Rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ, logarit cho HS THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

LĂNG THỊ THÀNH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ,
LOGARIT CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA
VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

LĂNG THỊ THÀNH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ,
LOGARIT CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA
VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM
Chuyên ngành: Lí luận và PPDH bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Trần Việt Cƣờng

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015
Tác giả luận văn

Lăng Thị Thành

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

i




MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................................i
MỤC LỤC ......................................................................................................................... ii
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN .......................................... iii
DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ ............................................................................. iv
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................1

1. Lí do chọn đề tài ...........................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................................2

3. Giả thuyết khoa học ......................................................................................................3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................................3
5. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................................3
6. Cấu trúc luận văn ..........................................................................................................3
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN............................................................4

1.1. Kỹ năng, kỹ năng giải toán .......................................................................................4
1.1.1. Kỹ năng ................................................................................................................... 4
1.1.2. Kỹ năng giải toán.................................................................................................... 5
1.2. Thực trạng của việc dạy và học phương trình mũ, logarit ở trường THPT .........7
1.2.1. Nội dung phương trình mũ, logarit trong chương trình THPT .......................... 7
1.2.2. Mục đích, yêu cầu khi dạy học chủ đề phương trình mũ, logarit ở trường
THPT.................................................................................................................................. 8
1.2.3. Thực trạng của việc dạy và học chủ đề phương trình mũ, logarit ở một số
trường THPT ................................................................................................................... 12
1.3. Một số dạng sai lầm và nguyên nhân sai lầm của HS khi giải phương trình
mũ, logarit ở trường THPT ........................................................................................... 15
1.3.1. Sai lầm do không nắm vững nội hàm các khái niệm toán học ........................ 15
1.3.2. Sai lầm do áp dụng định lý, công thức một cách máy móc hoặc áp dụng
không chính xác .............................................................................................................. 18
1.3.3. Sai lầm liên quan đến khả năng suy luận ........................................................... 20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

ii




1.3.4. Sai lầm khi chuyển đổi bài toán .......................................................................... 21
1.3.5. Sai lầm do cảm nhận trực quan ........................................................................... 22

1.4. Tiềm năng rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT thông qua dạy học
chủ đề phương trình mũ và logarit ............................................................................... 23
1.5. Kết luận chương 1 .................................................................................................. 27
Chƣơng 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM NHẰM GÓP PHẦN RÈN
LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT CHO HS
THPT THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM ................... 28

2.1. Định hướng đề xuất các biện pháp sư phạm ........................................................ 28
2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển kỹ năng giải phương trình
mũ và logarit cho HS THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm ....... 31
2.2.1. Trang bị đầy đủ, chính xác kiến thức “nền” cho HS......................................... 31
2.2.2. Tạo cơ hội để HS được thử thách thường xuyên với những bài toán
chứa sai lầm trong lời giải ............................................................................................. 36
2.2.3. Tổ chức cho HS phát hiện và nhận dạng quy tắc thuật giải, tựa thuật giải .. 43
2.2.4. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ và logarit dựa vào các tư
tưởng chủ đạo của tư duy hàm.......................................................................... 52
2.3. Kết luận chương 2 .................................................................................................. 59
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................................... 60

3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................................... 60
3.2. Nội dung thực nghiệm............................................................................................ 60
3.3. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................................. 60
3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ........................................................................................ 60
3.3.2. Phương pháp thực nghiệm................................................................................... 61
3.4. Đánh giá thực nghiệm sư phạm ............................................................................ 61
3.4.1. Phân tích định lượng ............................................................................................ 61
3.4.2. Phân tích định tính ................................................................................................ 68
3.5. Kết luận chương 3 .................................................................................................. 69
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iii




KẾT LUẬN..................................................................................................................... 70
CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN................................. 71
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................... 72

PHỤ LỤC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iv




DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt

STT

Viết đầy đủ

1

GV

Giáo viên

2

HS

Học sinh

3

Nxb

Nhà xuất bản

4

SGK

Sách giáo khoa

5

THPT

Trung học phổ thông

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iii

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ

Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học ................ 6161
Bảng 3.2. Bảng phân bố tần số về điểm ........................................................ 6565
Bảng 3.3. Bảng thống kê kết quả ................................................................... 6565
Biểu đồ 1.1. Mức độ sử dụng các tình huống chứa sai lầm trong dạy học ....... 12
Biểu đồ 1.2. Thái độ học tập của HS trước những bài toán chứa sai lầm ......... 13
Biểu đồ 1.3. Tỉ lệ HS mắc sai lầm thường gặp khi giải PT mũ và logarit ........ 14
Biểu đồ 1.4. Biểu đồ đánh giá kết quả............................................................... 15
Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố tần số về điểm .................................................... 65
Biểu đồ 3.2. Biểu đồ thống kê kết quả .............................................................. 66

