Tài liệu tham khảo trường điện từ

CHƯƠNG 1 :
MỞ ĐẦU
1.CÁC ĐẠI LƯỢNG VÉC TƠ ĐẶC TRƯNG CHO TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
1.1. VÔ HƯỚNG VÀ VECTƠ
Nhiều đại lượng vật lý như diện tích S ,khối lượng m, nhiệt độ T,điện trở R…hoàn toàn
xác định bởi trị số của chúng .Những đại lượng này gọi là đại lượng vô hướng .Các đại
lượng khác như vận tốc v , lực F ,cường độ điện trường E ,cảm ứng từ B …chỉ được
xác định hoàn toàn nếu biết trị số và cả hướng của chúng. Đó là những Đại lượng vectơ .
Một hàm toán học hoặc một phát hoạ bằng đồ thị dùng để mô tả sự thay đổi của một đại
lượng trong một miền cho trước được coi là sự thể hiện một Trường của đại lượng này
trong miền đã cho .Tuỳ thuộc lượng là Vô hướng hay Vectơ ,tương ứng ta có Trường vô
hướng hay Trường Vectơ.
Đối với Trường vectơ không chỉ cần mô tả trị số vectơ mà cả hướng của vectơ thay đổi
như thế nào theo vị trí trong không gian .Một cách tiện lợi ,có thể mô tả quy luật biến đổi
các thành phần của một vectơ thay vì mô tả chính vectơ đó.Chẳng hạn ,có thể biểu diễn
vectơ A (x,y,z,t) dạng :
A (x,y,z,t) = A x (x,y,z,t) i x + A y (x,y,z,t) i y + A z (x,y,z,t) i z .
( i x , i y , i z là các vec tơ đơn vị ).Như vậy,ta đã đưa bài toán mô tả trường vec tơ A về bài
toán mô tả các trường vô hướng của các thành phần A x , A y , A z .
Phát hoạ bằng đồ thị thể hiện một trường vectơ là các đường cong có hướng gọi là đường
sức .Tại mỗi điểm trên đường sức,vec tơ đặc trưng cho đại lượng khảo sát tiếp xúc với
đường sức tại điểm đó,chiều của đường sức là chiều của vec tơ ,mật độ ( mau, thưa ) của
đường sức dùng để chỉ sự thay đổi trị số của vec tơ .
1.2. HỆ TOẠ ĐỘ
Các đại lượng điện từ ,trong trường hợp tổng quát ,là các hàm vị trí và thời gian .Nếu là
đại lượng vectơ ,hướng của chúng có thể thay đổi trong không gian.Để xác định vị trí và
hướng trong không gian ,người ta dùng Hệ toạ độ .Có nhiều hệ toạ độ khác nhau,khi giải
bài toán trường điện từ ta cần chọn hệ toạ độ thích hợp : Hệ toạ độ Descartes,Hệ toạ độ
trụ hoặc Hệ toạ độ cầu.Để xác định các mặt toạ độ trong không gian ,cần chọn một điểm
chuẩn làm gốc toạ độ ,thường đó cũng là gốc toạ độ của hệ toạ độ Descartes gắn hệ toạ
độ cong ,tiện lợi cho việc so sánh 2 hệ toạ độ .

Gọi dl 1 , dl 2 , dl 3 là những yếu tố dài trên các đường toạ độ u 1 , u 2 , u 3 ; vì yếu tố dài
trên đường toạ độ không nhất thiết bằng độ tăng vi phân của toạ độ tương ứng nên có thể
viết :
dl 1 = h 1 du 1
dl 2 = h 2 du 2
dl 3 = h 3 du 3
Trong đó hệ số h 1 , h 2 , h 3 gọi là hệ số Larmor (hay còn gọi là hệ số metric).


Toạ độ

Vec tơ đơn vị

u2

u1

u3

Hệ số Larmor

i1

i2

i3

h1

h2

h3

Hệ toạ độ
Descartes

− ∞
− ∞< y < ∞

− ∞< z < ∞

ix

iy

iz

1

1

1

Hệ toạ độ
trụ

0 ≤ R< ∞

0 ≤ φ < 2π

− ∞< z < ∞

iR

iφ

iz

1

R

1

Hệ toạ độ
cầu

0 ≤ r< ∞

0≤ θ <π

0 ≤ φ < 2π

ir

iθ

iφ

1

r

r.sin θ

Vec tơ dịch chuyển :

dl = h 1 du 1 . i1 + h 2 du 2 . i2 + h 3 du 3 . i3

Yếu tố diện tích :
d S1 = ± h 2 h 3 du 2 du 3 i1 .
d S 2 = ± h 3 h 1 du 3 du 1 . i2 .
d S 3 = ± h 1 h 2 du 1 du 2 . i3 .
Yếu tố thể tích :
dV = dl 1 . dl 2 . dl 3 = h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3

1.3. PHÉP TÍNH VEC TƠ :
A = A 1 i1 + A 2 i2 + A 3 i3 .
A 1 , A 2 , A 3 Là các thành phần hình chiếu của A dọc theo i1 , i2 , i3 .

A = (A 12 + A 22 + A 32 )

1

2

Hai vec tơ bằng nhau : A = B ; nếu Ai = Bi , i = 1,2,3 .
Cộng và trừ vec tơ :
A ± B = ( A 1 ± B 1 ). i1 + ( A 2 ± B 2 ). i2 + (A 3 + B 3 ). i3 .

Nhân chia một vec tơ cho một vô hướng :


m A = mA 1 . i1 + mA 2 . i2 + mA 3 . i3 .
A A1
A
A
=
. i1 + 2 . i2 + 2 . i3
m m
m
m
Tích vô hướng:

A . B = ( A1 i1 + A2 i2 + A3 i3 )( B1 i1 + B2 i2 + B3 i3 )
= A1 B1 + A2 B2 + A3 B3
Tích vectơ:
A × B =( A1 i1 + A2 i2 + A3 i3 ) × ( B1 i1 + B2 i2 + B3 i3 )
=( A2 B3 − A3 B2 )i1 + ( A3 B1 − A1B3 )i2 + ( A1B2 − A2 B1 )i3

i1

i2

i3

A × B = A1

A2

A3

B1

B2

B3

Độ tăng vi phân của từ điểm P(x,y,z) tới điểm Q(x + dx, y + dy, z + dz):
∂f
∂f
∂f
df = dx + dy + dz
∂x
∂y
∂z
Tương tự độ tăng vi phân của hàm vectơ A( x, y, z ) từ điểm P(x,y,z) tới điểm lân cận
Q ( x + dx, y + dy, z + dz ) :

∂A
∂A
∂A
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
1.4.TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, TÍCH PHÂN THỂ TÍCH:
1.4.1 Tích phân đường.

