Bài tập tính đơn điệu của hàm số Ôn thi THPT Trắc nghiệm Toán

Tính đơn điệu của hàm số

HÀM BẬC BA
Dạng 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  f (x )  ax 3  bx 2  cx  d .

Câu 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  x3  3x 2  9 x  5 .

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  9
 x  1
x  3

Cho y '  0  3x 2  6 x  9  
Bảng biến thiên:
x
y'
y



1





0

3
0




Vậy: Hàm số đồng biến trên  ; 1 và  3;   .
Hàm số nghịch biến trên  1;3 .

Câu 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  x3  3x 2  3x  7 .

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  3
Cho y '  0  3 x 2  6 x  3  0  x  1
Bảng biến thiên:
x
y'
y





1

0





Vậy hàm số luôn đồng biến trên D .
Nguyễn Văn Lực

1


Tính đơn điệu của hàm số

Câu 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  2 x3  3x 2  1 .
Tập xác định: D  R.
x  0
 x  1

Đạo hàm: y '  6 x 2  6 x, y '  0  6 x 2  6 x  0  
Bảng biến thiên:
x
y'
y



1


0
2

0
0










1

Vậy, ta có kết luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1 và  0;   .
Hàm số nghịch biến trên các khoảng  1; 0  .
Câu 4. Hàm số y  x 3  3x 2 nghịch biến trên khoảng nào?
A.  ; 2 
B.  0;  
C.  2;0 

D.  0;4 

Tập xác định: D  R.
 x  2
x  0

Đạo hàm: y '  3x 2  6 x, y '  0  3x 2  6 x  0  
Bảng biến thiên:
x
y'
y



2


0
4





0
0






0

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn  2;0.

Câu 5. Hàm số y 
A. R

x2
 x 2  x đồng biến trên khoảng nào?
3
B.  ;1

C. 1;  

D.  ;1 và 1;  

Tập xác định: D  R.
2
Đạo hàm: y '  x 2  2 x  1   x  1  0 x  1.

Nguyễn Văn Lực

2


Tính đơn điệu của hàm số

Bảng biến thiên:


x
y'
y



1





0



1
3



Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R .
Câu 6. Cho hàm số y  x 3  3x 2  9 x  12, trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2 
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;2 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  5;  
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;5
 x  1
x  3

Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  9  y '  0  

1
3

Câu 7. Khoảng nghịch biến của hàm số y  x 3  x 2  3x 
A.  ; 1

B.  1;3

C.  3;  

5
là
3

D.  ; 1 và  3;  

Tập xác định: D  R.
y '  x2  2x  3
 x  1
y'  0  
x  3

Đạo hàm:

Bảng biến thiên:
x
y'
y



1




3



0

0






4
3

2
3

Câu 8. Cho hàm số y   x 3  6 x 2  9 x  . Khoảng đồng biến của hàm số là:
A.  ;3

B.  2;  

C. R

D. Không có.

Tập xác định: D  R.
Nguyễn Văn Lực

3

Tính đơn điệu của hàm số

Đạo hàm: y '  4 x 2  12 x  9    2 x  3  0 x  R  hàm số luôn nghịch biến trên R .
2

1
3

Câu 9. Cho hàm số y  x 2  x 2  2 x  10. Khoảng đồng biến của hàm số là:
A.  ; 1

B.  1;  

C. R

D. Không có.

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  x 2  2 x  2  0 x  R  hàm số luôn đồng biến.
x2  x 1
là:
x 1
Đồng biến trên các khoảng  ;0  và  2;   . Nghịch biến trên các khoảng  0;1 và

Câu 10. Các khoảng đơn điệu của hàm số y 
A.

1;2  .
B. Đồng biến trên khoảng  ;1 . Nghịch biến trên khoảng  0;2  .
C. Đồng biến trên khoảng  2;   . Nghịch biến trên khoảng  0;2  .

D. Đồng biến trên khoảng  2;   . Nghịch biến trên khoảng  0;1 .



Tập xác định: D  R \ 1 .
Đạo hàm: y '  1 

x  0
2
, y '  0   x  1  1  
x  2
 x  1
1

2

Bảng biến thiên:
x
y'
y



+

0
0
1

1





2
0









+


5

Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;0  và  2;   .
Nghịch biến trên các khoảng  0;1 và 1;2  .

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

[20-11-2016]

Nguyễn Văn Lực

4


Tính đơn điệu của hàm số

Dạng 2. Tìm điều kiện để hàm số y  f (x )  ax 3  bx 2  cx  d đơn điệu trên R.

