
5) sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx )
= tan 2 x + cot 2 x
sin 2 x
20
1

1
= ( tan x +
)cos 2 x − 9
6)
sin 2 x − 2(sin x − cos x) 2
sin x + cos x
2 x
2
7) 2cos (1 − sin x) + cos x = 0
8) tan2x cot2x cot3x = tan2x–cot22x + cot3x
2
x
7
7
4 x
9) 2(tan x + cot x ) = tan x + cot x
10) (sin x + 3)sin
− (sin x + 3)sin 2 + 1 = 0
2
2
11)
13)
15)
17)
19)

1 − tan x
= tan10 x
1 + tan x
π


2 2 cos3  x - ÷ - 3cosx - sinx = 0
4

cos2x - 1
π

tan  + x ÷ - 3tan 2 x =
cos 2 x
2

π

2 2 cos3  x - ÷ - 3cosx - sinx = 0
4

2+3 2
cos 3cos3 x − sin 3x sin 3 x =
8
2
2
2
( 2sin x − 1) tg 2 x + 3 ( 2 cos x − 1) = 0

12) sin2x + cos2x + 3sinx - cosx - 2 = 0
sinx
 3π

- x÷ +
=2

14) tan 
 2
 1+cosx
3π 

2 x
- 3cos2x = 1 + 2cos 2  x 16) 4sin
÷
2
4 

1
1
= 2cot2x
18) sin2x + sinx 2sinx sin2x
π

20) 2sin  2 x − ÷+ 4sin x + 1 = 0
6


21)
23) cos3x + sin3x + 2sin2x = 1

22) cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0
24) 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0
sin2x
cos2x
+
= tanx - cotx

25) 2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x)
26)
cosx
sinx
π 
3x

 5x π 
x π
27) 2 2 sin  x − ÷cos x = 1
28) sin  − ÷- cos  − ÷ = 2 cos
2
 12 
 2 4
2 4

Chúc các em học tốt!


Bài tập phương trình lượng giác
ĐỀ THI TS VÀO ĐH VÀ CĐ TỪ 2002
D02. Tìm nghiệm thuộc [0; 14]: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0
B02. sin23x - cos24x = sin25x - cos26x
cos3x + sin3x 

A02. Tìm nghiệm thuộc [0; 2 π ]: 5  sinx +
÷ = cos2x + 3
1 + sin2x 

x2

2
 2
2  xπ
= 0
D03. sin  - ÷tan x - cos
B03. cotx - tanx + 4sin2x =
2
sin2x
2 4
cos2x
1
+ sin 2 x - sin2x
A03. Tìm nghiệm thuộc [0; 2 π ]: cotx - 1 =
1 + tanx
2
D04. (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
B04. 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tan2x
π 
π 3

4
4
= 0
D05. cos + sin x + cos  x - ÷sin  3x - ÷ B05. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
4 
4 2

A05. Tìm nghiệm thuộc [0; 2 π ]: cos23xcos2x - cos2x = 0 A06.
x


B06. cotx + sinx 1 + tanxtan ÷ = 0
2

2
A07. (1 + sin x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
2

x
x

D07.  sin + cos ÷ + 3 cos x = 2
2
2

B08. sin3x CĐ08. sin3x -

3 cos3x = sinxcos2x -

3 cosxsin2x

3 cos3x = 2sin2x

B09. sinx + cosxsin2x +

3 cos3x = 2(cos4x + sin3x)

CĐ09. (1 + 2sinx)2cosx = 1 + sinx + cosx
B10. (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
5x
3x

CĐ10. 4cos cos
+ 2(8sinx – 1)cosx = 5
2
2
B11. sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx

2 ( cos6 x + sin 6 x ) - sinxcosx
2 - 2sinx

= 0

D06. cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0
B07. 2sin22x + sin7x - 1 = sinx
1
1
7π
+
= 4sin(
− x)
3π
A08. s inx
4
sin( x − )
2
D08. 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
(1 − 2sinx)cosx
= 3
A09.
(1 + 2sinx)(1 - sinx)
D09. 3 cos5x – 2sin3xcos2x – sinx = 0

π
(1 + sin x + cos 2 x)sin(x + )
A10.
4 = 1 cos x
1 + tan x
2
D10. sin 2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0
1 + sin 2x + cos2x
= 2 sin x sin 2x
A11.
1 + cot 2 x
sin 2x + 2 cos x − s inx − 1
=0
D11.
t anx + 3

CĐ11. cos4x + 12sin2x – 1 = 0

Chúc các em học tốt!