Gọi F ( x, y, z ) là hàm của vị trí xác định trong miền không gian bao gồm đường cong C

dA=

nối 2 điểm P và Q. Chia đường cong C thành những đoạn nhỏ dl1 , dl2 … có thể coi la
thẳng và hàm F ( x, y, z ) không đổi trên mỗi đoạn này.
Theo định nghĩa , tích phân đường của hàm F theo đường C bằng:
n

lim ∑ F dli = ∫ F dl

n→∞

i

C

Nếu F là lực thì tích phân đường sẽ là công của lực theo đường C:
A= ∫ F dl
C

Đường C có thể là đường kín, khi đó

∫ F dl
C

1.4.2 Tích phân mặt.

là lưu số của F theo C

Nếu biết mật độ thông lượng của một đại lượng vật lý nào đó tại mọi điểm trên mặt
S, ta dùng tích phân mặt để xác định thông lượng của đại lượng này gửi qua mặt S cho
trước. Chẳng hạn, nếu biết mật độ dòng J tại mọi điểm trên mặt S, ta tính được cường
độ dòng chảy qua mặt S bằng cách: Chia S thành những yếu tố diện tích dS1 , dS 2 , dS3 ,coi

J không đổi trên mỗi yếu tố diện tích này, cường độ dòng I bằng tích phân mặt:
n

I= lim ∑ J I dSi = ∫ J dS
n →∞

i

S

Tích phân mặt là tích phân 2 lớp vì yếu tố diện tích dS là tích của 2 yếu tố dài.
Nếu S là mặt kín ta có:
I= ∫ J dS
S

Chiều dS thường chọn hướng ra ngoài thể tích V bao bởi mặt kín S.
1.4.3 Tích phân thể tích.
Nếu biết mật độ khối của một đại lượng vật lý trong một thể tích nào đó ta dùng
tích phân thể tích xác định đại lượng này trong thể tích V đã cho. Chẳng hạn nếu biết mật
độ điện tích khối ρ ( x, y , z ) hoặc ρ ( R,α , z ) hoặc ρ (r ,θ ,α ) ta có thể tính diện tích q trong
thể tích V.
Chia thể tích V thành những yếu tố thể tích d V1 ,d V2 … coi mật độ điện tích khối ρ
trong mỗi yếu tố thể tích này không đổi, điện tích q trong thể V tính theo tích phân thể
tích:

q= lim ∑ ρi dVi = ∫ ρdv
n→∞

V

Tích phân thể tích là tích phân 3 lớp vì dv là tích của 3 yếu tố dài.
Ví dụ:Điện tích phân bố trong hình cầu bán kính a, tâm ở gốc tọa độ cầu, với mật độ điện
tích khối: ρ (r ,θ ,α ) =

ρ0
r

với ρ0 = const .Hãy xác định điện tích trong hình cầu ?

Giải:
q= ∫ ρ dv =
V

a

π

2π

∫ θ∫ α∫

r =0

=0

ρ0

=0

r

r 2 sin θ drdθ dα

q=2 πρ0 a 2

1.5 CÁC TOÁN TỬ VECTƠ
Toán tử del:
Gradient:
Div A :

∂
∂
∂
+ iy
+ iz
∂x
∂y
∂z
1 ∂f
1 ∂f
1 ∂f
∇f =
.i1 +
.i2 +
.i3

h1 ∂u1
h2 ∂u 2
h3 ∂u3

∇ = ix

∇. A =

1
h1h2 h3

 ∂

∂
∂
(h2 h3 A1 ) +
(h3 h1 A2 ) +
( h1h2 A3 ) 

∂u2
∂u3
 ∂u1



h1i1 h2 i2 h3i3
∇×A=

Rot A :

1
∂ ∂ ∂
h1h 2 h 3 ∂u1 ∂u2 ∂u3
h1 A1 h2 A2 h3 A3

∆f =

Toán tử Laplace:

1
h1h2 h3

 ∂  h2 h3 ∂f  ∂  h3 h1 ∂f  ∂  h1h2 ∂f  


+

+


 ∂u1  h1 ∂u1  ∂u2  h2 ∂u2  ∂u3  h3 ∂u 3  

∇.( A×B) = B.∇×A-A.∇×B
∇.∇×A=0
∇×∇f = 0
∇×∇×A=∇(∇. A) − ∆A

Định lý Gauss :

∫ AdS = ∫ divA.dV

S

Định lý Stokes:

∫ Adl = ∫ rotAdS
C

hay

V

S

∫ ∇. A(r )dV = ∫ A(r )dS
V

hay

S

∫ ∇×A(r)dS = ∫ A(r)dl
S

C

1.6. CÁC VECTƠ ĐẶC TRƯNG CHO TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

Các quá trình Điện Từ được mô tả toán học thông qua 4 vectơ đặc trưng cho
Trường Điện Từ : vectơ cường độ điện trường E , vectơ cảm ứng điện D , vectơ cảm
ứng từ B và vectơ cường độ trường từ H .

Các vectơ này nói chung là các hàm của tọa độ và thời gian , chúng liên hệ với
nhau và liên hệ với điện tích cũng như dòng điện theo những quy luật xác định . Những
quy luật này được phát biểu dưới dạng các phương trình Maxwell và các phương trình
liên hệ .
1.6.1 Vectơ cường độ trường điện E và vectơ cảm ứng điện D .
Điện tích thử q đặt trong Trường Điện chịu tác dụng lực điện Fe . Tại mỗi điểm

của Trường Điện , tỷ số ( Fe / q ) là một đại lượng không đổi , được gọi là Cường độ
trường điện tại điểm đó :
F
V 
E= e
 
q
m

Khi đặt điện môi vàoTrường Điện , điện môi bị phân cực . Mức độ phân cực điện môi
được đặc trưng bởi vectơ phân cực điện P .


Vectơ phân cực điện P xác định trạng thái phân cực điện môi tại mỗi điểm ,chính là
moment dipole điện của một đơn vị thể tích điện môi bao quanh điểm đó .
∆P
∆V →0 ∆V

 c 
 2
m 
∆ P : moment dipole điện của điện môi thể tích ∆V . Liên hệ với vectơ phân cực
điện P , vectơ cảm ứng điện D được định nghĩa bởi hệ thức :

P = lim

 c 
 2
m 

D = ε0 E + P

ε 0 là hằng số điện , trong hệ đơn vị SI :
F
 
m
Đối với môi trường tuyến tính đẳng hướng hoặc cường độ trường điện không quá
lớn , vectơ phân cực điện P tỷ lệ với cường độ trường điện E :

ε 0 = (1/ 4π .9.109 )

P = ε 0 xe E

; xe là độ cảm điện của môi trường.

D = ε 0 (1 + xe ) E
D = ε 0ε r E
Với

ε r = 1 + xe

D =εE
là độ thẩm điện tương đối của môi trường.

F
ε = ε 0ε r   là độ thẩm điện của môi trường .
m

Chất

εr

Chất

εr

Không khí
Giấy
Cao su
Polyethylen
Thạch anh nóng chảy
Bakelite

1,0006
2–3
2 – 3,5
2,26
3,8
4,9

Đất khô
Thủy tinh
Mica
Sứ

Đất ẩm
Nước cất

5
5 – 10
6
6
10
81

1.6.2 Vectơ cảm ứng từ B và vectơ cường độ từ trường H .
Vectơ cảm ứng từ B được định nghĩa dựa trên lực từ Fm tác dụng lên điện tích
thử q chuyển động với vận tốc v trong Trường Từ :
Fm = qv × B

Fm = qBv sin(v, B)


Khi v vuông góc với B lực từ đạt cực đại , khi đó cảm ứng từ B tính qua lực từ
cực đại này :
B=

Fm (max) × im
q.v

 Wb 
 2
m 

(T)

im : vectơ đơn vị .

