tích phân và ứng dụng của tích phân

MỞ ĐẦU
Tích phân là nội dung chính trong giải tích và là
chuyên đề quan trọng trong toán THPT
Tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về tìm
giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính tổng…
Với mong muốn hệ thống lại kiến thức về nguyên hàm,
tích phân xác định và các ứng dụng của nó tôi đã lựa
chọn đề tài “Tích phân và ứng dụng” cho luận văn của
mình , cụ thể luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Nguyên hàm
Trong chương nhắc đến khái niệm và các tính chất của
nguyên hàm, bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
và một số phương pháp tính nguyên hàm..
Chương 2: Tích phân xác định và ứng dụng
Ở chương này nêu định nghĩa tích phân xác định, điều
kiện khả tích và các tính chất của tích phân xác định.
Đặc biệt trong chương 2 thể hiện những ứng dụng của
tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường và tính thể tích của vật tròn xoay khi
quay một hình phẳng xung quanh trục Ox, Oy.
1


Chương 3: Các bài toán khác
Chương này đề cập đến những ứng dụng tuyệt vời của
tích phân trong các bài toán phức tạp như là tìm giới
hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức.

CHƢƠNG 1. NGUYÊN HÀM
1.1. Định nghĩa nguyên hàm.
a. Giả sử hàm y  f  x  liên tục trên khoảng  a;b  . Khi đó

hàm số y  F  x  được gọi là một nguyên hàm của
hàm số

y  f  x

khi và chỉ khi
F '  x   f  x  , x   a; b  .

b. Nếu y  F  x  là một nguyên hàm của hàm số
y  f  x  thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm

2


số

y  f  x

là tập

được ký hiệu là:

I  F  x   c, c  R

và tập này còn

I   f  x  dx  F  x   c .

1.2. Các tính chất của nguyên hàm.
a. Nếu y  f  x  là hàm số có nguyên hàm thì

  f  x  dx  '  f  x  ; d   f  x  dx   f  x  dx
b. Nếu F  x  có đạo hàm thì  d  F  x    F  x   c .
c. Phép cộng
Nếu f  x  và g  x  có nguyên hàm thì

 f  x  dx  g  x  dx    f  x   g  x  dx .
d. Phép trừ
Nếu f  x  và g  x  có nguyên hàm thì

 f  x  dx  g  x  dx    f  x   g  x  dx .
e. Phép nhân với một hẳng số khác 0
 kf  x  dx  k  f  x  dx, k  0 .
f. Công thức đổi biến số
Cho y  f  u  và u  g  x  .Nếu  f  x  dx  F  x   c thì
 f  g  x  g '  x  dx   f u  du  F u   c .
1.3.

Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số.

 0dx  C;  dx  x  c

a

3

2

dx
1

x
 arctan  c  a  0 
2
x
a
a


  ax  b 



1

1  ax  b 
dx 
a  1

 1

dx
1
ax
 c,   1 a 2  x 2  2a ln a  x  c

1

1

 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c

 ax  b dx  a ln ax  b  c
e

ax b

m

dx 

ax b

dx 

1 ax b
e
c
a

 sin  ax  b  dx 

1
cos  ax  b   c
a

1
max b  c
a ln m

 tan  ax  b  dx 

1
ln cos  ax  b   c
a



b

1

c  ax  b  dx  ln sin  ax  b   c
 ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x cot
a





dx
a x
2

dx
ax

2

2

 arcsin

x
 c  a  0
a

1

1
cot  ax  b   c
a

1

1

 sin  ax  b  dx 
2

 cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   c

 ln x  x 2  a  c

2

1.4. Một số phƣơng pháp tính nguyên hàm.
1.4.1. Phƣơng pháp ghép vi phân thích hợp.
a. Phƣơng pháp.
Sử dụng biến đổi f '  x  .dx  d  f  x  
b. Một số ví dụ.

Ví dụ 1.1.1. ([1])
4


I 

dx
1 d  2 x  3 1
 
 ln 2 x  3  c .
2x  3 2
2x  3
2

Ví dụ 1.1.2. ([1])
 2 x  3 dx  d  x2  3x  5  ln x2  3x  5  c .
I

x

2

 3x  5



x 2  3x  5

1.4.2. Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ.
Một số ví dụ.

Ví dụ 1.2.1. ([4])
I 

2 x2  5x  3
dx
x3  x 2  2 x

Ta có

Q  x   x  x  1 x  2 

Giả sử

P  x  2 x2  5x  3 A
B
C
 3
 

, x
2
Q  x  x  x  2x x x 1 x  2

 2 x2  5x  3  A  x  1 x  2   Bx  x  2   Cx  x  1 , x *

Cách 1 ( Phương pháp hệ số bất định)
*  2 x2  5x  3   A  B  C  x2   A  2B  C  x  2 A, x
A  3 / 2, B  2, C  5 / 2

Do

I 

đó

3
2
5
3
5
dx 
dx  
dx  ln x  2ln x  1  ln x  2  c
2x
2  x  2
2
2
 x  1

1.4.3. Nguyên hàm theo từng phần.
a. Công thức tính nguyên hàm từng phần.
Giả sử u  u  x  ; v  v  x  có đạo hàm liên tục trong
miền D, khi đó ta có:
5


d  uv   udv  vdu   d  uv    udv   vdu  uv   udv   vdu
  udv  uv   vdu

b. Các dạng nguyên hàm từng phần cơ bản và cách
chọn u, dv

Nguyên hàm
u
dv
sin  ax  b  dx
P  x
 P  x  .sin  ax  b  dx

 P  x  .cos  ax  b  dx

P  x

cos  ax  b  dx

 P  x  .m dx
 P  x  .logm  ax  b  dx

P  x

max b dx

log m  ax  b 

P  x  dx

a

sin  log a x 

x k dx

a

cos  log a x 

x k dx

ax b

max b

sin  x    dx

ax b

max b

cos  x    dx

ax b

 x sin  log x  dx
 x cos  log x  dx
 m sin  x    dx
 m cos  x    dx
k

k

Một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.3.1. ([3])

Tính A2   x3e5 x1dx
Ta có

A2   x3e5 x 1dx 

1 3
1
x d  e5 x 1    x3e5 x 1   e5 x 1d  x3 


5
5

1
1
3

  x3e5 x 1  3 x 2e5 x 1dx    x3e5 x 1   x 2 d e5 x 1 
5
5
5


1
3
6
 x3e5 x 1  x 2e5 x 1   xe5 x 1dx
5
25
25

6


1 3 5 x 1 3 2 5 x 1 6
xe  xe 
xd  e5 x 1 

5
25
125
1 3 5 x 1 3 2 5 x 1 6
6 5 x 1
 xe  xe 
xe5 x 1 
e c
5
25
125
625


Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải n lần sử dụng
tích phân từng phần.
1.4.4. Nguyên hàm hàm số có căn thức.
a. Nguyên hàm hàm vô tỉ bằng phƣơng pháp lƣợng
giác hóa.
Các dạng nguyên hàm và các phép đổi biến số
thông thƣờng
Dạng nguyên hàm

Đổi biến số
Điều kiện
biến số
   
1.  f  x, a 2  x2  dx
x  a.sin t
t
,
 2



2 

2.  f  x,

x 2  a 2 dx

3.  f  x,

a 2  x 2 dx

x  a.tan t

 
t  0, 
 2

4.  f  x,


ax 
 dx
a  x 

x  a.cos 2t

 
t   0, 
 2



x



a
cos t

    3 
t  0,    , 
 2  2 

5.  f  x,  x  a  b  x   dxx  a   b  a  sin 2 tt 0,  




1.4.5. Nguyên hàm hàm lƣợng giác.

7

2


a. Các dạng nguyên hàm cơ bản của hàm lƣợng
giác.
n
Dạng 1. A1    sinx n dx ;
A2    cosx  dx
Dạng 2. B   sin m x.cosn x.dx  m, n  N 
Dạng 3.

C1   tan n x.dx ; C2   cot n x.dx

Dạng 4.

