ôn tập chương 4

GV: Ph¹m Huy T©n


I. Giới hạn của hàm số
Kiến thức cần nhớ

GV: Phạm Huy Tân

1/ Một số giới hạn thường gặp: Với mọi k nguyên dương

lim x k = +
x +
+
k
lim x =
x

1
lim k = 0
x x

nếu k chẵn
nếu k lẻ


i. Giíi h¹n cña hµm sè

GV: Ph¹m Huy T©n

KiÕn thøc cÇn nhí

2/ ®Þnh lý vÒ giíi h¹n h÷u h¹n
lim f ( x) = L, lim g ( x) = M ( x → x0 , x → x0+ , x → x0− , x → +∞ , x → −∞ )
⇒

* lim[ f ( x) ± g ( x)] = L ± M ; lim[ f ( x).g ( x)] = L.M
f ( x) L
* lim cf ( x) = cL; lim
= ( M ≠ 0)
g ( x) M
* lim f ( x) = L ; lim 3 f ( x) = 3 L ; lim f ( x) = L ( f ( x) ≥ 0)


GV: Ph¹m Huy T©n

i. Giíi h¹n cña hµm sè
KiÕn thøc cÇn nhí

2/ Mét vµi quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc
a/ Quy t¾c 1:
L = lim f ( x )
x → x0

L>0

L<0

lim g ( x)

x→ x0

lim [ f ( x) g ( x)]

x→ x0

+∞

+∞

-∞

-∞

+∞

-∞

-∞

+∞


GV: Ph¹m Huy T©n

i. Giíi h¹n cña hµm sè
KiÕn thøc cÇn nhí

2/ Mét vµi quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc
a/ Quy t¾c 2
lim f ( x) lim g ( x) Dấu của
x→ x0

x→ x0

L

g (x)

±∞

+

L>0
0
L<0

Tuú ý
+
-

 f ( x) 
lim 
x → x0 g ( x ) 


0
+∞
-∞
-∞
+∞

GV: Ph¹m Huy T©n

I. Giíi h¹n cña hµm sè

Bµi 1. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
a/

3
A = lim
x → 2 ( x − 2) 2

b/

B = lim +
x → ( −2 )

x+4
4− x

8 + 2x − 2
x+2

c/
d/

C = lim ( x 2 + x − 4 + x 2 )
x → −∞

2x + 1

D = lim ( x + 1) 3
x → +∞
x + x+2


GV: Ph¹m Huy T©n

Tr¾c nghiÖm kh¸ch
quan

2x2 − 3
Bµi 2: lim 6
=?
x →+∞ x + 5 x 5
(A) 2;
Bµi 3: lim

x →−∞

(B) 0;

x2 − x − 5
=?
2x − 1
(A) -∞;

(B) + ∞;

Bµi 4: Trong 4 giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ -1?

2x2 + x − 1
(A) lim
x →+∞ 3 x + x 2
Đáp án

x2 − 1
(C) lim
x → −∞ x − 1

3
(C)− ;
5

(D) -3

1
(C)−
2

1
(D)
2

;

2x + 3
(B) lim 2
x →−∞ x − 5 x
x3 − x 2 + 3
(D) lim

x →+∞ 5 x 2 − x 3

;


GV: Ph¹m Huy T©n

NhËn xÐt

lim

x → ±∞

a p x p + a p −1 x p −1 + ... + a0
bq x + bq −1 x
q

0
ap

=

q −1

+ ... + b0
nÕu p < q

bq

nÕu p = q

+∞

nÕu p > q vµ

a p .b q > 0

−∞

nÕu p > q vµ

a p .b q < 0


GV: Ph¹m Huy T©n

I. Giíi h¹n cña hµm sè

Bµi 1. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
a/

3
A = lim
x → 2 ( x − 2) 2

b/

B = lim +
x → ( −2 )

x+4
4− x

8 + 2x − 2
x+2

c/
d/

C = lim ( x 2 + x − 4 + x 2 )
x → −∞

2x + 1
D = lim ( x + 1) 3
x → +∞
x + x+2


GV: Ph¹m Huy T©n

KÕt luËn

Khi tính giới hạn cần nghiên cứu kỹ để
triển khai một trong ba hướng sau:
1.
2.
3.

Áp dụng định lí về giới hạn hữu hạn.
Áp dụng các quy tắc tính giới hạn vô cực.

Nếu gặp dạng vô định thì khử dạng vô định


GV: Ph¹m Huy T©n

II. Hµm sè liªn tôc
Bµi 5:

Tìm m để hàm số

 x 2 − 3x + 2
víi x<2
 2
f ( x) =  x − 2 x
mx + m + 1 víi x≥2


liên tục t¹i x=2

Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh sau cã Ýt
nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (1;2)
4
2
x − 3x + 5 x − 6 = 0
Bµi 6:


GV: Phạm Huy Tân

II. Hàm số liên tục

Kiến thức cần nhớ
1. Hàm số y =f(x) xác định trên khoảng (a;b),x0 (a; b)
Khi đó f(x) liờn tc ti x0 khi và chỉ khi
lim f ( x) = f ( x0 ) lim f ( x) = lim f ( x) = f ( x0 )

x x0

x x0+

x x0

2. Hàm số f(x) liên tục trên tập J (J là một khoảng hoặc hợp của
nhiều khoảng khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc J
Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi và chỉ khi f(x) liên tục
trên khoảng (a;b) và

lim f ( x) = f (a), lim f ( x) = f (b)

x a +

x b

3. Cỏc hm s a thc, phõn thc hu t, cỏc hm s lng giỏc
liờn tc trờn cỏc khong xỏc nh ca chỳng


GV: Ph¹m Huy T©n

II. Hµm sè liªn tôc
KiÕn thøc cÇn nhí

3. Các hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại x0 . Khi đó
a) Các hàm y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x) và y = f(x).g(x)
liên tục tại

x0

b) Hàm số y =

f ( x ) liên tục tại x nếu g ( x ) ≠ 0
0
0
g ( x)

4. Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0

⇒ ∃c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0


GV: Ph¹m Huy T©n

II. Hµm sè liªn tôc
Bµi 5:

Tìm m để hàm số

 x 2 − 3x + 2
víi x<2
 2
f ( x) =  x − 2 x
mx + m + 1 víi x≥2



liên tục t¹i x=2

Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh sau cã Ýt
nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (1;2)
4
2
x − 3x + 5 x − 6 = 0
Bµi 6:


GV: Ph¹m Huy T©n

Bµi tËp vÒ nhµ

Bµi 1:

TÝnh

3 
 2
A = lim
−
2
3 
x →1 1 − x
1− x 


Cho 2a + 3b + 6c = 0. CMR ph­¬ng tr×nh
2
sau lu«n cã nghiÖm thuéc ®o¹n [0; ]
Bµi 2:

3


GV: Ph¹m Huy T©n


Tr¾c nghiÖm kh¸ch
quan

GV: Ph¹m Huy T©n

2x − 3
lim 6
=?
5
x →+∞ x + 5 x
2

Bµi 2:
(A) 2;

(B) 0;

3
(C) ;−

5

(D) -3;


Tr¾c nghiÖm kh¸ch
quan

Bµi 3:
(A)

lim

x →−∞

-∞

GV: Ph¹m Huy T©n

x2 − x − 5
=?
2x − 1
(B)

+∞;

1
(C) −
2

;

1
(D)
;
2


Tr¾c nghiÖm kh¸ch
quan

GV: Ph¹m Huy T©n

Bµi 4: Trong 4 giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ -1?
2
2
x
+ x −1
(A) lim
x →+∞ 3 x + x 2

x −1
(C) lim
x → −∞ x − 1
2

(B);

(D)

2x + 3
lim 2
x →−∞ x − 5 x
x3 − x 2 + 3
lim
x → +∞ 5 x 2 − x 3


GV: Ph¹m Huy T©n

II. Hµm sè liªn tôc
Bµi 5: Tìm m để hàm số
x 2 −3 x +2

f ( x ) = x 2 −2 x
mx +m +1


víi x<2
víi x≥2

liên tục t¹i x=2


GV: Ph¹m Huy T©n

II. Hµm sè liªn tôc
Bµi 5:

Tìm m để hàm số

 x 2 − 3x + 2
víi x<2
 2
f ( x) =  x − 2 x
mx + m + 1 víi x≥2


liên tục t¹i x=2

Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh sau cã Ýt
nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (1;2)
4
2
x − 3x + 5 x − 6 = 0
Bµi 6:


GV: Ph¹m Huy T©n

Tr¾c nghiÖm kh¸ch
quan

2x2 − 3
Bµi 2: lim 6
=?
x →+∞ x + 5 x 5
(A) 2;
Bµi 3: lim

x →−∞

(B) 0;

x2 − x − 5
=?
2x − 1
(A) -∞;

(B) + ∞;

Bµi 4: Trong 4 giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ -1?

2x2 + x − 1
(A) lim
x →+∞ 3 x + x 2

x2 − 1
(C) lim
x → −∞ x − 1

3
(C)− ;
5
(C)

1
− ;
2

(D) -3

1
(D)
2

2x + 3
(B) lim 2
x →−∞ x − 5 x
x3 − x 2 + 3
(D) lim
x →+∞ 5 x 2 − x 3

;


Bµi 5: Tìm m để hàm số
 x 2 − 3x + 2

víi x<2
f ( x) =  x 2 − 2 x
mx + m +1
víi x≥2
Lêi gi¶i: 

GV: Ph¹m Huy T©n

liên tục t¹i x=2

* f (2) = 3m + 1

* lim+ f ( x) = 3m + 1
x →2

x 2 − 3x + 2
( x − 1)( x − 2)
x −1 1
* lim− f ( x) = lim− =
=
lim
=
lim
=
2
−
−
x →2
x →2
x →2
x→2
x − 2x
x( x − 2)
x
2

* f(x) liªn tôc t¹i x=2 ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x ) = f ( 2)
x →2

x →2

1

1
⇔3m +1 = ⇔ m = −
2
6


II. Hàm số liên tục

GV: Phạm Huy Tân

Chứng minh rằng phương trình sau có ít
nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2)
Bài 6:

x 4 3x 2 + 5 x 6 = 0
Lời giải:
4
2
f
(
x
)
=
x

3
x
+ 5 x 6 f ( x) liên tục trên R
* Đặt

* f (1) = 3; f (2) = 8 c (1;2) : f (c) = 0
Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2)