B

v
Fm

Khi đặt từ môi vào Trường Từ , từ môi bị phân cực . Mức độ phân cực từ môi
được đặc trưng bởi vectơ phân cực từ M . Vectơ phân cực từ xác định trạng thái phân
cực từ tại mỗi điểm của từ môi , chính là moment từ của một đơn vị thể tích từ môi bao
quanh điểm đó .
∆m
 A
M = lim
 
∆V → 0 ∆V
m

∆ m là moment từ của từ môi thể tích ∆V .
Liên hệ với phân cực từ M , vectơ cường độ trường từ H được định nghĩa bởi hệ
thức :
H=

B

−M

µ0
µ0 là hằng số từ , trong hệ đơn vị SI :

 A
 
m

H
 
m
Đối với môi trường tuyến tính , đẳng hướng hoặc cường độ trường từ không quá
lớn , vectơ phân cực từ M liên hệ với vectơ cường độ trường từ H theo hệ thức :
M = xm .H ; xm là độ tự cảm của môi trường .

µ0 = 4π .10−7

B = µ0 (1 + xm ) H
B = µ0 µ r H
Với

B = µH
µr = 1 + xm là độ từ thẩm tương đối của môi trường .
H

µ = µ0 µr   là độ thẩm từ của môi trường .
m


Đối với tính chất Thuận từ và Nghịch từ độ cảm từ xm là hằng số (xem bảng
dưới) , đối với chất sắt từ xm phụ thuộc cảm ứng từ B .
Chất thuận từ
Chất nghịch từ

xm
3,6.10-7

xm
-0,50.10-5
-0,21.10-5
-3,20.10-5
-2,60.10-5
-0,98.10-5
-0,24.10-5

Không khí
Nitrogen
Oxygen
2,1.10-6
Hydrogen
-5
Nhôm
2,3.10
Thủy ngân
Tungsten
6,8.10-5
Bạc
-4
Bạch kim
2,9.10
Đồng
Oxygen lỏng
3,5.10-3
Natri

1.6.3 Mật độ điện tích . Mật độ dòng điện
Ngoài khái niệm điện tích điểm , quan điểm vĩ mô chấp nhận hình thức phân bố điện tích
liên tục trong miền V , trên mặt S , trên đường C với mật độ điện tích khối ρ , mật độ
điện mặt σ , mật độ điện tích dài λ . Theo định nghĩa :
∆q
dq
 c 
Mật độ điện tích khối
, ρ=
ρ = lim
 3
∆V →0 ∆V
dv
m 

σ = lim

Mật độ điện tích mặt

∆S → 0

∆q
∆S

,σ =

dq
ds

 c 

 2
m 

∆q
dq
c
, λ=
 
∆l →0 ∆l
dl
m
Trong đó ∆q là điện tích chứa trong thể tích ∆V , trên diện tích ∆S , trên yếu tố dài ∆l ,
khi ∆V , ∆S , ∆l co về một điểm .
Từ khái niệm mật độ điện tích , có thể tính điện tích q chứa trong thể tích V , trên
mặt S , trên đường C :

λ = lim

Mật độ điện tích dài

q=

∫

dq

V , S ,C

với

 ρ dV

dq = σ dS
λ dl


Chú ý : Điện tích chỉ phân bố ngoài mặt vật dẫn với mật độ điện tích mặt σ (c/m2) ; mật
độ điện tích khối ρ trong vật dẫn bằng 0.
Cường độ dòng điện I chảy qua mặt S được định nghĩa :
∆q
(A)
I = lim
∆t →0 ∆t
∆q : Điện tích chuyển qua mặt S trong thời gian ∆t .
Mật độ dòng điện J là một vectơ , tại mỗi điểm có hướng chuyển động của điện
tích dương tại điểm đó , độ lớn bằng
J = lim

∆S →0

∆I
∆S

 A 
 2
m 


∆I : Cường độ dòng điện chảy qua ∆S đặt vuông góc với dòng điện .
Từ khái niệm mật độ dòng điện , có thể tính dòng điện chảy qua mặt S bất kỳ :

I = ∫ J .dS

(A)

S

Vectơ J liên quan đến sự chuyển động của các điện tích tự do gọi là vectơ mật độ
dòng dẫn . Theo định luật Ohm , J liên hệ với Cường độ điện trường E bởi hệ thức :
J =γ E
γ : độ dẫn điện của môi trường (S/m) .
2. KHÁI NIỆM VỀ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
2.1 KHÁI NIỆM CHUNG
Hiện tượng Điện Từ rất phổ biến và giữa vài trò cực kỳ quan trọng trong tự nhiên. Hầu
hết các hiện tượng xung quanh ta bao gồm các quá trình hóa học, sinh học … đều là kết
quả tương tác Điện Từ giữa các nguyên tử, phân tử.
Cho đến nay người ta biết có 4 dạng tương tác cơ bản trong tự nhiên: tương tác Điện Từ,
tương tác hấp dẫn, tương tác mạnh và tương tác yếu. Các tương tác khác đều có thể quy
về 4 dạng tương tác này. Tương tác Điện Từ giữa các hạt mang điện mạnh hơn rất nhiều
tương tác hấp dẫn giữa chúng (lực điện giữa 2 electron mạnh hơn lực hấp dẫn giữa chúng
gấp 1043 lần). Tương tác mạnh xảy ra trong phạm vi kích thước của hạt nhân(10-15 m).
Tương tác yếu xảy ra giữa các hạt cơ bản trong các quá trình chuyển hóa nhất định. Vì
vậy trong thực tế đời sống và kỹ thuật, tương tác Điện Từ giữ vai trò chủ yếu.Mỗi dạng
tương tác có một Trường tương ứng. Tương tác Điện Từ thông qua Trường Điện Từ. Mỗi
hạt hoặc vật mang điện tao ra một Trường Điện Từ, hạt hoặc vật mang điện thứ hai đặt
trong Trường này chịu tác dụng một lực điện từ. Hạt hoặc vật mang điện thứ hai cũng tạo
ra một Trường Điện Từ, trường này tác dụng lực điện từ lên hạt hoặc vật mang điện thứ
nhất. Kết quả: có sự tương tác Điện Từ giữa các hạt mang điện hoặc vật mang điện.
Trường Điện Từ là dạng vật chất bao quanh các điện tích đứng yên cũng như chuyển
động. Trường Điện Từ mang năng lượng xác định, năng lượng này có thể chuyển hoá
thành các dạng năng lượng khác như: năng lượng hoá học, nhiệt, chuyển động cơ học…

