vectow trong không gian

A

Ví dụ: Cho tứ diện
ABCD như hình vẽ.
uuur uuur uuur
AB, BC, CD có

Các vectơ
cùng nằm trong một mặt
phẳng hay không?

KHÔNG

B

D

C

Trong chương nà
tarsẽ
uuury uuu
uuunó
r i đến các vectơ
Cá
c
vectơ
có
AB,

BC,
CD
trong không gian. Các phép toán về vectơ
ngt phẳ
nằmngtrong
một tvẫ
mặ
trongcù
mặ
đã biế
n tđúng trong
ng hay không?
khônphẳ
g gian


BÀI 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ

1. Véctơ Trong Không Gian

Bài 1:Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với
tâm O.
a/ Hãy chỉ ra những vectơ bằng nhau khác
vectơ – không và kiểm tra tính đúng đắn
uuuur uuur uuur uuuur
của đẳng thức AC
' = AB + AD + AA '
Công thức trên gọi là quy tắc hình hộp

b/uuuChứ
ng rminh
rằnguuu
:
r uuuuu
uuuur
r uuuuur uuuur uuuur

AB + B'C ' + D 'D = AD + D 'C ' + B'B = A 'C
GIẢI


a/

uuur uuur uuuuur uuuuur
DC
A 'B'
D'C'
ABr= uuu
uuu
r =uuuuu
r =uuuuu
r
B
AD
=
BC
=
A
'D'

=
B'C'
uuuur uuuur uuuur uuuur
AAr' = BB'
=rCC' =uuu
DD'
uuuu
uuu
r uuuur
'
BO = OD
AO
uuuur ' uuu
uuur = OC
uuuu
r
r
OA
'
CO =
DO = OB'

uuuur uuur uuuur uuuuur
AC ' = AB + BB ' + B 'C '

uuuuur uuur uuuur uuuur
B 'C ' = AD, BB ' = AA '

Mà
uuuur uuur uuur uuuur

nên: AC ' = AB + AD + AA '

A

D
C
O
A’

B’

D’
C’

Nhữ
n
g
vectơ
khá
c
*uuuu
Kiể
m
tra
đẳ
n
g
thứ
r uuur uuur uuuurc:
vectơ-khô

bằ+nAA
g nhau
AC' = ABn+gAD
'
là? Có đúng không?
*


Chú ý: Ta có thể
A
tìm thấy kết
quả trên nhờ
C
B
việc nhận xét
ACC’A’ và
ABCD là các
A’
hình uuuu
bình
hà
n
h
r uuur uuuur
nên: AC ' = AC + AA '

B’

uuur uuur uuur
Và AC = AB + AD

D

D’
C’


b/uuur uuuuur uuuur

uuur uuur uuuur
AB + B'C' + D'D = AB + BC + C 'C =
uuur uuuur uuuuur uuuur uuuur
= AC + C 'C = A 'C ' + C 'C = A 'C
uuur uuuuur uuuuur uuur uuuur uuuur
Vì AD = B 'C ' D 'C ' = AB B'B = D 'D

uuur uuuuur uuuur uuuuur uuur uuuur
neân: AD + D 'C ' + B ' B = B'C ' + AB + D ' D
b/

Chöùng minh raèng

uuur uuuuur uuuur
AB
' + Duuuu
'Dr =
uuur+ B'C
uuuuur
= AD
uuuur+ D 'C ' + B' B =

A

D

C

B
A’

= A 'C

B’

O

D’
C’


Bài 2: Cho tứ diện
ABCD với trọng tâm G
và các trung điểm các
cạnh của nó (hình vẽ).
Hãy chỉ ra trên hình vẽ
những vectơ khác
vectơ – không bằng
nhau và kiểm tra xem
uuurc uuur uuur
đẳuuu

ngr thứ
AB + AC + AD = 4AG
Có đúng không?

A

M

K
I
G

B

D

J
N

H
C


*Kiểm tra
uuur uuur uuur uuur
* Nhữngđẳvectơ
khá
c + AD = 4AG
ng thức AB + AC
Cónđú

g khô
vectơ-khô
gnbằ
ngng?
nhau

GIẢI:

uuuur uur uur uuur
MK = BJ = JD = HN
uuur

là?

