Bài giảng: Tính đơn điệu của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

GIẢI TÍCH 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

§1 Tính đơn điệu của hàm số

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 tồn bộ:
• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
• Định hướng thực hiện các hoạt động
• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
• Chép lại các chú ý, nhận xét
• Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách
giải như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng
em hãy viết u cầu theo mẫu:
• Nơi dung chưa hiểu
• Hoạt động chưa làm được
• Bài tập lần 1 chưa làm được
• Bài tập lần 2 chưa làm được
• Thảo luận xây dựng bài giảng
2


gửi về Nhóm Cự Mơn theo địa chỉ để nhận
được giải đáp.

3

chơng I

ứng dụng của đạo hàm để khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số

Trong chơng này, chúng ta ứng dụng đạo hàm và giới hạn để xét một số
tính chất quan trọng của hàm số và đồ thị nh:
ã Tính đơn điệu của hàm số.
ã Cực trị của hàm số.
ã Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
ã Các đờng tiệm cận của đồ thị.
Từ đó, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
Các em học sinh cần có kĩ năng thành thạo khi xét các tính chất đà nêu
của hàm số cho trớc cũng nh khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số
hàm số đơn giản.
Chơng I gồm các bài học:
Đ1. Tính đơn điệu của hàm số
Đ2. Cực trị của hàm số
Đ3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Đ4. Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ toạ độ
Đ5. Đờng tiệm cận của đồ thị hàm số
Đ6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức
Đ7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ.
Đ8. Một số bài toán thờng gặp về đồ thị
4


Đ1 tính đơn điệu của hàm số
bài giảng theo chơng trình chuẩn
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số

xác định trên I.
Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) trên K ta đi xét dấu biểu thøc:
f (a) − f (b)
T=
, víi a, b ∈ I và a b.
(1)
ab
Nhận xét:
b thay đổi trên I, kí hiệu là x
a tiến dần tới b, kí hiệu là x + x với x 0
khi đó (1) đợc viết lại dới dạng:
f(x + x) f(x)
T=
, víi mäi ∆x → 0 vµ x+∆x ∈ I
∆x
f(x + ∆x) − f(x)
⇔ T = f '(x) .
⇔ T = lim
x 0
x
Từ đó, ta có kết quả:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.
a. Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng I thì f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ I.
b. NÕu hµm sè f(x) nghịch biến trên khoảng I thì f '(x) 0, x I.
Đảo lại, ta có định lí:
Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên kho¶ng I.
a. NÕu f '(x) > 0, ∀x ∈ I thì f(x) đồng biến trên khoảng I.
b. Nếu f '(x) < 0, x I thì f(x) nghịch biến trên kho¶ng I.
c. NÕu f '(x) = 0, ∀x ∈ I thì f(x) không đổi trên khoảng I.

Chú ý: Khoảng I trong định lí trên có thể đợc thay bởi một đoạn hoặc một nửa
khoảng. Khi đó, phải bổ sung giả thiết "Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa
khoảng đó".
Ngời ta thờng tóm tắt định lí 1 trong các bảng biÕn thiªn sau:
x
y'

−∞

y
x
y'

a

b
+
f(b)

f(a)
−∞

+∞

a

b
−

+∞
5


y

f(a)

f(b)

Thí dụ 1: Xét sự biến thiên của hàm số y = 1 x 3 .



Giải
Điều kiện:
1 x3 ≥ 0 ⇔ x3 ≤ 1 ⇔ x ≤ 1 Tập xác định D = (; 1].
Đạo hàm:
3x 2
y' =
2 1 − x3
y’ = 0 víi x = 0 và y < 0 với xD\{0}.
Bảng biến thiên:
x
0
1
y'
0

+
y
0
0

Hoạt động

Xét sự biến thiên của hàm số y = 4 x 2 .