Khối lượng của Trường Điện Từ được xác định từ hệ thức Einstein:
E = mc2
E: năng lượng Trường Điện Từ
m: khối lượng Trường Điện Từ
c: vận tốc ánh sáng trong chân không.
Vì c2 rất lớn nên mật độ khối lượng của Trường Điện Từ rất nhỏ, thường người ta không
để ý đến đặc trưng khối lượng mà chỉ quan tâm đến đặc trưng năng lượng của nó.
Trong các thiết bị Vô tuyến điện, Kỹ thuật điện… có các quá trình biến đổi và truyền
năng lượng Điện Từ. Vì vậy việc nghiên cứu lý thuyết và các phương pháp tính Trường
Điện Từ cùng với việc khảo sát các quá trình năng lượng có ý nghĩa thực tế to lớn.
Trong Lý thuyết mạch, các thông số của mạch như điện trở R, điện cảm L, điện dung C…
coi như đã cho. Tuy nhiên, để tính những thông số này cần biết những khái niệm và cách
tính của Lý thuyết Trường Điện Từ.
2.2 NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
2.1.1 ĐỊNH LUẬT GAUSS ĐỐI VỚI TRƯỜNG ĐIỆN


Định luật Gauss là một trong những định luật cơ bản của lý thuyết trường điện từ.
Thông lượng của các vectơ cảm ứng điện D gửi qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng các điện
tích tự do phân bố trong thể tích V bao bởi mặt S.
∫ DdS = q
S

2.2.2 ĐỊNH LUẬT GAUSS ĐỐI VỚI TRƯỜNG TỪ
Thông lượng của các vectơ cảm ứng từ B gửi qua mặt kín S bất kỳ bằng 0.
∫ B.dS = 0
S

2.2.3 ĐỊNH LUẬT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ FARADAY
Định luật cảm ứng điện từ Faraday thiết lập mối liên hệ giữa trường từ biến đổi theo thời

gian và trường điện phân bố trong không gian do sự biến đổi của trường từ gây ra.
Sức điện động cảm ứng có giá trị bằng và ngược dấu với tốc độ biến thiên từ thông gửi
qua diện tích giới hạn bởi vòng dây .

d

∫ EdI = − dt ∫ BdS

C

S

2.2.4 ĐỊNH LUẬT LƯU SỐ AMPÈRE – MAXWELL
Định luật lưu số Ampère – Maxwell hay định luật dòng điện toàn phần , thiết lập
liên hệ giữa cường độ trường từ H và dòng điện toàn phần tạo nên trường từ .
Lưu số của vectơ cường độ trường từ H theo đường kín C tùy ý bằng tổng đại số cường
độ các dòng điện chảy qua diện tích bao bởi đường kín C .
∫ H dI = ∑ I
C

3 . HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VÀ Ý NGHĨA CỦA NÓ
Trường điện từ biến thiên được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell :

rot = +

(1)

rot = −

(2)

div

=0

(3)

div

=ρ

(4)

Đối với môi trường đẳng hướng,tuyến tính các đại lượng đặc trưng cho trường
điện từ liên hệ với nhau qua các phương trình chất:

=ε ,

=µ ,

=γ

Hệ phương trình Maxwell có một ý nghĩa cơ bản và quan trọng trong lý thuyết
trường điện từ, nó mô tả đầy đủ quan hệ giữa các biến E , B, D, H , J , mô tả dạng hình học


m A = mA 1 . i1 + mA 2 . i2 + mA 3 . i3 .
A A1
A
A

=
. i1 + 2 . i2 + 2 . i3
m m
m
m
Tích vô hướng:

A . B = ( A1 i1 + A2 i2 + A3 i3 )( B1 i1 + B2 i2 + B3 i3 )
= A1 B1 + A2 B2 + A3 B3
Tích vectơ:
A × B =( A1 i1 + A2 i2 + A3 i3 ) × ( B1 i1 + B2 i2 + B3 i3 )
=( A2 B3 − A3 B2 )i1 + ( A3 B1 − A1B3 )i2 + ( A1B2 − A2 B1 )i3

i1

i2

i3

A × B = A1

A2

A3

B1

B2

B3

Độ tăng vi phân của từ điểm P(x,y,z) tới điểm Q(x + dx, y + dy, z + dz):
∂f
∂f
∂f
df = dx + dy + dz
∂x
∂y
∂z
Tương tự độ tăng vi phân của hàm vectơ A( x, y, z ) từ điểm P(x,y,z) tới điểm lân cận
Q ( x + dx, y + dy, z + dz ) :

∂A
∂A
∂A
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
1.4.TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, TÍCH PHÂN THỂ TÍCH:
1.4.1 Tích phân đường.
Gọi F ( x, y, z ) là hàm của vị trí xác định trong miền không gian bao gồm đường cong C

dA=

nối 2 điểm P và Q. Chia đường cong C thành những đoạn nhỏ dl1 , dl2 … có thể coi la
thẳng và hàm F ( x, y, z ) không đổi trên mỗi đoạn này.
Theo định nghĩa , tích phân đường của hàm F theo đường C bằng:

n

lim ∑ F dli = ∫ F dl

n→∞

i

C

Nếu F là lực thì tích phân đường sẽ là công của lực theo đường C:
A= ∫ F dl
C

Đường C có thể là đường kín, khi đó

∫ F dl
C

1.4.2 Tích phân mặt.

là lưu số của F theo C


và những vùng tận cùng là những nơi có phân bố ρ < 0 . Nó có thể chảy không liên tục,

không khép kín các nơi như vectơ B . Đó là dạng hình học của trường vectơ D .
3.3 Các phương trình Maxwell miêu tả quan hệ khăng khít giữa Trường và Môi
trường chất.
Nhìn chung sự gắn bó Trường-Chất thể hiện ở những hệ số của phương trình ε , µ , ρ , γ là

những biến và thông số hành vi của trường. Với những hệ số khác nhau, sẻ có những
dạng phương trình khác nhau, và do dó quy luật tương tác của hệ cũng khác nhau.


CHƯƠNG 2:
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨNH
1. KHÁI NIỆM TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
Trường điện từ tĩnh là trường gắn với môi trường mang những điện tích phân bố
tĩnh. Trường Điện Từ tĩnh thoả mãn 2 diều kiện sau:
1) Các đại lượng điện từ E , D, B , H , J …không thay đổi theo thời gian. Do đó đạo
hàm riêng theo thời gian các đại lượng này đều bằng không .
2) Không có sự chuyển động của các điện tích, nghĩa là không có dòng điện, mật độ
dòng J = 0.
rot H = 0
rot E = 0 


div B = 0 
div D = 0
B = µH
D =εE
Vì lý do thông dụng và sự tương tự trong các mô tả toán học, giáo trình này chỉ khảo
sát Trường Điện tĩnh – đó là trường điện không thay đổi theo thời gian của các điện tích
đứng yên.
2.TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
Trường diện tĩnh là trường thế nên có thể dùng hàm thế vô hướng ϕ để mô tả Trường
điện tĩnh. Hàm thế vô hướng ϕ còn gọi là Thế điện ϕ , được định nghĩa:
V 
E = − gradϕ
 

m
rot E = 0 (vì rotgrad ϕ = 0)

Đó chính là nghiệm của phương trình :