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iv




MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, sự phát triển nhanh chóng của khoa học và
công nghệ đang đặt ra những yêu cầu mới đối với người lao động. Để thực hiện
sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong bối cảnh hội nhập quốc tế, người
lao động phải năng động, sáng tạo, có trình độ, có kiến thức chuyên môn và kỹ
năng thành thạo. Chuẩn mực của người giỏi ngày nay được “đo” bằng năng lực
chuyên môn, năng lực giải quyết các vấn đề. Đây là những phẩm chất không
phải có sẵn ở mỗi con người mà nó được hình thành và phát triển trong quá

trình giáo dục.
Học sinh (HS) Trung học phổ thông (THPT) là những người đang trưởng
thành, chuẩn bị tham gia trực tiếp vào lao động sản xuất, phát triển xã hội. Việc
trang bị cho các em những kỹ năng, những phẩm chất của người lao động ngay
từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường là hết sức cần thiết. Luật Giáo dục năm
2005 [14]: “Phương pháp dạy học phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi
dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,
hứng thú học tập cho HS”.
Trong dạy học môn Toán, dạy học giải bài tập được xem là một trong
những tình huống điển hình. Nội dung kiến thức môn Toán cần trang bị cho HS
không chỉ bao gồm các khái niệm, định lí mà còn bao gồm các kỹ năng, phương
pháp, mà giải bài tập toán chính là phương tiện không thể thiếu trong việc giúp
HS nắm vững tri thức, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Thực tế cho thấy kỹ năng giải
toán của HS còn nhiều hạn chế. Mà một trong những biểu hiện có thể kể đến đó
là HS còn mắc phải nhiều sai lầm khi giải. Có những sai lầm do HS chưa nắm
vững kiến thức cơ bản, xét thiếu trường hợp, hoặc cũng có những sai lầm rất tinh
vi... Trước những sai lầm đó, GV cần phải kịp thời phát hiện để sửa chữa, uốn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

1




nắn ngay trong giờ học. Mặt khác, GV cũng cần phải xem xét, dự đoán trước
những sai lầm mà HS có thể mắc phải. HS sẽ học được rất nhiều và nhớ rất lâu
kiến thức khi học qua các sai lầm, đồng thời cũng rèn luyện cho HS tính cẩn
thận, kiên trì, nhẫn nại trong cuộc sống. Như vậy, việc khắc phục và sửa chữa sai

lầm cho HS là cần thiết và có thể thực hiện được.
Hiện nay, nội dung phương trình mũ và logarit được đưa vào chương
trình lớp 12 THPT. Từ khi ra đời, hàm số mũ và logarit đóng vai trò là một
công cụ đơn giản hóa các phép tính nhân, chia và khai căn thành các phép tính
đơn giản hơn. Theo tiến trình phát triển của lịch sử, lý thuyết về mũ và logarit
ngày càng hoàn thiện và ứng dụng của nó ngày càng được làm rõ nét. Ví dụ
logarit được biết đến trong ứng dụng giải phương trình, bất phương trình mũ,
đếm số các chữ số của một số nguyên dương, đo độ PH của dung dịch, độ lớn
của âm thanh... hoặc hàm số mũ dùng để mô tả một số hiện tượng trong vật lý
như biểu diễn định luật phân rã phóng xạ… Nội dung phương trình mũ và
logarit trong chương trình toán phổ thông hiện hành với hệ thống bài tập khá
phong phú và mức độ khó dễ khác nhau, đây là một lĩnh vực có thể khai thác để
phân tích làm rõ những sai lầm mà HS có thể mắc phải nhằm rèn luyện kỹ năng
giải toán, phát triển tư duy cho HS trong quá trình dạy học. Mặc dù đã có nhiều
công trình nghiên cứu liên quan, nhưng đây vẫn là vấn đề cần được tiếp tục
nghiên cứu cả về phương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn dạy học.
Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn
luyện kỹ năng giải phương trình mũ, logarit cho HS THPT thông qua việc
phát hiện và sửa chữa sai lầm”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu xác định vai trò của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS
và phân tích một số sai lầm thường mắc phải của HS khi giải phương trình mũ
và logarit. Từ đó, đề xuất một số biện pháp sư phạm để hạn chế và khắc phục
những sai lầm này nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