D1  

tan m x
.dx ;
cos n x

D2  

n  N 

cot m x
.dx
sin n x

 m, n  N 

Dạng 5. Sử dụng công thức biến đổi tích thành
tổng.
Một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.5.1. ([3])
Tính I   cos4 3xdx
1
 1  cos 6 x 
2
I   cos 4 3xdx   
 dx   1  2cos 6 x  cos 6x  dx
2
4


1
2
1

  3x  sin 6 x  sin12 x   c .
8
3
12

2

b. Các dạng nguyên hàm lƣợng giác sử dụng các
phép biến đổi nâng cao.

Dạng 1. Nguyên hàm liên kết .
Ví dụ 1.5.5. ([4])
Tính A2   sin x.dx
7sin x  3cos x

Xét

nguyên

hàm

A2*  

cos x.dx
7sin x  3cos x

8

liên

kết

với

A2

là


Ta có:

3cos x  7 sin x

*
7 A2  3 A2   7 sin x  3cos x dx   dx  x  c1

3 A  7 A *  7 cos x  3sin x dx  ln 7 sin x  3cos x  c
2
2
2
 7 sin x  3cos x


A2 

1
 3ln 7sin x  3cos x  7 x   c
58

Dạng 2. Nguyên hàm dạng

C

a sin x  b cos x  c
dx
msin x  n cos x  p

a sin x  b cos x  c    msin x  n cos x  p     mcos x  n sin x   

.
CHƢƠNG 2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG

DỤNG
2.1. Định nghĩa tích phân xác định.
Giả sử hàm số y  f  x  xác định và bị chặn trên đoạn

 a; b . Xét một phân hoạch  bất kì của đoạn  a; b , tức là
chia đoạn  a; b thành n phần tùy ý bởi các điểm chia :
Trên mỗi đoạn  xk 1; xk  lấy bất kì điểm
k   xk 1; xk  và gọi k  xk  xk 1 là độ dài của đoạn  xk 1; xk  .
Khi đó
a  x0  x1  ...  xn  b .

n

 f  
k 1

k

k

 f 1  1  f 2   2  ...  f n   n

phân của hàm

f  x

gọi là tổng tích

trên đoạn  a; b . Tổng tích phân này
9

phụ thuộc vào phân hoạch  , số khoảng chia n và phụ
thuộc vào cách chọn điểm  k .
Nếu tồn tại

 f   (là một số xác định) thì giới hạn
n

lim

max  k  0

k

k 1

k

này gọi là tích phân xác định của hàm số

f  x

 a; b và kí hiệu là:  f  x  dx . Khi đó hàm số
b

trên đoạn

y  f  x

được

a

gọi là khả tích trên đoạn  a; b .
2.2. Điều kiện khả tích.
Cho hàm số y  f  x  xác định trên  a; b . Chia đoạn trên
 a; b

thành n phần tùy ý bởi các điểm chia :

a  x0  x1  ...  xn  b .

Ký

mi  inf f  x  : x   xi 1; xi  ;

hiệu:

M i  sup f  x  : x   xi 1; xi 

Đặt:

n

sn   mi i ;
i 1

Khi đó

y  f  x

n

Sn   M i i
i 1

khả tích trên đoạn  a; b  lim  Sn  sn   0 .
 0
i

2.3. Tính chất của tích phân xác định.
2.4. Công thức Newton – Leipnitz.
b

Nếu  f  x  dx  F  x   c thì  f  x dx  F  x  b  F  b   F  a  .
a
a

2.5. Ứng dụng.
2.5.1. Tính tích phân xác định theo Newton –
Leipnitz.
10


Ví dụ 2.1.1.
1

Tính I   x 2 dx
0

Theo định nghĩa tính tích phân ta làm như sau
Xét hàm số f  x   x2 xác định trên đoạn 0;1 . Ta
chia

