Bài giảng lý thuyết xác suất và thông kê toán chương 7 ước LƯỢNG các số đặc TRƯNG của TỔNG THỂ

Chương 7
ƯỚC LƯỢNG CÁC SỐ
ĐẶC TRƯNG CỦA
TỔNG THỂ


I. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

• Cho ĐLNN X có tham số θ (θ có thể là trung
bình tổng thể µ, phương sai tổng thể σ2
hoặc tỷ lệ tổng thể p) cần ước lượng.
 Ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n:
WX = (X1, X2,…, Xn).
 Chọn = ϕ(X1, X2,…, Xn) là hàm ước lượng
của θ. Khi đó là hàm của các ĐLNN X1,
X2,…, Xn nên nó là 1 ĐLNN.
 Với 1 mẫu cụ thể (x1, x2,…, xn) thì sẽ
nhận 1 giá trị cụ thể. Giá trị này đgl giá trị
ước lượng của θ và hàm đgl ước lượng
điểm của θ.


I. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng:
Ước lượng không chệch: đgl ước lượng
không chệch của θ nếu: E() = θ.
Ước lượng hiệu quả: đgl ước lượng hiệu
quả của θ nếu: là ước lượng không chệch
của θ và có Var() nhỏ nhất.
Ước lượng vững: đgl ước lượng vững của
θ nếu: ∀ε > 0 bé tùy ý cho trước ta đều có:

(

)

lim Pθ ˆ- θ < ε = 1

n→∞

Ước lượng hợp lý tối đa.


I. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Các kết quả:
Trung bình mẫu là ước lượng không chệch,
hiệu quả, vững, hợp lý tối đa của trung bình
tổng thể µ.
Tỷ lệ mẫu F là ước lượng không chệch, hiệu
quả, vững, hợp lý tối đa của tỷ lệ tổng thể p.
Phương sai mẫu điều chỉnh S2 là ước
lượng không chệch, hiệu quả, vững của
phương sai tổng thể σ2.
Phương sai mẫu là ước lượng hợp lý tối đa
của phương sai tổng thể σ2.


II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG


• ĐLNN X có tham số θ chưa biết và cần ước

lượng.
 Lập mẫu ngẫu nhiên: WX = (X1, X2,…, Xn).
 Chọn thống kê G = ϕ(X1, X2,…, Xn, θ) sao
cho: mặc dù chưa biết giá trị của θ nhưng quy
luật PPXS của G vẫn hoàn toàn xác định.
 Khi đó, với xác suất α khá bé (thường lấy
α≤0,05), ta có thể tìm được hai số a, b thỏa
mãn: P(a ≤ G ≤ b) = 1 - α (tức là xác suất để G
nhận giá trị trong khoảng (a,b) là (1-α) khá lớn,
khả năng xảy ra cao).
 Từ đó ta tìm được khoảng () sao cho:
P() = 1 - α


II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
• Lưu ý:
• Vì G là ĐLNN nên là các ĐLNN, do đó
khoảng () đgl khoảng ngẫu nhiên.
• (1 - α) đgl độ tin cậy (hệ số tin cậy) của ước
lượng.
• () đgl độ dài khoảng tin cậy, nó có thể là
hằng số, cũng có thể là ĐLNN.
• Với 1 mẫu cụ thể (x1, x2,…, xn), ta tính
được các giá trị cụ thể của đó là (θ1, θ2); do
đó ta tìm được 1 khoảng cụ thể (θ1, θ2)
chứa θ.


II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng tỷ lệ:

Dựa vào tính chất:

1 n
pq
F = ∑ X i ~ N(p;
) (n ≥ 30)
n i=1
n
F-p
⇒Z=
~ N(0,1)
pq
n
0.45

0.4

Với độ tin cậy (1 - α),
vì Z ~ N(0,1) nên ta
tìm được 1 số zα/2
sao cho:

0.35

0.3
0.25

α/2

0.2

α/2

0.15

0.1
0.05
0

0

-

2

4

6

8

10

zα/

12


II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng tỷ lệ:

F-p
P(- z α/2 ≤
≤ z α/2 ) = 1 - α
pq
n

pq
pq 
⇔ P  F - z α/2 .
≤ p ≤ F + z α/2 .
÷=1-α
n
n 

Khi n lớn và với một
mẫu cụ thể thì ta có
thể xấp xỉ pq bằng
f(1–f).
Φ(zα/2) = 0,5 -

0.45
0.4
0.35
0.3
0.25

α/2

α/2

0.2
0.15

0.1
0.05
0

0

-

2

4

6

8

zα/
10

12


II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng tỷ lệ:
Vậy khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) của
tỷ lệ tổng thể p tương ứng với 1 mẫu cụ thể

có dạng: (f - ε; f + ε), trong đó:

f(1 - f)
ε = z α/2 .
n

Suy ra ước
lượng khoảng
phía trái & ước
lượng khoảng
phía phải?