2

3. Giả thuyết khoa học
Nếu làm sáng tỏ được những sai lầm và đề xuất được một số biện pháp
sư phạm thích hợp để hạn chế, khắc phục sai lầm cho HS thì có thể giúp HS
nâng cao kỹ năng giải toán, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn
toán ở trường phổ thông.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải phương
trình mũ và logarit.
- Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS
thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm khi giải phương trình mũ và logarit.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của giả thuyết
khoa học.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu một số tài liệu
về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Nghiên cứu thực trạng dạy học nội
dung phương trình mũ và logarit tại một số trường THPT thông qua hình thức
dự giờ, sử dụng phiếu điều tra, phỏng vấn trực tiếp GV.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số
trường THPT để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các nội dung nghiên cứu
đã đề xuất. Xử lý các số liệu thực nghiệm bằng phương pháp thống kê toán học.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội
dung của luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần rèn luyện kỹ năng
giải phương trình mũ và logarit cho HS THPT thông qua việc phát hiện và sửa
chữa sai lầm
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

3




Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng, kỹ năng giải toán
1.1.1. Kỹ năng
Theo từ điển Tiếng Việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [19].
Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ
liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện
những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ
lý luận hay thực hành xác định” [18].
Theo nhà tâm lí học Liên Xô K.K.Platơnôp: “Cơ sở tâm lí của kỹ năng là
sự thông hiểu mối liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện và phương
thức hành động”.
“Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở
bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ
thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp” [25].
Bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn khác nhau, có nhiều định nghĩa khác
nhau về kỹ năng. Dù phát biểu theo góc độ nào, hầu hết chúng ta đều thừa nhận
rằng kỹ năng được hình thành khi chủ thể áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Để sở
hữu kỹ năng, chúng ta phải trải qua quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm
hành động nhất định nào đó. Nói đến kỹ năng là nói đến năng lực của chủ thể
thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết để đạt
được mục đích đã định. Kỹ năng luôn có chủ đích và định hướng rõ ràng.

Để hiểu rõ hơn về kỹ năng, cần phân biệt kỹ năng với một số dấu hiệu
gần giống kỹ năng:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

4




- Kỹ năng khác phản xạ: Phản xạ là phản ứng của cơ thể với môi trường.
Phản xạ mang tính thụ động. Ngược lại, kỹ năng là phản ứng có ý thức và
mang tính chủ động.
- Kỹ năng khác với thói quen: Hầu hết thói quen được hình thành một
cách vô thức và khó kiểm soát, trong khi kỹ năng được hình thành một cách có
ý thức qua quá trình luyện tập.
- Kỹ năng khác với kiến thức: Kiến thức là sự hiểu biết nhưng chưa từng
làm. Còn kỹ năng là hành động trên nền tảng kiến thức.
1.1.2. Kỹ năng giải toán
a) Khái niệm
“Trong toán học kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng
minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được” [24].
Theo tác giả Hoàng Chúng: “Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri
thức toán học để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh…)” [3].
Như vậy, cơ sở của kỹ năng giải toán là các tri thức toán học, khi giải
một bài toán tức là thực hiện một hệ thống hành động có mục đích. Do đó, chủ
thể hành động cần phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện theo các yêu
cầu cụ thể của tri thức đó. Kỹ năng giải toán của HS có thể hiểu là khả năng
vận dụng có mục đích những tri thức, kinh nghiệm đã có vào giải những bài
toán cụ thể, thực hiện một hệ thống hành động để tìm ra lời giải bài toán một

cách khoa học. Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung và thay đổi trong quá
trình hoạt động.
b) Một số biểu hiện của kỹ năng giải toán của HS
Để tìm hiểu về một số biểu hiện của kỹ năng giải toán của HS, cần lưu ý
một số đặc điểm của kỹ năng như sau:
- Kỹ năng là mặt kỹ thuật của một hay một nhóm hành động nhất định.
Khi nói đến kỹ năng là nói đến hành động đúng đắn, thành thạo nhất định,
không có kỹ năng chung chung, tách rời hành động.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

5




- Thành phần của kỹ năng bao gồm: tri thức, kinh nghiệm, quá trình thực
hiện hành động, sự kiểm soát và hiệu chỉnh trực tiếp của ý thức, kết quả của
hành động.
- Tiêu chuẩn xác định sự hình thành và mức độ phát triển của kỹ năng là
tính chính xác, tính thành thạo, tính linh hoạt và kết hợp nhịp nhàng, ăn khớp với
các hành động. Hành động còn vụng về sẽ chưa thể trở thành kỹ năng.
Kỹ năng giải toán của HS biểu hiện qua hoạt động giải bài tập toán và
được biểu hiện:
- Có tri thức về hành động đó.
- Kỹ năng phân tích, tổng hợp: HS cần có kỹ năng phân tích bài toán,
thiết lập mối liên hệ và phụ thuộc giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm, liên
hệ với những tri thức đã có để tìm ra phương pháp giải đúng đắn, hiệu quả và
nhanh nhất.
- Kỹ năng thực hành: Sau khi đã phát hiện cách giải, HS cần phải tính
toán cẩn thận, chính xác. Sau đó sắp xếp các bước giải và trình bày một cách

