1 số đề thi HSG toán 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 12
HÀ NỘI Năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Ngày thi 12 - 11 - 2009
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang )
Bài I (6 điểm)
Cho hàm số
2 2 2 2
( 1) ( 1) (1 )y x m m= − − + −
( m là tham số )
1. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số trên với trục hoành.
2. Xác định các giá trị của m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có
hoành độ tương ứng lập thành cấp số cộng.
Bài II ( 5 điểm )
1. Giải phương trình :
9( 4 1 3 2) 3x x x+ − − = +
2. Cho dãy số
( )
n
u
có
2
n
n
n
n
P
u
A
+

=
với n là số nguyên dương
(
n
P
là số hoán vị của tập hợp
gồm n phần tử,
2
n
n
A
+
là số chỉnh hợp chập n của n+2 phần tử).
Đặt
1 2
...
n n
S u u u= + + +
. Tìm
lim
n
S
Bài III (5 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A
’
B
’
C
’
D

’
có cạnh bằng a. Với M là một điểm thuộc cạnh AB, chọn
điểm N thuộc cạnh D
’
C
’
sao cho AM + D
’
N = a
1. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
2. Tính thể tích của khối chóp B
’
.A
’
MCN theo a. Xác định vị trí của điểm M để khoảng cách
từ B
’
tới mặt phẳng (A
’
MCN) đạt giái trị lớn nhất. Tính khoảng cách lớn nhất đó theo a.
3. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của điểm C xuống đường thẳng MN khi điểm M chạy
trên cạnh AB
Bài IV (4 điểm)
1. Cho hai số thực x, y thoả mãn
1 0x y≥ ≥ >
Chứng minh rằng :
3 2 3 2
2 2
1
x y y x

xy
x y
+ +
≥
+ +
2. Viết phương trình của đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y = (x - 1) (x
3
+ x
2
+ 1) tại
hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số.
…………………………..Hết…………………….
( Giám thị không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:…………………………………………Phòng thi:……Số báo danh:…………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 12
ĐỀ CHÍNH THỨC
HÀ TÂY Năm học 2005 - 2006
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài : 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang )
Bài I: (4 điểm)
Giải phương trình:
2
5 1 3 2 8 2 15 13 2 23x x x x x− + − = + − + −
Bài II: (7 điểm)
Cho hàm số :
3 2
1 2
3 3
y x mx x m= − − + +

(1) với m là tham số
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1). Tìm m để khoảng
cách giữa hai điểm cực trị đó là nhỏ nhất.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Gọi các hoành độ giao
điểm đó là: x
1
, x
2
, x
3
a, Tìm m để x
1
, x
2
, x
3
lập thành cấp số cộng
b, Tìm m để
2 2 2
1 2 3
15x x x+ + ≥
Bài III: (4 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A với B(-3;0), C(7;0). Tìm toạ
độ tâm I của đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, biết bán kính của đường tròn nội tiếp tam
giác đó là r =
5 2 5−
Bài IV: (5 điểm)
Cho đường tròn tâm O , có bán kính OK vuông góc với bán kính OA. Gọi M là trung điểm của
đoạn OK, phân giác của góc OMA cắt bán kính OA tại N. Qua N vẽ đường thẳng song song với
đường thẳng OK, cắt cung nhỏ AK tại B. Chứng minh rằng : AB là một cạnh của ngũ giác đều

nội tiếp của đường tròn đã cho.
……………..Hết……………
( Giám thị không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:……………………………………………………..
Phòng thi:………………………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………………..
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 12
HÀ TÂY Năm học 2004 - 2005
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài : 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang )
Bài I : (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
5 2
( )
3 2005
x
f x x x= − − +
với
0x
≥
Bài II: (7 điểm)
Cho hàm số
3 2
( )
4
x
y f x ax bx c= = + + +
1. Tìm a, b,c biết đồ thị hàm số đi qua các điểm O(0;0); A(1;1) và B(-1;1)

2. Gọi (C ) là đồ thị hàm số ứng với a; b; c tìm được ở câu 1
CMR: hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) với đường thẳng
1
2
y =
là
1
9
x cos
π
=
;
2
7
9
x cos
π
=
;
3
13
9
x cos
π
=
.
3. Gọi các giao điểm theo thứ tự là
1 2 3
, ,M M M
các tiếp tuyến tại các điểm

1 2 3
, ,M M M
lần
lượt cắt đồ thị (C ) tại các điểm
1 2 3
, ,N N N
(với
i i
M N≠
; I = 1, 2, 3 )
CMR các điểm
1 2 3
, ,N N N
thẳng hàng
Bài III: (6 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ):
2 2
4 0x y y+ − =
và đường thẳng d có
phương trình: 3x + 4y + 7 = 0. MP và MQ là các tiếp tuyến kẻ từ một điểm M bất kỳ trên đường
thẳng d tới đường tròn (C ), tiếp điểm là P, Q.
1. Xác định toạ độ của điểm M trên đường thẳng d sao cho độ dài đoạn thẳng PQ đạt giá trị
nhỏ nhất.
2. CMR: Nếu M di động trên đường thẳng d thì đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài IV: (4 điểm)
Cho hình tứ diện ABCD có AB = 1,5; CD = 3 các cạnh còn lại đều bằng 2.
a, Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b, P là một điểm tuỳ ý trong không gian
CMR: PA + PB + PC + PD

≥
5
……………………..Hết……………………
( Giám thị không giải thích gì thêm)
ĐỀ CHÍNH THỨC