Câu 11. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x3  3 x 2  mx  m luôn đồng biến trên R.

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  m
 '  0
m3
a  1  0

Hàm số đồng biến  y '  0  

Vậy với m  3 thì hàm số luôn đồng biến trên D .
Câu 12. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  mx3   2m  1 x 2   m  2  x  2 luôn đồng
biến trên R.

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  3mx 2  2  2m  1 x  m  2
Hàm số luôn đồng biến
2
 m  12  0
 '  0

4m  4m  1  3m  m  2   0
 y'  0  


m0
a  3m  0
m  0
m  0

Vậy với m  0 thì hàm số luôn đồng biến trên D .
 m 1

3
2
Câu 13. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  
 x  mx   3m  2  x luôn đồng
3


biến.

Đạo hàm: y '   m  1 x 2  2mx  3m  2
Để hàm số luôn đồng biến thì ta phải có y '  0 x
1
2

+ Nếu m  1  0  m  1 thì y '  2 x  1 đổi dấu khi x vượt qua  , suy ra hàm số không thể
luôn đồng biến.
m  1  0

+ Nếu m  1  0  m  1 thì y '  0 x  

2
  8m  20m  8  0

m2

Vậy m  2.

Nguyễn Văn Lực

5


Tính đơn điệu của hàm số

Câu 14. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  4 x3   m  3 x 2  mx đồng biến trên R.

Tập xác định: D  R.
y '  12 x 2  2  m  3 x  m
Đạo hàm:
y '  0  f  x   12 x 2  2  m  3 x  m  0

Hàm số đồng biến trên R khi:
y '  0, x  R  f  x   0, x  R   '  0
  m  3  12m  0   m  3  0  m  3  0  m  3
2

2

Vậy m  3 thỏa mãn.

Câu 15. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y   x3  (3  m) x 2  2mx  12 luôn nghịch
biến trên R.

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  3x 2  2(3  m) x  2m
Để hàm số luôn nghịch biến thì y '  0 x  R
3  0
a  0


2
 '  0
9  m  6m  (3)(2m)  0
 m2  12m  9  0
 6  3 3  m  6  3 3.

Câu 16. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  mx3  3x 2  3x  1 luôn nghịch biến trên R.

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  3mx 2  6 x  3
Để hàm số luôn nghịch biến x thì y '  0 x  R
 3mx 2  6 x  3  0 x 1

+ TH 1 : m  0
(1)

 6 x  3  0
 6 x  3

 x

1
( không thỏa x )
2

Nguyễn Văn Lực

6


Tính đơn điệu của hàm số

+ TH 2 : m  0
a  0
3m  0
m  0
m  0
(1)  



 m  1 .
  0 9  9m  0
9m  9
m  1

Vậy m  1 thì hàm số thỏa đề bài.
Câu 17. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y   x3  3mx 2  3 1  2m  x  1 nghịch biến

trên tập xác định.

Đạo hàm: y '  3x 2  6mx  3 1  2m 
Để hàm số nghịch biến trên tập xác định, tức nghịch biến với mọi x ta phải có y '  0 với x
 3x 2  6mx  3 1  2m   0 x  x 2  2mx  2m  1  0 x
   4  m  1  0   m  1  0  m  1
2

2

Vậy m  1 .
1
3

Câu 18. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  (m 2  m) x 3  2mx 2  3x  1 để hàm số
luôn đồng biến trên R.

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  (m 2  m) x 2  4mx  3
Hàm số luôn đồng biến trên R  y '  0 x  R
m  0
m  1

• Trường hợp 1: Xét m2  m  0  

+ Với m  0 , ta có y '  3  0, x  R , suy ra m  0 thỏa.
3
4

+ Với m  1 , ta có y '  4 x  3  0  x   , suy ra m  1 không thỏa.

m  0
, khi đó:
m  1

• Trường hợp 2: Xét m2  m  0  

2

3  m  0
 '  m  3m  0
y '  0 x  R   2
 
 3  m  0

m  0  m  1
m  m  0

Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là 3  m  0 .

Nguyễn Văn Lực

7


Tính đơn điệu của hàm số
1
3

Câu 19. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  (m  1) x 3  mx 2  (3m  2) x luôn đồng biến
trên R.

