Đề thi HSG Toán 12 vòng 1 NH 06-07 của QNam

SỞ GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12-THPT
QUẢNG NAM NĂM HỌC 2006-2007
===== Môn : TOÁN(Vòng 1).
Thời gian :180 phút (không tính giờ giao đề)
Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số thực :
a)
2
3
1
2 2
1
5
5
9 log ( 2 3) 3 log (2 1 2) 0
x
x x
x x x
− −
−
− + + − + =
b)
2 2
( 2 2) 2x x x
− + = +
Bài 2: Cho dãy số (a
n
) được xác định như sau :
1 2 3
2
n-1 n-1 n-3 n-2
n

n-2 n-3
a 1,a 2,a 24
2a (3a .a 4a )
a , n 4
a .a
= = =


−

= ∀ ≥


Tìm a
n
?
Bài 3: Cho đa thức P(x) = x
n
+ a
1
x
n-1
+...+ a
n-1
x + 1, với các hệ số a
1
, a
2
,
a

3
,..., a
n-1
là các số thực không âm và có n nghiệm thực.
Chứng minh rằng: P(2006) ≥ 2007
n
.
Bài 4: Cho tam giác đều ABC có độ dài của cạnh bằng 1. Trên cạnh BC
dựng hai hình vuông kế tiếp nhau sao cho mỗi hình vuông có hai đỉnh
nằm trên BC và một đỉnh nằm trên một trong hai cạnh còn lại của tam
giác(mỗi cạnh bên của tam giác chỉ có một đỉnh của hình vuông). Gọi
diện tích của các hình vuông là S
1
và S
2
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S
1
+ S
2
.
Bài 5: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn:
0a b c
≥ ≥ >
. Chứng minh rằng :
2 2 2 2 2 2
3 4
a b c b a c
a b c
c a b

− − −
+ + ≥ − +
===//===
ĐỀ CHÍNH THỨC