bất đẳng thức

Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức
Chủ đề : Bất đẳng thức
A) Định Nghĩa: Bất đẳng thức là biểu thức có dạng: A>B; A<B;
.; BABA


B) Các tính chất: Quan hệ >; < .
1. Có tính chất bắc cầu. Nghĩa là:
a) a>b và b>c thì a>c.
b) a<b và b<c thì a<c.
c)
ba

và
cb

thì
ca

.
d)
ba

và
cb

thì
ca

.
2. Có tính chất phản xạ. Nghĩa là:

;: aaa

hoặc
aaa

:
.
3. Có tính chất phản xứng. Nghĩa là:
a)
ba

và
ab

thì a=b.
b)
ba

và
ab

thì a=b.
C) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
1.
abba
<>
2.
mbmaba
>>

3. a + c > b

a > b c.
4.
dbca
dc
ba
+>+



>
>
.
5. a > b




<<
>>
0
0
cbcac
cbcac

6.
.
0
0

bcac
dc
ba
>



>
>

7. *)
*
,0
+
>>
Znbaba
nn

. *)
*
,0

<>
Znbaba
nn
8. *)
.,0
*
22
Nnbaba

nn
>>
*)
.,
*
1212
Nnbaba
nn
>>
++
9. *) a >1
nm
aa
>
với m > n ; m,n
*
N

*) 0<a<1
nm
aa
<
với m > n ; m,n
*
N


9. a>b và ab>0
ba
11

<
.
10. *)
.,0
2
Raa

*)
.0&,0
2
>
aRaa
11. *)
.,0
+

Raa
*)
.,0
*
+
>
Raa
D) Các bất đẳng thức th ờng gặp :
1.
abbaRba 2:,
22
+
Dấu bằng khi a=b
2. Bất đẳng thức Cauchy.

Với

a
1
,a
2
,, a
n

+

R
:
n
nn
aaanaaa ......
2121
+++
hoặc
n
n
n
aaa
n
aaa
...
...
21
21

+++

Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn.
1
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức
Hoặc
......
...
21
21
n
n
n
aaa
n
aaa







+++
Dấu bằng khi a
1
=a
2
==a
n

.
3. Bất đẳng thức Bunhiacốpki.

2
2211
22
2
2
1
22
2
2
1
)...()...)(...(
nnnn
babababbbaaa
+++++++++
Với

a
1
,a
2
,, a
n
,b
1
,b
2
,, b

n

R

.
Dấu bằng khi:
n
n
b
a
b
a
b
a
=== ...
2
2
1
1
4. Bất đẳng thức Bernonlly.
Với
.,1)1(:1,
+
++
ZnnaaaRa
n
Dấu bằng khi và chỉ khi a = 0.
E) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức có dấu giá trị tuyệt đối:
1.

=
0
0
a
a
a
a
a

2. *)
.,0 Raa

*)
.,0
*

Raa
>
*)
aaa

với
Ra

. Dấu bằng ở vế (1) khi a

0, ở vế (2) khi a

0 .
3.
baba
++
Dấu bằng khi ab

0.
4.
baba

Dấu bằng khi ab

0.
5.
baba
+
Dấu bằng khi ab

0.
6.
ababba
=
Dấu bằng khi ab

0.
7. *)
aX

với a > 0
aXa

. *)
aX
<
với a > 0
aXa
<<
.
8. *)
aX

với a > 0

aX
aX
. *)
aX
>
với a > 0



>
<

aX
aX
.
F) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức trong hình học:

1. Với ba điểm A,B,C tuỳ ý thì: AB + BC

AC. Dấu bằng khi: A,B,C thẳng hàng.
2. Với mọi
ba,
:
baba
++
Dấu bằng khi:
ba,
cùng phơng.
3. Với mọi
ba,

:
baba
++
Dấu bằng khi:
ba,
cùng phơng.
Các ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức
$1: Phơng pháp dùng định nghĩa.
Để chứng minh: A

