NHỮNG CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Biên soạn và thực hiện vi tính : NguyÔn §øc B¸- GV THPT TIỂU LA THĂNG BÌNH
I/Các hệ thức cơ bản :

2 2
sin x cos x 1+ =

sinx
t anx= ,(x k )
cosx 2
π
≠ + π

cosx
cotx= ,(x k )
sinx
≠ π

k
t anx.cotx=1,(x )
2
π
≠

2
2
1
1 tan x,(x k )
2
cos x
π

= + ≠ + π

2
2
1
1 cot x,(x k )
sin x
= + ≠ π
II/Công thức cộng :
 Cos(x+y) = cosx.cosy-sinx.siny  Cos(x-y) = cosx.cosy+sinx.siny
Sin(x+y) =sinx.cosy+siny.cosx  Sin(x-y) =sinx.cosy-siny.cosx

tanx+tany
t an(x+y)=
1-tanx.tany

tanx-tany
t an(x-y)=
1+tanx.tany

cotx.coty-1
cot(x+y)=
cotx+coty

cotx.coty+1
cot(x-y)=
coty-cotx
III/Công thức góc nhân đôi:

2 2 2 2

cos2x=cos x sin x 1 2sin x 2cos x 1− = − = −
 sin2x = 2sinx.cosx

2
2 t anx
tan 2x
1-tan x
=
IV/ Công thức tính sinx,cosx,tanx theo: t = tan
x
, x (2k 1)
2
≠ + π
:

2
2 2 2
2t 1-t 2t
sinx= cosx t anx=
1+t 1 t 1-t+

V/Công thức biến đổi TÍCH thành TỔNG : VI/ Công thức biến đổi TỔNG thànhTÍCH :

[ ]
1
cosx.cosy= cos(x+y)+cos(x-y)
2

x+y x-y
cosx+cosy=2cos .cos

2 2

[ ]
1
sinx.siny= - cos(x+y)-cos(x-y)
2

x+y x-y
cosx-cosy= -2sin .sin
2 2

[ ]
1
sinx.cosy= sin(x+y)+sin(x-y)
2

x+y x-y
sinx+siny=2sin .cos
2 2

[ ]
1
cosx.siny= sin(x+y)-sin(x-y)
2

x+y x-y
sinx-siny=2cos .sin
2 2

sin(x+y)

t anx+tany=
cosx.cosy

sin(x-y)
t anx-tany=
cosx.cosy

sin(x y)
cot x cot y
sinx.siny
+
+ =
VIII/Công thức hạ bậc:

2 2 2
1 cos2x 1 cos2x 1 cos2x
cos x , sin x , tan x
2 2 1+cos2x
+ − −
= = =

IX/Công thức mở rộng:

3
sin 3x 3sinx-4sin x=

3
cos3x=4cos x 3cosx−

3

2
3t anx-tan x
tan 3x
1 3 tan x
=
−
X/Bảng hàm số lượng giác của các cung đặc biệt :

CUNG

ĐỐI PHỤ
HƠN
2
π
BÙ HƠN
π

-x

x
2
π
−

x
2
π
+
xπ −
xπ +

Sin -sinx cosx cosx sinx -sinx
Cos cosx sinx -sinx -cosx -cosx
Tan -tanx cotx -cotx -tanx tanx
Cot -cotx tanx -tanx -cotx cotx
XI/Bảng giá trị các hàm số lượng giác của các góc đặc biệt:
x
HS
LG


0

6
π

4
π

3
π

2
π


π

3
2
π

2π
Sinx


0


1
2

2
2


3
2

1

0
-
1

0
Cosx


1

3
2
2
2

1
2

0
-
1

0

1
Tanx


0

3
3


1

3

P

0


P

0
Cotx


P



3

1

3
3

0

P

0

P
XII/Phương trình lượng giác cơ bản:
(k Z)∈


u v k2
sin u sin v
u v k2
= + π

= ⇔
= π − + π



cosu=cosv u v k2⇔ = ± + π


tan u tan v u v k= ⇔ = + π

cot u cot v u v k= ⇔ = + π
 CHÚ Ý 1 :

x=arcsin m+k2
sinx=m
x= -arcsin m+k2
π

⇔
π π



cos x m x arccos m k2= ⇔ = ± + π


tan x m x arctan m k= ⇔ = + π

cot x m x arccot m k= ⇔ = + π
 CHÚ Ý 2 :

cotx=0 cosx=0 x k
2
π
⇔ ⇔ = + π

tanx=0 sinx=0 x=k⇔ ⇔ π


cosx=1 x k2⇔ = π

cosx= 1 x k2− ⇔ = −π+ π


sinx=1 x k2
2
π
⇔ = + π

sinx= 1 x k2
2
π
− ⇔ = − + π


sinx-cosx= 2sin(x- )
4
π

cosx sinx= 2cos(x )
4
π
± m
PHƯƠNG TRÌNH BẬC I THEO SINX VÀ COSX : a.sinx+b.cosx =c (1)
(1) có nghiệm
2 2 2
a b c⇔ + ≥
Cách 1:

2 2 2 2 2 2
a b c
(1) sinx+ cosx=
a b a b a b
⇔
+ + +
.
Đặt :
2 2 2 2
a b
sin ; cos
a b a b
= ϕ = ϕ
+ +