phép đồng dạng

BÀI 7
PHÉP ĐỒNG DẠNG


1. Định nghĩa phép đồng dạng


Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu
với 2 điểm bất kỳ M, N và ảnh M’, N’ của chúng, ta có:
M’N’ = kMN.



F: M
M’
N
N’
M’N’ = kMN (k>0)
F: gọi là phép đồng dạng tỉ số k.
Nhận xét
+ Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k =1
+ Phép vị tự V(o, k) là phép đồng dạng tỉ số |k|




Mối quan hệ giữa phép dời hình, phép vị tự, phép đồng
dạng có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau:

Phép dời hình

?

Phép vị tự

Phép đồng dạng




Mối quan hệ giữa phép dời hình, phép vị tự, phép đồng
dạng có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau:

Phép dời hình

?

Phép vị tự

Phép đồng dạng


Chú ý
Cho phép vị tự:V(o, k).
Phép dời hình: D



V(O,k )
D
M 

→ M1 
→ M'

Ta nói rằng F là phép hợp thành của hai phép biến hình V và D.
Hoặc có thể nói F là tích của hai phép biến hình V và D.
Ký hiệu F = D.V
Vậy để xác định ảnh của một điểm M qua phép biến hình tích
F = D.V ta làm như sau:
+ Xác định ảnh của M qua phép vị tự V được ảnh M1.
+ Xác định ảnh của M1 qua phép dời hình D được ảnh M’.
Ta được M’ là ảnh của M qua phép biến hình F = D.V


Chú ý
Cho phép vị tự:V(o, k).
Phép dời hình: D



V(O,k )
D
M 
→ M1 
→ M'

Ta nói rằng F là phép hợp thành của hai phép biến hình V và D.
Hoặc có thể nói F là tích của hai phép biến hình V và D.
Ký hiệu F = D.V
Vậy để xác định ảnh của một điểm M qua phép biến hình tích
F = D.V ta làm như sau:

+ Xác định ảnh của M qua phép vị tự V được ảnh M1.
+ Xác định ảnh của M1 qua phép dời hình D được ảnh M’.
Ta được M’ là ảnh của M qua phép biến hình F = D.V


Chú ý
Cho phép vị tự:V(o, k).
Phép dời hình: D



V(O,k )
D
M 
→ M1 
→ M'

Ta nói rằng F là phép hợp thành của hai phép biến hình V và D.
Hoặc có thể nói F là tích của hai phép biến hình V và D.
Ký hiệu F = D.V
Vậy để xác định ảnh của một điểm M qua phép biến hình tích
F = D.V ta làm như sau:
+ Xác định ảnh của M qua phép vị tự V được ảnh M1.
+ Xác định ảnh của M1 qua phép dời hình D được ảnh M’.
Ta được M’ là ảnh của M qua phép biến hình F = D.V




Bài toán

V(O,k )
D
M 
→ M1 
→ M'

V(O,k )
D
'
N

→
N

→
N
F = D.V. Chứng minh rằng F là phép đồng dạng,1 tỉ số |k|

F = D.V. Chứng minh rằng F là phép đồng dạng, tỉ số |k|
Lời giải
Do M1, N1 lần lượt là ảnh của M và N qua phép vị tự V (O, k). Khi đó ta có:
M1N1 = |k|MN (theo định lý) (1)
Do M’, N’ lần lượt là ảnh của M1, N1 qua phép dời hình D. Khi đó ta có:
M’N’= M1N1 (2)
Mặt khác từ (1) và (2) ta có: M’N’ = |k|MN
Theo định nghĩa ta có F là phép đồng dạng tỉ số |k|.




Bài toán
V(O,k )
D
M 
→ M1 
→ M'

V(O,k )
D
'
N

→
N

→
N
F = D.V. Chứng minh rằng F là phép đồng dạng,1 tỉ số |k|

F = D.V. Chứng minh rằng F là phép đồng dạng, tỉ số |k|
Lời giải
Do M1, N1 lần lượt là ảnh của M và N qua phép vị tự V (O, k). Khi đó ta có:
M1N1 = |k|MN (theo định lý) (1)
Do M’, N’ lần lượt là ảnh của M1, N1 qua phép dời hình D. Khi đó ta có:
M’N’= M1N1 (2)
Mặt khác từ (1) và (2) ta có: M’N’ = |k|MN
Theo định nghĩa ta có F là phép đồng dạng tỉ số |k|.