Dấu trừ chứng tỏ quy ước chọn chiều của vectơ cường độ điện trường E là chiều
giảm của điện thế ϕ .
Để ý:
Edl = − gradϕ .dl

(

 ∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ 
.i r +
.i z . dx.i x + dy.i y + dz.i z
gradϕ .dl =  .i x +
∂y
∂z 
 ∂x
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
=
dx+
dy+
dz= dϕ
∂y
∂z

∂x

)

dϕ =- E dl
Tích phân 2 vế ta có hiệu thế điện giữa hai điểm P và Q :
Q

ϕ ( P) − ϕ (Q) = ∫ E dl (V)
P

Năng lượng Trường điện tĩnh biểu diễn qua các vectơ đặc trưng cho trường điện bởi
1
hệ thức :
W e = ∫ E DdV
(J)
2V


1
1 q2
We = CU 2 =
2
2C
Với C là điện dung của tu điện:
q
(F)
C= =
U

Hoặc :

3.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
3.1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON-LAPLACE.
Phương trình vi phân đối với thế điện ϕ được dẫn ra từ phương trình Maxwell:
div D = ρ
Thay D = ε E và E = − gradϕ
div( ε .gradϕ ) = − ρ
Nếu miền khảo sát là môi trường đồng nhất( ε = const) thì:
div gradϕ = − ρ / ε
Hay ∆ϕ = − ρ / ε : phương trình Poisson
Với ∆ là toán tử Laplace, trong hệ toạ độ Descartes:
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
Δφ =
+
+
= −ρ / ε
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Nếu trong miền khảo sát không có phân bố điện tích(ρ=0) :
Δφ = 0
Đó là phương trình Laplace.

Ví dụ 2-1:
Một tụ điện phẳng có bề dày d ( lấy theo chiều x) đặt dưới
điện áp U sao cho ϕ (0) = 0 và ϕ (d ) = U .
Hãy tìm sự phân bố thế ϕ và cường độ trường trong tụ.
Giải:
Dùng tọa độ Descartes, do tụ phẳng nên phân bố thế ϕ chỉ
∂
∂

phụ thuộc vào tọa độ x, tức là các thành phần
=
= 0 . Phương
∂y ∂z
trình Laplace sẽ có dạng:
∂ 2ϕ
∆ϕ = 2 = 0 .
∂x
Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng ϕ = C1 x + C2 .
Vận dụng điều kiện bờ ở x = 0 và x = d. ta có hệ:
 ϕ (0) = 0 = C2

ϕ (d ) = U = C1 x + C2
U
Hoặc là C1 =
và C 2 = 0.
d


Kết quả sự phân bố thế ϕ trong tụ có dạng phương trình:
U
ϕ ( x) = x
d
Cường độ điện trường trong tụ sẽ là:
∂ϕ
U
E = − gradϕ = −ix
= −ix
∂x
d

Ví dụ 2-2:
Cũng bài toàn của ví dụ 2-1, với giả thiết giữa hai bản cực của tụ điện có phân bố
điện tích khối với mật độ nào đó.
Giải:
Sử dụng phương trình Poisson:
∂ 2ϕ
ρ
=−
2
∂x
ε0
Ngiệm tổng quát của phương trình đó có dạng:

ϕ =−

ρ 2
x + C1 x + C2
2ε 0

Vận dụng điều kiện bờ ở x = 0 và x = d, sẽ có hệ:
 0 = C2

U = − ρ d 2 + C d + C
1
2

2ε 0
Giải hệ này sẽ được:
U ρd
C1 = +

d 2ε 0

C2 = 0
Do đó, sự phân bố thế trong tụ sẽ có dạng là:
ρ 2  U ρd 
 x
x +  +
ϕ =−
2ε 0
 d 2ε 0 
Phân bố cường độ trường trong tụ sẽ là:
U
∂ϕ ρ
ρ 
E = Ex = −
= x −  +
d 
∂x ε 0
 d 2ε 0 
Ví dụ 2 – 3:
Vẫn bài toán tụ điện phẳng (ví dụ 2 – 1), nhưng với giả thiết giữa hai bản cực của

tụ có hai lớp cách điện ( điện môi) có thông số ε1 và di, ε2 và d2.
Hãy tìm sự phân bố ϕ(x), E(x) ?

Giải :
Giả thiết trong hai miền 1 và 2 của tụ không có phân bố điện tích tự do, nên
phương trình Laplace và nghiệm tổng quát có dạng:
ϕ = C1 .x + C2.

Gọi sự phân bố thế trong mỗi miền là ϕ1 (x) và ϕ2(x) thì:
ϕ1 (x) = C11 . x + C12 ;
ϕ2 (x) = C21 .x + C22 ;

Trong đó 4 hằng tích phân Cik cần xác định theo điều kiện bờ tại x = 0; x = d1 + d2 = d ;
x = d1 như sau:
Tại x = 0 → C12 = 0
Tại x = d → C21 d + C22 = U
Tại x = d1 → C11 . ε 1 = C21 . ε 2
C11 . d1 + C12 = C21 . d1 + C22
Giải hệ phương trình này sẽ được các hằng tích phân Cik như sau:
C11 = U

C12 = 0
C21 = U

ε2
ε 1 d 2 +ε 2 d1

ε1

ε 1 d 2 +d1ε 2
ε 2 −ε 1
C22 = Ud1
ε 1 d 2 +ε 2 d1
Sau khi thay các hằng Cik này vào các nghiệm sẽ được phân bố thế và cường độ
trường trong tụ.

3.2. PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS.

Khi điện trường thể hiện tính chất xuyên tâm hình cầu, hoặc đối xứng qua trục hình
trụ, thì có thể tránh được việc giải phương trình Laplace-Poisson (dạng vi phân) bằng
cách vận dụng ngay luật Gauss (dạng tích phân) để tính toán trường.
Đã biết rằng, với một điện tích điểm hoặc một vật dẫn hình cầu mang điện đặt
trong môi trường điện môi nhiều lớp hình cầu đồng tâm với vật dẫn, thì điện trường sẽ có


tính chất đối xứng xuyên tâm rõ rệt. Lúc đó, các lượng E, D, ϕ … chỉ sẽ phụ thuộc vào
khoảng cách R đến tâm cầu.
Còn đối với một trục mang điện hoặc một vật dẫn hình trụ tròn, thẳng, dài vô hạn đặt
trong môi trường điện môi nhiều lớp hình trụ đồng trục, thì điện trường sẽ đối xứng qua
trục và các đại lượng E, D, ϕ …sẽ chỉ phụ thuộc riêng khoảng cách r đến trục.
a. Điện trường đối xứng xuyên tâm hình cầu:
Ví dụ:
Hãy xác định điện trường của một điện tích điểm q?
Giải:
Các đại lượng E, D, ở đây chỉ có thành phần xuyên tâm là E=ER và D=DR. Vì vậy, lấy
một mặt cầu S bán kính R và áp dụng luật Gauss cho mặt cầu ấy thì:
2
∫ D.ds = ∫ Dr .ds = D ∫ ds = D.4π R = q.
s

s

s

Do đó:
D(R) = Dr(R) =

q

4πR 2
D(R)

q
ε
4πεR 2
Hàm thế ϕ ( R) với gốc lấy ở xa vô cùng ( ϕ ( ∞ ) = 0 ) sẽ có dạng:
E(R) = Er(R) =

