Bài giảng lý thuyết xác suất và thông kê toán chương 4 đại lượng ngẫu nhiên hai chiều – hàm của các đại lượng ngẫu nhiên

Chương IV

ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN
HAI CHIỀU HÀM CỦA CÁC ĐLNN
I- Khái niệm về đại lượng
ngẫu nhiên hai chiều


Những đại lượng ngẫu nhiên mà
các giá trò nó có thể nhận biểu
thò bằng một số được gọi là đại
lượng ngẫu nhiên một chiều.


Ngoài những đại lượng ngẫu nhiên
một chiều, trong thực tế ta còn
gặp những đại lượng ngẫu nhiên
mà các giá trò nó có thể nhận
được biểu thò bằng 2, hoặc 3, . . . ,
hoặc n số.


Những đại lượng ngẫu nhiên mà
các giá trò nó có thể nhận là
những véc tơ 2 chiều được gọi là
đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều.


Tổng quát: Những đại lượng ngẫu
nhiên mà các giá trò nó có thể
nhận là một véc tơ n chiều được

gọi là đại lượng ngẫu nhiên n
chiều.


Ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên 2
chiều là (X, Y). Trong đó X và Y
được gọi là các thành phần của
ĐLNN 2 chiều.
Cả hai đại lượng ngẫu nhiên X và
Y được xét một cách đồng thời tạo
nên ĐLNN 2 chiều.


Tương tự n đại lượng ngẫu nhiên
được xét một cách đồng thời tạo
nên đại lượng ngẫu nhiên n chiều


Thí dụ: Khi khảo sát các siêu thò,
nếu ta quan tâm đến doanh số bán
(X1) và lượng vốn (X2) ta sẽ có đại
lượng ngẫu nhiên hai chiều
(X1, X2). Còn nếu quan tâm cả chi
phí quảng cáo (X3) thì ta sẽ có
đ.l.n.n 3 chiều (X1, X2, X3).


Trong thực tế người ta cũng phân
chia đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều
thành hai loại: rời rạc và liên tục.

Các đại lượng ngẫu nhiên 2
chiều được gọi là rời rạc nếu các
thành phần của nó là các ĐLNN
rời rạc.


Các đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều
được gọi là liên tục nếu các thành
phần của nó là các đại lượng ngẫu
nhiên liên tục.
II- Phân phối xác suất của đại
lượng ngẫu nhiên hai chiều


Đối với đại lượng ngẫu nhiên hai
chiều người ta cũng dùng bảng
phân phối xác suất hoặc hàm
phân phối xác suất hoặc hàm
mật độ xác suất để thiết lập
phân phối xác suất của chúng.


1- Bảng phân phối xác suất của
đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều
Bảng phân phối xác suất của đại
lượng ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc
có dạng:


Y

y1

y2

x1

p11

p12

x2

p21

p22

…

…

…

xn

pn1

pn2

X

…
…
…
…
…

ym
p1m
p2m

…
pnm


Trong đó:
xi (i = 1, 2, . . . , n) là các giá trò
có thể nhận của thành phần X
yj (j = 1, 2, . . . , m) là các giá trò
có thể nhận của thành phần Y


pij (i = 1, 2, . . . n; j = 1, 2, . . . , m)
là xác suất để đại lượng ngẫu
nhiên 2 chiều (X, Y) nhận giá trò
(xi, yj)
n m
Ta luôn có:  ∑ ∑ p i j = 1
i = 1 j= 1

Biết được phân phối xác suất của
đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều ta
có thể tìm được bảng phân phối
xác suất của các thành phần.


Bảng phân phối xác suất của
thành phần X có dạng:
X
PX

x1
p1

Trong đó:

...
...

x2
p2
m

p i = ∑ p ij
j= 1

xn
pn

Từ bảng phân phối xác suất của
X với các công thức ở chương 2 ta
có thể tính được E(X), Var(X),
Mod(X), . . .


Tương tự ta có bảng phân phối
xác suất của thành phần Y có
dạng:
Y
PY

y1
q1

Trong đó:

...
...

y2
q2
n

q j = ∑ p ij
i =1

ym
qm

Từ bảng phân phối xác suất của
Y ta cũng có thể tính được E(Y),
Var(Y), Mod(Y).


Thí dụ: Cho biết bảng phân phối
xác suất của ĐLNN 2 chiều (X, Y),
trong đó X là doanh thu và Y là
chi phí quảng cáo của các công ty
tư nhân kinh doanh cùng một mặt
hàng như sau: (đơn vò tính của X
và Y đều là triệu đồng/tháng).


X

100

150

200

0

0,1

0,05

0,05

1

0,05

0,2

0,15

2

0

0,1

0,3

Y


Từ bảng phân phối xác suất của
(X, Y) ở trên, ta có:
ª Bảng phân phối xác suất của X:
X

100

150

200

PX

0,15

0,35

0,5


Từ đó ta dễ dàng tính được:
E(X) = 100× 0,15 + 150× 0,35
+ 200× 0,5 = 167,5
Tức doanh thu trung bình của
một công ty tư nhân là 167,5 triệu
đ/tháng.


E(X2) = 1002× 0,15 + 1502× 0,35
2
+ 200 × 0,5 = 29375
Var(X) = E(X2) − [ E(X)] 2
= 29375 − (167,5)2 = 1318,75
⇒σ (X) = 1318,75 = 36,3146