GIỚI HẠN DÃY SỐ

GIỚI HẠN DÃY SỐ
/>

DÃY SỐ THỰC

Dãy số là tập hợp các số được đánh chỉ số
từ nhỏ đến lớn trong tập hợp số tự nhiên N.
VD:

1/ xn = n2, n = 0, 1, 2, …
2/ xn = 1/n, n = 1, 2, …
3/ {xn} là cấp số cộng: a, a+d, a+2d, …


Các cách cho dãy số
1/ Dạng liệt kê:
VD: dãy 1, 2, 3,…; dãy 1, 1/2, 1/3,…
2/ Dạng tường minh:
{xn} cho dạng biểu thức giải tích của biến n.
2
VD: xn = n , xn = 1 / n
3/ Dạng quy nạp:
Số hạng đi sau tính theo các số hạng đi trước
VD: dãy x1 = 1, xn +1 = xn2 − xn + 1
xn −1 − xn
dãy x1 = 1, x2 = 1, xn +1 =
2


Dãy đơn điệu
{xn} là dãy tăng ⇔ xn ≤ xn+1, với mọi n đủ lớn

{xn} là dãy giảm ⇔ xn ≥ xn+1, với mọi n đủ lớn
Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là tăng
(giảm) ngặt.
Dãy tăng và dãy giảm gọi chung là dãy đơn điệu.


Phương pháp khảo sát dãy đơn điệu:
1.Xét hiệu số: xn+1 – xn (so với “0”)
2.Xét thương số: xn+1/xn (so với “1”)
(dùng cho dãy số dương)
3.Xét đạo hàm của hàm số f(x), với f(n) = xn


Ví dụ
1
1
a / xn = 1 + + K + :
2
n

1
xn +1 − xn =
> 0 ⇒ tăng
n +1
1  1

b / xn = 1 − ÷K 1 − ÷:
 2  n

xn +1

1
= 1−
⇒ giảm
xn
n +1


2n − 3
c / xn =
:
3n − 4
Biểu thức giống hàm số, xét đạo hàm

2x − 3
1
f (x) =
, ⇒ f ′( x ) =
>0
2
3x − 4
(3x − 4)
⇒ f(x) tăng ⇒ {xn} tăng.


Dóy b chn

{xn} l dóy b chn trờn M : xn M, n N0
{xn} l dóy b chn di m : xn m, n N0
{xn} b chn {xn} b chn trờn v b chn di
VD: Xeựt tớnh bũ chaởn cuỷa caực daừy

{ }

1
a/ 2
n
n
b/ 3

{ }

{

n

}

c / ( 1) n


DÃY CON

Cho {xn}, chọn ra các số hạng từ dãy này
1cách tùy ý theo thứ tự chỉ số tăng dần ta
được 1 dãy con của {xn}.
VD:

{ xn } = { x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ,L, xn ,L}
{x–2n1}}
{x2n

{x2n-1} = {x1, x3, x5, …}
{x2n} = {x2, x4, x6, …}
•Các chỉ số của dãy con cũng kéo dài ra ∞


GiỚI HẠN DÃY SỐ

Định nghĩa đơn giản: {xn} có giới hạn là a
khi n ra ∞ tức là xn ≈ a khi n đủ lớn
Định nghĩa chặt chẽ:
Dãy hội tụ ⇔ ∃a höõu haïn : lim xn = a
n→∞

⇔ ∀ ε > 0, ∃ N0 ∈ N : xn − a < ε , ∀ n ≥ N0
⇔ ∀ ε > 0, ∃ N0 : a − ε < xn < a + ε ∀ n ≥ N0
a

x3 x 2a −ε xN0

a +ε x
1
x n (n > N 0 )


Ví dụ

n
Chứng minh lim
=1

n →∞ n + 1
n
1
xn − a =
−1 =
n +1
n +1
1
1
xn − 1 < ε ⇔
< ε ⇔ n +1 >
n +1
ε
Chọn N0 ≥ 1/ε , với ε > 0 (đủ bé)

1
1
n ≥ N0 ⇒ n ≥ ⇒ n + 1 > ⇒ x n − 1 < ε
ε
ε
* Với ε = 10-3, tìm N0?


Tính chất dãy hội tụ

•Dãy hội tụ thì bị chận.
•an ≥ 0 và an→ a thì a ≥ 0
•an → a và a < c thì an < c với n ≥ N0
a

an, n ≥ N0

a-ε
an, n ≥ N0

a-ε

a+ε

a

c
a+ε

0


Các phép toán trên dãy hội tụ
lim tổng (hiệu, tích, thương, căn,…)
= tổng (hiệu…) lim

∃ lim xn , lim y n (hữu hạn)
n →∞

n →∞

 lim ( x ± y ) = lim x ± lim y
n
n
n

 n→∞ n
n →∞
n →∞

⇒  lim xn y n = lim xn lim y n ÑK : lim y n ≠ 0
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞

 lim x = lim x ÑK : x ≥ 0 & lim x ≥ 0
n
n
n
n →∞
n →∞
 n→∞ n

(

(

)

)