NhËn xÐt: Qua thÝ dơ trªn, ta thÊy có thể mở rộng định lí 1 nh sau:
Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.
a. Nếu f '(x) 0, x I, và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm trên khoảng I, thì f(x) đồng biến trên kho¶ng I.
b. NÕu f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ I, và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn
điểm trên khoảng I, thì f(x) nghịch biến trên khoảng I.
1
Thí dụ 2: Xét sự biến thiên của hàm số y = x + .
x



Giải
Miền xác định D = Ă \ { 0} .
Đạo hàm:
y' = 1 y ' = 1
Bảng biến thiên:
x

6

1 x2 1
=
,
x2
x2

1

y' = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1.
0

1

+∞


+

y'
y


0
2

0

+

+


2

+

Kết luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1) và (1; +).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (1; 0) và (0; 1).


Nhận xét: Nh vậy, trong bảng biến thiên cần phải ghi đầy đủ các điểm tới hạn
của y.
Hoạt động



Xét sự biến thiên của các hàm sè y =

x +1
4
vµ y = x + .
x −1
x

Chó ý: Để chứng minh hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I ta đi
chứng minh y 0, xI (hc y’ ≤ 0, ∀x∈I).
ThÝ dơ 3: Chøng minh r»ng hàm số y = cos2x 2x + 3 nghịch biến trên Ă .



Giải
Miền xác định D = Ă .
Đạo hµm:
y' = −2sin2x − 2 = −2(sin2x + 1) ≤ 0 x Ă
Hàm số luôn nghịch biến trên Ă .
Hoạt động
Chứng minh rằng hàm số y = x5 + x + sinx + 3 đồng biến
trên Ă .


Chú ý: ThÝ dơ tiÕp theo minh ho¹ viƯc thùc hiƯn d¹ng toán "Tìm điều kiện của
tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I".
Thí dụ 4: Tìm các giá trị của tham số a để hàm số:
1
y = x3 + ax2 + 4x + 3 đồng biến trên Ă .
3



Giải
Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
y' = x2 + 2ax + 4
Để hàm số đồng biến trên Ă điều kiện là:

y' 0 x Ă f(x) = x2 + 2ax + 4 ≥ 0 ∀x∈ ¡ ⇔ ∆'f ≤ 0
⇔ a2 − 4 ≤ 0 ⇔ a ≤ 2.
VËy, víi a ≤ 2 tháa m·n ®iỊu kiện đầu bài.
7



Chú ý: Từ ý c) của định lí 1 gợi ý cho ta thực hiện dạng toán "Chứng minh
rằng biểu thức A = f(x) không phụ thuộc vào giá trị của x và tính
giá trị của A".
Thí dụ 5: Cho hµm sè:
f(x) = 2 – sin2x – sin2(a + x) 2cosa.cosx.cos(a + x).
a. Tìm đạo hàm của hàm số f.
b. Tõ a) suy ra r»ng hµm sè f lÊy giá trị không đổi trên Ă và tính f(x).



Giải
a. Ta cã:
f’(x) = −2sinx.cosx – 2sin(a + x).cos(a + x) −
– 2cosa[−sinx.cos(a + x) − cosx.sin(a + x)]
= −sin2x − sin2(a + x) + 2cosa.sin(2x + a)
= −2sin(2x + a).cosa + 2cosa.sin(2x + a) = 0.
b. Tõ a) suy ra r»ng hàm số f lấy giá trị không đổi trên Ă và do đó:
f(x) = f(0) = 2 sin20 sin2a – 2cosa.cos0.cosa = 1 – sin2a – 2cos2a
= −cos2a.
Ho¹t động

Cho hàm số:
2

2
) + sin2x + sin2(x+
)..
3
3
a. Tìm đạo hàm cđa hµm sè f.
b. Tõ a) suy ra r»ng hµm số f lấy giá trị không đổi trên Ă
và tính f(x).
f(x) = sin2(x −


Chó ý: Ta biÕt r»ng:
 NÕu hµm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) (hoặc đoạn [a; b]) thì
f(a) < f(x) < f(b) (hoặc f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)) víi mäi x thuéc (a; b) (hoặc
đoạn [a; b]).
Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) (hoặc đoạn [a; b])
thì f(b) < f(x) < f(a) (hc f(b) ≤ f(x) ≤ f(a)) với mọi x thuộc (a; b)
(hoặc đoạn [a; b]).
Điều đó gợi ý cho ta thực hiện dạng toán "Chứng minh bất đẳng thức".
Thí dụ 6: Chứng minh rằng:
a. sinx < x với mọi x > 0.



