bài tập hàm số liên tục

Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục
1) Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
f(x) liên tục tại x0 (a; b) lim f ( x) = f ( x 0 )
x x 0

2) Hàm số liên tục trên một khoảng
*) Định nghĩa:
- Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên
khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy
*) Định lý 1: -Hàm đa thức liên tục trên cả tập hợp số thực
-Hàmphân thức hữu tỷ va hàm lượng giác liên tục trên khoảng
xác định của nó


3) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm
*)Định lý 3:
f(x) liên tục trên [a ;b]

c (a; b): f(c) = 0

f(a).f(b) < 0
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)
Bài tập hàm số liên tục

f(x) liên tục

f(x) liên tục

tại một điểm

trên một khoảng

f(x) = 0
có nghiệm


BµI tËp
§3 hµm sè liªn tôc


Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
*)Phương pháp:
Hàm số f(x) xác định trên khoảng K,
f(x) liên tục tại x0 (a; b) lim f ( x ) =
x x0

x0

*)Ví dụ áp dụng:
Bài toán: Cho hàm số:

f(x) =

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 = 1
Bài giải:

TXĐ: R

x3 1
Tính lim

f (x) = lim
x1
x1
x 1

Kết luận:

f ( x0 )
x3 1
nếu x 1
x 1
nếu x = 1
3

2
(
lim
x
+ x + 1) = 3
= x1
f (1) = 3

Hàm số đã cho liên tục tại điểm x0= 1

=>

lim
f (x) = f (1)
x1

Bài 2 ( tr141 ):

Xét tính liên tục của hàm số
x3 8
x2

f(x)=

5
Bài giải:

nếu x 2
Tại x0 = 2
nếu x=2

Hàm số xác định trên R.
Ta có:

f(2)=5

x 8
lim f ( x) = lim
= lim x 2 + 2 x + 4 = 12
x 2
x 2 x 2
x 2

(

3

Vậy hàm số gián đoạn tại

x0 = 2

)


Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
*)Phương pháp:
áp dụng định lý 1, 2: các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ,
hàm số lượng giác, liên tục trên tập xác định của chúng
*)Ví dụ áp dụng

Bài số 1 : xét tính liên tục của các hàm số
x 2 5x + 6
a) f ( x) = 2
x 2x
b) f( x) =

x 2 16
x4

nếu x 4

8

nếu x = 4

a)
Hàm số xác định trên

(,0) (0,2) (2,+)

Hàm số f(x) là hàm phân thưc hữu

tỷ
Hàm số f(x) liên tục trên
(,0) (0,2) ( 2,+)
b)Tập xác định: D = R
Hàm số liên tục x 4
Xét tại x = 4:
lim
f (x) =
x4

x 2 16
lim
x 4 x 4

( x + 4) = 8
= lim
x 4
f(4) = 8

Hàm số liên tục tại x = 4
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên R

f (x) = f(4)
lim
x4


Bài tập : Cho f(x) =

ax2

nếu x 2

3

nếu x > 2

( a là hằng số )

Tìm a để hàm số f(x) là liên tục với mọi x; Khi đó hãy vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
Bài giải:

Khi x < 2: f(x) = ax2 nên hàm số liên tục.
Khi x > 2: f(x) = 3
nên hàm số liên tục.
2
Khi x = 2: Lim f ( x ) = lim ax = 4a = f ( 2 )
x 2

x 2

Lim f ( x ) = lim 3 = 3

x 2 +

x 2 +

3
Để f(x) liên tục tại x = 2 cần có 3 = 4a a =
4
3
Vậy a =
thì f(x) liên tục với mọi x.
4
3 2
x nếu x 2
Khi đó f( x) = 4
nếu x > 2
3


3 2
x nÕu x ≤ 2
VÏ ®å thÞ hµm sè f( x) = 4
nÕu x > 2
3
y
3

3/4
-2

-1 O

1

2

x


Vấn đề 3

Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm

*)Phương pháp Sử dụng hệ quả
f(x) liên tục trên [a ;b]
c (a; b): f(c) = 0
f(a).f(b) < 0
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)
Ví dụ áp dụng
Bài toán:

Cho phương trình: 2 x3 - 6 x + 1 = 0
Chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm

Bài giải: f(x)= 2x3 - 6x + 1
Hàm số f(x) liên tục trên R hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0 ;1]
f(0) = 1
f(0).f(1) = - 3 < 0
f(1) = -3
x0 ( 0; 1) :
f(x ) = 0

0


Hµm sè f(x) liªn tôc trªn R ⇒ hµm sè f(x) liªn
tôc trªn ®o¹n [1,2]
f(1) = -3

⇒

f(1).f(2) = -15 < 0

f(2)= 5
⇒

∃ x0 ∈ ( 1; 2) :

KÕt luËn:

f(x0) = 0

Ph­¬ng tr×nh tån t¹i Ýt nhÊt 2 nghiÖm


BàI tập
Đ3 hàm số liên tục
Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Chứng minh phương trình có nghiệm trên khoảng