B

Ta lập hiệu A B và chỉ ra A B


0 hoặc B A

0.
Từ đó kết luận: A

B. Dấu bằng khi: A=B.
VD
1
CMR:
2
+
a
b
b
a

với ab > 0 .
VD
2
CMR:
ab
ba
+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
với ab > 1.
VD
3
CMR:
2233
abbaba
++
với
ba,

0.
Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn.
2
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức
VD
4
CMR:
3344
abbaba
++
với
ba,


R

.
VD
5
Cho x,y
.,;
*
RbaR

CMR: (ax+by)(bx+ay)

(a+b)
2
xy.
VD

6
Cho a,b
.2;
+
baR
CMR: a
3
+b
3


a
4
+b
4
.
VD
7
Cho a,b>0.CMR:
ba
a
b
b
a
++
.
$2: Phơng pháp chứng minh trực tiếp.
Để chứng minh: A

B

Ta biến đổi: A =A
1
=A
2
==B + C
2

Do C
2


0 Nên: A

B. Dấu bằng khi: C=0.
VD
1
CMR:
134
2
+
aa
với
Ra

.
VD
2
CMR:
1

)1(
1
...
3.2
1
2.1
1
<
+
+++
nn
với
*
Nn

.
VD
3
CMR:
21
<
++
+
++
+
++
+
++
<
bad

d
adc
c
dcb
b
cba
a
với a,b,c,d > 0.
$3: Phơng pháp chứng minh bằng so sánh.
Để chứng minh A

B
Ta biến đổi : A=A
1
=A
2
==A
n
.
B=B
1
=B
2
==B
n

Nếu A
n

B
n
thì A

B.
VD
1
CMR: 200
300
> 300
200
$4: Phơng pháp chứng minh bằng tính chất bắc cầu.
Để chứng minh A

B.
Ta đi chứng minh A

C và C

B

A

B.
Dấu bằng khi A=C=B.
VD
1
CMR: a
2

a + 1 > 0 với
Ra

.
VD
2
CMR: a
2


ab + b
2


0 với
Rba

,
.
VD
3
CMR: a
2
> 2(a-1) với
Ra

.
VD
4

Cho a,b,c
*
+

R
. CMR:
.
ba
c
ac
b
cb
a
ac
c
cb
b
ba
a
+
+
+
+
+
<
+
+
+
+
+

$5: Phơng pháp chứng minh bằng dùng giả thiết.
VD
1
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
VD
2
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR:
a) (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

abc.
b) a
3
+b
3
+c
3
+3abc

a(b
2
+c
2
)+b(c

2
+a
2
)+c(a
2
+b
2
)> a
3
+b
3
+c
3
+2abc.
VD
3
Cho a,b,c
[ ]
2;1

và a+b+c=0 CMR: a
2
+ b
2
+ c
2


6.
VD

4
Cho các số nguyên dơng: a,b,p,q,r,s Thoả mãn các điều kiện qr ps =1
Và
s
r
b
a
q
p
<<
.CMR: b

q + s.
VD
5
Cho a,b,c
R

và a
2
+b
2
+c
2
= 1. CMR: 0

abc + 2(1 +a +b +c +ab +bc +ca).
VD
6
Cho a

1
,a
2
,, a
n

[ ]
1;1

và
0...
33
2
3
1
=+++
n
aaa
CMR: a
1


+ a
2

++a
n

3
n
.
VD
7
Cho a,b,c
[ ]
2;0

và a+b+c=3 CMR: a
2
+ b
2
+ c
2


5.
$6: Phơng pháp chứng minh bằng phân tích số hạng.
VD
1
CMR:
)11(2
1
...
3
1
2
1
1

+>++++
n
n
với
*
Nn

.
VD
2
CMR:
2
)1(
1
...
23
1
2
1
<
+
+++
nn
với
*
Nn

.
Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn.
3

Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức
VD
3
CMR:
2
1
...
2
1
1
1
222
<+++
n
với
*
Nn

.
$7: Phơng pháp chứng minh bằng quy nạp.
B
1
Thử trực tiếp với n nhỏ nhất ( có trong bài toán ) bài toán đúng.
B
2
Giả xử bài toán đúng với n=k ( với k lớn hơn n đã thử ). PCM: Bài toán đúng với n=k+1.
a) Đẳng thức.
VD
1
CMR: 1+2+3++ n =

