TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG
ĐÀ NẴNG
§6 Kh¶o s¸t hµm sè
1) y = ax + bx + cx + d
3
2
2) y = ax + bx + c
ax + b
3) y =
cx + d
4
2
I.Sơ đồ khảo sát hàm số
1, Tìm TXĐ của hàm số
2, Khảo sát sự biến thiên của hàm số
a) Tìm các giới hạn của hàm số
* Khi x dần tới vô cực
* Khi x dần tới,bên trái và bên phải , các giá trị của x
tại đó hàm số không xác định
* Tìm các tiệm cận (nếu có )
b) Xét chiều biến thiên của hàm số
* Tính đạo hàm
* Tìm các điểm tới hạn
* Xét dấu của đạo hàm
* Suy ra chiều biến thiên của hàm số
c) , Tính các cực trị
Đ6 Khảo sát hàm số
I.Sơ đồ khảo sát hàm số
d) Lập bảng biến thiên
*ghi tất cả các kết quả đã tìm được vào
bảng biến thiên
3 ) Vẽ đồ thị
* Giao với các trục toạ độ
* Các điểm đặc biệt
* Chính xác hoá đồ thị
* Vẽ đồ thị
Đ6 Khảo sát hàm số
3) Hàm phân thức: y =
Bài giải:
ax + b
cx + d
(c 0 , D = ad - cb 0)
Ví dụ 1:Khảo sát hàm số: y =
x +2
x +1
1)Tập xác định: D = R \ {-1}
2)Sự biến thiên:
a)Chiều biến thiên
(-1)(x+1)-(-x+2)
-x-1+x-2
-3 < 0 x -1
y =
=
=
2
2
(x+1)
(x+1)
(x+1)2
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-;-1) (-1; +)
x
+
2
Ví dụ 1:Khảo sát hàm số: y =
x +1
b)Cực trị
Hàm số không có cực trị
c)Giới hạn, tiệm cận:
x +2
= -.
lim
lim
y=
x ( 1)
x ( 1)
x +1
lim y= lim
( )
x ( 1) +
x 1
+
x +2
= +.
x +1
x +2
y
=
=-1
lim
lim
x
x
x +1
x = -1 là tiệm cận đứng
y = -1 là tiệm cận ngang
Ví dụ 1:Khảo sát hàm số: y =
e, Bảng biến thiên:
x
-
-
y'
y
-1
+
+
-1
x +2
x +1
-
-1
3 )Đồ thị
Giao với trục o x: y = 0 x=2
Giao với trục o y: x = 0 y =2
Đồ thị nhận giao hai tiệm cận I(-1;-1) làm tâm đối xứng
Vẽ đồ thị :
x -
y'
y
-1
x +2
Ví dụ 1:Khảo sát hàm số: y =
x +1
-1
-
+
-
+
y
2
3 )Đồ thị
-
-1
-1
o
Giao với ox: y = 0 x=2
0 y =2
Giao với oy: x =
Tiệm cận đứng: x = -1
Tiệm cận ngang: y = -1
Đồ thị nhận giao hai tiệm cận
I
-1
2
x
Hàm số: y =
ax + b
cx + d
(c 0 , D = ad - cb 0)
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y =
Bài giải:
x3
x+2
1)Tập xác định: D = R \ { -2}
2)Sự biến thiên:
a)Chiều biến thiên
y =
(x+2)-(x-3)
(x+2)
2
=
x+2-x+3
(x+2)2
5 > 0 x -2
=
(x+2)2
Hàm số đồng biến trên khoảng (-;-2) (-2; +)
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y =
x3
x+2
b)Cực trị
Hàm số không có cực trị
c)Giới hạn
x3
lim y = lim
= +
x ( 2 )
x ( 2)
x+2
lim y = lim x 3 = -
x ( 2 )
x ( 2 )
x+2
+
limy =
x
x = -2 là tiệm cận đứng
+
lim x 3
x
x+2
=1
y = 1 là tiệm cận ngang
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y =
e, Bảng biến thiên:
x
-
y'
y
1
3 )Đồ thị
-2
x3
x+2
+
+
+
+
1
-
Giao với trục o x: y = 0 x=3
y =-3/2
Giao với trục o y: x = 0
Đồ thị nhận giao hai tiệm cận I(-2;1) làm tâm đối xứng
Vẽ đồ thị :
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y =
x -
y'
+
y
1
-2
+
+
x3
x+2
+
y
1
-
3 )Đồ thị
I
y = 0 x=3
-2
1
o
3
-3/2
y =-3/2
Tiệm cận đứng: x = -2
Tiệm cận ngang: y = 1
x=0
x
Một số lưu ý khi ksát hsố:
ax + b
y=
cx + d
(c 0 , D = ad - cb 0)
1)Tập xác định:D = R/ -d/c
ad bc
2)Đạo hàm y' =
;
D = ad-bc
2
( cx + d )
D > o y> o x D ; D < o y< o x D
3)Tiệm cận:Tiệm cận đứng:x=-d/c
D = ad - bc< 0
D = ad - bc > 0
y
o
; Tiệm cận ngang:y= a/c
y
x
o
x
D¸ng ®iÖu ®å thÞ hµm sè y = ax + b (c ≠ 0 , D = ad - cb ≠ 0)
cx + d
D = ad - bc< 0
D = ad - bc > 0
y
o
y
x
o
x
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Ví dụ3:
Cho hàm số y =
x+ 2
x+1
; Đồ thị là (C)
a)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)tại
các điểm A(0;2),B(-2;-4) ;vẽ các tiếp tuyến.
b)Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số sau:
y=
x+ 2
x+1
x +2
Ví dụ 1:Khảo sát hàm số: y =
x +1
y
a)Các tiếp tuyến :
Tại A: y=-3x+2(d1)
2
Tại B: y=-3x-10(d2)
(d1)// (d2)
-2
-3
-1
1
o
2
I
-1
*)Nhận xét:
Trên đồ thị hàm số (C)luôn
tồn tại một cặp điểm mà tại
đóhai tiếp tuyến của (C)song
song với nhau
A
B
-4
x
Ví dụ3:b)Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số sau: y =
Đồ thị hàm số
y=
x+ 2
x+1
y
Gồm:
-Phần đồ thị phía trên
trục ox của đồ thị (C)
-Đối xứng phần đồ thị
phía dưới ox của đồ thị
(C) qua ox
x+ 2
x+1
2
-1
o
I
-1
2
x
§6 Kh¶o s¸t hµm sè
Hµm sè: y =
ax + b
cx + d
(c ≠ 0 , D = ad - cb ≠ 0)
Bµi tËp vÒ nhµ:
*Bµi 2:(Trang 103) ý:a);b);c)
*Bµi 4: (Trang 104)