toán 12 tóm tắt chương 1

TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG
ĐÀ NẴNG
Ôn tập chương I: KHỐI ĐA DIỆN


ChươngI: KHỐI ĐA DIỆN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
I. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN:
Hình đa diện (đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu
hạn các đa giác thoả mãn 2 tính chất:
+) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm
chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
+) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của
đúng 2 đa giác.
Mỗi đa giác như vậy được gọi là một mặt của hình đa diện.
Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các
đỉnh, cạnh của hình đa diện.


II. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN:
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một
hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là
diểm ngoài của khối đa diện. Những điẻm thuộc khối đa
diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với khối đa diện
đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các
điểm trong gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được
gọi là miền ngoài của khối đa diện.
Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm
ngoài... của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt,
điểm trong, điểm ngoài... của hình đa diện tương ứng.

III. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU:
1. Phép dời hình trong không gian:
Phép biến hình trong không gian
được gọi là phép dời hình nếu nó bảo
toàn khoảng cách giữa hai điểm tuỳ ý.


2. Một số phép dời hình thường gặp
a) Phép tịnh tiến theo vectơ
là phép biến hình biến mỗi điểm M
thành điểm M’ sao cho =


b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến
hình biến mỗi điểm M thuộc (P) thành chính nó, biến
mỗi điểm không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P)
là mặt phăng trung trực của MM’.
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H)
thành chính nó thì mặt phẳng (P) được gọi là mạt
phẳng đối xứng của hình (H).
M

I
P

M'

c) Phép đối xứng tâm O là phép biến
hình biến điểm O thành chính nó, biến
mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao
cho O là trung điểm MM’
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H)
thành chính nó thì O được gọi tâm đối
xứng của hình (H).
M

O
M'


) phép đối xứng qua đường thẳng d (hay phép
đối xứng qua trục d) là phép biến hình biến
mọi điểm thuộc d thành chính nó, biến mỗi
diểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là
dường trung trực của MM’
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến
hình (H) thành chính nó thì d được gọi là trục
đối xứng của (H).
d

d

M

M'

3. Nhận xét:
+) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình
sẽ được một phép dời hình.
+) Phép dời hình biến đa diện (H) thành
đa diện (H’) và biến đỉnh, cạnh, mặt của
hình (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng
của (H’).
Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có
một phép dời hình biến đa diện này thành
đa diện kia.


IV. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC
KHỐI ĐA DIỆN
Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa
diện (H1) và (H2) sao cho (H1) và (H2)
không có điểm chung trong thì ta nói có thể
chia được khối đa diện (H) thành hai khối
đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp ghép
được hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau
để được khối đa diện (H).


V. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Khốiđa diện (H) được gọi là khối đa diện
lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của
(H) luôn thuộc (H). Khi đó các đa diện
xác định (H) được gọi là các đa diện lồi.
Một khối đa diện là lồi khi và chỉ khi
miền trong của nó luôn nằm về một phía

đối với mỗi mặt phẳng chứa một mạt của
nó.


VI. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
1. Định nghĩa:
Một khối đa diện lồi được gọi là khối
đa diện đều loại {p; q} nếu:
+) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều
p cạnh;
+) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của
đúng q mặt.
Vậy các mặt của khối đa diện đều là
các mặt bằng nhau.


VI. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
2. Định lý:
Có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa
diện đều loại:
{3; 3}: khối tứ diện đều
{4; 3}: khối lập phương
{3; 4}: khối bát diện đều (khối tám mặt đều)
{5; 3}: khối 12 mặt đều
{3; 5}: khối hai mươi mặt đều.


VII. THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA
DIỆN
+) Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy B và

chiều cao h là V =1/3. Bh
+) Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích
đáy B và chiều cao h là V = Bh
+) Thể tích của khối hộp bằng tích của diện
tích đáy và chiều cao của nó.
+) Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích
ba kích thước của nó.
+) Thể tích của hình lập phương có cạnh
3


VII. THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA
DIỆN
Chú ý: Thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập
phương tỉ số đồng dạng.
Trong một số bài toán ta thường sử dụng
kết qủa sau:
Cho khối chóp S.ABC. Trên SA, SB, SC
lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đó:

VS . ABC
SA SB SC
=
.
.
VS . A'B 'C ' SA' SB ' SC '


B. BÀI TẬP
Bài 1. Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là

những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là
số chẵn. Cho ví dụ.
Giải:
Giả sử đa diện (H) có m mặt.
Vì mỗi mặt có 3 cạnh nên tổng số cạnh của m mặt
là: 3m
Mà mỗi cạnh là cạnh
chung
của
đúng
2
mặt
nên
3m
c
=
số cạnh của (H) là: 2
Do c là số nguyên nên m phải là số chẵn.
Ví dụ: tứ diện.


