Bài tập ôn tập Toán CASIO

Bài tập Casio
Bài 1.
Cho đồ thị (H):
x 1
y
x 1

=
+
. Tìm trên (H) điểm M sao cho tổng khoảng cách đến 2 trục tọa
độ là nhỏ nhất.
Bài 2.
n * Ơ
đặt f(n) = ( n
2
+ n + 1)
2
+ 1 và
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
f 1 f 3 ...f 2n 1
a
f 2 f 4 ...f 2n

=
. Tính 2009a
2008
.
Bài 3.
Trên parabol x

2
= y cho điểm P không trùng với O. Đờng vuông góc với tiếp tuyến của
parabol tại P cắt parabol tại điểm thứ hai là Q. Tìm tọa độ của P sao cho độ dài PQ là nhỏ
nhất.
Bài 4. Giải gần đúng phơng trình:
2
x
x
e sin x 3 0
2
+ =
.
Bài 5.
Tính
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
S 1 1 1 1 ... 1
2 2 3 3 4 2007 2008
= + + + + + + + + + + + +
Bài 6.
Trong tam giác ABC. Các đoạn PQ, RS, TU t-
ơng ứng song song với AB, BC, CA. Chúng cắt
nhau tại X, Y, Z (hình vẽ). Biết rằng mỗi đoạn
PQ, RS, TU chia tam giác ABC thành hai phần
có diện tích bằng nhau và diện tích tam giác
XYZ bằng 1. Tính diện tích tam giác ABC.
Z
Y
X
A

B
C
P
Q
R
S
U
T
Bài 7.
Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thỏa mẫn 2 tính chất sau:
a/ Có chữ số tận cùng bằng 6.
b/ Nếu bỏ chữ số 6 ở cuối cùng và đặt chữ số 6 lên trớc các chữ số còn lại ta đợc một số
gấp 4 lần số ban đầu.
Bài 8.
Cho tứ diện ABCD có AB = 3, CD = 4, các cạnh còn lại đều bằng 5. Tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 9.
Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm x, y thỏa mãn PT
x
3
+ 8x + 73y
4
= x
2
+ 1680.
Bài 10.
Cho hai đờng tròn (O
1
, R
1

) và (O
2
, R
2
) cắt nhau. Biết rằng O
2
nằm trên đờng tròn O
1
và
diện tích phần chung của hai hình tròn này bằng nửa diện tích hình tròn (O
1
, R
1
). Tính tỷ số
R
1
/R
2
.

Hớng dẫn giải.
Bài 1.
Gọi M(x,y) trên (H), đặt
( )
x 1
d M x y x
x 1

= + = +
+

. Do
( ) ( )
M 1;0 d M 1 =
nên ta
chỉ xét trong trờng hợp
x 1
0 x 1
y 1

<

< <

<


.
Khi đó
( )
1 x 2
d M x x 1 2 2 2 2
x 1 x 1

= + = + +
+ +
.
Vậy min d(M) =
( )
0 x 1
2 2 1 khi x 2 1

1
x 1
x 1
< <


=

+ =

+
,
Tọa độ M
( )
2 1;1 2
.
Bài 2.
Ta có f(n) = [(n
2
+ 1) + n]
2
+1 = (n
2
+ 1)( n
2
+ 2n + 2). Từ đó
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )

( )
( )
2
2 2
n
2
2
2 2
4n 4n 2 4n 1
f 2n 1 2n 1 1
1
a
f 2n 2n 2n 1
4n 1 4n 4n 2
2n 1 1
+ +
+
= = =
+ +
+ + +
+ +
Vậy 2009a
2008
= 0,0002.
Bài 3.
Gọi P(p; p
2
), Q(q; q
2
) .