Giải

a. Xét hàm số f(x) = sinx x với 0 < x <

Đạo hµm:
8

b. sinx > x víi mäi x < 0.
π
.
2


f '(x) = cosx − 1 < 0 víi 0 < x <


hàm số f(x) nghịch biến trên
2

Do đó:

π
 0; 2 ÷.



π
π
⇔ sinx − x < 0 víi 0 < x <
2
2
π
⇔ sinx < x víi 0 < x < .
2
b. Sử dụng kết quả trên với lập luËn:
x < 0 ⇔ −x > 0 ⇒ sin(−x) < −x ⇔ −sinx < −x ⇔ sinx > x, ®pcm.


Hoạt động
Chứng minh rằng 2sinx + tanx > 3x với mäi x ∈  0; ÷ .
 2

f(x) < f(0) víi 0 < x <


Chó ý: ViƯc kÕt hỵp kÕt quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên
tục với tính đơn điệu của hàm số cho phép chúng ta giải phơng
trình, bất phơng trình và chứng minh tính duy nhất nghiệm của phơng trình, bất phơng trình.
Thí dụ 7: Giải các phơng trình sau:

a. x5 + 3x3 − 56 = 0.

b. x = (1 − x)3 + 1.



Giải
a. Xét hàm số f(x) = x5 + 3x3 56 trên Ă .
Đạo hàm:
f '(x) = 5x4 + 9x2 ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ Hµm sè đồng biến trên Ă .
Do đó, nếu phơng trình f(x) = 0 có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Ta thÊy:
f(2) = 32 + 24 − 56 = 0
nªn x = 2 là nghiệm duy nhất của phơng trình.
b. Điều kiện x 0.
Ta lần lợt:
Xét hàm số f (x) = x trªn D = [0; +∞), ta cã:

f '(x) =

1

> 0, ∀x ∈ D ⇔ Hµm sè f(x) đồng biến trên D.
2 x
Xét hàm số g(x) = (1 − x)3 + 1 trªn D = [0; +∞), ta cã:
g’(x) = −3(1 − x)2 ≤ 0, ∀x∈D ⇔ Hàm số g(x) nghịch biến trên D.
Do đó, nếu phơng trình f(x) = g(x) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhÊt.
Víi x = 1, ta thÊy:
1 = (1 − 1)3 + 1 1 = 1, đúng
nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phơng trình.

9



Chú ý: Để tránh việc phải xét tính đơn điệu của hai hàm số ở câu b) chúng ta
thực hiện nh sau:
Biến đổi phơng trình về dạng:
x (1 x)3 − 1 = 0.

XÐt hµm sè f (x) = x − (1 − x)3 − 1 trªn D = [0; +), ta có:
Đạo hàm:
1
f '(x) =
+ 3(1 x) 2 > 0, ∀x ∈ D ⇔ Hµm sè đồng biến trên D.
2 x
Do đó, nếu phơng trình f(x) = 0 có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Ta thÊy:

f(1) = 1 − (1 − 1)3 − 1 = 0
nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phơng trình.
Hoạt động

Giải các phơng trình sau:
a. x7 + 3x3 4 = 0.

b.

x − 1 = 9 − x3.

ThÝ dô 8: Cho hµm sè f(x) = 2x 2 x − 2.
a. Chứng minh rằng hàm số f đồng biến trên nửa khoảng [2; +).
b. Chứng minh rằng phơng trình 2x 2 x − 2 = 11 cã nghiƯm duy nhÊt.



Gi¶i
a. Ta cã:
f '(x) = 4x x − 2 +

x2

> 0, x (2; + ) .
x2
Do đó, hàm số đồng biến trên nửa khoảng [2; +).
b. Từ bảng biến thiên:
x 2
+
y'

+
+
y
0
suy ra đờng thẳng y = 11 luôn cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại một điểm dy nhất, tức
phơng trình 2x 2 x 2 = 11 có nghiệm duy nhất.
Hoạt động

10

Chứng minh rằng phơng trình x x − 1 = 6 cã nghiÖm duy
nhÊt.