đoạn

thành

0;1

 1  ,  1 2  ,…,  n  1 n  Trên
0; n   n ; n 
 n ; n 
xk 

k và x  1 ,
k
n
n

n

mỗi đoạn

 k 1 k 
 n ; n 

đoạn
lấy

khi đó theo định nghĩa tích phân

xác định thì
1

I   x 2 dx  lim

xk 0

0

n

 

n

 

 f xk xk  lim  xk
k 1

n 

k 1

2

2

n
1
k 1
 lim   
n n k 1  n  n

 1 n  n  1 2n  1  2 1
1

 lim  3 12  22  ...  n2   lim  3
 
n  n
6

 n  n
 6 3

.
Tuy nhiên không phải bài toán nào ta cũng có thể
dễ dàng phân hoạch và chọn được xk . Vì vậy ta có
thể sử dụng cách tìm nguyên hàm của f  x  sau đó
dùng công thức Newton – Leipnitz.
Ví dụ như cần tính

1

I   x 2 dx .
0

1

1

x3
13 03 1
I   x dx 
  
3 0 3 3 3
0
2

11

Ta có


Dùng công thức Newton – Leipnitz nhanh hơn
nhiều. Thể hiện ứng dụng ưu việt của công thức
trong việc tính tích phân xác định.
Như vậy để tính tích phân xác định ta thường tính
nguyên hàm của hàm số đó (Chương 1) sau đó dùng
công thức Newton – Leipnitz để tính ra kết quả của
tích phân cần tìm.
2.5.2. Tính diện tích hình phẳng.
a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đƣờng cong
y  f  x

Lý thuyết
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đƣờng

cong
- Bài toán. Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn
bởi  C1  : y  f  x  ;  C2  : y  g  x  .


 x  a, x  b

- Công thức tổng quát

b

S   f  x   g  x  dx .
a

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng
cong tự cắt khép kín
- Bài toán . Tìm diện tích hình phẳng S giới
hạn bởi  C1  : y  f  x  .

 C2  : y  g  x 
+ Bước 1. Giải phương trình f  x   g  x    x  a
x  b

12


+ Bước 2. Sử dụng công thức:
b

S   f  x   g  x  dx .

a

 Chú ý. Cần phải điền “đvdt” vào kết quả cuối
cùng trong các bài toán tính diện tích hình phẳng.
Một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 2.2.1. ([4])
Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
 P  : y  2 x 2  4 x  6
.

Ox : y  0; x  2, x  4
1

S

3

4

2
2
2
  2 x  4 x  6dx    2 x  4 x  6dx    2 x  4 x  6dx

2

1

3

1

3

4

92
2

2

2

  x3  2 x 2  6 x    x3  2 x 2  6 x    x3  2 x 2  6 x  
3
 2  3
 1  3
3 3

(đvdt).
b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đƣờng có
phƣơng trình tham số.
Lý thuyết.
 Giả sử đường cong  C  : y  f  x  có phương trình
tham số

 x    t 
.

y



t




Trong công thức tính diện tích

b

S   f  x  dx

ta thay thế

a

y  f  x

bởi

y    t  , dx

được thay thế bởi  '  t  dt ,

13


còn 2 cận a, b được thay thế bởi  ,  lần lượt là


nghiệm của a    t  ; b    t  . Khi đó: S     t   '  t  dt .


 Nếu đường cong  C  có phương trình tham số
 x    t 

 y    t 

 0  t  T  l là đường kín trơn từng phần,

chạy ngược chiều kim đồng hồ và giới hạn diện
tích S ở phía trái thì

T

S

1
  t  '  t    t   '  t  dt .
2 0 

Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 2.3.1. ([5])
2

2

Tính diện tích hình elip giới hạn bởi  E  : x 2  y2  1
a

Phương trình tham số của

b

y

 x  a cos t
;0  t  2
 y  b sin t

E : 

x

S1

x(t)=3*cos(t), y(t)=2*sin(t)

-3

Xét phần diện tích của  E 
Bóng 1

-2

-1

1

2

3

nằm trong góc phần tư thứ
nhất trên mặt phẳng  Oxy  .
Đổi cận ta có:
0  a cos t
t   / 2


a  a cos t t  0
0

 /2

 /2

 /2

0

0

S  4S1  4  b sin t  a sin t dt  4ab  sin 2 tdt  4ab 

(đvdt).
14

1  cos 2t

dt   ab
2


c. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng
cong trong hệ tọa độ cực.
 Công thức tính diện tích hình phẳng trong hệ
tọa độ Cực.
Trong hệ tọa độ Cực, diện tích S của hình giới
hạn bởi các tia:    ,   và đường r  f   là