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y  (m  1) x 2  2mx  3m  2 .
Hàm số đồng biến trên R  y  0, x  m  2

Câu 20. Hàm số y  x 3  3x 2  mx  1 luôn đồng biến trên R khi
A. m  3
B. m  3
C. m  3

D. m  3

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  3 x 2  6 x  m
Hàm số luôn đồng biến trên R  y '  0, x  R
  '  9  3m  0  m  3

1
3

Câu 21. Hàm số y   x 3   m  1 x  7 nghịch biến trên R thì điều kiện của m là:
A. m  1

C. m  1

B. m  2

D. m  2

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '   x 2   m  1

+ Nếu m  1  0  m  1  y '  0 x  R  hàm số nghịch biến trên R .
+ Nếu m  1  0  m  1  y '  0 x  0, x  R  hàm số nghịch biến trên R .
+ Nếu m  1  0  m  1  y '  0  x 2  m  1  x   m  1
Bảng biến thiên:
x
y'
y

 m 1




0



m 1



0











Hàm số nghịch biến trên khoảng  m  1; m  1 không thỏa mãn đề bài.
Vậy với m  1 thì hàm số nghịch biến trên R .
[20-11-2016]

Nguyễn Văn Lực

8


Tính đơn điệu của hàm số

Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số y  f (x )  ax 3  bx 2  cx  d đơn điệu trên K;
với K là đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng.
[ TRÊN ĐOẠN ]
1
3

Câu 22. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  mx 3  1  3m  x 2   2m  1 x 
biến trên 1;5.

1
nghịch
3

Tập xác định: D  R.
Hàm số nghịch biến trên 1;5
 y '  mx 2  2 1  3m  x   2m  1  0 x  1;5

 m  x 2  6 x  2    2 x  1  0 x  1;5

1  2x
 f  x  x  1;5  m  max f  x 
1;5
x  6x  2
2
2  x  x  1
Ta có f '  x  
 0 x  3  7
2
2
x

6
x

2


m

2

Do đó max f  x   f  5   3
1;5

Vậy giá trị cần tìm là m  3

Câu 23. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x3  mx 2   m2  m  2  x  2 nghịch biến

trên đoạn  1;1
Tập xác định: D  R.
Hàm số đồng biến trên  1;1  y '  f  x   3x 2  2mx   m2  m  2   0 x   1;1
Ta có  ' f  x  4m2  3m  6

Trường hợp 1:  '  0  f  x   0 x   1;1  y '  0 x  R  hàm số luôn đồng biến
 không tồn tại m.
Trường hợp 2:  '  0  f  x   0 có hai nghiệm phân biệt x1  x2
Khi đó f  x   0  x1  x  x2  f  x   0 x   1;1

Nguyễn Văn Lực

9


Tính đơn điệu của hàm số

3  105
3  105
m
m 
8
8

3  29

 '  4m 2  3m  6  0
m




3  29
3  29


2
 x1  1  1  x2  3 f 1  5  3m  m 2  0  m 
m

2
2


m  3  105
2
3
f

1

5

m

m

0






3  21
3  21
8
m
m 
2
2


Câu 24. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x  1 đồng

biến trên các đoạn  2; 1 và 1;2.
Đạo hàm: y '  3x 2  6  m  1 x  3m  m  2 
y ' có   36  0 suy ra y ' có nghiệm phân biệt x  m, x  m  2 và ta có sơ đồ dấu của y '

như sau:




m2





m



Để hàm số đồng biến trên các đoạn  2; 1 và 1; 2  thì ta phải có y '  0 trên các
đoạn  2; 1 và 1; 2  .




m2





m



2




m2



m





m2



m





2



1

1



 m  2
 m  2
  m  2  2   m  4

 m  2  1   m  1
 m  1


Vậy m  2, m  1, m  4.
Câu 25. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  4 x3   m  3 x 2  mx nghịch biến trên
1 1
đoạn   ;  .
 2 2

Tập xác định: D  R.
y '  12 x 2  2  m  3 x  m
Đạo hàm:
y '  0  f  x   12 x 2  2  m  3 x  m  0 1

Nguyễn Văn Lực

10


Tính đơn điệu của hàm số

Nhận xét rằng phương trình (1) luôn có nghiệm x  

1
m
và x   .
2
6

 1 1

Từ đó, hàm số nghịch biến trên đoạn   ;  khi:

 2 2
1 m
 1 1
 1 1
y '  0, x   ;   f  x   0, x   ;     m  3
2 6
 2 2
 2 2
Vậy m  3 thỏa mãn.

( TRÊN KHOẢNG )
Câu 26. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  3mx 2  3(m2  1)x  2m  3 để hàm số
nghịch biến trên khoảng 1; 2  .
Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  3x 2  6mx  3(m 2  1)
Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 2   y '  0 x  1; 2 
Ta có  '  9m 2  9(m 2  1)  9  0, m
Suy ra y ' luôn có hai nghiệm phân biệt x1  m  1; x2  m  1 ( x1  x2 )
 x1  1
m  1  1
 
 1 m  2
m  1  2
 x2  2

Do đó: y '  0 x  1; 2   x1  1  2  x2  
Vậy giá trị m cần tìm là 1  m  2 .

Câu 27. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x3  3x 2   m  1 x  4m nghịch biến
trong  1;1 .

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  m  1
Hàm số nghịch biến trên  1;1  y '  0 và x1  1  1  x2
af  1  0
3  3  6  m  1  0
m  4



 m  8
m  8
af 1  0
3  3  6  m  1  0

Vậy m  8 thì hàm số nghịch biến trên  1;1 .

Câu 28. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  2 x3  9mx 2  12m 2 x  1 nghịch biến trên
khoảng  2;3 .

Nguyễn Văn Lực

11


Tính đơn điệu của hàm số

Đạo hàm: y '  6 x 2  18 x  12m 2 , y ' có   36m 2  0 suy ra y ' có nghiệm x  2m, x  m
và ta có sơ đồ dấu của y ' trong các trường hợp sau:




2m





m








m





2 m









m  2m

Để hàm số nghịch biến trên  2;3 ta phải có y '  0 trên  2;3




2m


2





m

m









3


2

2m
3

 m  1
 2m  2

VN 

m


3

3
m  3

  m  2
 2  m  
 m  2
2




3
 2m  3
 m  
2


 m  1
 2m  2

VN 

m  3

m

3
3

Vậy  
  m  2
 2  m  
 m  2
2



3
 2m  3
 m  
2


3
Vậy 2  m   .
2

Câu 29. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y 

trên  0;3 .

 x3
  m  1 x 2   m  3 x  4 đồng biến
3

Đạo hàm: y '   x 2  2  m  1 x  m  3
2

1  15

 y ' có  '   m  1  m  3  m  m  4   m     0
2
4

2

2

 y ' có hai nghiệm phân biệt x  m  1  m 2  m  4
Vẽ sơ đồ dấu của y '.

Để hàm số đồng biến trên  0;3 , ta phải có y '  0 trên  0;3 .

m  1  m 2  m  4  0
 m 2  m  4  m  1
12


m
7
m  1  m 2  m  4  3
 m 2  m  4  4  m

Nguyễn Văn Lực

12


Tính đơn điệu của hàm số

Câu 30. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x3  3x 2   m  1 x  4m nghịch biến trên

khoảng  1;1 .

Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  m  1
Để hàm số nghịch biến trên  1;1 , ta phải có: y '  0 với x   1;1 .
 y ' có  '  6  3m
- Nếu  '  0  6  3m  0  m  2 thì y '  0 với x
 m  2 không thỏa mãn.
- Nếu  '  0  6  3m  0  m  2 thì y ' có hai nghiệm phân biệt x 

3  6  3m
.

3

Vẽ sơ đồ dấu của y ' .
Để ý: y '  0 trên  1;1 , ta phải có:
 3  6  3m
 1 


 6  3m  0
3

 6  3m  6

 6  3m  6
 3  6  3m  1

3
 6  3m  36
 3m  30
 m  10
Vậy  m  10 .

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

x
3

Câu 31. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y     m  1 x 2   m  3 x đồng biến trên

khoảng  0;3 .
Đạo hàm: y '  f  x    x 2  2  m  1 x  m  3
Hàm số tăng trên  0;3 khi và chỉ khi:

y '  0, x   0;3  f  x    x 2  2  m  1 x  m  3  0, x   0;3

Vì a  1  0 nên để f  x   0, x   0;3 thì  0;3 phải nằm trong khoảng hai nghiệm số của
f  x  , tức là:

Nguyễn Văn Lực

13


Tính đơn điệu của hàm số
 1 f  0   0
m  3  0
12
x1  0  3  x2  

m .
7
12  7 m  0
 1 f  3  0

Câu 32. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  3x 2  mx  4 đồng biến trên khoảng
(;0) .
Tập xác định: D  R.