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1.200.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAT
BN SNG TO TRONG TIT DY

bài tập lần 1
Bài tập 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

y = x3 − 3x2 − 9x + 5.
Bµi tËp 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

y = x3 3x2 + 3x + 7.
Bài tập 3: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
y = x4 2x2 1.
Bài tập 4: Khảo sát sự biến thiên của hµm sè:
(C): y = x4 − 2x3 + 2x + 1.
Bài tập 5: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y =
Bài tập 6: Khảo sát sự biến thiên cđa hµm sè:

x +1
.
x −1

11


y=

x 2 2x + 2
.
x 1

Bài tập 7: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
x2 x + 1
y= 2
.
x + x +1
Bài tập 8: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y =

x 2 2x 3 .

Bài tập 9: Khảo sát sự biến thiên cđa hµm sè y = (x − 5) 3 x 2 .
Bài tập 10: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
x+3

y=

x2 + 1

.

Bài tập 11: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y =
Bài tập 12: Khảo sát sự biến thiên của hàm số : y =

x2
x2 1

.

x + x2 − x + 1 .

Bµi tËp 13: Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm sè:
1
9
y = (m2 − 4)x2 − (3m − 6)x + theo m.
2
2
Bài tập 14: Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số:

y = 4x3 + mx.
Bài tập 15: Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của hµm sè:

y = 4x3 + (m + 3)x2 + mx.
Bµi tập 16: Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên cđa hµm sè:
y = mx3 − 3(m − 1)x2 + 3(m − 2)x + 1.
Bµi tËp 17: Tuú theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số:
y = x4 2mx2 + 3.
Bài tập 18: Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số y = mx4 + 2x2 1.
Bài tập 19: HÃy khảo sát sự biến thiên của hàm số:
y = xn + (c x)n, với c > 0 và n nguyên lớn hơn 1.
Bài tập 20: Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số y =
Bài tập 21: Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số:

y=

x2 x + m2
.
x 1

Bài tập 22: Tuỳ theo a, khảo sát sự biến thiên của hàm số:
x+a

y=

Bài tập 23: Cho hµm sè:

12

x2 + 1

.

mx + 1
.
x+m


1
y = ax3 + ax2 x.
3
Tìm a để hàm số luôn nghịch biến.
Bài tập 24: Cho hàm số:
1
y = x3 − ax2 + (2a − 1)x − a + 2.
3
Tìm a để hàm số nghịch biến trong khoảng (−2; 0).
Bµi tËp 25: Cho hµm sè:
y = x3 + 3x2 + ax + a.
Tìm a để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Bài tập 26: Cho hàm số:
y = x4 8mx2 + 9m.
Tìm m để hàm số đồng biến trên (2; +).
Bài tập 27: Cho hàm số:
y = x4 + 2mx2 + m.
Tìm m để hàm số đồng biến trên (1; 0) và (2; 3).
Bµi tËp 28: Cho hµm sè:
ax 2 + 6x − 2
y=
.
x+2
Tìm a để hàm số nghịch biến trên [1; +).
Bài tËp 29: Cho hµm sè:

x 2 − 2ax + 3a 2
y=
x 2a
Tìm a để hàm số đồng biến trên (1; +∞).
Bµi tËp 30: Cho hµm sè:
y = x − x2 x + a .
Tìm a để hàm số luôn nghịch biến với mọi x Ă .

. Chứng minh r»ng:
2
a. sinx < x.
b. tanx > x.

Bµi tËp 31: Cho 0 < x <

Bµi tËp 32: Chøng minh r»ng víi x > 0, ta cã x −

x3
6

< sinx.

Bµi tËp 33: Chøng minh r»ng trong mäi ∆ABC nhän ta ®Ịu cã:
2
1
(sinA + sinB + sinC) +
(tanA + tanB + tanC) > π.
3
3
π

