số phức

§1. SỐ PHỨC
1. Số i
Giải các phương trình sau:
a) x2 + 1 = 0
b) x2 + 4 = 0
Các phương trình trên có biệt số Δ âm nên không có nghiệm
thực.
Vấn đề đặt ra: Có thể mở rộng tập hợp các số thực thành một
tập hợp số mới trong đó mọi phương trình bậc n đều có
nghiệm hay không?
Người ta đã giải quyết vấn đề này bằng cách đưa ra số mới, kí
hiệu là i và coi nó là nghiệm của phương trình x2 + 1 = 0.
Nh°vậy i2 = - 1.


2. Định nghĩa số phức
• Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a và b là
những số thực và số i thoả i2 = - 1.
Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi
i được gọi là đơn vị ảo;
a được gọi là phần thực;
b được gọi là phần ảo.
•Tập hợp các số phức kí hiệu là C.
Ví dụ:
a) Số phức z = - i ( tức là ( - 1)i ) có phần thực bằng 0, phần
ảo bằng – 1. Đó là số ảo.
b) Số phức z = 2 + i 3 có phần thực bằng 2, phần ảo bằng
3

Chú ý:
* Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0, được gọi là số thực và
viết là a + 0i = a∈ R ⊂ C . Như vậy, mỗi số thực cũng là một số
phức.
* Số phức z = 0 + bi = bi ( b∈ R ) đặc biệt i = 0 + 1i = 1i, có phần
thực bằng 0, được gọi là số ảo hay còn gọi là số thuần ảo.
* Số 0 = 0 + 0i = 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
3. Số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng
tương ứng bằng nhau.

a + bi = c + di
a = c
⇔
b = d


Ví dụ:
Tìm các số thực x và y biết
( 2x + 1 ) + ( 3y – 2 )i = ( x + 2 ) + ( y + 4 )i.
Giải:
Từ định nghĩa của hai số phức bằng nhau, ta có
2x + 1 = x + 2 và 3y – 2 = y + 4
Vậy x = 1 và y = 3.
? Khi nào số phức a + bi ( a, b∈ R ) bằng 0?


4. Biểu diễn hình học của số phức
* Mỗi số phức z = a + bi hoàn toàn được xác định bởi cặp số
thực (a; b).

Điểm M(a; b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng
được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.
y
M

b
O

a

x


Ví dụ:

?

Điểm A biểu diễn số phức 3 + 2i
Điểm B biểu diễn số phức 2 - 3i
Điểm C biểu diễn số phức -3 - 2i
Điểm D biểu diễn số phức 3i

Điểm A, B, C, D lần lượt
biểu diễn các số phức
y
nào?

3 D
2
1

-3 -2 -1 O
-1
C

A

1

2 3

-2
-3

B

x


Ví dụ:

| 3 − 2i |= 32 + ( − 2 ) = 13
2

| 1 + i 3 |= 1 +
2

( 3)

2

=2

Hoạt động 4: Số phức nào có môđun bằng 0?
Gọi z = a + bi là số phức cần tìm.
Theo đề, ta có:

| z |= 0

nên
a

2

+ b

2

=

0

Vậy số phức cần tìm là 0.


6. Số phức liên hợp
Hoạt động 5:
Biểu diễn các cặp số phức sau trên cùng mặt phẳng tọa độ và
nêu nhận xét:
y
a) 2 + 3i và 2 – 3i;

b) -2 + 3i và -2 – 3i.
A
C
3
2
1
-3 -2 -1 O
-1
-2
D
-3

1

2 3

B

x


Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z
và kí hiệu là z = a − bi
Ví dụ:

z = −3 + 2i;

z = −3 − 2i;

z = 4 − 3i;

z = 4 + 3i

Chú ý:
Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và z đối xứng với
y
nhau qua trục Ox.
b

z = a + bi

O

a

-b

z = a - bi

x


Hoạt động 6:
Cho z = 3 – 2i.
a) Hãy tính z và z. Nêu nhận xét.
Giải:
Ta có: z = 3 + 2i và z = 3 – 2i.
Vậy: z = z.
b) Tính |z| và | z |. Nêu nhận xét.

| z |= 3 + ( − 2) = 13
2

Ta có:
Vậy:
Nhận xét:

2

| z |= 32 + 2 2 = 13

| z |=| z |

z = z;
z = z


§2. CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC
1. Phép cộng và phép trừ
Hoạt động 1
Theo quy tắc cộng, trừ đa thức ( coi i là biến ), hãy tính:
(3 + 2i) + (5 + 8i);
(7 + 5i) – (4 + 3i).
Giải:
Ta có
(3 + 2i) + (5 + 8i) = (3 + 5) + (2i + 8i) = 8 + 10i;
(7 + 5i) – (4 + 3i) = (7 – 4) + (5i – 3i) = 3 + 2i.
Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy
tắc cộng, trừ đa thức.
Ví dụ: (4 + 2i) + (5 + 6i) = (4 + 5) + (2 + 6)i = 9 + 8i;

(7 + 4i) – (9 + 3i) = (7 – 9) + (4 – 3)i = -2 + i.
Tổng quát: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.