PT đờng PQ là
( )
2
1
y x p p
2p
= +
từ đó, hoành độ của Q là
1
q p
2p
=
( ) ( )
2 2
2 4 3 5
2
2 2
5
3 1 3 1
d PQ 4p 3 d' 8p 0
4p 16p 2p 4p
1 1
2p 1 4p 1 0 p
4p 2
= = + + + = =
+ = =
Vậy tìm đợc 2 điểm P lầ
1 1
;
2 2

ữ
ữ

.
Bài 4
Đặt
( )
2
x
x
f x e sin x 3
2
= +
. Tính f(x), f(x) và có f(0)=0, f(x)>0
x

Ă
nên
f(x) đồng biến trên R. Bảng biến thiên:
x

0
+
f(x) - 0 +
f(x)
+

+

-2
PT có đúng 2 nghiệm x
1
, x
2
với
( )
1 2
x ( 2;0), x 0;2
- KT bằng máy tính.
Giải bằng MT, ta có Kq
1 2
x 1.9691; x 1,1736
.
Bài 5.
( ) ( )
( )
4 3 2 2
*
2 2
2
2
1 1 n 2n 3n 1 n n 1 1 1
n , 1 1
n n n 1 n n 1
n 1 n n 1
+ + + + +
+ + = = = +
+ +
+ +

Ơ
Vậy
1
S 2007 1 2007,9995
2008
= +
.
Bài 6
Đặt AB=x, theo gt ta có
2
PQ 1 x 2
PQ
AB 2 2

= =
ữ

.
Vì các tam giác PCQ, UTB, ASR
đồng dạng, cùng diện tích nên chúng
bằng nhau. Do đó
2x x 2
PX YQ
2
x 2 4x 2x 2 3x 2 4x
XY
2 2 2

= =

= =
.
Z
Y
X
A
B
C
P
Q
R
S
U
T
Hai tam giác XYZ và ABC đồng dạng, nên
2
2
XY 3 2 4 17 12 2 2
dt ABC 67,9411
AB 2 2
17 12 2



= = =
ữ
ữ
ữ

Bài 7.
Gọi số cần tìm là
1 2 n
a a ...a 6
. Theo bài ra
1 2 n 1 2 n 1 2 n
6a a ...a 4 a a ...a 6 Đặt a a a ...a= =
ta có
( )
( )
n n n
6.10 a 4 10a 6 2 10 4 13a 10 4 13+ = + = M
.
Thử trực tiếp bằng máy với n = 1, 2, 3,ta đợc n=5. Nh thế a = 15384 và số phải tìm là
153846.
Bài 8.
Ta có EF là đoạn vuông góc
chung của AB và CD; Tâm O của
m/c ngoại tiếp ABCD nằm trên
EF. Gọi R là bk m/c ngoại tiếp, ta
có
2 2 2 2
9
OE R ; OF R 4
4
= =
EF
2
= AF

2
AE
2
= AD
2
-DF
2
-AE
2
=
9 75
25 4
4 4
=
. (*)
Mặt khác EF = EO + OF nên
2
2 2 2
9
EF R R 4
4

= +
ữ
ữ

(**)
Từ (*), (**) ta có
2
R 10,1047 R 3.1788

F
E
A
B
C
D
O
I
Bài 9.
3 2
4
x 8x x 1
PT y 23
73
+ +
= +
.
Dễ thấy
3 2 4
x x 8x 1 0 x 1 0 y 23 y 0,1, 2 + + < =
Dùng máy tính thử với y = 0, 1, 2 ta đợc các giá trị (x, y) = (12; 0), (8; 1).
Bài 10.
Gọi x (rad) là số đo góc O
1
O
2
A,
0 x
2

< <
ữ

từ đó R
2
= 2R
1
cosx.
Dt(qO
2
AB) =
2 2 2
2 1
R x 4R x cos x=
Dt(O
2
mA) = =
( ) ( )
2
1
1
R
1
2x R sin 2x
2 2

Diện tích phần chung của hai đờng tròn là
S =

( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1
4R x cos x R 2x R sin 2x+
Theo bài ra ta có
A
m
x
R
2
R
1
B
O
1
O
2
K
( ) ( )
2 2 2 2 2
1 1 1 1
1
4R x cos x R 2x R sin 2x R
2
+ =
( )
2
1
4xcos x 2x sin2x 2xcos2x sin 2x 0 0 x
2 2 2

+ = + = < <
ữ

Dùng máy tính giải gần đúng PT, ta đợc x và từ đó tìm đợc
1
2
R
1
0,8630
R 2cosx
=