=
∞

ϕ ( R) = ϕ ( R ) − ϕ (∞) = ∫ ER .dR =
R

∞

q
dR
.∫
4π R ε .R 2

Nếu môi trường đồng chất tuyến tính, tức ở khắp nơi đều có ε =const thì tích phân sẽ cho
kết quả:
q
ϕ ( R) =
4πεR
Ví dụ :
Điện tích Q phân bố đều trong thể tích hình cầu bán kính a đặt trong môi trường đồng
nhất đẳng hướng.Hãy xác định cường độ trường điện và thế điện bên trong và bên ngoài

quả cầu ?
Giải:
Vì trường điện có tính đối xứng cầu,ta chọn gốc tọa độ ở tâm quả cầu mang điện và vẽ
các mặt kín S1 và S2 là những mặt cầu đồng tâm với quả cầu mang điện.
Vectơ cảm ứng điện D trên mỗi mặt cầu này có giá trị không đổi và có phương vuông
góc với mặt cầu.
• Trường điện ngoài quả cầu (r > a)
∫ D 2 .d S = Q
S2

D2 ∫ dS = D2 .4π r 2 = Q
S2

Rút ra
D2 =

Q
4π r 2


Nếu biết mật độ thông lượng của một đại lượng vật lý nào đó tại mọi điểm trên mặt
S, ta dùng tích phân mặt để xác định thông lượng của đại lượng này gửi qua mặt S cho
trước. Chẳng hạn, nếu biết mật độ dòng J tại mọi điểm trên mặt S, ta tính được cường
độ dòng chảy qua mặt S bằng cách: Chia S thành những yếu tố diện tích dS1 , dS 2 , dS3 ,coi

J không đổi trên mỗi yếu tố diện tích này, cường độ dòng I bằng tích phân mặt:
n

I= lim ∑ J I dSi = ∫ J dS
n →∞

i

S

Tích phân mặt là tích phân 2 lớp vì yếu tố diện tích dS là tích của 2 yếu tố dài.
Nếu S là mặt kín ta có:
I= ∫ J dS
S

Chiều dS thường chọn hướng ra ngoài thể tích V bao bởi mặt kín S.
1.4.3 Tích phân thể tích.
Nếu biết mật độ khối của một đại lượng vật lý trong một thể tích nào đó ta dùng
tích phân thể tích xác định đại lượng này trong thể tích V đã cho. Chẳng hạn nếu biết mật
độ điện tích khối ρ ( x, y , z ) hoặc ρ ( R,α , z ) hoặc ρ (r ,θ ,α ) ta có thể tính diện tích q trong
thể tích V.
Chia thể tích V thành những yếu tố thể tích d V1 ,d V2 … coi mật độ điện tích khối ρ
trong mỗi yếu tố thể tích này không đổi, điện tích q trong thể V tính theo tích phân thể
tích:
q= lim ∑ ρi dVi = ∫ ρdv
n→∞

V

Tích phân thể tích là tích phân 3 lớp vì dv là tích của 3 yếu tố dài.
Ví dụ:Điện tích phân bố trong hình cầu bán kính a, tâm ở gốc tọa độ cầu, với mật độ điện
tích khối: ρ (r ,θ ,α ) =

ρ0
r

với ρ0 = const .Hãy xác định điện tích trong hình cầu ?

Giải:
q= ∫ ρ dv =
V

a

π

2π

∫ θ∫ α∫

r =0

=0

ρ0

=0

r

r 2 sin θ drdθ dα

q=2 πρ0 a 2

1.5 CÁC TOÁN TỬ VECTƠ

Toán tử del:
Gradient:
Div A :

∂
∂
∂
+ iy
+ iz
∂x
∂y
∂z
1 ∂f
1 ∂f
1 ∂f
∇f =
.i1 +
.i2 +
.i3
h1 ∂u1
h2 ∂u 2
h3 ∂u3

∇ = ix

∇. A =

1
h1h2 h3

 ∂

∂
∂
(h2 h3 A1 ) +
(h3 h1 A2 ) +
( h1h2 A3 ) 

∂u2
∂u3
 ∂u1



Ở trường này các đại lượng E, D, ϕ … chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r đến trục, và chỉ
có thành phần xuyên trục: E=Er và D=Dr .Để tính E(r) và D(r), hãy lấy một trụ tròn S có
bán kính r và chiều dài l đồng trục với vật dẫn .
Áp dụng luật Gauss cho mặt S ta có:
∫ D.ds = ∫ Dr .ds = D ∫ ds = D.2π rl = λl. ( điện tích trong mặt S bằng λ.l )
s

s

s

λ
λ
và E(r) = Er(r) =
D(r) = Dr(r) =
2π r

2πε r
chọn ϕ (r0 ) = 0 thì :

λ r 1
.
dr.
ϕ (r ) = ϕ (r ) − ϕ (r0 ) = ∫ Er .dr =
2π r∫ ε r
r
r0

0

Trong trường hợp môi trường tuyến tính thì :
r
λ
λ
ϕ (r ) =
(ln r0 − ln r ) =
ln 0 .
2πε
2πε r
Ví dụ:
Hình trụ kim loại thiết diện tròn bán kính a , dài L mang điện tích Q đặt trong môi
trường đẳng hướng đồng nhất có ε =const.Xác định cường độ trường điện E và thế điện
ϕ bên trong và bên ngoài hình trụ.
Giải:
Cường độ trường điện bên trong hình trụ bằng không E =0 ; thế điện tại mọi điểm trên
hình trụ đều bằng nhau.Bên ngoài hình trụ trường có tính đối xứng.Cường độ trường điện
E bên ngoài hình trụ vuông góc với trục và có giá trị như nhau tại tất cả các điểm cách

đều trục.Chúng ta vẽ mặt kín S là mặt trụ cùng trục,thiết diện tròn bán kính r>a ,dài L,các
đáy là S1 và S2 .Áp dụng định luật Gauss ta có:

∫ Dd S = ∫ Dd S + ∫ Dd S + ∫ Dd S = Q
S

Sb

S1

S2

Vì ở đáy S1 và S2 vecto cảm ứng điện D và vecto d S vuông góc nên các tích phân lấy
theo hai đáy bằng không,do đó:
∫ Dd S = D ∫ dS = Q
Sb

Sb

D 2π rL = Q
Q
D=
2π rL
Q
E=
2πε rL

Hay
Q
ir

2π rL
Q
E=
ir
2πε rL
Nếu chúng ta chọn gốc thế điện tại điểm r = b , ϕ (b) = 0 thì thế điện tại r bằng:
D=


b

b

Qdr
2πε Lr
r
r
Q
b
ϕ (r ) =
ln
2πε L r
ta nhận thấy cường độ trường điện và thế điện chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ điểm
xét đến trục mà không phụ thuộc vào bán kính thiết diện a của hình trụ dẫn.Điều đó cho
phép khi nghiên cứu trường của hình trụ dẫn mang điện có thể thay thế bằng trục mang
điện.
Ví dụ:
Một dây cáp đồng trục có hai lớp cách điện với bán kính: lõi trong a1, đến bờ ngăn cách
hai lớp điện môi a2 và đến vỏ ngoài a3 được đặt dưới điện áp U. Hãy tìm sự phân bố E , D
và điện dung C trên một đơn vị dài (l=1)của dây?