CHÚ Ý:
Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất
của phép cộng và phép nhân các số thực.

?

Hãy nêu các tính chất của phép cộng và phép nhân số phức.


§3. PHÉP CHIA SỐ PHỨC
1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp
Hoạt động 1
Cho z = 2 + 3i. Hãy tính z + z và z.z. Nêu nhận xét.
Giải: Ta có z = 2 - 3i.
Vậy z + z = (2 + 3i) + (2 – 3i) = 4
và z.z = (2 + 3i)(2 – 3i) = 22 – (3i)2 = 4 + 9 = 13.
Nhận xét: z + z = 2 x phần thực của số phức z;
và z.z = bình phương môđun của số phức z.
Tổng quát: Cho z = a + bi. Ta có
z + z = (a + bi) + (a – bi) = 2a
và z.z = (a + bi)(a – bi) = a2 – (bi)2 = a2 + b2 = |z|2.
Vậy: * Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó
bằng hai lần phần thực của số phức đó.
* Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó
bằng bình phương môđun của số phức đó.

Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực.


2. Phép chia hai số phức
Chia số phức c + di cho số phức a + bi (điều kiện: a + bi ≠ 0)
là tìm số phức z sao cho c + di = (a + bi)z. Số phức z được gọi
là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là:

c + di
z=
a + bi

Ví dụ: Thực hiện phép chia: 4 + 2i cho 1 + i.
Giải:
4 + 2i
Giả sử: z = 1 + i . Theo định nghĩa ta có: (1+ i)z = 4 + 2i
Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của 1 + i, ta được:
(1 – i)(1 + i)z = (4 + 2i) (1 – i)
Suy ra: 2.z = 6 - 2i hay z = ½(6 – 2i) = 3 - i.
Vậy 4 + 2i
= 3 – i.
1+ i


Tổng quát : c + di
Giả sử: z = a + bi . Theo định nghĩa phép chia số phức ta có:
(a + bi)z = c + di
Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của a + bi, ta được:
(a – bi)(a +bi)z = (c + di) (a – bi)
hay (a2 + b2)z = (ac + bd) + (ad – bc)i.

1
Nhân cả 2 vế với số thực 2 2 ta được
a +b

c + di ac + bd ad − bc
= 2
+ 2
i
2
2
a + bi
a +b
a +b

1
Vậy z = a 2 + b 2 [ ( ac + bd ) + ( ad − bc ) i ]


Chú ý:
Trong thực hành, để tính thương
mẫu với số phức liên h

c + di
a + bi

, ta nhân cả tử và

Ví dụ: Thực hiện phép chia: 3 + 2i cho 2 + 3i.
Giải:

3 + 2i (3 + 2i ).(2 − 3i ) 12 − 5i 12 5
=
=
= − i
2 + 3i (2 + 3i ).(2 − 3i )
13
13 13


§4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
1. Căn bậc hai của số thực âm

?

Thế nào là căn bậc hai của số thực dương a ?
Tương tự căn bậc hai của một số thực dương , từ đẳng thức i 2 = -1
ta nói i là một căn bậc hai của -1, -i cũng là một căn bậc hai của -1
vì (-i)2 = -1. Từ đó ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm
chẳng hạn:
2
Căn bậc hai của -2 là ± i 2 vì ± i 2 = −2

(

(

Căn bậc hai của -3 là ± i 3 vì ± i 3

)

)

2

= −3

Căn bậc hai của - 4 là ± 2i vì (± 2i)2 = -4
Tổng quát: Các căn bậc hai của số thực a âm là

±i

a


2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với a, b, c là những
số thực, a khác 0. Xét biệt số ∆ = b2 – 4ac của phương trình. Ta
thấy:
b
* Khi ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm thực x = −

2a
* Khi ∆ > 0, có hai căn bậc hai (thực) của ∆ là ± ∆
và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định
bởi công thức
−b± ∆
x=

2a

* Khi ∆ <0, phương trình không có nghiệm thực vì không tồn
tại căn bậc hai thực của ∆.
Tuy nhiên trong trường hợp ∆ < 0, nếu xét trong tập hợp số
phức ta vẫn có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ là ±i ∆ . Khi đó
phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức

x=

−b±i ∆
2a


Ví dụ: Giải phương trình x2 + x + 1 = 0 trên tập số phức
Ta có: Δ = 12 – 4.1.1 = - 3 nên phương trình có hai nghiệm phức

−1 ± i 3
x=
2
Nhận xét
+ Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai
nghiệm (không nhất thiết phân biệt).
+ Tổng quát, người ta chứng minh được rằng mọi phương trình
bậc n với n ≥ 1
a0 + a1x + a2x2 + ... +an-1xn-1 + anxn = 0
(trong đó các hệ số là số phức)
đều có nghiệm phức và các nghiệm không nhất thiết phân biệt.
Đó là định lý cơ bản của Đại số học.