1
S   r 2  d .
2

Một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 2.4.1. ([4])
Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường cong
Cardioide
r  a 1  cos  


S  2S1  2.

y



 



1 2
2
2
r  d  a 1  2cos   cos  d
2 0
0
r(t)=2*(1+cos(t))
Bóng 1

S1



1  cos 2 

  a 2 1  2cos  
d
2


0


1
3a 2
3


 a    2sin   sin 2  
4
2
2
0
2

(đvdt).

2.5.3. Tính thể tích khối tròn xoay.
a. Lý thuyết
 Vx sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox

 C1  : y  f  x  ;  C2  : y  g  x 
S :

0  g  x   f  x  ; 1 ,  2 : x  a, x  b

15

x


b

Công thức: Vx     f 2  x   g 2  x  dx .
a

 Vy sinh bởi diện tích S quay xung quanh Oy


 C  : y  f  x  ; Oy : x  0
S :

1 ,  2 : y  f  a  , y  f  b 

+ Bước 1.
+ Bước 2.

.

y  f  x   x  f 1  y  .
Vy  

f b



f a

 f 1  y   dy .
2

 Vy sinh bởi diện tích đƣờng cong bậc 2
f  x, y   0 quay xung quanh Oy

+ Bước 1. Tách đường cong bậc hai f  x, y   0
thành:  C1  x  f1  y  ,
 C2  x  f 2  y 
và giả sử

0  f 2  y   f1  y  .

+ Bước 2. Xác định các cận x  a; x  b .
Khi đó

Vy  

f b 



f a

  f  y    f  y   dy .
2

1

2

2

 Chú ý. Cần phải điền “đvtt” vào kết quả cuối
cùng trong các bài toán tính thể tích khối tròn
xoay.
b. Một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 2.5.1. ([2])
16

 C  : y  xe x

S : Ox; y  0
x  1


Tính V, sinh bởi

quay quanh Ox.

Xét  C   Ox : xe x  0  x  0 .
1



1

0






2

 e2
2

0

1

x 2e2 x 
0







2

2x

0

x(t)=1, y(t)=t
f(x)=x*e^x

1

e d x 
2

S

Bóng 1

2x

2

1

0

1

2 xe
2

2x

dx 

 e2

0



1

x d e 
2

Vx     xe x  dx   x 2e 2 x dx 
2

y

 e2
2



 e2
2



2





1

xd  e  
2
2x

0

 e2 x
2 2

1


0


2

e

2

 e2
2




2

1

xe



2x
0



1

e
2

2x

0

 1 (đvtt).

2.5.4. Tính độ dài đƣờng cong phẳng.
a. Các công thức tính độ dài đƣờng cong phẳng.
 Độ dài của đường cong có phương trình y  f  x 
trong hệ tọa độ Đềcác.
Độ dài L của đường cong trơn (khả vi liên tục)
y  f  x  , a  x  b là
b

L   1   f '  x   dx .
2

a

17

dx

 Độ dài của đường cong có phương trình tham số
trong hệ tọa độ Đềcác.
Nếu đường cong có phương trình tham số
x  x  t  , y  y  t  ,   x   ứng với a  x  b thì độ dài
đường cong là:



L    x '  t    y '  t  dt .
2

2



 Độ dài của đường cong phẳng trong hệ tọa độ
Cực.
Nếu đường cong có phương trình trong hệ tọa độ cực
r  r   , y  y  t  ,     

thì độ dài đường cong L là



L    r      r '    d .
2

2



Dạng 3. Độ dài của đƣờng cong trong hệ tọa độ
Cực.
Ví dụ 2.6.3. ([4])
Tính độ dài đường tròn có bán kính R
Phương trình đường tròn trong hệ tọa độ cực là
x  R,0    2
2