ϕ (r ) = ∫ Edl = ∫

Giải:
Gọi q là điện tích trên một đơn vị dài của lõi dây cáp .
Do tính đối xứng qua trục mà các đại lượng D, E chỉ có thành phần bán kính và phụ
thuộc r. Áp dụng định luật Gauss ta có:
∫ D.d S = q
S

D1 =

q

2π r
Suy ra:

E1 =

D1

ε1

a3

=

q
2πε1r

q
U = ϕ (a1 ) − ϕ (a3 ) = ∫ Edr =
2π
a1

.

D2 =

q
2π r

 a2 dr a 3 dr  q
+∫
∫
=
 a1 ε1r a2 ε 2 r  2π

E2 =

D2

ε2

=

q
2πε 2 r

.

1
a3 
a2 1
 .ln + .ln 
a1 ε 2
a2 
 ε1

Điện dung trên một đơn vị dài:
1 a
q
1 a 
C0 =
= 2π :  ln 2 + ln 3 
U
 ε1 a1 ε 2 a2 
1 a
1 a 
q = C0U = 2π U :  ln 2 + ln 3 
 ε1 a
ε 2 a2 

1
Thay giá trị của q vừa tính được theo U vào các biểu thức của E, D sẽ được lời giải theo
yêu cầu.


3.3 ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ CHỒNG TRƯỜNG
Thế điện gây bởi điện tích qi cho bởi hệ thức :

q
ϕ (r ) = i
4πε ri

Thế điện gây bởi hệ n điện tích điểm q1,q2,….qn theo nguyên lý chồng trường là
tổng đại số các thế điện gây bởi từng điện tích điểm riêng biệt:
1 n qi
ϕ (r ) =
∑
4πε i =1 ri
Nếu điện tích phân bố liên tục trong một miền không gian hữu hạn thì ta chia điện tích
thành những thành phần vô cùng nhỏ,chúng được xem như những điện tích điểm,mỗi
điện tích vô cùng nhỏ này gây ra một thế điện tính theo hệ thức:
dq
dϕ =
4πε r
Do đó thế điện gây bởi toàn thể điện tích phân bố liên tục bằng :
dq
ϕ= ∫
4πε r
V , S ,C

Ví dụ: Điện tích Q phân bố liên tục đều trên vòng dây tròn mãnh bán kính bằng a.Xác
định thế và cường độ trường điện tại điểm P nằm trên trục z của vòng dây.
Giải:
Thế điện tại điểm P bằng:
dq
λ dl
ϕ ( P) = ∫
=∫

4πε r C 4πε r
C
Ở đây :
Q
dq = λ dl =
.dl
2π a
r = ( z 2 + a 2 )1/2
Qdl
Q
→ ϕ ( P) = ∫
=
2
2 1/ 2
2
2π a.4πε ( z + a )
4πε ( z + a 2 )1/2
C
Trường có tính đối xứng trục và đối xứng với mặt phẳng chứa vòng dây mang điện.Do đó
thế điện tại những điểm nằm trên trục z chỉ phụ thuộc vào tọa độ z và vecto cường độ
trường điện E trên trục z chỉ có thành phần z:
∂ϕ
Qz
E = Ez = −
=
∂z 4πε ( z 2 + a 2 )3/2
3.4 PHƯƠNG PHÁP ẢNH ĐIỆN.
Khi các điện tích đặt gần biên giới của hai hay nhiều môi trường khác nhau,trên biên
giới này sẽ xuất hiện các điện tích cảm ứng( nếu đó là biên giới của hai môi trường điện

môi-vật dẫn),hoặc các điện tích phân cực (nếu đó là biên giới của hai môi trường điện
môi khác nhau).Khi tính trường điện phải kể đến các điện tích cảm ứng và các điện tích
phân cực này.Vì sự phân bố của chúng trong không gian không xác định dễ dàng nên
không tiện áp dụng nguyên lý chồng trường để tìm sự phân bố cường độ điện trường và
thế điện.Trong trường hợp này người ta áp dụng phương pháp ảnh điện để giải bài toán
trường điện tĩnh.
Nội dung phương pháp ảnh điện là tìm cách thay hai hay nhiều môi trường khác
nhau bằng một môi trường đồng nhất ,đồng thời đưa thêm vào môi trường đồng nhất
những điện tích mới sao cho cùng với điện tích ban đầu bảo đảm điều kiện biên như
trước. Do tính chất duy nhất nghiệm của bài toán bờ,nghiệm của bài toán thay thế cũng
là nghiệm của bài toán ban đầu cần tìm vì điều kiện biên vẫn như cũ,nhưng bài toán thay
thế xét trong môi trường đồng nhất nên đơn giản hơn bài toán ban đầu.Các điện tích đưa
thêm vào liên quan với các điện tích ban đầu theo một quy luật nào đó nên được gọi là
các điện tích ảnh của điện tích ban đầu,cũng chính vì thế phương pháp này được gọi là
phương pháp ảnh điện.
Trong thực tế, ta thường gặp là phải giải bài toán điện trường trong miền V1 thuộc môi
trường 1 giới hạn bởi bờ S tiếp giáp với miền V2 thuộc môi trường 2 với những điều kiện
hỗn hợp trên bờ S. Việc giải bài toán bờ thường là khó khăn. Trong một số trường hợp
khi bờ có những dạng hình học đơn giản (như phẳng, trụ, cầu), đặc biệt khi bờ S là bờ
dẫn, tức là mặt đẳng thế, thì có thể tìm cách đưa về một bài toán đơn giản hơn.
Nội dung của phương pháp được nêu ra ở đây là: tìm cách thay thế (bỏ) môi
trường 2 và lấp đầy miền V2 bằng môi trường 1 để toàn không gian là đồng chất. Sau đó,
tìm cách đưa thêm vào miền ấy một số điện tích phân bố như thế nào đó sao cho những
điện tích này cùng với những điện tích ban đầu đặt trong không gian đồng chất ấy vẫn
đảm bảo đúng những điều kiện bờ vốn có ở trên bờ S. Theo tính duy nhất của nghiệm bài
toán bờ, hàm thế tìm được như vậy cho miền V1 sẽ chính là nghiệm cần tìm cho miền
V1.Vì bài toán thay thế này có toàn không gian là đồng nhất, nên thường đơn giản hơn
bài toán ban đầu. Những điện tích mới đưa thêm vào môi trường đã bị thay bỏ thường
liên quan với những điện tích ban đầu theo những quy luật ban đầu. Do đó, phương pháp

này còn được gọi là phương pháp soi gương điện tích.
Thường gặp trong thực tế là điện trường của những điện tích đặt trong nữa không gian
điện môi V, nữa không gian còn lại là một môi trường rộng lớn. Bờ ngăn cách hai môi
trường là một mặt phẳng S. Ví dụ: Điện trường của những điện tích điểm, vật dẫn, đường
dây mang điện đặt trong không khí bên trên mặt đất.
Vậy tóm lại, để tính điện trường trong miền V, ta lấp đầy không gian bằng môi trường
điện môi và “soi gương” có đổi dấu các điện tích qua mặt S. Sau đó, chọn các phương
pháp tính thích hợp để tính trường trong miền V.
Ví dụ :
Có một điện tích điểm đặt trên mặt phẳng dẫn S một khoảng h.Hãy tìm phân bố cường độ
điện trường E và mật độ điện tích
trên mặt phẳng dẫn S.

