Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN
Phần bắt buộc với mọi thí sinh :
Câu 1. Cho hàm số y = x
3
– mx
2
1) Tìm m để đồ thị có điểm uốn tại điểm có hoành độ x = 1.
2) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với giá trị m tìm được.
3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị vừa vẽ tại điểm uốn. Chứng
minh rằng : tiếp tuyến này là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong
các tiếp tuyến của đồ thị.
Câu 2.
1) Tính tích phân :
1
2
0
1
xdx
I
x
=
+
∫
.
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = e
x
và các đường
thẳng y = 1 và x = 1.
Câu 3. Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình :
d :
1 1 2

2 3 1
x y z+ − −
= =
và d’ :
2 2
1 5 2
x y z− +
= =
−
.
1) Chứng minh d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau.
2) Xác định vectơ đồng thời vuông góc với d và d’.
Câu 4. Cho mặt phẳng P : 6x + 6y – 7z +42 = 0
1) Viết phương trình mặt cầu tâm I(1 ;4 ; -7 ) tiếp xúc với mặt phẳng P.
2) Tính thể tích tứ diện có 4 đỉnh là gốc tọa độ O và giao điểm của P với
các trục tọa độ.
Phần tự chọn ( chỉ giải câu 5A hoặc câu 5B)
Câu 5A. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn
3 2
14
n
n n
A C n
−
+ =
.
Câu 5B. Tính tổng các số gồm 5 chữ số khác nhau. Biết rằng các số này
được viết bởi các chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5.
HƯỚNG DẪN GIẢI.
Câu 1.

1) y’ = 3x
2
– 2mx ; y’’ = 6x – 2m. Do đó đồ thị có hoành độ điểm uốn là
x =
3
m
. Vậy điểm uốn có hoành độ x = 1 khi và chỉ khi
3
m
= 1 hay m
= 3.
2) Với m = 3 thì hàm số trở thành y = x
3
– 3x
2
. Các bạn dễ dành khảo
sát và vẽ đồ thị.
3) Hàm số y = x
3
– 3x
2
có y’ = 3x
2
– 6x nên phương trình tiếp tuyến tại
điểm uốn là :
y – f(1) = f’(1) (x – 1 ) hay y – (- 2 ) = - 3 (x – 1 ) hay y = - 3x + 1.
Tiếp tuyến tại x = x
0
bất kì có hệ số góc là :
f’(x

0
) =
2 2
0 0 0
3 6 3( 1) 3 3x x x− = − − ≥ −
.Do đó hệ số góc nhỏ nhất bằng – 3
khi x
0
= 1.
Câu 2.
1)
1 1
2
2
2 2
0 0
1
1 ( 1) 1 1
ln( 1) ln 2.
0
1 2 1 2 2
xdx d x
I x
x x
+
= = = + =
+ +
∫ ∫
2) Giao của đồ thị y = e
x

với đường y = 1 tại (0 ; 1) và với đường x = 1
tại (1 ; e). Vậy diện tích hình phẳng là :
S =
1
0
1
1
0
x x
e dx e e= = −
∫
(đ.v.d.t).
Câu 3.
1) Viết phương trình d và d’ dưới dạng tham số :
2 1 2
: 3 1 d': 5 2
2 2
x t x s
d y t y s
z t z s
= − = +
 
 
= + = −
 
 
= + = −
 
Giải hệ :
2 1 2

3 1 5 2
2 2
t s
t s
t s
− = +


+ = −


+ = −

ta thấy vô nghiệm nên d và d’ chéo nhau.
2) d có vectơ chỉ phương là
(2;3;1)m
ur
và d’ có vectơ chỉ phương là
(1;5; 2)n −
r
. Gọi vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung của d
và d’ là
( ; ; )l a b c
r
thì
; l m l n⊥ ⊥
r ur r r
. Do đó :
2 3 0
5 2 0

a b c
a b c
+ + =


+ − =

. Cho b = 1, giải
hệ có a =
11
5
−
và c =
7
5
. Vậy có thể chọn
( 11;5;7)l −
r
.
Câu 4.
1) Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng hay bán kính mặt cầu là
6.1 6.4 7.( 7) 42
11
36 36 49
R
+ − − +
= =
+ +
.
Do đó phương trình mặt cầu là

2 2 2 2
( 1) ( 4) ( 7) 11x y z− + − + + =
.
2) Giao điểm của P với các trục tọa độ lần lượt là (- 7 ; 0 ; 0), (0 ; - 7 ;
0), (0 ; 0 ; 6). Do đó thể tích tứ diện là
V = 7x7x6 :6 = 49 (đ.v.t.t)
Câu 5A. Điều kiện n là số tự nhiên không nhỏ hơn 3
3 2
2
! !
14 14
( 3)! ( 2)!2!
( 1)
( 1)( 2) 14
2
5
2 5 25 0
2
5
n
n n
n n
A C n n
n n
n n
n n n n
n
n n
n
−

+ = ⇔ + =
− −
−
⇔ − − + =

= −

⇔ − − = ⇔

=


Kết hợp điều kiện ta có n = 5.
Câu 5B. Số các số chính là hoán vị của 5 phân tử nên có 5 ! = 120 số.
Do vai trò của 5 chữ số là như nhau nên khi cộng từng hàng của các số ta
thấy mỗi chữ số xuất hiện đúng 120 : 5 = 24 lần. Do đó tổng các chữ số của
mỗi hàng là : 24 x ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 360.Vậy tổng 120 số là
360 x ( 1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) = 360 x 11111 = 3999960.