Toan8

Phòng đào tạo Đề thi học sinh giỏi toán 8 vòng I (2003-2004)
Nghĩa Hng Thời gian làm bài:150 phút
Câu1:Phân tích đa thức thành nhân tử (4 điểm)
a).3x
2
-27x+54 b).bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b)
c)x
10
+x
5
+1
Câu2:a)Cho các đa thức: A=6x
4
-7x
3
+ax
2
+3x+2 B=x
2
-x+b
Xác định hệ số a,b để đa thức A chia hết cho B.
b)Tìm phần d của phép chia x
2
+x
100
+x
1000
+x
2003
cho x
2

-1 (6điểm)
Câu3:(3điểm)
Tìm m vàp sao cho biểu thức A=m
2
-4mp+10m-22p+28 đạt giá trị nhỏ
nhất,giá trị đó bằng bao nhiêu?
Câu4:(2điểm)
Chứng minh rằng abc=1 thì:
1
1 1 1
a b c
ab a bc b ac c
+ + =
+ + + + + +
Câu5:(5 điểm) Cho
ABCV
vuông tại A và H di chuyển trên BC.Gọi E,F lần lợt
là điểm đối xứng qua AB,AC của H.
a)Chứng minh E,A,F thẳng hàng.
b) Chứng minhBEFC là hình thang.Có thể tìm đợc vị trí của H để BEFC
là hình thang.Có thể tìm đợc vị trí H để BEFC là hình thang vuông,hình bình
hành,hình chữ nhật không?
c)Khi AB=AC Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn
nhất.
Phòng đào tạo Đề thi học sinh giỏi toán 8vòng II (2003-2004)
Nghĩa Hng Thời gian làm bài:150 phút
Câu1:(5 điểm)
Cho M=
3 2
3

10 8
2 1
x x x
x x

+ +
(x

4)
Câu2:(3 điểm)
Cho M=
2
2
1
2 1
x x
x x
+ +
+ +
(x

-1) Tìm x để A lớn nhất.
Câu3:(4 điểm) Giải phơng trình với ẩn x
x
3
+3ax
2
+3(a
2
-bc)x+a

3
+b
3
+c
3
-3abc=0
Câu4:(5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC trực tâm H.
a)Trên đoạn HK ,HC lần lợt lấy các điiểm Mvà N sao cho góc
ã
ã
90
o
AMC ANM= =
Chứng minh rằng AM=AN
b)Lấy hai điểm Evà F theo thứ tự là hai điểm thay đổi trên cạnh AB và
cạnh AC của Góc BAC sao cho 2AE=3AF. Tìm vị trị của E,F để 2HE+3HF
nhỏ nhất.
Câu5:(3 điểm)
Hãy tìm trong
ABCV
một điểm M sao cho tích các khoảng cách từ M
đến các cạnh của tam giác là lớn nhất
Phòng đào tạo Đề thi học sinh giỏi toán7 vòng I (2003-2004)
Nghĩa Hng Thời gian làm bài:150 phút
Câu1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)x
3
-3x+2 b) (a+b+c)
2
+(a+b-c)

2
-4c
2
c) x
5
+x+1
Câu2: a)Tìm đa thức bậc ba P(x) ,biết khi chia P(x) cho x-1 ; x+1 ; x+3 đều d
2004 và P(())=2005
b)Cho biểu thức A=
2005 2003
2
1
x x
x x
+
+ +
Chứng tỏ A không có giá trị nguyên với mọi
x0 ;x-1
Câu3: Cho M=2(x+1)(2x-1)(2x+3)(2x+6) với giá trị nào của x thì M có giá trị
nhỏ nhất,giá trị đó bằng bao nhiêu?
Câu4: Cho a,b,c là ba số đôi một khác nhau và
0
a b c
b c c a a b
+ + =

