Bài giảng lý thuyết xác suất và thông kê toán chương 7 ước lượng các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

Chương 7
ƯỚC LƯNG CÁC SỐ
ĐẶC TRƯNG CỦA
TỔNG THỂ


Các số đặc trưng của tổng thể
như trung bình tổng thể, tỷ lệ
tổng thể, phương sai của tổng
thể, . . . được sử dụng rất nhiều
trong phân tích kinh tế - xã hội
và các lónh vực khác.


Nhưng các số đặc trưng này
thường là chưa biết. Vì vậy đặt
ra vấn đề cần ước lượng chúng
bằng phương pháp mẫu.
Chúng ta có thể nêu vấn đề
thực tế đó dưới dạng toán học
như sau:


Cho đại lượng ngẫu nhiên X có
thể đã biết hoặc chưa biết phân
phối xác suất và chưa biết tham số
θ nào đó của X. Hãy ước lượng θ
bằng phương pháp mẫu.


Vì θ là một hằng số nên ta có thể

dùng một con số để ước lượng θ .
Ước lượng như vậy được gọi là
ước lượng điểm
Ngoài ước lượng điểm, ta còn
dùng ước lượng khoảng. Tức là
chỉ ra một khoảng số (θ 1, θ 2) có
thể chứa được θ .


I- PHƯƠNG PHÁP HÀM ƯỚC LƯNG

1- Mô tả phương pháp:
Giả sử cần ước lượng tham số θ
của đ.l.n.n X. Từ X ta lập mẫu
ngẫu nhiên kích thước n:
WX = (X1, X2, , . . . , Xn)
Chọn


ˆθ = f(X1, X2, . . . , Xn)

θˆ được gọi là hàm ước lượng của θ

Trong thực tế người ta thường
chọn hàm ước lượng như sau:
1
ˆ
ª Chọn θ = X = ∑ X i nếu là ước
n

n

i =1

lượng trung bình của tổng thể


n

1
2
2
ˆ
ª Chọn θ = S =
( X i − X)
∑
n − 1 i =1
nếu là ước lượng phương sai của
tổng thể
n
1
ª Chọn θˆ = F = ∑ X i nếu là ước
n i =1

lượng tỷ lệ tổng thể


Từ mẫu cụ thể Wx = (x1, x2,..., xn),
*
ˆ

ˆ
ta tính giá trò của θ (ký hiệu làθ ).
Tức là:

ˆθ*= f(x1, x2, . . . , xn)

Ước lượng điểm của θ chính là
*
ˆ
giá trò θ vừa tính được.


2 -Ước lượng không chệch
* Đònh nghóa:
θˆ được gọi là ước lượng không
chệch của tham số θ nếu:

ˆ
E(θ) = θ

ˆ ≠ θthì θ là
Ngược lại, nếu E(θ)
ước lượng chệch của tham số θ


* Ý nghóa:
Ứớc lượng không chệch là ước
lượng có sai số trung bình bằng 0.
* Thí dụ:
ª Trung bình mẫu ngẫu nhiên (X)

là ước lượng không chệch của
trung bình tổng thể (µ ) vì E(
X )=
µ


ª Phương sai mẫu ngẫu nhiên (S2)
là ước lượng không chệch của
2
phương sai tổng thể (σ ) vì:
E(S2) = σ 2
ª Tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên (F) là
ước lượng không chệch của tỷ lệ
tổng thể (p) vì E(Fn) = p


II- PHƯƠNG PHÁP KHOẢNG TIN CẬY

(phương pháp ước lượng khoảng)
Phương pháp khoảng tin cậy dùng
một khoảng số để ước lượng θ .
Phương pháp này được nhà toán học
Pháp P.S. Laplace ng/c (1841) và được
hoàn thiện bởi nhà thống kê Mỹ J.
Neyman (1937).


1 - Mô tả phương pháp khoảng
tin cậy
Để ước lượng tham số θ của

đ.l.n.n X, từ X ta lập mẫu ngẫu
nhiên WX = (X1, X2, . . . , Xn).


Chọn thống kê:

θˆ = f(X1, X2, . . . , Xn)
Sao cho: mặc dù chưa biết giá trò
của θ nhưng phân phối xác suất
của θˆ được xác đònh.


Do đó với xác suất α khá bé
(α ≤ 0,05) ta có thể tìm được 2 số
a, b sao cho:
P(a θˆ≤
≤ b) = 1- α
(6.1)


Nếu từ biểu thức (6.1) ta giải ra
được θ . Tức ta đưa biểu thức
(6.1) về dạng:

ˆ
ˆ
P( θ 1 ≤ θ ≤ θ 2 ) = 1 − α

Khoảng ( θˆ 1 , θˆ 2 ) gọi là khoảng tin
cậy của θ .

Vỡ 1 , 2 laứ caực ẹLNN neõn khoaỷng
, laứ khoaỷng ngaóu nhieõn.

(

1

2

)


1-α gọi là độ tin cậy (hệ số tin
cậy) của ước lượng.
Trong thực tế người ta thường
yêu cầu 1-α ≥ 95% để có thể sử
dụng nguyên lý xác suất lớn cho
biến cố:
ˆ
ˆ
( θ1 < θ < θ 2 )


l = θˆ 2 − θˆ 1
tin cậy

gọi là độ dài khoảng

l có thể là hằng số và cũng có thể
là ĐLNN.
ε = l/2 gọi là độ chính xác của
ước lượng khoảng.


Do xác suất 1-α khá lớn nên
theo nguyên lý xác suất lớn ta có
thể coi biến cố:

ˆ
ˆ
( θ1 < θ < θ 2 )

Hầu như chắc chắn xảy ra trong
một phép thử


Thực hiện một phép thử đối với
mẫu ngẫu nhiên WX, ta sẽ thu
được mẫu cụ thể. Từ mẫu cụ thể
ˆ
ˆ
θ
θ
này ta sẽ tính được giá trò của 1 , 2
Ký hiệu các giá trò đó tương ứng
* ˆ*
ˆ
là θ 1 , θ 2

Như vậy có thể kết luận:
Với độ tin cậy 1-α , qua mẫu cụ
thể Wx, θ nằm trong khoảng (θˆ *1 , θˆ *2 )
Tức là:
*
*

ˆ
ˆ
(θ1 < θ < θ 2 )


Phương pháp này có ưu điểm là:
Chẳng những tìm được khoảng
* ˆ*
ˆ
(θ 1 , θ 2 ) để ước lượng θ mà còn cho
biết độ tin cậy của ước lượng.
Tuy nhiên phương pháp này cũng
chứa đựng khả năng mắc phải sai
lầm. Xác suất mắc phải sai lầm là
α.


2 - Ước lượng trung bình tổng thể
Giả sử trung bình của tổng thể là
µ chưa biết, ta cần ước lượng µ
với độ tin cậy 1− α .

Lập mẫu ngẫu nhiên
WX = (X1, X2, . . . . , Xn)
và xét các trường hợp sau: