hai đường thẳng vuông góc

hai ®êng th¼ng vu«ng gãc


hai ®êng th¼ng vu«ng gãc
I. TÝch v« híng cña hai vec t¬ trong kh«ng gian
KiÓm tra bµi cò
?1: Nªu c¸ch x¸c ®Þnh
gãc gi÷a 2 vec t¬
trong kh«ng gian?
?2: Nªu kh¸i niÖm
tÝch v« híng cña hai
vec t¬ trong kh«ng
gian?

A

u

1.
O.

B
v

2.

u.v = u . v cos(u , v)


hai đờng thẳng vuông góc
II. Vec tơ chỉ phơng của đờng thẳng

1. Định nghĩa

.

3a

.
a

2a .
Vec tơ a khác vec tơ
d
không, đợc gọi là vec tơ chỉ
d
phơng của đờng thẳng d
b
nếu giá của vec tơ
songa
song hoặc trùng với đờng
? Nếu a là vec tơ chỉ phơng của đ
thẳng d
ờng thẳng
thì một đ
Trongd KG
2. Nhận xét
Nếu đờng thẳng d song
ờng thẳng hoàn
a)
b)
c)

vec tơ : 2a
song với d . Có nhậntoàn đợc xác định
3a
tơkhi
: nào?
xét gì về vec tơ chỉvecph
có là vec tơ chỉ phơng của đờng
ơng của 2 đờng thẳng
thẳng d không?
đó?


hai đờng thẳng vuông góc
III. Góc giữa hai đờng thẳng
1.Định nghĩa
Góc giữa hai đờng thẳng a và b là
góc giữa 2 đờng thẳng a, b cùng
đi qua một điểm và lần lợt song
song với 2 đờng thẳng đó

a
.
O

b
b
a

O

2. Nhận xét
a)
b)

(SGK)

?. Nếu thay đổi vị
trí điểm O trong
hình vẽ trên thì góc
Nếu góc giữa 2 vec tơ chỉ
giữa 2 đờng thẳng a
phơng của 2 đờng thẳng
và b có thay đổi
a ,b là . Hãy xác định
không?
góc giữa 2 đờng thẳng a và
b?

b


hai đờng thẳng vuông góc
Hoạt động 3:
Cho hình lập phơng ABCDA'B'C'D'.

D

Tính góc giữa các cặp đờng thẳng sau đây

B

A

a) AB và B'C'

C

b) AC và BC
D

c) AC và BC
Giải

a )90

0

b)45

0

c)60

A
0

C
B

hai đờng thẳng vuông góc
S

Ví dụ 1:

Cho hình chóp SABC có
SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2.
Tính góc giữa SC và AB.
Bài giải:

A

B

SC. AB = SC . AB . cos( SC , AB)
cos( SC , AB) =

( SA + AC ). AB
=
SC . AB
a.a
SC. AB

a2

1
SA. AB + AC. AB
2

= 2 =
=
2
a
a
2
uur uur
(SC, AB) = 1200
Vậy góc giữa SC và AB bằng 600.

AC. AB = 0

C

Hãy tính góc ugiữa
hai
uu
r
uuu
r
AB
SC
. AB
= ?. cos(
AB
SC
và. SB
? SA, SB )
SAvéc
.SBtơ=SA

SA

Các mặt của hình
AC
.tam
AB0 = ?
chóp
là
các
= a.a. cos120
giác có gì đặc
1 biệt?
2

= a
2


hai đờng thẳng vuông góc
V - Hai đờng thẳng vuông góc
1. Định nghĩa
Hai đờng thẳng đợc gọi là vuông góc với
nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.

Hai đờng thẳng vuông
góc với nhau thì chúng
có cắt nhau không?

Hai đờng thẳng a và b vuông
góc với nhau kí hiệu: a b

D

C

2. Nhận xét

rr
1. Nếu u,v lần l ợt là hai véc tơ chỉ ph ơng của
rr
hai đ ờng thẳng a, b thì :a b u.v = 0
a//b
2.
cb
c a

Thế nào là hai
đờng thẳng
vuông góc với
nhau ?

3. Hai đờng thẳng vuông góc với nhau
có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

B

A

D
A

C
B


hai ®êng th¼ng vu«ng gãc
B

Ho¹t ®éng 4

C
A

Nh÷ng ®êng th¼ng vu«ng gãc
víi
a) AB lµ :
BB’, AA’, CC’, DD’
b) AC lµ :
AA’, BB’,CC’,DD’

D
B’

A’

C’
D’


hai ®êng th¼ng vu«ng gãc

Ho¹t ®éng 5

H×nh ¶nh minh ho¹ trong thùc tÕ


BT1

Cho hình lp phng ABCD.ABCD . Xác định góc

giữa các cặp vec tơ sau
A
D

B
C

A

uuur uuuuu
r
AB, A ' C '

uuuuu
r uuur
A ' C ' = AC

D

uuu

r uuuuu
r
uuu
r uuur
ã
( AB, A ' C ') = ( AB, AC ) = BAC
= 450

B
C

uuu
r uuuuu
r
AB ', A ' C '

uuuuu
r uuur
A ' C ' = AC

uuuu
r uuuuu
r
uuu
r uuur
ã
( AB ', A ' C ') = ( AB ', AC ) = CAB
' = 600

BT2

·
·
Cho tứ diện ABCD cã AB=AC=AD và BAC
= BAD
= 600
Chứng minh : AB ⊥CD Nếu M,N lần lượt là trung điểm
AB và CD thì MN ⊥AB , MN ⊥CD
A

Kết quả
600

uuu
r uuur
AB .CD =
uuu
r uuur uuur
AB .( AD − AC ) =
uuu
r uuur uuu
r uuur
AB . AD − AB . AC = 0
⇒ AB ⊥ CD

M
D
B

N
C

uuuu
r 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur
MN = ( AD + BC ) = ( AD + AC − AB )
2
2
uuu
r uuuu
r 1 uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r2
⇒ AB .MN = ( AB. AD + AB. AC − AB ) =
2
1
( AB 2 cos600 + AB 2 cos600 − AB 2 ) = 0
2
⇒ MN ⊥ AB

Chứng minh tương tự
cho MN ⊥CD


hai ®êng th¼ng vu«ng gãc

Cñng cè bµi häc
VÐc t¬ chØ ph¬ng cña ®êng th¼ng
Gãc gi÷a hai ®êng th¼ng trong kh«ng gian

Hai ®êng th¼ng vu«ng gãc


(u , v) = α
A
u

a

α
B

.

α

O

B

v
v

b
Gãc gi÷a 2 ®êng th¼ng a,b b»ng:
0
0
0
≤
α

≤
90
α
NÕu
0
0
90
≤
α
≤
180
180 − α NÕu

0