Chứng
minh rằng
2 2 2
0

( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
+ + =

Câu 5: Cho
ABCV
,các trung tuyến BD,CE cắt nhau tại G .Điểm Fvà H lần lợt
là trung điểm của BG và GC
a) Chứng minh rằng EFHD là hình gì ?
b)Tìm điều kiện
ABC

để tứ giác EFHD là hình chữ nhật
c)Khi
ABC

cân ở A và cạnh đáy BC bằng đờng trung tuyến AI và bằng 60
cm .trên các cạnh EF ,FH,HD, DE lần lợt lấy các điểm M,N,P,Q sao cho
EM=HN=HP=EQ.tứ giác MNPQ là hình gì ?Hãy xác định vị trí các điểm vừa
lấy để diện tích tứ giác MNPQlớn nhất?
Phòng đào tạo Đề thi học sinh giỏi toán7 vòng I (2004-2005)
Nghĩa Hng Thời gian làm bài:150 phút
Câu1: Với giá trị nguyên nào củax thì biểu thức
15
5
x
x

có giá trị lớn nhất? Tìm
giá trị đó?
Câu2:Tìm x biết
a)2
x
+4.2
x
=5.2
7
b)
1 4 0x x + =
c)
4 2x x = +
Câu 3:Chứng minh rằng nếu
a c
b d
=
Thì
a)
7 5 7 5
7 5 7 5
a b c d
a b c d
+ +
=

b)
2 2
2 2 2 2
8 8

13 7 13 7
a ab c cd
a b c d

=

Câu4:Cho
ABCV
(góc A nhọn ) .Trên mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C
dựng Ax sao cho góc BAx=a. Trên mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng
Ay sao cho góc CAy=a. (0<a<45
o
) Kẻ BP vuông góc với Ax; CQ vuông góc
với Ay .M là trung điểm của BC nối P,Q với M
a)Chứng minh MP=MQ
b)Tính số đo các góc của tam giác MPQ theo a
Phòng đào tạo Đề chọn học sinh giỏi toán 8 (1998-1999)
Trực ninh Thời gian làm bài :120 phút
Câu1:Xác định hệ ssố a sao cho
a)27x
2
+a chia hết cho 3x+2
b)3x
2
+ax+27 chia hết cho x+5 có số d bằng 2
Câu2:Cho 3 số a,b,c thỏa mãn abc=1999. Hãy rút gọn biểu thức:

1999
1999 1999 1999 1
a b c

ab a bc b ac c
+ +
+ + + + + +
Câu3:Cho abc

0 và a+b+c

0 giải phơng trình:

4
1
a b x a c x b c x x
c b a a b c
+ + +
+ + + =
+ +
Câu4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một nửa mặt
phẳng bờ là AB các hình vuông AMCD,BMEF
a)Chứng minh AE vuông góc với BC.
b)Gọi H là giao điểm của AE và BC .Chứng minh 3 điểm D,H,F thẳng hàng
c)Chứng minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di
chuyển trên đoạn thẳng AB cố định
d)Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi
M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định
Phòng đào tạo Đề chọn học sinh giỏi toán 8 (1999-2000)
Trực ninh Thời gian làm bài :120 phút
Câu1:Tìm số tự nhiên để
a)Số A=n
4
+4 là số nguyên tố b)Phân số

2 7
8
1
1
n n
n n
+ +
+ +
tối giản
Câu:2Cho biểu thức
A=
2
3 2 3
1 1 4 2 2
:
2 2 2
a a b
a b a b a a b a b ab a