Giải:
Soi gương điện tích qua bờ , gắn với hệ đó một tọa độ trụ tròn có trục z trùng với đường
nối +q, -q và gốc tọa độ trên mặt S.


h1i1 h2 i2 h3i3
∇×A=

Rot A :

1
∂ ∂ ∂
h1h 2 h 3 ∂u1 ∂u2 ∂u3
h1 A1 h2 A2 h3 A3

∆f =

Toán tử Laplace:

1
h1h2 h3

 ∂  h2 h3 ∂f  ∂  h3 h1 ∂f  ∂  h1h2 ∂f  


+

+


 ∂u1  h1 ∂u1  ∂u2  h2 ∂u2  ∂u3  h3 ∂u 3  

∇.( A×B) = B.∇×A-A.∇×B
∇.∇×A=0
∇×∇f = 0
∇×∇×A=∇(∇. A) − ∆A

Định lý Gauss :

∫ AdS = ∫ divA.dV
S

Định lý Stokes:

∫ Adl = ∫ rotAdS
C

hay

V

S

∫ ∇. A(r )dV = ∫ A(r )dS
V

hay

S

∫ ∇×A(r)dS = ∫ A(r)dl
S

C

1.6. CÁC VECTƠ ĐẶC TRƯNG CHO TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

Các quá trình Điện Từ được mô tả toán học thông qua 4 vectơ đặc trưng cho
Trường Điện Từ : vectơ cường độ điện trường E , vectơ cảm ứng điện D , vectơ cảm
ứng từ B và vectơ cường độ trường từ H .
Các vectơ này nói chung là các hàm của tọa độ và thời gian , chúng liên hệ với
nhau và liên hệ với điện tích cũng như dòng điện theo những quy luật xác định . Những
quy luật này được phát biểu dưới dạng các phương trình Maxwell và các phương trình
liên hệ .
1.6.1 Vectơ cường độ trường điện E và vectơ cảm ứng điện D .
Điện tích thử q đặt trong Trường Điện chịu tác dụng lực điện Fe . Tại mỗi điểm

của Trường Điện , tỷ số ( Fe / q ) là một đại lượng không đổi , được gọi là Cường độ
trường điện tại điểm đó :
F
V 
E= e
 
q
m

Khi đặt điện môi vàoTrường Điện , điện môi bị phân cực . Mức độ phân cực điện môi
được đặc trưng bởi vectơ phân cực điện P .


CHƯƠNG 3 :
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG
1.KHÁI NIỆM
Trường điện từ dừng là trường điện từ trong đó các đại lượng đặc trưng cho trường không
phụ thuộc thời gian và có dòng điện không đổi với mật độ dòng J . Trong hệ phương
∂
trình Maxwell, cho
≡ 0 , ta được hệ phương trình đối với trường điện từ dừng:
∂t
rot H = j

rot E = 0
divB = 0
divD = ρ

divJ = divrotH = 0 ( chú ý divrot ≡ 0 )
Với môi trường đẳng hướng, tuyến tính:

B = µH
D =εE
J =γ E
Có thể tách các phương trình trên thành hai nhóm độc lập nhau:
các phương trình rot H = J , divB = 0 , B = µ H mô tả trường từ dừng gây bởi dòng điện
dẫn không đổi theo thời gian.
các phương trình còn lại, mô tả trường điện dừng. Có thể chia trường điện dừng thành
hai loại:
Trường điện dừng trong môi trường dẫn có dòng điện không đổi được mô tả bởi các
phương trình:
rot E = 0
với J = γ E

 divJ = 0
Trường điện dừng trong điện môi bao quanh môi trương dẫn mang dòng điện không đổi.
Các phương trình mô tả là:
 rot E = 0
với D = ε E

divD = 0

2.TRƯỜNG ĐIỆN DỪNG TRONG VẬT DẪN
2.1 Điều kiện duy trì trường điện từ trong vật dẫn .
Khi môi trường dẫn khép kín với các cực của một nguồn điện từ, thì trong vật dẫn
sẽ có một dòng điện chảy liên tục của các hạt mang điện. Đó là vì trường điện từ
đã tiếp năng lượng cho các hạt mang điện trái dấu chuyển động ngược chiều nhau,
chúng không tích tụ, không phân bố trường tĩnh, mà chảy khép kín qua nguồn tạo
thành một dòng chảy liên tục .

Qua đó , nhận thấy rằng phải có hai điều kiện để duy trì dòng điện một
chiều, tức là duy trì trường điện dừng trong vật dẫn. Đó là :
- Điều kiện bờ : Môi trường dẫn phải khép kín qua nguồn .
- Điều kiện nguồn : phải tồn tại nguồn có khả năng cung cấp năng lượng
một cách liên tục và không đổi truyền đến ( qua môi trường điện môi ) tiếp cho
các hạt mang điện tích tụ do thuộc kết cấu của môi trường dẫn.
2.2. Các tính chất của trường điện từ dừng .
Từ điều kiện tồn tại mà suy ra được các tính chất của trường điện dừng
trong vật dẫn .
- Tiêu tán năng lượng .
Sự tồn tại trường điện dừng trong vật dẫn thể hiện sự tác động lực và cung
cấp năng lượng cho các điện tích tự do chảy trong vật dẫn. Thường kèm theo quá
trình năng lượng tiêu tán biến thành nhiệt năng .
Công suất tiêu tán năng lượng trong một đơn vị thể tích của vật dẫn là :
p0 = EJ = γ E2 =

J2

γ

P = ∫ p0 dv = ∫ ∫ EdlJdS = ∫ Edl ∫ JdS = UI .
V

S L

L

S

U

I 
2
2
 → P = U .I = R.I = G.U
I
G= 
U 
R=

-Tính chất thế .
Nếu chỉ khảo sát môi trường dẫn ( là nơi có dòng điện và tiêu tán ) mà
không xét đến nguồn ( là nơi có nhiều hiện tượng phức tạp khác ) thì hạt mang
điện luôn chảy thành dòng không đổi ( theo thời gian ) từ đầu này đến đầu kia .
Điều này nói lên tính chất thế của trường điện dừng trong vật dẫn và khả năng
biểu diễn của trường dừng trong vật dẫn và khả năng biểu diễn của trường điện đó
bằng một hàm thế vô hướng ϕ . về toán học, tính chất này được mô tả bởi phương
trình :
rot E = 0 hoặc E = - grad ϕ .