véc tơ trong không gian

Chương III

Véctơ trong không gian
quan hệ vuông góc trong không gian

Bi 1. Vect trong không gian
I/Định nghĩa và các phép toán về vec tơ trong không gian:
(Tương tự như trong mặt phẳng)
HĐ1: a/Cho tứ diện ABCD kể tên các vectơ có điểm
đầu là A, điểm cuối là các đỉnh còn lại của tứ diện
uuur uuur uuur
AB, AC , AD không cùng nằm trong một mặt phẳng
b/Chứng minh: AC + BD = AD + BC
Ta có

A

D

B

AC + BD = AD + DC + BC + CD
= AD + BC (vì DC + CD = 0 )

C


c/Gäi M, N lµ trung ®iÓm AD, BC.
Chøng minh MN = 1/2(AB + DC)

A

Ta cã: MN = MA + AB + BN

.M

MN = MD + DC + CN
2MN = MA + MD + AB + DC + BN + CN
2MN = AB + DC
d/Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c BCD.
Chøng minh: AB + AC + AD = 3AG
(SGK/87)

B

.
N

G

C

D


HĐ 2: Cho hình hộp ABCD.ABCD
a) Kể tên các vectơ bằng với vectơ AB
C'

D'

AB = AB = DC = DC

A'

B'

b) C/m đẳng thức: AB + AD + AA= AC (1)
Ta có

AB + AD + AA =
AC

+ AA = AC

C

D

A

B

Tương tự, ta cũng chứng minh được: DA + DC + DD = DB , ...
Ta gọi đẳng thức (1) và các đẳng thức tương tự với (1) là qui tắc
hình hộp


II/Điều kiện đồng phẳng của 3 vec tơ:
1/Định nghĩa:
-3 vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng

song song với 1 mặt phẳng.
-Cho 3 vectơ a, b, c .
+Nu a, b, c cùng thuộc mp(P) thì 3 vectơ đó đồng phẳng
+Nếu 1 trong 3 vectơ thuộc mp (P), 2 vectơ còn lại song song
với mp(P) (hoặc 2 vectơ thuộc mp(P), vectơ còn lại song song
với mp(P)) thì 3 vectơ đó đồng phẳng.


Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB, CD.
Chứng minh 3 vectơ BC, AD, MN đồng phẳng
A

HD: Gọi P, Q là trung điểm của AC, BD
Yêu cầu:
-Chứng minh MPNQ là hình bình
hành, suy ra MN thuộc mp(MPNQ)

M

P

B

Q
D

-Chứng minh BC và AD song
song với mp(MPNQ)
C

N


2/Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng:
a/Định lý 1:
a , b , c đồng phẳng có cặp số m, n sao cho c = ma + nb
(trong đó a và b không cùng phương; m, n duy nhất)
Ghi chú: Nếu có c = ma + nb thì ta nói vectơ c biểu thị được
qua hai vectơ a và b
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB, CD.
Chứng minh 3 vectơ BC, AD, MN đồng phẳng
A

Ta có: MN = 1/2(BC + AD)
MN = 1/2BC + 1/2AD

M

B

BC, AD, MN đồng phẳng

D

C

N


b/ Định lý 2 (biểu thị 1 vectơ qua 3 vectơ không đồng phẳng):

Nếu a , b , c không đồng phẳng thì với mọi vectơ x ta luôn biểu thị
được vectơ x qua 3 vectơ a , b , c
(Nghĩa là luôn tồn tại duy nhất 1 bộ 3 số thực m, n, p sao cho
x = ma + nb + pc )
Ví dụ: Cho AB = a , AD = b , AE = c . Gọi I là trung điểm BG.
Hãy biểu thị AI qua a , b, c
B

(Tức là phải tìm một bộ 3 số thực
m, n, p để AI = ma + nb + pc ) A

.

Ta có AB + AG = 2AI

F

AI = 1/2(AB + AG)
Mà AG = AB + AD + AE
AG = a + b + c
AI = 1/2( a + a + b + c )
AI = a + 1/2b + 1/2c

C

E

D

I

G
H


Các kiến thức cần nắm:
1) Vectơ trong không gian có các quan hệ và
phép toán như trong mặt phẳng
2) Ba vectơ đồng phẳng là 3 vectơ có giá cùng
song song với một mặt phẳng; điều kiện để 3
vectơ đồng phẳng.
3) Nắm đựoc quy tắc hình hộp,
Bài tập: 2, 3, 4 SGK trang 91