phương trình mũ và phương trình logarit

TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LOGARIT


I - PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Bài toán : Một người gửi tiền tiết kiệm với lãi suất 8,4 % năm và lãi hàng năm được nhập vào
vốn . Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu .

Giải :

Gọi số tiền gửi ban đầu là P . Sau n năm , số tiền thu được là :

Pn = P ( 1 + 0, 084 )
Để Pn = 2P ta phải có :

= P. ( 1, 084 )

n

( 1, 084 )

n

n

= 2 ⇒ n = log1,084 2 ≈ 8, 59

Vì n ∈ N* nên chọn n = 9 (năm) :
Những bài toán như trên đưa đến giải các phương trình có chứa ẩn số ở số mũ của lũy thứa .

Ta gọi đó là các phương trình mũ .
x

1
4
Ví dụ các phương trình : 3x = 8 ; 
−
+ 3 = 0 Là các phương trình mũ.
 ÷
x
3
9
1. Phương trình mũ cơ bản :
Phương trình mũ cơ bản có dạng : ax = b ( a > 0 ; a ≠ 1)
Để giải phương trình trên ta sử dụng định nghĩa lôgarit :
• Với b > 0 , ta có ax = b ⇔ x = loga b
• Với b ≤ 0 , phương trình vô nghiệm

click


Minh họa bằng đồ thị :
Đồ thị :

Đồ thị :
y

y = a ( a > 1)

y

x

b
y=b

b
1
0

y=b

1
y = ax ( 0
logab

x

logab

0

x

Hoành độ giao điểm của đồ thị y = ax và y = b là nghiệm của phương trình : ax = b
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị .
Trên đồ thị với b ≤ 0 thì 2 đồ thị không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm .
với b > 0 thì 2 đồ thị luôn cắt nhau taị một điểm inên phương trình có nghiệm duy nhất .
Kết luận :

Phương trình ax = b ( a > 0 ; a ≠ 1)
b>0
b≤0

Có nghiệm duy nhất x = loga b
Vô nghiệm

click


Ví dụ 1 : Giải phương trình

Giải :

22 x −1 + 4 x +1 = 5
1 x
.4 + 4.4 x = 5
2

Đưa vế trái về cùng cơ số 4 có :

Vậy

2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản :

10
9
10
x = log 4
9

hay

4x =

Người ta thường dùng một số phương pháp sau :
a) Đưa về cùng cơ số :
Giải phương trình 62x - 3 = 1 bằng cách đưa về dạng aA(x) = aB(x) và giải : A(x) = B(x)
Có 62x - 1 = 1 = 60 ⇔ 2x - 1 = 0 ⇔ x = 1/2
Ví dụ 2 : Giải phương trình

( 1, 5 )

5 x −7

5 x −7

Giải :

3
Đưa 2 vế về cùng cơ số : 
 ÷
2

x +1

2
= ÷
3

− x −1

3
= ÷
2

⇔ 5x − 7 = − x − 1 ⇔ x = 1

b) Đặt ẩn phụ :
Ví dụ 3 : Giải phương trình

Giải :

9 x − 4.3x − 45 = 0

Đặt t = 3x > 0 , ta có :

Giải phương trình

t − 4t − 45 = 0
2

t = 9 ⇒ 3 x = 9 ⇔ x = 2
⇔
t = −5 Loại vì t > 0

1 2x
.5 + 5.5 x = 250 Bằng cách đặt ẩn phụ : t = 5x
3

Học sinh giải tại lớp

click


c) lôgarit hóa :
Ví dụ 4 : Giải phương trình

Giải :

2

3x.2 x = 1

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3 ( còn gọi là lôgarit hóa) , có

(

log 3 3x.2 x

2

) = log 1⇔ log
3

2

x
x
= 0 ⇔ x + x 2 .log 3 2 = 0

3 3 + log 3 2

x = 0
⇔ x ( 1 + x.log 3 2 ) = 0 ⇔ 
x = − 1
= − log 2 3
log 3 2

Ví dụ trắc nghiệm :
Số nghiệm của phương trình

A

0

B

1

22 x

2

−7 x +5

= 1 Là :

C

2

D

3

click


II- PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit

log 1 x = 4 ; log 24 x − 2.log 4 x + 1 = 0

Ví dụ các phương trình :

2

1. Phương trình lôgarit cơ bản :
1
Tính x biết log 3 x =
4

1
4

x=3 =

4

3

Vậy phương trình lôgarit cơ bản có dạng : log a x = b ( a > 0; a ≠ 1)
b
Theo định nghĩa lôgarit có : log a x = b ⇔ x = a
Minh họa bằng đồ thị :
Đồ thị :

Đồ thị :
y

y = logax ( a > 1)

b

0

y

y=b

1

ab

x

b

0

ab

y=b

1

x
y = logax ( 0
Hai đồ thị này luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b thuộc R ⇒ Phương trình luôn có x = ab

click


2. Cách giải một số phương trình lôgarit đơn giản :
a) Đưa về cùng cơ số :
Giải phương trình log3 x + log9 x = 6 . Hãy đưa các lôgarit ở vế trái về cùng cơ số

1
log 3 x = 6
2
3
⇔ log 3 x = 6 ⇔ log 3 x = 4 ⇔ x = 34
2

Có log 3 x + log 32 x = 6 ⇔ log 3 x +

Ví dụ 5 : Giải phương trình : log3x + log9x + log27 x = 11

Giải :

Đưa các số vế trái cùng cơ số 3 , ta có :

⇔ log 3 x +

log 3 x + log 32 x + log 33 x = 11

1
1
.log 3 x + .log 3 x = 11 ⇔ log 3 x = 6 ⇔ x = 36 = 729
2
3

b) Đặt ẩn phụ :
2
Giải phương trình log 2 x − 3.log 2 x − 2 = 0 Bằng cách đặt ẩn phụ t = log2 x
Ví dụ 6 : Giải phương trình :

Giải :

1
2
+
=1
5 − log x 1 + log x

Hs tự giải

1
2

+
=1
5 − t 1+ t
= 2 = log x
 x = 10 2
⇔
3
= 3 = log x
 x = 10

Điều kiện của phương trình : x > 0 ; log x ≠ {5 ; - 1} Đặt t = log x có :

t
2
⇔
⇔
t
−
5
t
+
6
=
0
⇔ 1+ t + 2( 5 − t ) = ( 5 − t ) (1+ t )
t

Giải phương trình

log 22 x + log 1 x − 2 = 0

2

Bằng cách đặt ẩn phụ t = log2 x
Hs tự giải

click


c) Mũ hóa :
Ví dụ 7 : Giải phương trình :

log 2 ( 5 − 2 x ) = 2 − x

Giải : Điều kiện của phương trình : 5 – 2x > 0 ⇔ 0 < 2x < 5
Vậy có :

2 2− x = 5 − 2 x (Đay được gọi là phép mũ hóa )
4
⇔ x = 5 − 2 x ⇔ 22 x − 5.2 x + 4 = 0 Đặt t = 2x > 0
2
x = 0
t = 1 = 2 x
2
⇔
⇒ t − 5t + 4 = 0 ⇔ 
x
x = 2
t = 4 = 2

Ví dụ bằng trắc nghiệm :

Nghiệm của phương trình : 10 log 9 = 8x + 5 là :

A

0

B

III - Bài tập về nhà :

1/2

C

5/8

D

7/4

Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 84 – 85 sách giáo khoa GT12 - 2008

click