phương trình lượng giác

BÀI DẠY

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX


PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
1/ ĐỊNH
ThếNGHĨA
nào là:phương trình đẳng cấp
bậc 2trình
đối đẳng
với cấp
sinx
vàhaicosx
? sinx và cosx
Phương
bậc
đối với
là phương trình có dạng
a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = d
Trong đó x là ẩn số , a,b,c,d là các hệ số
Ví dụ :

a/ sin2x – 3sinx cosx + 2cos2x = 0
b/ 3cos2x + sinx cosx + 2sin2x = 2


2/ CÁCH GIẢI 1:
Trường hợp 1 : a = d

Phương trình có dạng : a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = a (1)
(1)a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = a sin2x + a cos2x
 b sinx cosx + (c - a) cos2x = 0
 cosx [ bsinx + (c – a)cosx ] = 0
 cosx = 0 v b sinx + ( c – a ) cosx = 0
Đây là 2 phương trình cơ bản đã biết cách giải


Ví dụ :
Giải phương trình : 3 sin2x + 5 cos2x = sin2x + 3
Giải
Ta có :(1) 3 sin2x + 5 cos2x = 2 sinxcosx + 3sin2x + 3cos 2x
 2 cos2x – 2sinx cosx = 0
 2 cosx ( cosx – sinx ) = 0
 cosx = 0 v cosx – sinx = 0
 cosx = 0 v tanx = 1


Trường hợp 2 : a ≠ d
phương trình là : a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = d (2)
(2)  a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = d sin2x + d cos2x
:

 ( a – d )sin2x + b sinx cosx + ( c – d )cos2x = 0
Dễ thấy cosx = 0 không là nghiệm phương trình, chia 2 vế

cho cosx ta được :
( a – d )tan2x + b tanx + c – d = 0
Đây là phương trình bậc 2 theo tanx ta đã biết giải

Ví dụ : Giải phương trình : 6sin2x – 3sinx cosx + cos2x = 2 (2)
Giải
(2) 6sin2x – 3 sinx cosx + cos2x = 2sin2x + 2cos2x
 4sin2x – 3 sinx cosx – cos2x = 0
Dễ thấy cosx = 0 không là nghiệm phương trình .
Chia 2 vế cho cosx ta được :
4 tan2x – 3 tanx – 1 = 0
 tanx = 1 v tanx = - 1/4
 x = π/4 + kπ v x = α + kπ ( tanα = - 1/4 )


PHƯƠNG TRÌNH:
a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = d (1)

CÁCHCó
GIẢI
2 : nào khác để giải không ?
cách
(1) <=> a( 1 – cos2x )/2 + bsin2x/2 + c( 1 – cos2x )/2 = d

<=> bsin2x + ( c – a )cos2x = d – a – c

Đây là phương trình bậc 1 của sinx và cosx
ta đã biết giải