2

L  4  Rd  4 R 0  2 R (đvđd).
0

CHƢƠNG 3. CÁC BÀI TOÁN KHÁC.
3.1. Tìm giới hạn bằng tích phân.
3.1.1. Đặt vấn đề.
Sn
Xét bài toán: Cho Sn  u1  u2  u3  ...  un . Tìm nlim

18


Bước 1. Biến đổi tổng giới hạn về biểu thức
Sn 

ba n
f
n i 1

ba

 a  i.
.
n 


Bước 2. Xây dựng hàm f  x  khả tích trong đoạn  a; b
b

Bước 3. Tính tích phân  f  x  dx suy ra
a

b

lim Sn   f  x  dx

n 

a

3.1.2. Một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 3.1.1. ([5])
Cho

Sn 

1 2
n
 2  ...  2 .

2
n n
n

Sn .
Tính nlim


Giải
Biến
Sn 

đổi

1 2
n 11 2
n 1 n i
 2  ...  2     ...    
2
n n
n
n n n
n  n i 1 n

Xét hàm số f  x   x liên tục trên  0;1 nên khả
tích trên  0;1 .
1

 1 n  i 
x2

1
1 n i 
lim Sn  lim     lim   f      xdx 

n 
x  n
x

2 0 2
 i 1 n 
 n i 1  n   0
1

.
3.2. Bất đẳng thức tích phân.
3.2.1. Đánh giá theo hàm số và cận tích phân.
a. Một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 3.2.1. ([4])
Chứng minh rằng:


16

 /2



dx

 5  3cos

0

19

3

x




10

.


Giải
Xét f  x  

1

liên tục trên 0;  . Ta có
3
5  3cos x
 2

 
0  cos x  1 x  0; 
 2

1
1
  1
 
 0  cos3 x  1 x  0;   
 , x  0; 
3
 2  8 5  3cos x 5
 2



16

 /2




0

 /2

 /2

1
dx
1

dx  

  dx  .
3
8
5  3cos x 0 5
10
0

3.2.2. Bất đẳng thức cổ điển tích phân và ứng dụng.
a. Một số bất đẳng thức cổ điển tích phân.
 Bất đẳng thức tích phân Cauchy – Schwarz.
Cho hai hàm số f , g liên tục trên  a; b . Khi đó ta có
2

b
b
 b 2
2
  f  x  g  x  dx    f  x  dx  g  x  dx
a
a
 a

 Bất đẳng thức Young.
Cho p, q  1 thỏa mãn

1 1
  1 . Chứng minh rằng:
p q

a p bq

ab 

a, b  0
p q

 Bất đẳng thức tích phân Holder.
Cho p, q  1 với

1 1
  1 và f , g là 2 hàm liên tục
p q

20


trên  a; b .
Khi đó ta có:
b


a

1/ p

b

p
f  x  g  x  dx    f  x  dx 
a


1/q

b

q
.   g  x  dx 
a


Dấu bằng xảy ra
 A, B  R, A2  B 2  0 : A f  x   B g  x 
p

q

x  a; b 

 Bất đẳng thức tích phân Minkôwski.
Cho p  1 và f , g là 2 hàm liên tục trên  a; b . Khi đó
ta có:
1/ p

b

p
  f  x   g  x  dx 
a


1/ p

b

p
   f  x  dx 
a


1/p

b

p
   g  x  dx 
a


 Bất đẳng thức tích phân Chebyshev.
Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục và đơn điệu trên

 a; b .
1. Nếu f  x  , g  x  là hai hàm cùng đồng biến
hoặc là hai hàm cùng nghịch biến thì ta có bất
đẳng thức:
b
 1 b
 1 b

1

f
x
g
x
dx

f
x
dx
g  x  dx 











ba a
ba a
 b  a a


2. Nếu f  x  , g  x  có tính đơn điệu ngược chiều
nhau tức là một hàm đồng biến và một hàm
21

nghịch biến thì ta có bất đẳng thức:
b
 1 b
 1 b

1
f
x
g
x
dx

f
x
dx
g  x  dx 
   
  




ba a
ba a
 b  a a


3.2.3. Định lý về giá trị trung bình.
a. Tóm tắt lý thuyết

 Định nghĩa.
Số thực  

b

1
f  x  dx gọi là giá trị trung bình của
b  a a

hàm f trên đoạn  a; b .
 Mệnh đề.
Nếu hàm f

 a; b và

khả tích trên đoạn

m  f  x   M , x   a; b thì tồn tại ít nhất 1 điểm

   m; M  sao cho

b

 f  x  dx   b  a  .
a

3.2.4. Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng
thức.
Ví dụ 3.2.13. ([4])
Chứng minh rằng: ln 1  a  