+


ữ
ữ
+ + +


a)Rút gọn b) Tính giá trị của A biết 4a
2
+b

2
=5ab và a>b>0
Câu3: Giải phơng trình
a)
101 103 105
3
86 84 82
x x x
+ + =
b)
( )
2
2
9 12 1x x = +
Câu4:Cho tứ giác ABCD ;M,N lần lợt là trung âiểm các cạnh BC và CD . Gọi
E và F là giao điểm của BD với AM và AN.Chứng minh rằng :nếu BE=EF=
FD thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
Câu5: Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đờng chéo AC của hình chữ nhất
ABCD ;M,K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD.
a)Gọi Ivà Q theo thứ tự là trung điểm của AB và IC .Chứng minh MO=
1
2
IC
b)Tính số đo góc BMK
c)Gọi P và Q lần lợt là hai điểm thuộc đoạn BM và BC.Hãy xác định vị trí
của P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất?
Phòng đào tạo Đề chọn học sinh giỏi toán 8 (2001-2002)
Trực ninh Thời gian làm bài :120 phút
Câu1:(4 điểm) Cho biểu thức
P=

2 2 2 2
2 2
a b a b
ab b ab a ab
+
+ +
+
a)Rút gọn P b)Có giá trị nào của a,b để P=0?
c)Tính giá trị của P biết a,b thỏa mãn điều kiện
3a
2
+3b
2
=10ab và a>b>0
Câu2:(3,5 điểm) Chứng minh rằng
a)
( )
2
2
1 1n n+
chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
b)Tổng các lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Câu3:( 3điểm) Giải phơng trình
x
4
+x
2
+6x-8=0
Câu4:(3điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
x

2
=y(y+1)(y+2)(y+3)
Câu5:(7,5 điểm)
Cho
ABCV
,0 là giao điểm 3 đờng trung trực trong tam giác,H là trực tâm của
tam giác .Gọi P,R,M theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC.Gọi Q
là trung điểm của đoạn thẳng AH.
a)Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều
kiện gì để OPQR là hình thoi.
b)Chứng minh AQ=OM.
c)Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC .Chứng minh H,G,O thẳng hàng.
d)Vẽ ra ngoài tam giac ABC các hình vuông ABDE,ACFL.Gọi I là trung
điểm của EL.Nếu diện tích tam giac ABC không đổi vaBC cố đinh thì I di
chuyển trên đờng nào?
Phòng đào tạo Đề chọn học sinh giỏi toán 8 (2002-2003)
Trực ninh Thời gian làm bài :120 phút
Câu1:Tìm số tự nhiên n biết
a)A=n
3
-n
2
+n-1 là một số nguyên tố
b)C=
4
4 3 2
16
4 8 16
n
n n n

+ +
có giá trị là một số nguyên
c)D=n
4
+4
n
là một số nguyên tố
Câu2: Cho a+b+c=0; abc

0
a)Chứng minh: a
3
+b
3
+c
3
-3abc=0
b)Tính giá trị của biểu thức:
P=
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
c a b
a b c b c a c a b
+ +
+ + +
Câu3: a)Giải phơng trình:

( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
1
x a x c x b x c
b a b c a b a c

+ =

b)Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x
2
-y
2
+2x-4y-10=0
Câu4: Cho hình thang ABCD (ABCD ),O là giao điểm của hai đờng
chéo.Qua O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F.
a)Chứng minh S
AOD
=S
BOC
b) Chứng minh OE=OF c) Chứng minh
1 1 2
AB CD EF
+ =
d)Gọi K là điểm bất kỳ thuộc OE.Nêu cách dựng đờng thẳng đi qua K và
chia đôi diện tích tam giác DEF.
Phòng đào tạo Đề chọn học sinh giỏi toán 8 (2003-2004)
Trực ninh Thời gian làm bài :120 phút
Câu1: Cho biểu thức A=
2

3 2
4 4
2 4 8
a a
a a a
+ +
+
a)Rút gọn A b)Tìm các số nguyên a để A có giá trị là một số nguyên.
Câu2: Cho x,y,z đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
2 2 2
x yz y xz z xy
a b c

= =
Thì ta có:
2 2 2
a bc b ca c ab
x y z

= =
Câu3: Giải phơng trình:
a)
2 2 2
1 1 1
18
9 20 11 30 13 42x x x x x x
+ + =
+ + + + + +
b)
2

3 3026
y
x + =
với x,yN