2
)1(
+
nn
. Với n
*
N

VD
2
CMR: 1
2
+2
2
+3
2
++ n
2
=
6
)12)(1(
++
nnn
. Với n
*
N

b) Bất đẳng thức.
VD
1

=
=
=

n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
a
m
a
m
1
1
2
1
2
)(
Với mọi a
i

,m
i
>0,n
*
N

VD
2




=

=
=


n
i
k
i
n
i
k
i
n
i
k
i

k
i
a
m
a
m
1
1
1
1
1
)(
)(
Với mọi a
i
,m
i
>0,k
*
N

VD
3




=

=

=

n
i
i
k
n
i
k
i
n
i
i
k
i
an
m
a
m
1
2
1
1
)(
Với mọi a
i
,m
i
>0,k
*

N

.
$8: Phơng pháp chứng minh bằng phản chứng.
Để chứng minh A

B
Ta giả sử A < B từ đây biến đổi dẫn đến trái với giả thiết của bài toán
hoặc trái với một điều đã biết trớc đó.
Kết lận A

B đúng.
VD
1
CMR:
2
+
a
b
b
a
với ab > 0
VD
2
Cho a,b,c >0 và abc=1 CMR: a

+ b

+ c

3.
VD
3
Cho a,b thoả a+b=2 Chứng tỏ ab<1 và a
4
+b
4

2.
$9: Phơng pháp chứng minh bằng h m s
A) S d ng miền giá trị .
Để chứng minh B < f(x) < A
Đặt y=f(x) xác định trên D
Khi đó với mọi x thuộc D thì phơng trình f(x) y = 0 có nghiệm.
Từ đó suy ra điều kiện:
( )
ABy ;

hay B < f(x) < A.
VD
1
CMR:
3
1
1
3
1
2

2

+
++

aa
aa
với a > 0, a
R

.
VD
2
CMR:
3
1
12
12
2
2
>
++
+
aa
aa
với a
R

.
B) S d ng nh lý Lagrange .

Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn.
4
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức
Nếu y=f(x) liên tục trên
[ ]
ba;
và có đạo hàm trên
( )
ba;
thì:
( )
ab
afbf
cfbac


=
)()(
)(:;
,
Bài toán I: Chứng minh bài toán: vế(I)<vế(II)<vế(III) mà vế(II) có thể viết thành:
ab
afbf


)()(
PP: Chỉ ra y=f(x) liên tục trên
[ ]
ba;
và có đạo hàm trên

( )
ba;
thì:
( )
ab
afbf
cfbac


=
)()(
)(:;
,
hay a<c<b thì vế(I)<vế(II)<vế(III)
C) S d ng tính đơn điệu của hàm số .
hàm số y=f(x) XĐ trên (a;b) nếu:
*)
( )
baxxf ;0)(
,

thì hàm số không giảm trên (a;b) (số điểm có f
,
(x)=0 là môt số hữu hạn )
*)
( )
baxxf ;0)(
,

thì hàm số không tăng trên (a;b) (số điểm có f

,
(x)=0 là môt số hữu hạn )
*)
( )
baxxf ;0)(
,
=
thì hàm số không đổi trên (a;b)
Bài toán II: Chứng minh bài toán: f(x)>0
);( bax

PP: Tìm tập XĐ: D chỉ ra
[
)
Dba

;
Tính f(a) chỉ ra f(a)
0


Tính f
,
(x) và chỉ ra f
,
(x)>0
);( bax

suy ra f(x)>f(a)
);(0 bax

D) S d ng Y
min
;Y
Max
của hàm số.
Bài toán III: Chứng minh bài toán: f(x)

0
1
Dx

PP: Tìm tập XĐ: D chỉ ra
DD

1
Tìm Y
min
với x

D
1
Chứng tỏ
0
min

Y
từ đó suy ra
0)(:
min1

=
YxfyDx
E) S d ng tính chất của hàm số lồi,lõm(BĐT JENSEN) .
*) Hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 f
,,
(x)>0
);( bax

thì
);(;...;;
21
baxxx
n

ta có:







+++
+++
n
xxx
nfxfxfxf
n
n
...