2a
, a  1 .
a2

Giải
Trong hệ Oxy, xét đồ thị hàm số  C  : y 

22

1
x


Lấy x0 

1 a
 1; a  . Gọi các điểm
2


1
A 1;0  ; B 1  a;0  ; H  x0 ;0  ; M  x0 ;  .
 x0 
1
2
1
Ta có y '  2  y ''  3  0 x  0  y  là hàm lõm
x
x

x
x  0 nên tiếp tuyến  d  tại M luôn nằm dưới đồ thị

 C  . Giả sử tiếp tuyến  d  cắt đường thẳng
x  1  a, x  1 tại 2 điểm E, F và cắt đồ thị  C  tại 2
điểm P, Q. Khi đó
ln 1  a  

1 a


1

f(x)=1/x

y

y=-1.3611x+2.3333
dx
 S  ABPQ   x(t)=1/2,
S  y(t)=t
ABEF 
x(t)=t, y(t)=2
x
x(t)=6/7, y(t)=t

 AB.MH  a.

1
2a x(t)=3/2, y(t)=t


1  a  / 2 a  2

Q
F
M

Vậy

2a
ln 1  a  
, a  1
a2

O

A H

P
E
B

(đpcm)
3.2.5. Tìm cực trị bằng phƣơng pháp tích phân.
3.3. Tính tổng.
3.3.1. Lý thuyết
a. Công thức tính tổng của cấp số cộng, cấp số nhân.
b. Công thức nhị thức Newton.
23

x


 a  b

n

 Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n 2b 2  ...  Cnk a n k b k  ...  Cnnb n
n

=  Cnk a n k b k
k 0

Đặc biệt 1  x   Cn0  Cn1 x  ...  Cnk xk  ...  Cnn xn 1
n

1  x 

n

 Cn0  Cn1 x  ...   1 Cnk x k  ...   1 Cnn x n
k

n

3.3.2. Một số ví dụ minh họa.
Ví dụ ([5])
Tính các tổng sau:

 1 C n .

1
1
1
S1  Cn0  Cn1  Cn2  ... 
n
2
4
6
2n  2
n

Giải
1

Xét tích phân  x 1  x 2  dx
n

0

Ta có

1

 x 1  x 

2 n

1 1  x 
dx  

1
2 n 1

2

0



n 1

1
2n  2

0

Mặt khác
1

1





2
0
1 3
n 2 n 1
 x 1  x  dx   Cn x  Cn x  ...   1 Cn x dx

0

n

n

0

1

2 n2
 x2

x4
x6
n x
  Cn0  Cn1  Cn2  ...   1
Cnn 
2
4
6
2n  2  0


 1 C n .
1
1
1
 Cn0  Cn1  Cn2  ... 
n

2
4
6
2n  2
n

24


 1 C n  1 .
1
1
1
Vậy S1  Cn0  Cn1  Cn2  ... 
n
2
4
6
2n  2
2n  2
n

KẾT LUẬN
Nội dung luận văn “ Tích phân và ứng dụng” bao gồm
các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định và
một số ứng dụng của tích phân xác định. Luận văn đã đạt
được một số kết quả:
1. Luận văn đã phân dạng và trình bày phương pháp
từng dạng tính nguyên hàm làm cơ sở quan trọng cho
việc tính tích phân xác định bằng công thức Newton –

Leipnitz.
2. Luận văn cũng đưa ra một số ứng dụng của tích
phân vào các bài toán thực tế và giải một số dạng toán
phổ thông như tìm giới hạn, tính tổng, chứng minh bất
đẳng thức.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

25