bất đẳng thức

BÀI 1


Chứng minh rằng:
x3 + y3 ≥ x2y +xy2 , ∀x,y ≥ 0
Giải:

Ta có: x3 – x2y +y3 – xy2
= x2(x – y) + y2(y – x)
= (x – y)(x2 – y2)
= (x – y)(x – y)(x + y)
= (x – y)2 (x + y) ≥ 0 , ∀x,y ≥ 0


II.BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH
CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN(BẤT ĐẲNG
THỨC CÔ-SI)
1. Bất đẳng thức Cô-si
Định lí:
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ
hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.
a+b
ab ≤
, ∀a, b ≥ 0
2
Đẳng thức ab = a + b xảy ra khi và chỉ khi
2
a=b


Chứng minh:

a + b 2 ab − (a + b)
a + b − 2 ab
ab −
=
=−
2
2
2
2
( a − b)
=−
≤0
2
a +b
⇒ ab ≤
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( a − b ) = 0
2

Tức là a = b


Ví dụ 1: 3 x + 3 y ≥ 2 3 x.3 y

hay
Ví dụ 2:

3 x + 3 y ≥ 6 xy , ∀x ≥ 0, y ≥ 0

1
1
x + ≥ 2 x.
x
x
1
hay x + ≥ 2
x


2. Các hệ quả:
Hệ quả 1:
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó
lớn hơn hoặc bằng 2.

1
a + ≥ 2 , ∀a > 0
a
Hệ quả 2:
Nếu x,y cùng dương và có tổng không đổi thì
tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y


Ý nghĩa hình học
Tính chu vi và diện
Trong tất cả các hình chữ
cùng
chu vi,
tíchnhật
của có

mỗi
hình
hình vuông có diện tích
lớnNhận
nhất xét?
sau.
1cm

cv = 16cm

Cv = 16cm

S = 16cm2

S = 15cm2


Hệ quả 3:
Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì
tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y
Ý nghĩa hình học
Tính chu vi và diện
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện
củanhất
mỗi hình
tích, hình vuông có chutích
vi nhỏ
1

S = 16cm2 , cv = 16cm

sau. Nhận xét?

S = 16cm2 , cv = 20cm


III. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ
TRỊ TUYỆT ĐỐI
Hđ6

Nhắc lại
định
nghĩa giá
trị tuyệt
đối ?

x , x ≥ 0
x =
− x , x < 0


Tính giá
trị tuyệt
đối của
các số
sau

a) 0

b) 1,25

c) – ¾

d) – π

Giải

0 =0
1,25 =1,25
3
3
− =
4
4
−π =π


Tính chất:
Điều kiện

Nội dung

x ≥ 0 , x ≥ x , x ≥ −x

x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
a>0

x ≥ a ⇔ x ≤ − a hoặc x ≥ a
a − b ≤ a +b ≤ a + b

Ví dụ:

Cho x ∈ [ − 2;0] Chứng minh rằng: x +1 ≤1
Giải:

x ∈ [ − 2;0] ⇒ −2 ≤ x ≤ 0
⇒ −2 + 1 ≤ x + 1 ≤ 0 + 1
⇒ −1 ≤ x + 1 ≤ 1
⇒ x +1 ≤ 1


CỦNG CỐ
1) Nhớ kĩ Bất đẳng thức Cô-si

a+b
ab ≤
2

hay a + b ≥ 2 ab , ∀a, b ≥ 0

2) Nắm được các tính chất của bđt chứa dấu giá
trị tuyệt đối
3) Về nhà làm các bài tập trang 79