uuur uuur uur
MI = BH = HC = JN
uuuur uur uur uuur
MH = AI = IC = KN
uur uuur uuur uur
IK = CN = ND = HJ

uuur uuur
CNr = ND
uuuu
uuur
AM
uur = MB
uur
IG =GJ

uuur uuur
AKr = KD
uuuu
uuur
MG
GN
uuur = uuu
r
HG = GK

A

M

K

Ta
có
uuur uuur

uuur
AC +uuu
AD
r = 2AN
uuuur
AB
2AM
r uuur
uuu
r = uuuu

I
G
B

2AG = AM + AN
uuur uuur uuur uuur
Vậy AB + AC + AD = 4AG

D

J
N

H
C


Bài 3: Cho lăng trụ
ABC.A’B’C’. Đặt
uuuur r
AA ' = a,

uuur r
AB = b,

A

r
b

uuur r
AC = c

1/ Hãy biểu thò mỗi
uuuur uuuur
vectơ B'C , BC '
r r r
qua các vectơ a , b , c.
2/ Gọi G’ là trọng tâm
tam giác A’B’C’.
uuuur
Biểu r
thò rvectơ
r AG '
qua a , b , c.

r
a

r
c

C

B

A’

C’

B’


uuuur uuuur
1/ Biểu thò mỗi vectơ
r rB'C,
r BC '

2/ Gọi G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’.
uuuur a, b, c r r r
qua các vectơ
Biểu thò vectơ AG ' qua a, b,c
A

GIẢI:
uuuur
1/ B'C =

r
a

uuuur uuur uuur
r r r
B' B + BA + AC = −a − b + c
uuuur uuur uuur uuuur r r r
BC ' = BA + AC + CC ' = a − b + c

2/ Vì G’ là trọng tâm tam
giác A’B’C’ nên:

uuuur 1 uuuur uuuur uuuur
AG ' = ( AA ' + AB ' + AC ') =
3

C

B

A’

1 uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur
= (AA ' + AA ' + A ' B' + AA ' + A ' C ')
3

1 r r r
= (3a + b + c)
3

r
b

r
c

G’

B’

Với điểm A
bất kì ta có?

C’


Ví dụ1: Cho tứ diện ABCD.
1/Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB và CD. Chứng
tỏ rằ
nrg: 1 uuur uuur 1 uuur uuur
uuuu
MN = (AD + BC) =
2
2

(AC + BD) B

2/ Chứng minh rằng điểm G
là trọng tâm của tứ diện
ABCD khi và chỉ khi một
trong hai điều kiện sau đây
xảyuuu
ra:
r uuur uuur uuur r
+
GB
+
GC
+
GD
=

0
a/ GA
uuur 1 uuur uuur uuur uuur
b/ PG = 4 (PA + PB + PC + PD)
với mọi điểm P

A

M
G
D
N
C


Giải: 1/ Sử dụng quy tắc
bar điể
m
uuuu
uuuu
r ta
uuurcó uuur uuuur uuur uuur uuur

gD
minh
MN = MChứ
A +nA
+ DG
N ; MN = MB + BC + CN
là trọng uuuu

tâmrcủuuur
a tứ diệrn ABCD
Do M
Ar
+M
B khi
B
uuu
uuu
r= 0 r
khi
và
chỉ
uuur uuu
rN +uuu
rNuuu
r0 r
Duuuu
C
=
Và
uuur= 0uuur
GA + GB +rGC1+ GD

A

M
G

N

D

Nên MN = (AD + BC) uuuur
C r
uuur uuu
2
1
Tương tự như trên,ta có MN = (AC + BD)
2
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
2/ a/ Ta có GA + GB = 2GM , GC + GD = 2GN
Điểm G là trọng tâm của
Chứng minh
tứ diệ
nrABCD
uuuu
uuur khi
r và chỉ
uuuur uuu
rr 1r uuur uuur
uuuu
MN =
= 0( AD + BC )
GN)
khi GM + GN = 0 hay 2(GM +uuu
r uuur2 uuur uuur r
Điều này tương đương với GA + GB + GC + GD = 0

b/ G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ
uuur uuur uuur uuur r
khi GA + GB + GC + GD = 0
Kết quả
với điểm P bấtcâkì,
ta
u
a/
uuur uuur uuur uuur

Điều này có nghóa là
có;
uuur uuur uuur uuur
r
PA − PG + PB − PG + PC − PG + PD − PG = 0
uuur 1 uuur uuur uuur uuur
hay PG = (PA + PB + PC + PD)
4
A

Chứng minh G
là trọng tâm của tứ diện ABCD
khi và chỉ khi

M
B

G
D
N

C

uuur 1 uuur uuur uuur uuur
PG = (PA + PB + PC + PD)
4
Với mọi điểm P


Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’,
AC = b, BDuuu
=rb’, BCuuu
=ra, AD = a’. Tính góc
giữa các vectơ
và
DA
BC
A

c

a’

b

B

a
b’
D

c’