Đạo hàm: y  3x 2  6 x  m . y có   3(m  3) .
+ Nếu m  3 thì   0  y  0, x  hàm số đồng biến trên R  m  3 thoả YCBT.
+ Nếu m  3 thì   0  PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1  x2 ) .
Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (; x1 ),( x2 ; ) .
   0
m  3


Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (;0)  0  x1  x2   P  0  m  0 (VN)
S  0
2  0
Vậy m  3 .

Câu 33. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  2 x 3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 đồng biến
trên khoảng (2; )
Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  6 x 2  6(2m  1) x  6m(m  1) có   (2m  1)2  4(m2  m)  1  0
x  m
.
y'  0  
x  m 1

Hàm số đồng biến trên các khoảng (; m), (m  1; )
Do đó: Hàm số đồng biến trên (2; )  m  1  2  m  1
Câu 34. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  (1  2m) x 2  (2  m) x  m  2 đồng biến
trên khoảng K  (0; ) .

Hàm đồng biến trên (0; )  y  3x 2  2(1  2m) x  (2  m)  0 với x  (0; )
 f (x) 

Ta có: f ( x ) 

6(2 x 2  x  1)
2

(4 x  1)

3x 2  2 x  2
 m với x  (0; )
4x  1

 0  2 x 2  x  1  0  x  1; x 

1
2

1

5

Lập BBT của hàm f ( x ) trên (0; ) , từ đó ta đi đến kết luận: f    m   m .
2
4
 

Nguyễn Văn Lực

14

Tính đơn điệu của hàm số
1
3

Câu 35. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  (m2  1) x 3  (m  1) x 2  2 x  1 (m  1)
nghịch biến trên khoảng K  (2; ) .
Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y  (m2  1) x 2  2(m  1) x  2 .
Đặt t  x – 2 ta được: y  g(t )  (m2  1)t 2  (4m2  2m  6)t  4m2  4m  10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; )  g(t)  0, t  0
m2  1  0
a  0
 2
  0
m2  1  0
3m  2m  1  0
a  0
TH1: 
 2
TH2: 
 4m2  4m  10  0
  0
3m  2m  1  0
S  0

 P  0
 2m  3  0
 m  1
Vậy: Với 1  m  1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; )

Câu 36. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  3x 2  mx  2 để hàm số đồng biến
trên khoảng  0;   .
Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  3 x 2  6 x  m

 0;  

Hàm số đồng biến trên khoảng
 y '  0 , x   0;  

(có dấu bằng)

 3x 2  6 x  m  0 , x   0;  
 3 x 2  6 x  m , x   0;  

Xét hàm số f ( x)
f '( x)

3x 2

6x

(*)

6 x , x   0;   , ta có:

6 ; f '( x)

0

x

1

Bảng biến thiên:
x
y'
y



0

1



0






0
3

Từ BBT ta suy ra: (*)
Vậy giá trị m cần tìm là m

Nguyễn Văn Lực

m

3
3.

15


Tính đơn điệu của hàm số

Câu 37. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x3   m  1 x 2   2m2  3m  2  x đồng
biến trên  2;   .
Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  3x 2  2  m  1 x   2m 2  3m  2 
Hàm số đồng biến trên  2;    y '  0 và x1  x2  2
7m 2  7m  7  0
 '  0





 3
 7 m 2  7 m  7  0

 '  0
3
  m  2


 
 
 2
 m2
2
af 2  0
2
 3  2m  m  6   0
m  5
  

 S
  2  m  1


2

2
  3.2

2

3
2

Vậy   m  2 thì hàm số đồng biến trên  2;   .
1
3

Câu 38. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  (m2  1) x 3  (m  1) x 2  2 x  1 (m  1)
nghịch biến trên khoảng K  (;2) .

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y  (m2  1) x 2  2(m  1) x  2 .
Đặt t  x – 2 ta được: y  g(t )  (m2  1)t 2  (4m2  2m  6)t  4m2  4m  10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (;2)  g(t)  0, t  0
 2
TH1: a  0  m 2 1  0

  0

Vậy: Với

3m  2m  1  0

m2  1  0
a  0
 2
  0
3m  2m  1  0
TH2: 
 4m2  4m  10  0
S  0

 P  0
 2m  3  0
 m  1

1

 m  1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (;2) .
3

[ TRÊN NỬA KHOẢNG )
Câu 39. Tìm giá trị của tham số m để hàm số

y  x3  mx 2   2m 2  7m  7  x  2  m  1 2m  3 đồng biến trên  2;   .