khoa học, phải thể hiện từng bước rõ ràng, mạch lạc.
- Kỹ năng vận dụng các quy tắc suy luận logic, các định lý, tính chất, hệ
quả, mệnh đề… Yêu cầu HS vận dụng linh hoạt, chính xác, tránh máy móc.
- Kỹ năng vẽ hình, vẽ đồ thị hàm số.
- Nhóm kỹ năng tư duy: tư duy logic, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo.
- Kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn: Kỹ năng này giúp HS
nắm được bản chất kiến thức đã học, biết vận dụng kiến thức Toán vào giải
quyết các vấn đề trong cuộc sống, gây hứng thú học tập cho HS. Tránh tình
trạng hiểu vấn đề một cách hình thức, xa rời với thực tiễn.
- Kỹ năng tìm ra vấn đề và giải quyết vấn đề: Trong cuộc trò chuyện với
GS Ngô Bảo Châu, GS Đàm Thanh Sơn chia sẻ: “Có lẽ trong ngành khoa học
nào cũng vậy, muốn thành công ít nhất phải có hai kỹ năng: tìm ra vấn đề hay
và giải quyết được vấn đề.”
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

6




- Kỹ năng tự học, tự kiểm tra, tự đánh giá lời giải và tránh sai lầm khi
giải toán. Theo Polya “Con người phải biết học ở những sai lầm và những
thiếu sót của mình”. Trong giải bài tập toán, việc phát hiện sai lầm và sửa chữa
sai lầm đó là một thành công của người học toán. Do vậy, GV cần giúp HS có
khả năng và thói quen tự kiểm tra, tự đánh giá lời giải sau mỗi bài tập. Việc
hình thành kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá và tự điều chỉnh cho HS sẽ góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học.
c) Nhu cầu phát triển kỹ năng giải toán cho HS ở trƣờng THPT
Trong dạy học môn Toán, dạy học giải bài tập được xem là một trong
những tình huống điển hình. Chất lượng giải toán sẽ phản ánh rõ nhất trình độ

học toán của HS. Vì vậy, hoạt động rèn luyện kỹ năng giải toán là hoạt động
không thể thiếu của HS.
Thực tế có không ít HS gặp khó khăn khi lĩnh hội một số khái niệm, định
lí. HS có thể học thuộc nhưng không giải thích được đầy đủ, chính xác ý nghĩa
và bản chất của nó. Việc nắm kiến thức và kỹ năng thiếu vững chắc là nguyên
nhân dẫn đến vận dụng một cách máy móc, không biết hướng vận dụng hoặc
mắc phải sai lầm trong quá trình vận dụng. Hơn nữa, các bài toán đưa ra
thường được trừu tượng hóa hoặc bị che lấp bởi một số yếu tố nhằm đánh lạc
hướng tư duy của HS. Do vậy, HS cần có cách nhìn linh hoạt, sáng tạo trước
một bài toán cụ thể.
Sở hữu kỹ năng thành thạo sẽ giúp HS làm việc độc lập, sáng tạo không
chỉ trong nội bộ môn toán, mà còn có ứng dụng trong các ngành khoa học khác
và trong thực tiễn đời sống.
1.2. Thực trạng của việc dạy và học phƣơng trình mũ, logarit ở trƣờng THPT
1.2.1. Nội dung phương trình mũ, logarit trong chương trình THPT
Trong chương trình THPT, theo phân phối chương trình chuẩn lớp 12,
nội dung phương trình mũ và logarit được thực hiện cụ thể như sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

7




Phân phối
chương trình
Tiết 31, 32

Tiết 33, 34

Tên bài dạy

Nội dung

I. Phương trình mũ, - Nêu dạng phương trình cơ bản.
phương trình logarit

- Giúp HS nhận dạng và giải được

Bài tập

phương trình mũ và logarit cơ bản.

II. Phương trình mũ, - Hướng dẫn HS giải phương trình mũ
phương trình logarit

và logarit bằng một số phương pháp

Bài tập

được đề cập. Bước đầu giúp HS nhận
dạng, giải thành thạo những phương
trình mẫu mực.
- Tạo cơ hội cho HS vận dụng các tính
chất của hàm số mũ và logarit để giải
những bài toán không mẫu mực.

Tiết 11, 12 Bài tập phương trình - Hệ thống lý thuyết, phân dạng bài tập.
(tự chọn)

mũ, logarit

- Luyện tập giải các phương trình mẫu
mực lẫn phương trình không mẫu mực.
- Có thể mở rộng, đưa vào thêm một số
phương pháp giải mà trong sách chưa đề
cập tới, chẳng hạn dùng bất đẳng thức.

1.2.2. Mục đích, yêu cầu khi dạy học chủ đề phương trình mũ, logarit ở
trường THPT
a) Về kiến thức
- HS nắm vững khái niệm phương trình mũ và logarit cơ bản, nắm vững
những đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm. Chẳng hạn phương trình mũ cơ
bản a x

m nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

- Nắm được những khái niệm có liên quan: nghiệm phương trình, tập
nghiệm, phép biến đổi tương đương, hệ quả… Thông qua đó, củng cố và đào
sâu một số kiến thức về tập hợp và logic toán, cụ thể: khái niệm tập hợp, phần
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

8




tử, quan hệ bao hàm, các phép toán tập hợp, các phép toán logic “kéo theo” và
“tương đương”.

Ví dụ 1.1: Phép chuyển đổi từ phương trình logh(x) f (x) log h(x) g(x) (1)
sang phương trình f (x) g(x) (2) gọi là phép mũ hóa và phép chuyển từ (2)
sang (1) gọi là phép logarit hóa. Căn cứ vào định nghĩa và tính chất của hàm số
mũ và hàm số logarit, qua những ví dụ cụ thể cần cho HS thấy rõ: phép mũ hóa
làm mở rộng tập nghiệm và phép logarit hóa làm thu hẹp tập nghiệm, hay nói
cách khác (2) là hệ quả của (1).
b) Về kỹ năng
Tùy thuộc vào từng “mảng” kiến thức, từng nội dung môn học, có nhiều
kiểu phân chia kỹ năng phù hợp. Đối với chủ đề phương trình, ta cần rèn luyện
cho HS những kỹ năng thuộc về nhóm kỹ năng nhận thức và vận dụng. Có thể
kể ra một số kỹ năng sau:
- Kỹ năng tính toán: Trước hết, cần phải khẳng định học toán gắn liền
với tính toán. Yêu cầu tính chính xác, nhanh, ngắn gọn là những yêu cầu cơ
bản, đầu tiên để học tốt môn Toán. Đồng thời, kỹ năng này có ý nghĩa vô cùng
quan trọng trong thực tế của đời sống, sản xuất kinh doanh, trong kỹ thuật. Khi
giải toán phương trình tính toán có tính số và tính biểu thức, đặc biệt với các
bài toán chứa tham số với mức độ yêu cầu cao, khó và trừu tượng thì chỉ cần
tính toán sai một bước sẽ dẫn đến tất cả đều sai. Do đó cần rèn luyện cho HS
khả năng tính toán ở nhiều mức độ khác nhau.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, cần rèn luyện khả năng tính toán theo
những hướng sau:
+ Đặc biệt chú ý những kỹ năng nào của kỹ năng tính toán cần thiết cả trong
trường hợp không dùng máy tính lẫn bằng máy tính: tính nhẩm, tính ước chừng…
+ Về mặt tính viết: Không cần thiết phải bỏ công sức cho HS tập luyện
tính toán trên những số liệu quá cồng kềnh, phức tạp.
+ Từ bỏ việc tính toán với những phương tiện đã lỗi thời.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

9

Chúng tôi cho rằng rèn luyện khả năng tính toán khi giải phương trình
thể hiện ở các mặt sau:
+ Rèn kỹ năng tính nhẩm và tính nhanh: Việc tính nhẩm và tính nhanh
rất phù hợp với những bài có số liệu đơn giản (có thể trực tiếp nhẩm ra đáp số
mà không cần viết ra giấy) hoặc những bài toán chứa căn thức biến đổi đưa về
hằng đẳng thức (tính nhanh)…
+ Nhớ những số hay dùng, có thể nhớ máy móc hay nhớ theo quy luật
chẳng hạn: Bình phương các số từ 1 đến 20; các số lập phương từ 1 đến 10; các
giá trị log2, log3, log5, log2 4 , log2 8 … để thuận lợi khi giải phương trình mũ
và logarit.
Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho HS, cần chú ý rèn luyện
cho HS các đức tính như cẩn thận, kiên trì, nhanh trí, tiến tới thói quen tính
toán chính xác. Đồng thời có thể đề ra nhiều cách giải khác nhau để HS có cơ
hội tính toán linh hoạt đa dạng, tìm ra những cách giải ngắn và độc đáo.
- Kỹ năng vận dụng các phương trình mẫu mực, nhận dạng và giải thành
thạo các phương trình cơ bản hoặc quy về dạng cơ bản, giải phương trình theo
thuật giải hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi xác định. Kỹ năng phân tích,
tổng hợp để tìm ra mối liên hệ giữa yếu tố đã biết và yếu tố cần tìm, linh hoạt
vận dụng tri thức đã có để tìm ra phương pháp giải đúng và nhanh nhất.
Ví dụ 1.2: Để chứng minh phương trình 3x