Bµi tËp 34: Chøng minh r»ng víi 0 < x <
, ta cã:
2

13


22sinx + 2tanx >

3x
+1 .
22

Bµi tËp 35: Chøng minh r»ng sin200 >

1
.
3

bài giảng nâng cao
A. Tóm tắt lí thuyết
1. điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng I thì:
a. Hàm số f(x) là đồng biến trên khoảng I khi và chØ khi víi x tuú ý thuéc I, ta
cã:
f(x + ∆x) − f(x)
> 0 , víi mäi ∆x ≠ 0 vµ x + ∆x ∈ I.
∆x
b. Hµm sè f(x) lµ nghịch biến trên khoảng I khi và chỉ khi với x tuú ý thuéc I, ta

cã:
f(x + ∆x) − f(x)
< 0 , víi mäi ∆x ≠ 0 vµ x + x I.
x
Từ đó, ta có kết quả:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.
c. Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng I thì f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ I.
d. NÕu hµm sè f(x) nghịch biến trên khoảng I thì f '(x) 0, x I.
2. điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Định lí 1 (Định lí Lagrange): Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo
hàm trên (a, b) thì tồn tại một điểm c (a, b) sao cho:
f(b) − f(a)
f(b) − f(a) = f '(c).(b a) hay f '(c) =
.
ba
ý nghĩa của định lí Lagrăng: Xét cung AB của đồ thị hàm số y = f(x) víi A(a, f(a))
vµ B(b, f(b)).
HƯ sè gãc của cát tuyến AB là:
f(b) f(a)
.
ba
Đẳng thức:
f(b) f(a)
f '(c) =
b−a
cã nghÜa lµ hƯ sè gãc cđa tiÕp tun của cung AB tại điểm (c, f(c)) bằng hệ số góc của
cát tuyến AB. Vậy, nếu các giả thiết của định lí Lagrăng đợc thoả mÃn thì tồn tại một
điểm C của cung AB sao cho tiếp tuyến tại đó song song víi c¸t tun AB.
14

Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.
a. Nếu f '(x) > 0, x I thì f(x) đồng biến trên khoảng I.
b. NÕu f '(x) < 0, ∀x ∈ I th× f(x) nghịch biến trên khoảng I.
c. Nếu f '(x) = 0, x I thì f(x) không đổi trên khoảng I.
Ta có mở rộng của định lí 2 nh sau:
Định lí 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.
a. Nếu f '(x) 0, x I, và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn
điểm trên khoảng I, thì f(x) đồng biến trên kho¶ng I.
b. NÕu f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ I, và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn
điểm trên khoảng I, thì f(x) nghịch biến trên khoảng I.
Ta tóm tắt định lí 3 trong các bảng biến thiên sau:
x
y'



a



b

a

+

b

+

+

y
x
y'



y
B. phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp
Bài toán 1: Xét tính đơn điệu của hàm số.
Phơng pháp ¸p dơng

Ta thùc hiƯn theo c¸c bíc:
Bíc 1: MiỊn x¸c định.
Bớc 2: Tính đạo hàm y', rồi tìm các điểm tới hạn (thông thờng là việc
giải phơng trình y' = 0).
Bớc 3: Tính các giới hạn (nếu cần).
Bớc 4: Lập bảng biến thiên của hàm số.

Ví dụ 1:

Xét chiều biến thiên của hàm số y = x3 2x2 + x + 1.

 Híng dÉn: Sư dơng kiÕn thøc trong phần phơng pháp giải toán.
Giải
Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:

y' = 3x2 4x + 1,

x = 1
y' = 0 ⇔ 3x2 − 4x + 1 = 0 ⇔ 
.
 x = 1/ 3

15


Bảng biến thiên:
x

y'
+
y


Kết luận:





1/3
0
31/27

1
0

+

+

+

1

1

Hàm số đồng biến trên các khoảng ; ữ và ( 1; + ) .
3

1
Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1ữ.
3

Nhận xét: Hàm đa thức bậc ba tổng quát có dạng:
y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, víi a 0.
Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có:
Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
y' = 3ax2 + 2bx + c, y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0.
 Giíi h¹n:
b c
d 


lim y = lim x 3  a + + 2 + 3 ữ.
x
x
x x
x




Ví dụ 2:



Bảng biến thiên: Dấu của y' phụ thuộc vào dấu của a (a > 0 hay a < 0)
vµ dÊu cđa ∆' = b2 − 3ac (∆' > 0 hay ∆' ≤ 0), do đó ta có bốn trờng hợp biến
thiên khác nhau.
Xét chiều biến thiên của hàm số y = x4 2x2 5.