Tập xác định: D  R.
Hàm số đồng biến trên  2;    y '  3x 2  2mx   2m2  7m  7   0 x  2
Nguyễn Văn Lực

16


Tính đơn điệu của hàm số
2

3
Ta có  '  7  m  3m  3  7  m   
2

2

3
  0 nên y '  0 luôn có 2 nghiệm x1  x2
4 

Ta có y '  0 có sơ đồ miền nghiệm G là:
]////////////[

x1

x2

Ta có y '  0 đúng x  2   2;    G

 '  0
5


5
1  m 
 x1  x2  2  3 y '  2   3  2m 2  3m  5   0  
2  1  m 
2
m  6

S
m
  2
 2 3

Câu 40. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x3  3 x 2  mx  m đồng biến trên  0;   .

Đạo hàm: y '  3 x 2  6 x  m, y ' có   12  3  m 
Để hàm số đồng biến trên  0;   ta phải có y '  0 trên  0;  
+ Nếu   0  3  m  0  m  3 thì y '  0 với x  y '  0 trên  0;    m  3 thỏa mãn.
+ Nếu   0  m  3 thì y ' có 2 nghiệm phân biệt x 

3  9  3m

.
3

Và ta có sơ đồ dấu của y ' như sau:





3  9  3m
3
|



3  9  3m
3
|




3  9  3m
0
3
3  9  3m
3  9  3m
3
3
|


|
0 

Để y '  0 trên  0;   , ta phải có







 3  9  3m  0
 9  3m  3  3m  0  m  0
Kết hợp với m  3  3m  0  m  0
m  3
Vậy 
 m  0.
0  m  3
Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168

Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com
[20-11-2016]
Nguyễn Văn Lực

17

Tính đơn điệu của hàm số

Câu 41. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y 

biến trên  2;   .

mx 3
1
  m  1 x 2  3  m  2  x  đồng
3
3

Đạo hàm: y '  mx 2  2  m  1 x  3m  6
Để hàm số đồng biến trên đoạn  2;   , ta phải có y '  0 với x  2.
+ Xét trường hợp m  0
Ta có: y '  2 x  6, y '  0  2 x  6  0  x  3  m  0 không thỏa mãn.
+ Xét trường hợp m  0
 y ' có  '  2m 2  4m  1
2 6
2 6
thì y '  0 với x  không thỏa mãn.
m 
2
2
2 6
2 6
- Nếu   0 
thì y '  0 có hai nghiệm x1 , x2 , vẽ sơ đồ dấu của y '
m
2

2
Trường hợp này không thể có y '  0 với x  2
* Xét trường hợp m  0
y ' có  '  2m 2  4m  1

- Nếu   0  m 

2 6
thì y '  0 với x
2
2 6
 y '  0 với x  3  m 
thỏa mãn (*)
2
m  1  2m 2  4m  1
2 6
- Nếu  '  0  0  m 
thì y ' có 2 nghiệm phân biệt x 
m
2
Vẽ sơ đồ dấu của y ' .

- Nếu  '  0  m 

Để y '  0 x  2 ta phải có:
m  1  2m 2  4m  1
2
m
 m  1  2m 2  4m  1  2m  m  0 
 2 m 2  4 m  1  m  1


6
0  m  1 

2
2m 2  4m  1  m  1 2





6

6
0  m  1 
0  m  1 
2  2  m  1 6

2 
3
2
3m2  2m  0
m  0, m  2


3
2
2 6
(**)
 m

3
2
2
Từ (*) và (**)  m  .
3

Nguyễn Văn Lực

18


Tính đơn điệu của hàm số

Câu 42. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  4 x3   m  3 x 2  mx đồng biến trên

khoảng  0;   .
Tập xác định: D  R.
y '  12 x 2  2  m  3 x  m
Đạo hàm:
y '  0  f  x   12 x 2  2  m  3 x  m  0 1

Cách 1: Hàm số đồng biến trên khoảng  0;   khi:
y '  0, x   0;    f  x   0,  0;  

+ 1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép   '  0   m  3  0  m  3. (*)
2


2
 m  3  0

 '  0
m  3


 m3

+ 1 có nghiệm x1  x2  0   S  0  
 0  m  3 (**)
6
P  0



m  0
m
12  0
Từ (*) và (**) suy ra m  0.

Cách 2: Nhận xét rằng phương trình (1) luôn có nghiệm x  
Từ đó, hàm số đồng biến trên khoảng  0;  khi:

1
m
và x   .
2
6

y '  0, x   0;    f '  x   0, x  0;  

+ 1 có nghiệm kép   0  m  3 (*)

m
 1
 2   6  0
0  m  3
+ 1 có nghiệm x1  x2  0  
(**)

m  3
 m   1  0
 6
2
Từ (*) và (**) suy ra m  0 .