4 x có nghiệm duy nhất,

ta làm như sau:
Đặt f (x) 3x và g(x) 4 x . Ta thấy f(x) là hàm số luôn đồng biến trên

 và g(x) là hàm số luôn nghịch biến trên  nên phương trình f (x) g(x) có

nhiều nhất một nghiệm trên  . Nhận thấy x 1 là một nghiệm của phương
trình đã cho nên phương trình có nghiệm duy nhất là x 1.
- Kỹ năng biến đổi các biểu thức mũ và logarit, kết hợp rèn luyện và nắm
vững một số phương pháp giải phương trình mũ, logarit thường gặp. Kỹ năng
giải phương trình nói chung.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

10




- Kỹ năng sử dụng đồ thị: Nhiều HS thắc mắc giải toán phương trình tại
sao cần dùng đến đồ thị, họ cho rằng kỹ năng này chỉ cần khi học nội dung
“hàm số”. Thực ra, nhiều bài toán giải phương trình, nhất là những bài toán
biện luận số nghiệm khi giải bằng phương pháp này thì sẽ nhận được kết quả
nhanh chóng và trực quan. HS cần biết cách giải phương trình bằng phương
pháp đồ thị để thấy mối liên hệ giữa phương trình và hàm số.
Ví dụ 1.3: Giải phương trình:

1 log 2 ( x 2)
3x

x 2 0
Điều kiện: x 0
1
x
2

2

0
1
2

x
x
x

1
2x 1

Phương trình đã cho tương đương với: log 2 x 2

x 1
2x 1

Ta có nhận xét: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của 2
đồ thị hàm số: y log2 (x 2) và y

x 1
2x 1

Vẽ đồ thị 2 hàm số này trên cùng mặt phẳng tọa độ (Hình 1.1).

Hình 1.1

Dựa vào hình vẽ, ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

11

- Kỹ năng suy luận, chứng minh: Kỹ năng này không chỉ cần khi giải toán
phương trình mà có thể nói đây là kỹ năng chung cần để giải bài tập toán. Để đưa
ra những suy luận, HS phải dựa vào những đặc điểm, nhận thức, dự đoán, phân
tích riêng của bản thân khi gặp những dạng toán chưa có sẵn cách giải.
c) Về tƣ duy
- HS được phát triển về tư duy thuật giải trong việc giải phương trình
theo thuật giải hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi xác định.
- HS được rèn luyện về tính linh hoạt, khả năng sáng tạo, đặc biệt là khi
giải những phương trình không mẫu mực.
- HS được rèn luyện tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỉ luật trong khi giải những
phương trình theo thuật giải, công thức hoặc theo hệ thống quy tắc biến đổi xác định;
được giáo dục về tính cẩn thận, chính xác và thói quen tự kiểm tra lời giải.
1.2.3. Thực trạng của việc dạy và học chủ đề phương trình mũ, logarit ở một
số trường THPT
a) Đối với GV
Việc tìm hiểu, phân tích thực tế dạy và học nội dung phương trình mũ và
logarit là việc làm rất cần thiết. Điều đó giúp chúng tôi có thêm cơ sở để xác
định đúng đắn các yêu cầu cũng như biện pháp sư phạm đặt ra trong luận văn. Để
tìm hiểu về thực trạng dạy học chủ đề phương trình mũ và logarit ở trường THPT,
chúng tôi đã tiến hành phỏng vấn, phát phiếu thăm dò ý kiến của GV dạy toán (30
GV) thuộc các trường: THPT Cao Lộc (Huyện Cao lộc, tỉnh Lạng Sơn), THPT
Việt Bắc (thành phố Lạng Sơn), THPT Mê Linh (Đông Hưng, Thái Bình).
Nội dung tổng hợp từ phiếu điều tra được thể hiện trong biểu đồ sau:

Biểu đồ 1.1. Mức độ sử dụng các tình huống chứa sai lầm trong dạy học
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

12




Biểu đồ 1.2. Thái độ học tập của HS trước những bài toán chứa sai lầm
Chúng tôi cũng đã tiến hành phỏng vấn một số GV. Chúng tôi xin trích
dẫn một đoạn phỏng vấn cô giáo Nguyễn Thị Hương, GV Toán trường THPT Cao
Lộc, huyện Cao Lộc, tỉnh Lạng Sơn như sau:
- Hỏi: Cô vui lòng cho biết, khi học nội dung phương trình mũ và logarit,
HS có hay mắc phải sai lầm không và đó là những sai lầm gì?
- Cô Hương: Qua thực tế dạy học, tôi thấy khi học nội dung này HS
thường mắc sai lầm (ngay cả với những HS khá giỏi). Một số sai lầm thường
mắc phải như: không chú ý đến điều kiện khi biến đổi, áp dụng công thức một
cách máy móc, áp dụng sai, sáng tác ra các công thức mới…
- Hỏi: Theo cô, nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó là gì?
- Cô Hương: Theo tôi, đó là do HS không hiểu bản chất, không nắm chắc
phần kiến thức đó. Khi cần áp dụng, không thể nhớ chính xác mà lại không có
phương pháp để kiểm tra lại. Có lẽ thế mà trong bài kiểm tra tôi thường gặp
một số công thức mới do các em tự “sáng tác” ra.
- Hỏi: Theo cô, việc tạo ra các tình huống dễ dẫn đến sai lầm để thử thách
HS có tác dụng giúp HS phòng tránh và hạn chế được sai lầm hay không, và cô có
thường xuyên sử dụng biện pháp này trong quá trình giảng dạy hay không?
- Cô Hương: Tôi có sử dụng biện pháp này trong bài giảng và đúng là có
tác dụng tích cực. Nhưng chủ yếu chỉ thực hiện được với những đối tượng HS
khá giỏi vì mất khá nhiều thời gian, còn những HS trung bình và kém hơn tôi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

