Bài giảng bài sự đồng biến ,nghịch biến của hàm số hay nhất

Bài giảng điện tử toán đại số 12

Bài số 1
Sự đồng biến và nghịch biến của
hàm số


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1. Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b)
- Nếu ∀ x1, x2 ∈ (a; b) và x1< x2 mà f(x1)= f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b).
- Nếu ∀ x1, x2 ∈ (a; b) và x1< x2 mà f(x1)>f(x2) thì hàm số y
= f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b).
Hàm số y = f(x) đồng biến hay nghịch biến trên
khoảng (a; b) được gọi chung là đơn điệu trên khoảng đó.


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1. Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến
Nếu ta đặt: ∆ x= x2 – x1 và ∆ y= f(x2) – f(x1) nếu x1< x2 và
f(x1) < f(x2) nên ⇒ ∆ x > 0 và ∆ y > 0 vì vậy:

∆y
> 0 ⇔ f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)
∆x

Nếu x1 < x2 và f(x1) > f(x2) nên ⇒ ∆ x > 0 và ∆ y < 0 vì vậy:

∆y
<0⇔

∆x

f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)

Hay:
f(x)
biến trên khoảng (a; b) nếu:
đnghịch
ồng

∆y
≤ ≥ 0 trên khoảng (a; b).
f’(x) = lim
∆x → 0 ∆x


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
Định lý Lagrange sau được thừa nhận:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và có
đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại một điểm c ∈ (a; b)
sao cho:
f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) hay:

f (b) − f (a )
f '(c) =
b−a

Gọi cung AB là một đoạn đồ thị của hàm số y = f(x)

với A(a; f(a)) và B(b; f(b)) ⇒ hệ số góc của cát tuyến
AB là:
f (b) − f ( a )

b−a


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
f(b)

C

f(c)

f(a)

O

B

A

a

c

b

f
(
b
)
−
f
(
a
)
Đẳng thức: f’(c) =
là hệ số góc
b−a
của tiếp tuyến của cung AB tại điểm (c; f(c))


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên
khoảng (a; b).
a. Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số y =
f(x) đồng biến trên khoảng đó.
b. Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số y =
f(x) nghịch biến trên khoảng đó.


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên

khoảng (a; b). Nếu f’(x) ≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0) và
đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên
khoảng (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc
nghịch biến) trên khoảng đó.


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến hay nghịch biến
của hàm số: y = x2 – 2x + 3
-Tập xác định: D = R.
-Ta thấy: y’ = 2x – 2 ⇒ y’ < 0 khi x < 1 và y’ > 0 khi
x > 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x -∞
1
+∞
y’
0
+
y
-∞
+∞
2
Hàm số Đ/Biến trên (1; +∞) và N/Biến (-∞; 1)


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của h/s:

3
y = 3x +
+5
x

- TXĐ: D = R\{x = 0}
- Đạo hàm:
y' = 3−

3
x −1
=
3
2
2
x
x
2

Dấu của y’ là dấu của x2 – 1 mà x2 – 1 = 0 ⇒ x = ± 1
⇒ với x = 1 thì y = 11, với x = -1 thì y = -1
Nên ta có bảng biến thiên như sau:


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:

x -∞
y’
y

-1
+

0

0
–

1
–

0

+∞
+

-1
11

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) ∪

(1; +∞) và nghịch biến trên (-1; 0) ∪ (0; 1).


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

3. Điểm tới hạn:
Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;
b) và x0 ∈ (a; b). Điểm x0 được gọi là một điểm
tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) khơng xác
định hoặc bằng 0.
3
y = 3x + + 5
Ví dụ 1: Xét hàm số:
x
Có tập xác định là: D = R\{x = 0}
2
3
x −1
Có đạo hàm là:

y' = 3−

x

2

=3

x

2

y’ triệt tiêu khi x = ± 1 và kxđ tại x = 0 nhưng do 0
∉ D nên h/s chỉ có 2 điểm tới hạn là: x = ± 1

§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

3. Điểm tới hạn:
Xét hàm số:

f ( x) = x ( x − 5)

Tập XĐ: D = R.
Đạo hàm: f '( x ) =

3

3

2

2( x − 5) 5( x − 2)
x + 3
= 3
3 x
3 x
2

f’(x) khơng xác định tại x = 0 và triệt tiêu tại x
= 2 ⇒ hàm số có hai điểm tới hạn là:
x = 0 và x = 2.


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

3. Điểm tới hạn:
Đối với các hàm số f(x) thường gặp, f’(x) liên tục
trên khoảng xác định của nó. Vì thế, giữa hai
điểm tới hạn kề nhau x1và x2, f’(x) giữ ngun
một dấu.

Thật vậy, nếu trong khoảng (x1, x2) mà f’(x)
đổi dấu thì f’(x) phải triệt tiêu tại tại một điểm
nào đó trong (x1, x2) nhưng điều này là khơng
thể vì x1, x2 là hai điểm tới hạn kề nhau.


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

3. Điểm tới hạn:
Quy tắc tìm các khoảng biến thiên của hàm số:
1. Tìm các điểm tới hạn:
a. Tìm đạo hàm của f(x).
b. Cho f’(x) = 0 giải phương trình.
c. Tìm các điểm tới hạn.
2. Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác
định bỡi điểm tới hạn.
3. Suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi
khoảng


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

3. Điểm tới hạn:

Bảng biến thiên của hàm số:

f ( x) = x ( x − 5)
3

2

5( x − 2)
f '( x) =
3
3 x

⇒ Bảng biến thiên :
x -∞
0
y’
+
y
0

Có đạo hàm là:
Có 2 điểm tới hạn là:
x = 0 và x = 2
2
–

+∞
+

−3 3 4

§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

- Cần nắm vững quy tắc để tìm sự đồng biến và
nghịch biến của một hàm số.
- Cách vẽ bảng biến thiên của một hàm số.
- Làm các bài tập: 1, 2, 3, 4 tràng 52, 53 sách
giáo khoa.


TIẾT HỌC KẾT THÚC