Giải
Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
y' = 4x3 4x,
Bảng biến thiên:
x
y'

y +

x = 0
y' = 0 ⇔ 4x3 − 4x = 0 ⇔ 4x(x2 − 1) = 0 ⇔ 

.
 x = ±1

−1
0
−6

+

0
0
−5

−

1
0
−6

+∞
+
+∞

KÕt luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 0) và (1; +).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) vµ (0; 1).
16

Nhận xét: Hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phơng có phơng trình:
y = f(x) = ax4 + bx2 + c, với a 0.
Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có:
Miền xác định D = Ă .
Đạo hµm:
y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b), y' = 0 2x(2ax2 + b) = 0.
Do đó, phơng trình y' = 0 hoặc có một nghiệm (a.b 0) hoặc có ba nghiệm
phân biệt, do đó ta có bốn trờng hợp biến thiên khác nhau.
Giới hạn:
lim y = lim ax4(1 + b + c ) =
x →∞
x
ax 2
ax 4



Bảng biến thiên: Dấu của y' phụ thuộc vµo dÊu cđa a (a > 0 hay a < 0) và dấu
của a.b, do đó ta có bốn trờng hợp biến thiên khác nhau.
Xét chiều biến thiên của hàm sè y =

VÝ dô 3:





 +∞ khi a > 0
 khi a < 0 .

x2
.
x+2

Giải
Miền xác định D = Ă \{2}.
Đạo hàm:
4
y' =
> 0, x D Hàm số luôn đồng biến trên D.
(x + 2)2
Bảng biến thiên:
x -
2
+
y'


1
+
y
1


Nhận xét: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cã d¹ng:
(H): y =

ax + b
, víi c ≠ 0, D = ad − bc ≠ 0.

cx + d

Khi ®ã, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có:
Miền xác định D = ¡ \ { −d / c} .
ad − bc
,
cx + d



Đạo hàm y' =



- Nếu D = ad bc > 0 Hàm số đồng biến trên D.
- NÕu D = ad − bc < 0 ⇒ Hµm số nghịch biến trên D.
Giới hạn:
17


lim y = a vµ limd y = ∞.
x →−
x
c
c



Bảng biến thiên:
Trờng hợp D > 0

x
d/c
y'
+
+
+
y a

c

a
c

Xét chiều biến thiên của hàm số y =

Ví dụ 4:



+

Trờng hỵp D < 0
x −∞
− d/c
y'
−
−
a
+∞
y c

−∞
− x 2 − 2x + 3
.
x +1

Giải
Miền xác định D = Ă \{1}.
Đạo hµm:
−x 2 − 2x + 3
y' =
, y’ = 0 ⇔ −x2 − 2x + 3 = 0, v« nghiƯm
(x + 1)2
y < 0 xD Hàm số luôn nghịch biến trên D.


Nhận xét: Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có dạng:
ax 2 + bx + c
, víi ad ≠ 0, tư, mÉu kh«ng cã nghiƯm chung.
dx + e
Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có:
Viết lại hàm số dới dạng:

y = f(x) = x + +
.
dx + e
e
Miền xác định D = Ă \{ }.
d
Đạo hµm:
γd

α(dx + e)2 − γd
y' = α −
=
,
(dx + e)2
(dx + e)2

(H): y =

Dấu của đạo hàm là dấu của tam thøc g(x) = α(dx + e)2 − γd.
Giíi h¹n:
lim y = ∞ vµ lim y = ∞.
x →∞

x →− e / d

Bảng biến thiên:
Trờng hợp > 0
Phơng trình y' = 0 cã hai nghiÖm x1 < x2.
18

+∞
a
c




x
y'

y



+

x1
0
CĐ



e/d



+

+

+
+

Trờng hợp < 0
Phơng trình y' = 0 có hai nghiệm x1 < x2
x
x1

e/d
y'

0
+
+


+
y
CT

Phơng trình y' = 0 vô nghiệm
x

e/d
y'


y +
+




+
+

CT



Phơng trình y' = 0 vô nghiệm

x

e/d
y'
+
+
+
y


x2
0
CĐ

+



+


Xét chiều biến thiên của hàm số y =

Ví dụ 5:

x2
0

1
1

.
x x2

Giải
Miền xác định D = Ă \ { 0, 2} .
Đạo hàm:
y' =

1
1
4x 4
+
= 2
, y’ = 0 ⇔ 4x − 4 = 0 ⇔ x = 1.
2
2
x
(x 2)
x (x 2)2

Bảng biến thiên:
x
0
y'