13




chú trọng cho các em cách áp dụng các tính chất và cách giải phương trình. Nói
chung, biện pháp này chỉ thỉnh thoảng được sử dụng.
Tổng hợp kết quả từ phiếu điều tra của GV, chúng tôi rút ra một số nhận
xét như sau:
- Trong dạy học, GV có chú ý tạo ra các tình huống dễ dẫn đến sai lầm để
thử thách HS và phần lớn HS có phản ứng tích cực, tiếp thu tốt bài giảng. Tuy
nhiên, vì số lượng tiết dạy ít, nên hầu như GV e ngại việc sử dụng một số phương
pháp dạy học tích cực, mở rộng các dạng bài tập mới, nâng cao vì mất nhiều thời
gian, mà chỉ dừng lại ở những bài tập thuần túy, có thể nhìn thấy ngay cách giải.
Điều đó chưa thật sự gây được ấn tượng, hứng thú học tập cho HS.
- Cũng có GV tham vọng chữa được một số lượng bài tập lớn nên đã trở
thành người hướng dẫn, đưa ra lời giải, HS nghe và “chép” lời giải. HS không trực
tiếp hoạt động, tiếp xúc với những khó khăn ngay trên lớp để được giải đáp. Việc
đó vô tình khiến cho HS chỉ tiếp thu thụ động, không có dấu ấn về bài học.
- Bên cạnh đó, lại có GV tham vọng đưa vào bài học hệ thống bài tập đa
dạng. Điều này dẫn đến thực trạng là một bộ phận HS chưa kịp luyện tập thành
thạo, nắm vững những kỹ năng cơ bản đã phải đối mặt với một vấn đề mới
không vừa sức. Điều này vi phạm nguyên tắc dạy học “Đảm bảo sự thống nhất
giữa tính vừa sức chung và tính vừa sức riêng trong dạy học”.
b) Về phía HS
Để tìm hiểu về tình hình học tập của HS, chúng tôi đã tiến hành điều tra 83
HS lớp 12, trường THPT Cao Lộc, huyện Cao Lộc, tỉnh Lạng Sơn. Kết quả thu
được từ phiếu điều tra được thể hiện thông qua biểu đồ 1.3 và biểu đồ 1.4 sau:

Biểu đồ 1.3. Tỉ lệ HS mắc sai lầm thường gặp khi giải phương trình mũ và logarit

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

14




Từ thực tiễn tìm hiểu tại một số trường THPT cho thấy chất lượng dạy và học
nội dung phương trình mũ và logarit chưa cao. Vẫn còn bộ phận HS chưa thực sự chủ
động lĩnh hội kiến thức, vẫn còn trông chờ, phụ thuộc quá nhiều về phía GV, chủ yếu
học qua bài giảng của GV và tham khảo nội dung bài trong sách giáo khoa (SGK).
Đây là nội dung HS rất dễ mắc sai lầm, mà GV thì e ngại hoặc khó khăn
trong việc tìm ra những biện pháp để khắc phục. Thực tế đó cho thấy cần thiết
phải nghiên cứu, tìm ra những biện pháp thích hợp nhất để khắc phục dần
những khó khăn, nâng cao chất lượng dạy và học nội dung này.
Khi hỏi HS về tác dụng của việc cảnh báo, sửa chữa những sai lầm
thường xuyên mắc phải, chúng tôi thu được kết quả như sau:

Biểu đồ 1.4. Biểu đồ đánh giá kết quả
1.3. Một số dạng sai lầm và nguyên nhân sai lầm của HS khi giải phƣơng
trình mũ, logarit ở trƣờng THPT
1.3.1. Sai lầm do không nắm vững nội hàm các khái niệm toán học
Khái niệm lũy thừa với số mũ thực được thực hiện thông qua các giai
đoạn: lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số
mũ vô tỉ. Lũy thừa với số mũ nguyên âm được định nghĩa dựa trên lũy thừa với
số mũ nguyên dương. Định nghĩa này hoàn toàn tự nhiên, phù hợp với các công
thức đã biết, đặc biệt là công thức

am
an

am

n

m, n  ; m n . Lũy thừa với

số mũ hữu tỉ được định nghĩa thông qua khái niệm căn bậc n của một số dương.
“Cho a là một số thực dương và r là một số hữu tỉ. Giả sử r