ε đgl độ chính xác
của ước lượng.
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2

α/2

α/2

0.15

0.1
0.05
0

0

-

2

4

6

8

zα/
10

12


II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng trung bình:
Dựa vào tính chất:
n

2

1σ
X = ∑ X i ~ N(μ;
) (n ≥ 30)
n i=1

n

Ta có các trường hợp:
n ≥ 30, σ đã biết.
n ≥ 30, σ chưa biết.
n < 30, σ đã biết.
n < 30, σ chưa biết.
α/2
0.45

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

α/2

0.15

0.1

0.05
0
0

-

2

4

6

8

10

zα/

12


II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng trung bình:
n ≥ 30, σ đã biết :

0.45
0.4
0.35
0.3

X-μ
⇒Z=
~ N(0,1) α/2
σ

n
0.25

0.2

α/2

0.15

0.1

0.05

0

0

2

4

6

8

10

12

zα/

Với độ tin cậy (1 - α), vì Z zα/
~ N(0,1) nên 2ta tìm
được 1 số zα/2 sao cho: 2

P(- z α/2

X-μ
≤
≤ z α/2 ) = 1 - α
σ
n


II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng trung bình:
n ≥ 30, σ đã biết :

σ

⇔ P  X - z α/2 .μ X
≤ + ≤z .
n


σ 
α/2 = 1 -÷α
n

Vậy khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) của
trung bình tổng thể µ tương ứng với 1 mẫu cụ

thể có dạng: ( - ε; + ε), trong đó:

σ
ε = z α/2 .
n

ε đgl độ chính xác
của ước lượng.

0.45
0.4
0.35
0.3
0.25

α/2

α/2

0.2
0.15

0.1
0.05
0

0

-

2

4

6

8

zα/
10

12


II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng trung bình:
n ≥ 30, σ chưa biết :

0.45
0.4
0.35
0.3

X-μ
⇒Z=
~ T(n - 1) α/2
S
n
0.25

0.2

α/2

0.15

0.1

0.05

0

0

2

4

6

8

10

12

zα/
zα/xỉ Z ~ N(0,1).
2 Do
Vì n ≥ 30 nên ta có thể xấp

2 hợp trên, ta suy
đó, làm tương tự như trường
ra khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) của
trung bình tổng thể µ tương ứng với 1 mẫu cụ
s
thể có dạng: ( - ε; + ε), trong đó: ε = z α/2 .

n


II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng trung bình:
n < 30, σ đã biết và
ĐLNN gốc X có
α/2
phân phối chuẩn:
0.45

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

α/2

0.15

0.1

X-μ
⇒Z=
~ N(0,1)
σ
n

0.05
0
0

2

4

6

8

10

12

zα/
zα/
2
2

Do đó, làm tương tự như trên, ta suy ra
khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) của trung
bình tổng thể µ tương ứng với 1 mẫu cụ thể
σ
có dạng: ( - ε; + ε), trong đó: ε = z α/2 .

n


II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng trung bình:
n < 30, σ chưa biết và
ĐLNN gốc X có phân phối
chuẩn:

X-μ
⇒Z=
~ T(n - 1)
S
n

0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15

α/2

α/2

0.1

0.05
0
0

2

4

6

8

10

12

tα/2
tα/2 ta suy ra
Do đó, làm tương tự như trên,
khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) của trung
bình tổng thể µ tương ứng với 1 mẫu cụ thể
s
có dạng: ( - ε; + ε), trong đó: ε = t α/2 .

n

III. XÁC ĐỊNH ĐỘ TIN CẬY
Ước lượng tỷ lệ:
f(1 - f)
Từ công thức: ε = z α/2 .

n

⇒ z α/2 =

ε. n
⇒ Độ tin cậy (1 - α).
f(1 - f)

Ước lượng trung bình:
s
Từ công thức: ε = z α/2 .

n

⇒ z α/2

ε. n
=
⇒ Độ tin cậy (1 - α).
s


IV. XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU

Ước lượng tỷ lệ:
f(1 - f)
Từ công thức: ε = z α/2 .

n

f(1 - f)
⇒ n = (z α/2 ) . 2
ε
2

Ước lượng trung bình:
s
Từ công thức: ε = z α/2 .

n

2

s
⇒ n = (z α/2 ) . 2
ε
2


Tổng kết chương 7
• Ước lượng điểm của trung bình, phương
sai, tỷ lệ tổng thể?
• Khoảng ước lượng của trung bình, tỷ lệ
tổng thể?

• Xác định độ tin cậy?
• Xác định kích thước mẫu?