Bài 2. Chứng minh rằng: trung điểm các cạnh của một
tứ diện đều là các đỉnh của một hình bát diện đều.
Giải:
Cho tứ diện ABCD, cạnh bằng a. Gọi I, J, E, F, M và
N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD, AB, BC, CD
và DA.
C
l
A

M
F
N
E
D
J

B


Ta chứng minh các cạnh IN, IE, IM, IF, JN, JE, JM,
JF đều có độ dài bằng a/2.
Thật vây, đó là các đường trung bình của các tam
giác CAD, ABD, ACB, BCD.
Vì AB = AC = AD = CB = a (ABCD là tứ diện đều)
Nên IN = IE = IM = IF = JN = JE = JM = JF = a/2.
Suy ra các tam giác IEF, IFM, IMN, INE, JEF, JFM,
JMN, JNE là các tam giác đều bằng nhau.
Tám tam giác trên tạo thành một đa diện có các
đỉnh là I, J, E, F, M, N mà mỗi đỉnh là đỉnh chung
của đúng 4 tam giác đều. Do đó đa diện ấy là đa diện
đều loại {3; 4}, tức là hình bát diện đều.


Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác
ABC.A’B’C’. Gọi E và F lần lượt là trung
điểm của các cạnh AA’, BB’. Đường thẳng CE
cắt đường thẳng C’A’ tai E’. Đường thẳng CF
cắt đường thẳng C’B’ tại F’. Gọi V là thể tích

khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
a) Tính thể tích khối chóp C.ABFE theo V.
b) Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của
khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi
khối chóp C.ABFE. Tính tỉ số thể tích của (H)
và của khối chóp C.C’E’F’.


Giải:
a) Hình chóp C.A’B’C’ và hình
lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy và
đường cao bằng nhau nên

VC . A ' B 'C '

C

A

1
= V
3

B

E
F
A'

E'

C'
B'
F'


Từ đó suy ra .

1
2
VC . ABB ' A ' = V − V = V
3
3
Do EF là đường trung bình của hình
bình hành ABB’A’ nên diện tích ABFE
bằng nủa diện tích ABB’A’. Do đó
VC . ABFE

1
1
= .VC . ABB ' A ' = V
2
3


b) Áp dụng câu a) ta có

V( H )

1

2
= VABC . A ' B 'C ' − VCABFE = V − V = V
3
3
1

CC '
Vì EA’ song song và bằng
2
nên theo định lý Talet, A’ là trung
điểm của E’C’.
Tương tự, B’ là trung điểm của F’C’.
Do đó:
C 'E 'F '
A ' B 'C '
4
Suy ra:
VC . E ' F ' C ' = 4.VC . A ' B ' C ' = V
3
V( H )
1
=
VC .E ' F 'C ' 2
Vậy:

S

= 4.S

Bàai 4. Cho khối tứ diện SABC có ba
cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với
nhau và SA = 3 ; SB = SC = 4.
1> Tính thể tích của khối tứ diện
A.SBC.
2> Tính diện tích tam giác ABC. Suy
ra khoảng cách từ điểm S đến mặt
phẳng (ABC).


1)
V A.SBC

=

1
1
1
= .SA.S SBC = .SA. .SB.SC
3
3
2

1
.3.4.4 = 8
6

(đvdt)

3

A

S
B

I

C


2) Gọi h = d( S/(ABC))

VA.SBC = VS . ABC
h=

1
= .h.S ABC
3

3V A.SBC
S ABC

Ta có: Tam giác SAC vuông tại S nên:
AC2=SA2+SC2 = 9 + 16=25.
Vậy AC = 5

2
Tương tự : AB =5 và BC = 4