Cách 3: Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  khi:
y '  0, x   0;    12 x 2  2  m  3 x  m  0, x  0;  
 m  2 x  1  12 x 2  6 x, x   0;    m  6 x, x   0;  
 m  Max  6 x   0  m  0
x 0;  

Vậy m  0 thỏa mãn.
Câu 43. Hàm số y  x 3  3mx  5 nghịch biến trong khoảng  1;1 thì m bằng:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 1
Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  3 x 2  3m
+ Nếu m  0 thì y '  0 x nên hàm số đồng biến trên R (nên m  0 bị loại)
Nguyễn Văn Lực

19


Tính đơn điệu của hàm số
x   m

+ Nếu m  0  y '  0  3 x 2  3m  x 2  m  

 x  m

Bảng biến thiên:
 m



x
y'
y





m



0

0










Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng  m ; m .
Do đó hàm số nghịch biến trong khoảng  1;1 thì m  1.
1
3

Câu 44. Tìm m để hàm số y   x 3   m  1 x 2   m  3 x  10 đồng biến trên  0;3
A. m 

12
7

C. m  R

12
7
7
D. m 
12

B. m 

Đạo hàm: y '   x 2  2  m  1 x  m  3
 y '  0   0 và y '  3   0

m  3
m  3  0



7
9  6 m  6  m  3  0
m  12

Dạng 4. Tìm điều kiện để hàm số y  f (x )  ax 3  bx 2  cx  d đơn điệu trên
đoạn có độ dài bằng k cho trước.

Câu 45. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  4 x3   m  3 x 2  mx nghịch biến trên
đoạn có độ dài bằng 1.
Tập xác định: D  R.
y '  12 x 2  2  m  3 x  m
Đạo hàm:
y '  0  f  x   12 x 2  2  m  3 x  m  0 1

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi:
y '  0, trên đoạn có độ dài bằng 1
 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  1
Nguyễn Văn Lực

20

Tính đơn điệu của hàm số
 '  0
 '  0
m  9
2


 2 '
  '  6   m  3  36  
1
 x1  x2  1 
 m  3
 12
Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi m  9 và m  3.

Câu 46. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  2 x 3  3mx 2  1 đồng biến trong khoảng
( x1; x2 ) với x2  x1  1 .

Đạo hàm: y '  6 x 2  6mx , y '  0  x  0  x  m .
+ Nếu m = 0  y  0, x   hàm số nghịch biến trên
 m = 0 không thoả YCBT.
+ Nếu m  0 , y  0, x  (0; m) khi m  0 hoặc y  0, x  (m;0) khi m  0 .
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng ( x1; x2 ) với x2  x1  1
( x ; x )  (0; m)

  1 2
và x2  x1  1   m  0  1  m  1 .
(
x

;
x
)

(
m
;0)
0  m  1
 1 2
Câu 47. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x3  3mx 2  3x  3m  4 nghịch biến trên
đoạn có độ dài đúng bằng 2.
Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  3 x 2  6mx  3 có  ' y '  9m2  9
Trường hợp 1:  '  0  f  x   0 x  R  y '  0 x  R  Hàm số luôn đồng biến trên R
 không tồn tại m.
Trường hợp 2:  '  0  f  x   0 có hai nghiệm phân biệt x1  x2
 Để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2 thì y '  0 có đúng 2 nghiệm x1  x2
thỏa mãn x2  x1  2
9m 2  9  0
 m 2  1


2
2
 x2  x1   4
 x2  x1   4 x1 x2  4
 m 2  1
 m 2  1

 2

m 2
2
 m  2
 2m   4  4

Câu 48. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  3x 2  mx  m nghịch biến trên đoạn
có độ dài bằng 1.
Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  m có   9  3m .
+ Nếu m ≥ 3 thì y  0, x  R  hàm số đồng biến trên R  m ≥ 3 không thoả mãn.
+ Nếu m < 3 thì y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1  x2 ) . Hàm số nghịch biến trên
m
đoạn  x1; x2  với độ dài l  x1  x2 . Ta có: x1  x2  2; x1x2  .
3

Nguyễn Văn Lực

21


Tính đơn điệu của hàm số
9
4

YCBT  l  1  x1  x2  1  ( x1  x2 )2  4 x1x2  1  m  .
1
3

Câu 49. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y   x 3  mx 2   m  6  x  1 đồng biến trên

một đoạn có độ dài đúng bằng 2 6.

