hai đường thẳng vuông góc

1. Góc giữa hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 bất kì trong
không gian. Từ điểm O nào đó, ta vẽ hai
đường thẳng ∆ '1 , ∆ '2 song song (hoặc
trùng) với ∆1 , ∆ 2 .
Khi điểm O thay đổi thì
góc giữa ∆ '1 và ∆ '2
không
thay đổi.


1. Góc giữa hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 bất kì trong
không gian. Từ điểm O nào đó, ta vẽ hai
đường thẳng ∆ '1 , ∆ '2 song song (hoặc
trùng) với ∆1 , ∆ 2 .
Khi điểm O thay đổi thì
góc giữa ∆ '1 và ∆ '2
không
thay đổi.


Định nghĩa 1:
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 là góc
giữa hai đường thẳng ∆ '1 và ∆ '2 cùng đi
qua 1 điểm và lần lượt song song (hoặc
trùng) với ∆1 và ∆ 2 .

Định nghĩa 1:
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 là góc
giữa hai đường thẳng ∆ '1 và ∆ '2 cùng đi
qua 1 điểm và lần lượt song song (hoặc
trùng) với ∆1 và ∆ 2 .


Nhận xét:
1) Để xác định góc giữa hai đường thẳng ∆1
và ∆ 2 , ta có thể lấy điểm O nói trên thuộc một
trong hai đường thẳng.
2) Góc giữa hai đường thẳng không vượt
o
quá 90 .

ur uu
r
3) Nếu u1 , u2 lần lượt là vectơ chỉ phương của
các đường thẳng ∆1 , ∆ 2

ur uu
r
và u1 , u2 = α thì góc

(

)

giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 bằng α nếu

α ≤ 90o

180o − α

α > 90

o


Nhận xét:
1) Để xác định góc giữa hai đường thẳng ∆1
và ∆ 2 , ta có thể lấy điểm O nói trên thuộc một
trong hai đường thẳng.
2) Góc giữa hai đường thẳng không vượt
o
quá 90 .

ur uu
r
3) Nếu u1 , u2 lần lượt là vectơ chỉ phương của
các đường thẳng ∆1 , ∆ 2

ur uu
r
và u1 , u2 = α thì góc

(

)

giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 bằng α nếu

α ≤ 90o

180o − α

α > 90

o


Ví dụ 1: SGK trang 92
Cho hình chóp S.ABC có: SA = SB = SC
GT = AB = AC = a và BC = a 2
1) Các mặt của hình chóp S.ABCD
KL là những tam giác có gì đặc biệt?
2) ( SC , AB ) = ?

Giải
SAB và SAC là các tam giác
đều; SBC, ABC là các tam
giác vuông cân tại S và A.

S

M

N

A

B
P

C


Ta có:

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
SC. AB = SC . AB .cos SC , AB
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
SC. AB
⇒ cos SC , AB = uuu
r uuu
r
SC . AB

(

(

)

)

Mặt khác, ta
uuu
r uuu
r uur uuur uuu
r uur uuu
r uuur uuu
r
có:
SC. AB = SA + AC AB = SA. AB + AC. AB
Trong đó:

(

)

uur uuu
r uur uuu
r
uur uuu
r
SA. AB = SA . AB .cos SA, AB

(

)

uur uuu
r
uuu
r uuu
r
1
a2
= − SA . AB .cos AS , AB = − a.a. = −
2
2
uuur uuu
r
AC. AB = 0 (Vì ∆ABC cân tại A)

(

)


Ta có:

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r

uuu
r uuu
r
SC. AB = SC . AB .cos SC , AB
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
SC. AB
⇒ cos SC , AB = uuu
r uuu
r
SC . AB

(

(

)

)

Mặt khác, ta
uuu
r uuu
r uur uuur uuu
r uur uuu
r uuur uuu

r
có:
SC. AB = SA + AC AB = SA. AB + AC. AB
Trong đó:

(

)

uur uuu
r uur uuu
r
uur uuu
r
SA. AB = SA . AB .cos SA, AB

(

)

uur uuu
r
uuu
r uuu
r
1
a2
= − SA . AB .cos AS , AB = − a.a. = −
2
2

uuur uuu
r
AC. AB = 0 (Vì ∆ABC cân tại A)

(

)


Vậy:

2

uuur uuur − a + 0
uuur uuur
SC. AB
1
2
cos SC , AB = uuur uuur =
=−
2
a
2
SC . AB

(

)

uu

r uuu
r
o
Suy ra u
SC
,
AB
=
120
(
)

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC
o
và AB bằng 60 .