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

15

m
, trong đó m
n




là một số nguyên còn n là một số nguyên dương. Khi đó, lũy thừa của a với số
mũ r là số a xác định bởi a
r

r

a

m

n

n

a m ”. Theo định nghĩa này thì lũy thừa

với số mũ hữu tỉ luôn biểu diễn được qua căn bậc n. Tuy nhiên không phải lúc
nào căn bậc n của một số cũng có thể chuyển về lũy thừa với số mũ hữu tỉ, nó
chỉ chuyển được khi biểu thức dưới dấu căn là một số dương. Do đó, nếu không
chú ý đến điều kiện của cơ số thì HS sẽ dễ mắc sai lầm trong quá trình chuyển
đổi một biểu thức từ căn bậc n sang lũy thừa của một số với số mũ hữu tỉ.
1

Ví dụ 1.4: Không được viết

5

9

( 9) 5 .

Khái niệm lũy thừa với số mũ thực được xây dựng dựa trên lũy thừa với
số mũ vô tỉ và giới hạn của một dãy lũy thừa. HS phải thừa nhận hai điều, đó
là: tồn tại giới hạn của dãy (a rn ) và giới hạn không phụ thuộc vào dãy (rn ) . Sau
đó, SGK chỉ đưa ra ví dụ để minh họa chứ không có bài tập nào đề cập đến bản
chất của định nghĩa. Điều này làm cho HS gặp khó khăn khi tiếp nhận định
nghĩa, HS chỉ biết làm việc tính toán trên lũy thừa với số mũ vô tỉ nhưng không
hiểu được bản chất của nó.
Các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, lũy thừa với số mũ thực
không được liệt kê mà được nêu là “có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số

mũ nguyên”. Điều đó cũng gây khó khăn nhất định đối với HS, nhất là đối với
HS yếu kém vì các tính chất về cơ bản là giống nhau, nhưng phạm vi cơ số đã
bị thu hẹp. Do đó, HS thường gặp sai lầm trong quá trình vận dụng.
Ví dụ 1.5: Giải phương trình: (x 5) x

2

3x 2

(25 10 x x 2 ) x

2

x 1

HS giải như sau: Phương trình đã cho tương đương với:
(x 5) x

2

3x 2

[(x 5) 2 ]x

x 2 3x 2 2(x 2

2

x 1

(x 5) x
x2

x 1)

Kết luận phương trình có 2 nghiệm là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

16

2

3x 2

(x 5) 2(x

5x 4 0

x
x

2

x 1)

1
4

4; 1 .

Phân tích lời giải: Sai lầm trong lời giải trên là khi đưa phương trình về dạng
cơ bản a f (x)

a g(x) , HS đã kết luận f (x) g(x) mà quên mất điều kiện của cơ số.

Lời giải đúng: Phương trình đã cho tương đương với:
(x 5) x

2

3x 2

[(x 5) 2 ]x

2

x 1

(x 5) x

x 5 1

3x 2

(x 5) 2(x

5 x 6
x 2 5x 4 0

x 1)

2

x 1)

x 6

x 6

0 x 5 1
x 2 3x 2 2(x 2
x

2

5 x

6

x

1

x

4

6 . Vậy phương trình có một nghiệm x 6

Định nghĩa logarit được trình bày như sau: “Cho a là một số dương khác
1 và b là một số dương. Số thực
và kí hiệu là log ab , tức là

để a

= logab

b được gọi là logarit cơ số a của b

a

b ”. Logarit được định nghĩa thông

qua khái niệm lũy thừa với số mũ thực. Từ định nghĩa, ta rút ra 2 chú ý rất quan
trọng mà HS sẽ phải luôn chú ý khi giải phương trình, đó là:
i) Không có logarit của số 0 và số âm.
ii) Cơ số của logarit phải dương và khác 1.
Nhưng trên thực tế, HS rất hay quên điều kiện này.
Ví dụ 1.6: Giải phương trình sau:
log4 (x 1)2 2 log

2

4 x

log8(4 x)3 (1)

HS giải như sau:

x 1 0
Điều kiện: 4 x 0
4 x 0
Ta có: (1)

x 1
4 x 4

log2 (x 1) log2 4 log2(4 x) log2(4 x)

log2 4(x 1) log2 (16 x2 )
4(x 1) 16 x 2

x2

4x 12 0

x 2
x

6

So sánh với điều kiện, phương trình có một nghiệm là x 2 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

17