2. Định lý

Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là hợp thành của 1 phép
vị tự V tỉ số k và 1 phép dời hình D
Hướng dẫn:
F:
M
M’
N
N’
Ta có:
M’N’ = kMN
(k>0)
Ta vẽ đoạn M1N1 sao cho M1N1 = M’N’ và M1N1 \\ MN


2. Định lý
Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là hợp thành của 1 phép
vị tự V tỉ số k và 1 phép dời hình D
Hướng dẫn:
F:
M
M’
N
N’
Ta có:
M’N’ = kMN
(k>0)
Ta vẽ đoạn M1N1 sao cho M1N1 = M’N’ và M1N1 \\ MN


M’

N1

M
M1

O

N’

N

Ta có ∆MON ~ ∆M1ON1 nên:
Mặt khác:

OM 1 ON1 M 1 N1
=
=
(1)
OM
ON
MN

M ′N ′
M 1 N1 = M ′N ′ ;
= k (2)
MN


M’
N1

M
M1

O

N’

N

Ta có ∆MON ~ ∆M1ON1 nên:
Mặt khác:

OM 1 ON1 M 1 N1
=
=
(1)
OM
ON
MN

M ′N ′
M 1 N1 = M ′N ′ ;
= k (2)
MN


OM1 ON1
=
=k

Từ (1) và (2) ta có:
OM
ON
uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuur
Suy ra
OM 1 = kOM
ON 1 = kON
Như vậy F chính là phép hợp thành của phép vị tự V(O,k)
và phép dời hình D.


Hệ quả (tính chất của phép đồng dạng)
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng (và
không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó)
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng
+ Biến tia thành tia
+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân
lên với k (k là tỉ số của phép đồng dạng)
+ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng tỉ số k
+ Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán
kính kR
+ Biến góc thành góc bằng nó.




Nhận xét
Ta thấy phép vị tự thì có tính chất “biến một đường thẳng
thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó”. Còn
phép dời hình nói chung không có tính chất đó.
Ví dụ
Phép quay với góc quay khác kП.
Mà phép đồng dạng là phép hợp thành của phép vị tự và
phép dời hình nên cũng không có tính chất “biến một
đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng
với nó”.


3. Hai hình đồng dạng
H

H1

H’

O
Có phép vị tự V biến hình H thành hình H1, có phép dời
hình D biến hình H1 thành hinh H’.
Nếu gọi F là phép hợp thành của V và D thì F là phép đồng
dạng biến hình H thành hình H’.
Ta nói rằng hai hình H và H’ đồng dạng với nhau.






Định nghĩa
Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng
biến hình này thành hình kia.
Chú ý
Ở lớp 8 ta đã biết thế nào là 2 tam giác đồng dạng. Khái
niệm đó phù hợp với định nghĩa trên.


Ví dụ :Cho ∆ ABC
a) Xác định ảnh của ∆ ABC qua phép hợp thành

D A .V

1
(A, − )
2
b) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ảnh theo
bán kính R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC )




So sánh phép dời hình, vị tự V(O,k), đồng dạng tỉ
số k
+ Giống nhau:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng (và không làm thay đổi thứ tự của ba
điểm đó).

- Biến đường thẳng thành đường thẳng, tia
thành tia, biến góc thành góc bằng nó.


+ Sự khác nhau:
Phép dời hình
Phép vị tự
-Biến
đoạn thẳng -Biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà
bằng nó.
độ dài được nhân lên
với |k|.
-Biến tam giác thành -Biến tam giác thành
tam giác đồng dạng
tam giác bằng tam
với tỉ số đồng dạng
giác đó.
là |k|.
Biến đường tròn
thành đường tròn có
bán
kính
bằng
đường tròn đã cho.
-

Biến đường tròn
thành đường tròn có
bán kính có bán kính

là |k|R.
-

Phép đồng dạng
-Biến
đoạn thẳng
thành đoạn thẳng mà
độ dài được nhân lên
với k.
-Biến tam giác thành
tam giác đồng dạng
với tỉ số đồng dạng
là k.
Biến đường tròn
thành đường tròn có
bán kính có bán kính
là kR.
-




Củng cố bài học
Qua bài học chúng ta cần nắm được:
- Khái niệm phép đồng dạng.
- Hiểu được phép dời hình và phép vị tự là trường hợp
riêng của phép đồng dạng.
- Phép đồng dạng là phép hợp thành của phép vị tự và
phép dời hình.
- Những tính chất giống và khác nhau của phép dời hình,

vị tự và đồng dạng.
- Hiểu được thế nào là hai hình đồng dạng.