S

Cách khác:
M

- Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của SA, SB, AC. Khi đó:
A
MN // AB, MP // SC.

·
suy ra ( SC , AB ) = NMP

N

B
P

C

Ta có:
·
NP = NM + MP − 2MN .MP.cosNMP
2

2

2

2
2
2
1
NM
+
MP
−
NP
·
⇒ cosNMP
= .
2
MN .MP

Mặt khác, ta có:

a
MN = MP =
2

Do N là trung điểm của SB nên ta có:
2
2
2
SP
3
a
5
a
BP 2 + SP 2 = 2 NP 2 +
, Mà SP 2 =
, BP 2 =
2
4
4
2
3a
2
Vậy NP =
4
2

Do đó:

a
1
o
4
·
·
cosNMP = −
= − , suy ra NMP = 120
a a
2
2. .
2 2

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC
và AB bằng 60o .


Mặt khác, ta có:

a
MN = MP =
2

Do N là trung điểm của SB nên ta có:
2
2
2
SP

3
a
5
a
BP 2 + SP 2 = 2 NP 2 +
, Mà SP 2 =
, BP 2 =
2
4
4
2
3a
2
Vậy NP =
4
2

Do đó:

a
1
o
4
·
·
cosNMP = −
= − , suy ra NMP = 120
a a
2
2. .

2 2

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC
và AB bằng 60o .


2. Hai đường thẳng vuông góc:
Định nghĩa 2:
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc
o
với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 .
Nhận xét:

r r
rr
1) a ⊥ b ⇔ u ⊥ v ⇔ u.v = 0
r r
Với u , v lần lượt là vecto chỉ phương của a, b

2) a / / b 
⇒c ⊥b
c ⊥ a


?1. Cho hình hôôp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả
các cạnh bằng nhau. Giải thích tại sao AC
vuông góc B’C’.
B

A

D

C
A’

D’`

B’

C’


Giải
Ta có: ACA`C` là hình bình hành
=> AC//A`C`
Măôt khác: A`B`C`D` là hình thoi (AB=BC=CD=DA )
=>A`C` vuông góc B`D`
=>AC vuông góc B`D`


Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' có tất cả các cạnh đều
bằng a .
a/ CMR: AC⊥B'D‘
b/ Biết góc

· 'D' = AA
· 'B ' = D
· ' A'B' = 600
AA

Tính diện tích tứ giác ABC’D’

A

D
C

B

D'

A'
B'

C'


Bài giải :
a/ Ta có :

B'D‘ // BD ( tứ giác BDD’B’ là hbh )
AC ⊥ BD ( hai đ/c hình thoi )
⇒ AC⊥B'D'

b/ hbh ABC’D’ có:
Vì

AB ⊥ AD'

AB = AD’ = a

r uuu
r uuu
r uuu
uuu
r uuuu
r uuuu
r
uuu
r uuuu
r uuu
r
'
'
'
AB.AD = AB.(AA + AD) = AB.AA + AB.AD
a2 a2
=− +
=0
2
2

⇒ Y ABC D
'

'

là hv có diện tích bằng a2

Ví dụ 3:
GT:
Tứ diêôn ABCD
A

AB ⊥ AC; AB⊥BD
PЄAB; QЄCD
uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r
PA = kPB,QC = kQD

P

KL:

⊥

C

B
Q
D

CMR:AB⊥ PQ

Giải
Ta có:
PQ= PA+AC+CQ
(1)
PQ=PB+BD+DQ
(2)
kPQ=kPB+kBD+kDQ (3)
(1)-(3)<=>(1-k)PQ = PA – kPB + AC – kBD + CQ - kDQ
= AC – kBD (PA=kPB; QC=kQD)
Ta có: (1-k)PQ.AB = AC.AB – kBD.AB =0
=>PQ vuông góc AB


A

Bài tập:
Cho hình tứ diện ABCD có

AB ⊥ CD, AC ⊥ BD

CMR:
Bài giải :
Ta có

AD ⊥ BC

C

B
D

uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r
AB ⊥ CD ⇒ AB.CD = 0 ⇒ AB(AD − AC) = 0

uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r
AC ⊥ BD ⇒ AC.BD = 0 ⇒ AC(AD − AB) = 0
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
 AB.AD − AB.AC = 0
⇒  uuu
r uuu
r uuu
r uuu

r
 AC.AD − AC.AB = 0 uuur uuur uuur
⇒ AD(AB −u
AC)
0u
uu
r =uu
r
uuu
r uuu
r uuu
r
⇒ AD(AB − AC) = 0 ⇒ AD.CB = 0

⇒ AD ⊥ CB

⇒ AD ⊥ CB