0
+
y

1
0
2

2
+

+
+
0

+


Kết luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2) và (2; +).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (; 0) và (0; 1).
19



Nhận xét: Hàm phân thức bậc hai trên bậc hai cã d¹ng:
ax 2 + bx + c
(H): y =
, víi a, a1 ≠ 0, tư, mÉu kh«ng cã nghiƯm chung.
a1x 2 + b1 x + c1

Khi ®ã, nÕu sư dơng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có:
Miền xác định D = Ă \{x Ă | a1x2 + b1x + c1 = 0}.
Đạo hàm:
(ab1 a1 b)x 2 + 2(ac1 − a 1c)x + bc1 − c1b
y' =
,
(a1x 2 + b1 x + c1 )2
Giíi hạn:
a
; xlim0 y = , với x0 là nghiệm của đa thức ở mẫu số.
x
a1
Bảng biến thiên: có 18 trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên
lim y =
x

Ví dụ 6:

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a. y = 4 − x 2 .



b. y = x 2 2x + 3.

Giải
a. Ta có điều kiện:
4 x2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 ⇒ D = [2; 2].
Đạo hàm:

2x
x
y' =
,
y' = 0 x = 0.
2 =
2 4x
4 x2
Bảng biến thiên:
x
0
2
2
+
y'
0
+
2
y
0
0
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên khoảng (2; 0).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
b. Ta có ®iỊu kiƯn:
x2 − 2x + 3 ≥ 0 lu«n ®óng D = Ă .
Đạo hàm:
2x 2
x 1
y' =

=
, y' = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1.
2
2
2 x − 2x + 3
x − 2x + 3
Bảng biến thiên:
x
1
+
20


y'



+

+
+
2
y
Kết luận:
Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 1).
Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +).


Nhận xét: Hàm vô tỉ dạng:
(H): y = ax 2 + bx + c , víi a ≠ 0.

Khi ®ã, nÕu sư dơng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có:
Miền xác định D = {xR | ax2 + bx + c 0}.
Đạo hàm:
2ax + b
y' =
,
2 ax 2 + bx + c
Bảng biến thiên: có 4 trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a. y = x3 + x − cosx − 4.
b. y = cos2x − x.

VÝ dụ 7:



Giải
a. Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:

1 sinx
4 3
y' = 3x2 + 1 + sinx = 3x2 + 1 +2 4 ≥ 0 ∀x∈ ¡
≥0

⇒ Hµm sè luôn đồng biến trên Ă .
b. Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
sin2x 1

y' = 2sinx.cosx 1 = 1 4 20 43 ≤ 0 ∀x∈ ¡
≤
⇒ Hµm số luôn nghịch biến trên Ă .
Ví dụ 8:

Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số y =

 Híng dÉn: THam kh¶o nhËn xÐt sau vÝ dơ 3.
Giải

x+2
.
x 2m

Miền xác định D = Ă \{2m}.
Đạo hàm:
2m 2
y' =
.
(x 2m)2
Ta đi xét ba trờng hỵp:
Trêng hỵp 1: NÕu −2m − 2 = 0 tøc m = −1 th×:
y' = 0, ∀x ∈ D ⇔ Hàm số là hàm hằng (có dạng y = 1).
21


Trêng hỵp 2: NÕu −2m − 2 < 0 tøc m > −1 th×:
y' < 0, ∀x ∈ D ⇔ Hàm số luôn nghịch biến trên D.
Trờng hợp 3: Nếu −2m − 2 > 0 ⇔ m < −1 th×:
y' > 0, x D Hàm số luôn đồng biến trên D.