Đạo hàm: y '   x 2  2mx  m  6
Để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài đúng bằng 2 6 thì ta phải có y '  0 trên một
đoạn có độ dài đúng bằng 2 6.
y ' có   4m 2  4m  24
+ Nếu 2  m  3 thì y '  0 với x  2  m  3 không thỏa mãn.

+ Nếu   0  m  2  m  3 thì y ' có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 và ta có sơ đồ dấu của y '
như sau:




x1



x2





Để y '  0 trên một đoạn có độ dài đúng bằng 2 6 ta phải có x1  x2  2 6
  x1  x2   24   x1  x2   4 x1 x2  24
2

2

 m  3
2

  2m   4  m  6   24  
m  4
 m  3
Vậy 
.
m  4

Nguyễn Văn Lực

22


Tính đơn điệu của hàm số

HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG
Dạng 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  f (x )  ax 4  bx 2  c

Câu 50. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  x 4  2 x 2  1 .

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  4 x 3  4 x
x  0
 x  1

Cho y '  0  4 x3  4 x  0  
Bảng biến thiên:


x
y'

y

1





0

0
0



1



0



Vậy: Hàm số đồng biến trên  1;0  và 1; 
Hàm số nghịch biến trên  ; 1 và  0;1

Câu 51. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  x 4  2 x3  2 x  1 .

Tập xác định: D  R.
Đạo hàm: y '  4 x 3  6 x 2  2

x  0
Cho y '  0  4 x  6 x  2  0  
x   1

2
3

2

Bảng biến thiên:
x
y'
y

Nguyễn Văn Lực







1
2

0



1



0



23


Tính đơn điệu của hàm số

 1

 2

1

Hàm số nghịch biến trên  ;  
2


Vậy: Hàm số đồng biến trên   ;  

Câu 52. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  x 4  2 x 2  5 .

Tập xác định: D  R.
x  0
 x  1

Đạo hàm: y '  4 x3  4 x, y '  0  4 x3  4 x  0  4 x  x 2  1  0  

Bảng biến thiên:
x
y'
y



1



0
0
-5



0





1
0







-6

-6

Vậy, ta có kết luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng  1;0  và 1;   .
Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  0;1 .
Câu 53. Hàm số y  x 4  2 x 2  1 đồng biến trên các khoảng nào?
A.
B.  1;0  và 1;  
 1;0 
C.

1;  

D. x  R

Tập xác định: D  R.
x  0
 x  1

Đạo hàm: y '  4 x 3  4 x, y '  0  4 x 3  4 x  0  
Bảng biến thiên:
x
y'
y



1



0





0
0
1



0

1
0






0

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  1;0  và 1;   .

Nguyễn Văn Lực

24


Tính đơn điệu của hàm số
1
2

3
là
2

3
B.  0;   và
2 


Câu 54. Khoảng nghịch biến của hàm số y  x 4  3x 2 


C. 

 

A. ;  3 và 0; 3
3; 









D.  3;0 và



 3

;  


 2

3; 



Tập xác định: D  R.
x  0

Đạo hàm: y '  2 x  x 2  3  y '  0  

x   3

Bảng biến thiên:

x
y'
y



 3





0

0
0



3



0







Dạng 2. Tìm điều kiện để hàm số y  f (x )  ax 4  bx 2  c đơn điệu trên K; với K
là đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng.

Câu 55. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x 4  2mx 2  3m  1 đồng biến trên khoảng
(1; 2).
Đạo hàm: y '  4 x 3  4mx  4 x( x 2  m)
+ m  0 , y  0, x  (0; )  m  0 thoả mãn.
+ m  0 , y  0 có 3 nghiệm phân biệt:  m , 0, m .
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2)  m  1  0  m  1 .

Vậy m   ;1 .

Câu 56. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x 4  mx 2  m  2 đồng biến trên nửa
đoạn 1;   .

Đạo hàm: y '  4 x3  2mx  2 x  2 x 2  m 
Để hàm số đồng biến trên 1;   thì ta phải có y '  0 trên 1;   .
Xét f  x   2 x 2  m, f  x  có   8m.
+ Nếu   0  m  0 thì f  x   0 x. Khi đó ta có sơ đồ dấu của y ' như sau:




Nguyễn Văn Lực

0





25