C


A

c

(

a’

b

B

a
b’

Giải: Ta có

D

c’

C

uuur uuur 2 uuuur2 uuuur2
uuur uuur

uuu
r
uuu
r
uuu
r uuur
CB − CD = CB + CD − 2CB.CD

BC.DA) = BC.DA.cos(BC, DA)
uuuur uuuur uuu
uuur
r uuu
uuur
r2
2
2
CB
+ CD
CB − CD )
r uuu
r − (BC.DA
uuur uuur uuu
⇒
=
⇒CB.CD
cos(BC,
DA) =2
uuur uuur BC.DA
uuur
Mà CB − CD = DB

uuur uuur 1
CB.CD = (CB2 + CD 2 − BD 2 )
uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur
BC.DA =BC.(DC + CA) = CB.CD − CB.CA

1
1
2
2
2
= (CB + CD − BD ) − (CB2 + CA 2 − BA 2 )
2
2
1
= (BA 2 + CD 2 − BD 2 − CA 2 )
2

1 2
2
2
2
= (c + c ' − b ' − b )
2uuur uuur

Từ đó góc

(BC, DA) xác đònh bởi

uuur uuur c 2 + c '2 − b '2 − b 2
cos(BC, DA) =
2aa '


r
a

2. Sự đồng phẳng của

các vectơ.

r
c

Định nghĩa: Ba vectơ gọi
làđđồng phẳng nếu các giá
của chúng cùng song song
với một mặt phẳng
(giá của ba vectơ

rrr
đều song
r rsong
r với mpa,(P)
b, cnên
ba vecta,
ơ b, c
đồng phẳng)

r
b

A

B
P C

O


Nhận xeùt:
Nếu ta vẽ

r
a

uuur r uuur r uuur r
OA = a, OB =
r b,rOC
r =c

thì ba vectơ

a, b, c

r
b

r

c

A

B

ñồng phẳng khi vaø chỉ khi
bốn ñiểm O,A,B,C cuøng
nằm trong một mặt
phẳng

P C

O


Nhận xét gì về
4 điểm M, N, P, Q?
Bài toán 1. Cho tứ diện
ABCD. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của
AB và CD. Chứng
minh rằng ba vectơ
uuur uuuur uuur
BC, MN, AD

A

M
P

B

Q
C

N

đồ
ngi:phẳ
Giả
Gọnig P và Q lần lượt là trung điểm của

AC và BD.
Khi đó MP // QN và MP = QN =1/2BC. Vậy
tứ giác MPNQ là hình bình hành.

D


Mặt phẳng (MPNQ) chứa đường thẳng
MN và song song với các đường
thẳngAD và BC. Suy ra ba đường thẳng
MN, AD, BC cùng song songuuu
vớ
mộ
r iuuuu
r tuuur
mặt phẳng. Do đó ba vectơ BC, MN, AD
đồng phẳng

A
M
P

B

Q
C

N

D


Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ như hình vẽ.
Mệuuu
nhr đề
orsau đây đúng?
uuuurnà
uuuuu
a/ AB,
B'Cr' đồng phẳng. S
uuur BB',
uuur uuuuu
b/ AC, BC, A ' B' đồng phẳng. Đ
uuur uuuuur uuuuur
c/ BC, A 'B', B 'C ' đồng phẳng. Đ
A

C

B

A’

C’

B’

XIN CHÚC MỪNG


-Qua các bài tập vừa làm, ta thấy
các kết quả của vectơ trong hình
học phẳng còn đúng không?
-Do đó các phép toán về vectơ có
vai trò nhất đònh trong việc giải
một số bài toán hình học không
gian. Ví dụ:Để chứng minh bốn
điểm A,B,C,D thuộc một mặt
phẳ
n
g
ta
chứ
n
g
minh
ba
vectơ

uuur uuur uuur
AB, AC, AD
đồng phẳng…hoặc
một số dạng bài tập khác mà ta sẽ
học trong phần tiếp theo!


Bài học đến đây xin tạm dừng.Xin
cám ơn quý Thầy Cô cùng tất cả
các bạn!
NĂM MỚI KÍNH CHÚC QUÝ THẦY CÔ
“AN KHANG – THỊNH VƯNG – VẠN
SỰ NHƯ Ý”.
CHÚC CÁC BẠN VUI VẺ VÀ HỌC GIỎI!

HAPPY NEW YEAR