SỰ HỘI TỤ VÀ DÃY CON
lim xn = a ⇔ Mọi dãy con của {xn} đều → a
∃ 1 dãy con phân kỳ

Dãy {xn} phân kỳ ⇔ 
∃ 2 dãy con có lim ≠ nhau
VD: dãy {xn} = {(–1)n} phân kỳ

 x2n = 1 → 1
Vì 2 dãy con 
 x2n −1 = −1 → −1
 x2n → a
⇔ xn → a
Hệ quả:  x
 2n −1 → a


GIÔÙI HAÏN KEÏP

Cho 3 dãy {xn}, {yn}, {zn}

 xn ≤ y n ≤ zn ∀ n ≥ N0
 lim x = lim z = a
n→∞ n n→∞ n

⇒ lim y n = a
n →∞

xn ≤ y n ≤ zn

a
Hệ quả: 0 ≤ xn ≤ y n ∀ n & lim y n = 0 ⇒ lim xn = 0
n →∞

n →∞


Dãy phân kỳ ra vô cùng

Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ:

Không có giới
hạn

Phân kỳ ra vô
cùng

Giới hạn = ± ∞ : không thể xét | xn – a | !


lim xn = +∞ ⇔ ∀ M > 0 , ∃ N0 ∈ N : xn > M , ∀ n ≥ N0

n→ ∞

lim xn = −∞ ⇔ ∀ M > 0 , ∃ N0 ∈ N : xn < − M , ∀ n ≥ N0

n→ ∞


Ví dụ
n

Chứng minh lim 2 = +∞
n→∞

Với M > 0 (lớn) tùy ý,
n

2 > M ⇔ n > log 2 M
Chọn N0 > log2M + 1, ta có :

n ≥ N0 ⇒ n > log 2 M ⇒ 2n > M


Các phép toán trên dãy phân kỳ ra ∞
1/ Nếu

lim an = ∞ thì

n →∞

1
lim = 0
n →∞ a
n

 lim an = 0
2/ Nếu n→∞
thì
an > 0(< 0), ∀n ≥ N0

lim an = +∞

n →∞

(−∞)

 lim (an + bn ) = ∞
lim an = ∞ , lim bn = c ⇒ n→∞
n →∞
n →∞
an bn = ∞, neáu c ≠ 0
nlim
→∞
lim an = +∞ , lim bn = +∞ ⇒ lim (an + bn ) = +∞

3/

n →∞

n →∞

lim an = +∞ , lim bn = +∞

n →∞

n →∞

n →∞

⇒ lim an bn = ∞
n →∞

GIỚI HẠN CƠ BẢN

α > 0 ⇒ lim nα = ∞

n →∞
1/. Lũy thừa:
α
α
<
0
⇒
lim
n
=0

n →∞
a > 1 ⇒ lim a n = ∞
n →∞
2/. Hàm mũ:

n
−
1
<
a
<
1
⇒
lim
a

=0

n →∞
3 / lim n nα = 1, ∀α

ln p n
5 / lim α = 0, ∀α > 0
n →∞ n
nα
lim n = 0, ∀a > 1
n →∞ a

an
lim
= 0, ∀a > 0
n →∞ n !

n →∞

4 / lim n a = 1, ∀a > 0
n →∞

ln p n = nα = a n


Ví dụ

a / lim n 2 = ∞
n →∞

n

c / lim 2 = +∞
n →∞

n

e / lim n
n →∞

−2

=1

1
b / lim
= lim n −1 2 = 0
n →∞ n
n →∞
n

1

d / lim  ÷ = 0
n →∞  2 
2

n
f / lim n = 0
n →∞ 3

7 DẠNG VÔ ĐỊNH

• Đối với 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia:

0 ∞
∞ − ∞,0 ×∞, ,
0 ∞
• Đối với dạng mũ
∞

0

1 ,0 , ∞

0

( an )

bn


Ví dụ tổng hợp

n!
1 / lim n
n →∞ n

n ! 1 ×2K n 1

0< n =
≤ →0
n ×nK n n
n
n sin n
n
0≤ 2
≤ 2
→0
n +1 n +1

n sin n
2 / lim 2
n →∞ n + 1
n

1000 

3 / lim 
÷
n→∞  n 

n

Với n ≥ 2000:

n

1000   1 


0<
÷ ≤ ÷ →0
 n   2


Tổng cấp số nhân

(
n →∞

2

lim 1 + q + q + K + q

(

lim u0 + u0q + K + u0q

n →∞

n

n

)

n +1

1− q
= lim

n →∞ 1 − q

) = lim

n →∞

(

u0 1 − q n +1
1− q

q <1

1
=
1− q

)

q <1

u0
=
1− q


1 1
1

4 / lim 1 + + + K + n ÷

n→∞ 
2 4
2 
n +1

1−1 2
1
= lim
=
=2
n →∞ 1 − 1 2
1−1 2

2 1 3 9


5 / S = lim  − + − + K ÷,
n →∞  3 2 8 32

1 3
3
2
8
q = − × = − , u0 = ⇒ S =
2 2
4
3
21