Tích vô hướng của hai vectơ

F
ur
s
O
O’
§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Trong Vật lí, ta biết rằng nếu
có một lực tác động lên một
vật tại điểm O và làm cho vật
đó di chuyển một quãng
đường s = OO’ thì công A của
lực được tính bằng công
thức:
F
ur
F
ur
. ' cosA F OO
ϕ
=
ur uuuur
trong đó là cường độ của lực tính bằng Niutơn (viết là N),
là độ dài của vectơ tính bằng mét (m),
ϕ
là góc giữa
hai vectơ và , còn công A được tính bằng Jun (viết là J).
F
uur
F
ur

'OO
uuuuur
'OO
uuuur
F
ur
'OO
uuuur
Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên (không kể đơn vị
đo) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ và
F
ur
'OO
uuuur

§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. Định nghĩa
Cho hai vetơ và khác vectơ . Tích vô hướng của và
là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức sau:
a
r
b
r
0
r
a
r
b
r
.a b

r r
. . cos( , ).a b a b a b=
r r r r r r
Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ và bằng vectơ
ta quy ước
a
r
b
r
0
r
. 0.a b =
r r

§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. Định nghĩa
. . cos( , ).a b a b a b=
r r r r r r
F
ur
A
B
Ví dụ 1. Một xe goòng chuyển động từ A đến B dưới tác dụng
của lực . Lực tạo với hướng chuyển động một góc 60
0
.
Tính công A sinh ra bởi lực biết lực có cường độ là 100N
và độ dài quãng đường AB là 2m.
F
ur

F
ur
F
ur
F
ur
Giải
0
1
. cos( , ) 100.2.cos 60 200. 100 ( )
2
A F AB F AB J= = = =
ur uuur ur uuur

§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. Định nghĩa
. . cos( , ).a b a b a b=
r r r r r r
Ví dụ 2. Cho tam giác đều ABC có cạnh a và có chiều cao AH.
Tính các tích vô hướng sau đây:
. ; . ; .AB AC AB BC AH BC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A
B CH
Giải
2
0
1
. . .cos 60 . .
2 2

a
AB AC AB AC a a= = =
uuur uuur
2
0
1
. . .cos120 . .( )
2 2
a
AB BC AB BC a a= = − = −
uuur uuur
0
3
. . .cos90 . .0 0
2
a
AH BC AH BC a= = =
uuur uuur

§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. Định nghĩa
. . cos( , ).a b a b a b=
r r r r r r

Chú ý:
) 0 0 . 0Víi vµ ta cã a a b a b a b≠ ≠ = ⇔ ⊥
r r r r r r r r
2
) .
.

TÝch v« h­íng ®­îc kÝ hiÖu lµ vµ sè nµy ®­îc
gäi lµ
b a a a
a
r r r
ur
b × nh ph­¬ng v« h­íng cña vect¬
2
2
0
. cos 0Ta cã a a a a= =
r r r r
Trong trường hợp nào thì
tích vô hướng của hai vectơ
và bằng 0?
a
r
b
r
Vậy bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình
phương độ dài của vectơ đó.