)(...)()(
21
21
Dấu = khi x
1
=x
2
=...=x
n
*) Hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 f
,,
(x)<0
);( bax

thì
);(;...;;
21
baxxx
n

ta có:







+++
+++

n
xxx
nfxfxfxf
n
n
...
)(...)()(
21
21
Dấu = khi x
1
=x
2
=...=x
n
Bài toán IV: Để CM:
kxfxfxf
n
+++
)(...)()(
21
với
);(;...;;
21
baxxx
n

Hoặc Để CM:
kxfxfxf
n

+++
)(...)()(
21
với
);(;...;;
21
baxxx
n

PP: Chỉ ra hàm số y=f(x) trên (a;b) thỏa mãn:
f
,,
(x)>0
);( bax

hay f
,,
(x)<0
);( bax

và
k
n
xxx
nf
n
=

+++
...
21
Bài tập 1: CMR
2
1
1
1
2

+
+
<
xx
x
Bài tập 2: CMR
3
1
4
cos
1
2
cos1cos1cos2
22
2

+

+
+
+
x
x
x
x
Bài tập 3: CM các BĐT sau:
a)
2
3
2
sin
2
sin
2
sin
++
CBA
với A,B,C la số đo các góc trong của 1 tam giác
b)
a
ab
a
b
b
ab

<<

ln
với 0<a<b
c)
)
2
;0(222
1tansin

+
+
x
xxx
Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn.
5
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức
Bài tập 4: CMR
ne
xx
n
2
1
1
<
với n
)1;0(,
*

xN
,e =
x

x
x






+
+
1
1lim
Bài tập 5: CMR a)
*
;0;,
22
NnbaRba
baba
nn
n
+
+







+

HD xét y=x
n
+(c-x)
n
với c>0
b)
Rxqpxx
++
0
4
khi và chỉ khi
43
27256 pq

với
Rqp

,
c) Nếu
43
27256 pq

với
Rqp

,
thì
Rxpxqx
++
01

34
d)
!
...
!2
1
2
n
xx
xe
n
x
++++>
với n
0,
*
>
xN
,e =
x
x
x






+
+

1
1lim
e)
xx
x
xx
<<>
sin
6
:0
3
Bài 6: CMR nếu n là số tự nhiên chẵn và a là số lớn hơn 3 thì (n+1)x
n+2
-3(n+2)x
n+1
+a
n+2
=0 VN
Bài 7: m>0;a,b,c bất kỳ thỏa
0
12
=+
+
+
+
m
c
m
b
m

a
thì ax
2
+bx+c=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1)
$10: Phơng pháp chứng minh bằng biến đổi tơng đơng.
VD
1
Cho a,b,c
R

. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2


ab+bc+ca.
VD
2
Cho a,b,c,d
R

. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2

+d
2
+1



a+b+c+d.
VD
3
Cho a,b,c
R

. CMR:
4
2
a

+ b
2
+ c
2


ab-ac+2bc.
VD
4
Cho a,b,c
R

. CMR: a

2
+ b
2
+ c
2
+1



2a( ab
2
-a+c+1).
VD
5
Cho a,b,c
R

. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2

3
1

. Với a+b+c=1.
VD
6

Cho a,b,c
R

. CMR:
3
2
a

+ b
2
+ c
2


ab+bc+ca. Nếu abc=1 và a
3
>36.
VD
7
Cho a,b
R

. CMR:
ba
ba

+
22

2
2
. Nếu ab=1 và a>b.
VD
8
Cho a,b
R

. CMR: a
2
+ b
2
+ 1



ab+a+b.
VD
9
Cho a,b,c
[ ]
1;0

. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2

1+a
2
b+b
2
c+c
2
a.
VD
10
Cho a,b,c
[ ]
2;0

và a+b+c=3. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2


5.
$11: Phơng pháp chứng minh bằng hình học-vộc t.
bài 1:
222222
2)()( zxzyxzyx
+++++
HD:

a

(x+y;z);
);( zyxb


.Với: x,y,z

R.
Bài 2:
mymxymx 2)()(
2222
++++
HD:
a

(x-m; y);
);( ymxb


.Với: x,y,m

R.
Bài 3:
2
21
2
21
2
2

2
2
2
1
2
1
)()()()()()( bbaaybxaybxa
++++

Với: x,y,a
1
,a
2
,b
1
,b
2


R. HD: A(x;y), B(a
1
;b
1
), C(a
2
;b
2
).
Bài 4:
222222

)()( dbcadcba
++++++
Với: a,b,c,d

R HD:
);(),;( dcvbau

.
Bài 5:
222222
)()( dbcadcba
++++
Với: a,b,c,d

R
HD:
);(),;( dcvbau


. Hoặc A(a;b), B(c;d) và có: OA+OB

AB.
Bài 6:
2222
. dbcacdab
+++
Với: a,b,c,d
R

. HD:

).;(),;( dbvcau

và có:
vuvu


.
.
Bài 7: Tìm giá trị N
2
của y=
2222
2222 qqxxppxx
+++
Với: p,q

R và p<0; q>0.
HD: A(p;p); B(q;q); M(x;0) và có: MA+MB

AB. Từ đó Miny=
2
(q-p) khi: M

O.
Tổng quát: Với: p,q

R.Đặt A(x-p;
)p
, B(x-q;
)q

. Thì: OA+OB

AB=
22
)()( qpqp
+
.
Bài 8: Tìm giá trị LN & NN của: y=
2
14
x
x
+
Với : x
[ ]
2;0

HD:
).2;(),22;1( xxvu


ta có:

cos23),cos(
2
14
==+=
vuvu
x
xvu

.Max y=3
2
khi:
9
2
22
2
1
=

=
x
xx
.
Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn.
6
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức
khi đó
vu

//
còn Min y=
2
khi đó
v

cùng phơng Ox hay 1-
0
2

=
x

2
=
x
.
Bài 9:
)1(5383
22
++
xxx
HD:
).2;1(),4;3(
2
xxvu


Và có:
vuvu


.
Bài 10: Tìm giá trị N
2
của y=
13cos6cos2cos2cos
22
++++

HD: A(1;1-cos

); B(3;4), C(1;0).
201
+=++=
CBOCABOAy
Bài 11: Chứng minh rằng:
2sinsincoscos
2244
+++

.

)sin;0(),;(sin),cos;(cos:
2222

wovuHD

và có:
wvuwvu

++++
Bài 12: Chứng minh rằng:
2)(sinsinsin4)(sincoscos4
222222
+++
yxyxyxyx
HD: M(2cosxcossy;sin(x-y)), N(-2sinxsiny;-sin(x-y)) và có: OM+ON

MN .
Bài 13: Chứng minh rằng:
1111
22
<+++<
xxxx
HD: M(x;0),
)
2
3
;
2
1
(A
,
)
2
3
;
2
1
(

B
và có:
1
=
ABMBMA
bằng khi OM//AB loại.
Bài 14: Chứng minh rằng:

222222
zyzyzxzxyxyx
+++++++
HD:
)
2
3
;
2
(),
2
3
;
2
( z
z
xvy
y
xu
+

khi đó: VT=
VPzy
zy
vu
=++

+
22
)(

4
3
)
2
(


Bài 15: Chứng minh rằng:
3
222
222222

+
+
+
+
+
ca
ca
bc
bc
ab
ab
Với: a,b,c>0 và ab+bc+ca=abc
HD:
)
2
;
1
(),

2
;
1
(),
2
;
1
(
ac
w
cb
v
ba
u

và:
wvuwvu

++++
=
3)
111
(2)
111
(
22
=+++++
cbacba
Bài 16: Cho: x,y,u,v

R và: x
2
+y
2
=u
2
+v
2
=1 chứng minh:
2)()(2
++
vuyvux
HD:
);(),;( vuvubyxa
+


thì: VT=
2)()(
2222
=+++
vuvuyxba


=VP
Bài 17: Cho: a,b,c

R và:

