Đề ôn thi học sinh giỏi toán 9 đề 2

Câu 1: (5đ)
1,Cho a+b+c=1 CMR:

a2
b2
c2
+
+
a + bc b + ac c + ab

=1-

2abc
ab + bc + ca − abc

2,Tìm nghiệm nguyên của phương trình

2 x 2 + 3 y 2 − 5 xy + 3 y − x − 4 = 0
Câu 2: (5 đ)Giải phương trình

8 − x 2 + x = 4 y 2 − 12 y + 13
1,

x 2 + x2 + 1 = x + x + 1
2,
Câu 3: (2đ)
Cho 3 số a,b,c dương thỏa mãn : a+b+c=3
Chứng minh rằng:

a
b

c
+ 3 2
+ 3
2
a + b + c b + c + a c + a2 + b ≤
3

1

Câu 4: (6đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A(ABgiác ACH. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ,đường tròn này cắt cạnh AB,AC tại D và E. Đường thẳng DE
cắt BC kéo dài tại K.
Chứng minh rằng:
a , Tứ giác OIHJ nội tiếp
b , I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OKH
c , J là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác OHK
Câu 5: (2đ)


1,Cho 37 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong hình vuông có cạnh là 1. Chứng minh rằng: luôn tìm được

1
18
5 điểm trong 37 điểm đó thỏa mãn các tam giác được tạo thành có S không vượt quá
2,Cho 6 điểm trong mặt phẳng.Nối các điểm này bằng các đoạn thẳng. Người ta tô màu mỗi đoạn thẳng bởi 1 trong
2 màu xanh và đỏ.Chứng minh rằng: tồn tại 1 tam giác có 3 cạnh cùng màu

ab
bc

ca
a2 + b2 + c2
+
+
≤
(*)
a 2 + bc + ca b 2 + ca + ab c 2 + ab + bc ab + bc + ca
ab(b 2 + bc + ca)
ab(b 2 + bc + ca )
≤
(a 2 + bc + ca )(b 2 + bc + ca) (ab + bc + ca ) 2
(*) <=>
ab(b 2 + bc + ca ) + bc(c 2 + ca + ab) + ca (a 2 + ab + bc ) ≤ (a 2 + b 2 + c 2 )(ab + bc + ca )
⇔ abc (a + b + c) ≤ a 3b + b3c + c3 a
a 2 b2 c2
⇔ a+b+c ≤
+ +
b
c a