>>
>
0cb
bca
Chứng minh rằng:
abcbccac
+
)()(
HD:
);(),;( ccavcbcu


và có:
.... abccacbcvuvu
=++=

Bài tập rèn luyệ n
Bài 1: Cho a,b,c
*
+

R
. CMR:
6

+
+
+
+

+
b
ac
a
cb
c
ba
.
Bài 2: Cho a,b,c
*
+

R
. CMR:
.9)
111
)((
++++
cba
cba

Bài 3: Cho a,b
*
+

R
. CMR:
.
411
baba

+
+

Bài 4: Với x>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x +
x
3
.
Bài 5: Cho a,b
*
+

R
. CMR:
222
3322
bababa
+

+
ì
+
.
Bài 6: Cho
.0

ba
. CMR:
11
+

+
b
b
a
a
.
Bài 7: Cho a,b
R

. CMR:
b
b
a
a
ba
ba
+
+
+

+

111
.
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x +3)(5-x). Với
53

x
.
Bài 9: Với x>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x +

1
2

x
.
Bài 10: Cho a,b,c
R

và a
2
+2b
2
+9c
2
=3. CMR:
.692
++
cba

Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn.
7
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số: f(x) =
xx
+
41
.
Bài 12: a) Cho a,b,c
R

. CMR:
).(3)(
2222
cbacba
++++

b) Cho a,b,c,d
R

v b<c<d c hoặc d<c<b. CMR:
).(8)(
2
bdacdcba
+>+++

Bài 13: Cho a,b,c
+

R
. CMR:
.)
4
(
4
abcd
dcba

+++

Bài 14: Cho a,b

R

và a
2
+b
2
=1. CMR:
.2
+
ba

Bài 15: a) Cho a,b
R

và 4a - 3b = 15. CMR:
.9
22
+
ba
b) Cho a,b
R

và 3a + 5b = 7. CMR:
.
34
49
22
+
ba
c) Cho a,b

R

và 4a + b = 1. CMR:
5
1
4
22
+
ba
.
Bài 16: Cho a,b
R

và
1,1
<<
ba
. CMR:
.1 abba
+<+

Bài 17: a) Cho a,b
+

R
. CMR:
b
b
a
a

ba
ba
+
+
+

++
+
111
.
b) Cho a,b
+

R
và ab

1. CMR:
ba
ab
+
+
+

+
1
1
1
1
1
2

.
c) Cho a,b,c,d>0,
dcba

và
1

bd
.CMR:
dcba
abcd
+
+
+
+
+
+
+

+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4

4
.
Bài 18: CMR:
2
1
2
1
...
2
1
1
1
>++
+
+
+
nnn
với
*
Nn

.
Bài 19: Cho a,b,c
+

R
. CMR:
.cabcabcba
++++
Bài 20: Cho a,b,c

R

. CMR:
).(
222222
cbaabcaccbba
++++
Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =
x
x
1
+
.
Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =
1
2
2
2
+
+
x
x
.
Bài 23: Cho a
R

. CMR:
4
2
6

2
2

+
+
a
a
.
Bài 24: a) Cho a,b,c
*
+

R
. CMR:
.9
2
1
2
1
2
1
222

+
+
+
+
+
abccabbca

b) Cho a,b,c
*
+

R
. CMR:
.
2
111
222
abc
cba
abccabbca
++

+
+
+
+
+
c) Cho a,b,c
*
+

R
. CMR:
.
1111
333333
abc

abcacabccbabcba

++
+
++
+
++
d) Cho a,b,c,d
*
+

R
. CMR:
.
11111
444444444444
abcd
abcdbadabcdbacabcddcbabcdcba

+++
+
+++
+
+++
+
+++
e) Tổng quát cho bài toán trên.
Bài 25: Với x> -2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x +
2
2

+
x
.
Bài 26: Với x>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3x
2
+
x
1
.
Bài 27: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = (2-x)(2x+1). Với: -0,5< x < 2.
Bài 28: Cho a,b
0

. CMR: a)
42
)()(16 babaab
+
.
b) (1+a+b)(a+b+ab)

9ab.
c) 3a
3
+7b
3


9ab
2
.

Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn.
8