Bài toán 2: Sự biến thiên của hàm số trên một miền.
Phơng pháp áp dụng
Câu hỏi thờng đợc đặt ra " Tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên
tập I ". Khi đó, ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Tìm miền xác định D và thiết lập điều kiện I D.
Bớc 2: Đạo hàm y'.
Bớc 3: Hàm số đơn điệu trên tập I (giả sử đồng biến trên I) khi:
y 0, xI.
Bài toán đợc chuyển về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc tam thức
bậc hai hoặc sử dụng phơng pháp hàm sè.
Bíc 4: KÕt ln.
VÝ dơ 1:

Cho hµm sè:
1
y = − x 3 + 2x 2 + (2m + 1)x − 3m + 2.
3

Với giá trị nào của m:
a. Hàm số nghịch biến trên Ă ?
b. Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2?

Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.
Giải

Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
y' = x2 + 4x + 2m + 1, y' = 0 ⇔ f(x) = −x2 + 4x + 2m + 1 = 0. (1)
a. Hàm số nghịch biến trên Ă khi:
y' 0, x ¡ ⇔ f(x) ≤ 0, ∀x∈ ¡ ⇔ ∆’f ≤ 0 ⇔ 4 + 2m + 1 ≤ 0

5
⇔ m≤− .
2
5
Vậy, với m thoả mÃn điều kiện đầu bài.
2
b. Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 khi:
y' 0 trên đoạn có độ dài b»ng 2
⇔ (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 tho¶ m·n |x1 − x2| = 2
∆ ' > 0
∆ ' > 0


⇔
⇔
⇔ ∆ ' = 1 ⇔ 2m + 5 = 1 ⇔ m = −2.
x1 − x 2 = 2
2 ∆ ' = 2



22


Vậy, với m = 2 thoả mÃn điều kiện đầu bài.


Chú ý. Ta nhớ lại rằng phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) nÕu cã hai nghiƯm
x1, x2 th×:
x1 − x 2 =

VÝ dơ 2:



−b − ∆ −b + ∆
∆
2 ∆'
−
=
.
hc x1 − x 2 =
2a
2a
a
a

Tìm m để hàm số y = x4 8mx2 + 9m đồng biến trên (2; +).

Giải
Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
y = 4x3 16mx = 4x(x2 4m).
Hàm số đồng biến trên (2; +) khi:
y' 0, ∀x∈(2; +∞) ⇔ 4x(x2 − 4m) ≥ 0, ∀x∈(2; +∞)
⇔ f(x) = x2 − 4m ≥ 0, ∀x∈(2; +∞) ⇔ f(2) ≥ 0 ⇔ 4 − 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1.
VËy, víi m ≤ 1 tho¶ m·n điều kiện đầu bài.

Ví dụ 3:

Cho hàm số:

y=

mx 1
.
xm

Với giá trị nào của m:
a. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó ?
b. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +) ?



Giải
Miền xác định D = Ă \{m}.
Đạo hàm:

1 m2
.
(x m)2
a. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi:
y' 0, xD và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
1 m2 < 0 m>1.
Vậy, với m > 1 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
b. Trớc hết là hàm số cần xác định trên (0; +), điều kiện là m 0. (*)
Hàm số đồng biến với trên (0; +) khi:
y' 0, x(0; +) và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
y' =

(*)

1 m2 > 0 ⇔ m < 1 ⇔ − 1 < m ≤ 0. .
23


Vậy, với 1 < m 0 thoả mÃn điều kiện đầu bài.


Chú ý. Rất nhiều học sinh khi thực hiện bài toán trên:
a. ở câu a), đà nhận cả nghiệm m = 1, bởi thiết lập điều kiện là 1 m2 0. Các em
học sinh cần nhớ kỹ nội dung định lí 2.
b. ở câu b), đà không kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trên khoảng (0; +).
Ví dụ 4:

Tìm m để hàm số y = x + 2 +

định của nó ?

m
đồng biến trên mỗi khoảng xác
x 1



Giải
Miền xác định D = Ă \{1}.
Đạo hàm:
m
x 2 2x + 1 m
y' =1
=

,
(x 1)2
(x 1)2
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi:
y' 0, xD f(x) = x2 − 2x + 1 − m ≥ 0, ∀x∈D
⇔ ∆’f ≤ 0, ∀x∈D ⇔ 1 − 1 + m ≤ 0 ⇔ m ≤ 0.
VËy, víi m ≤ 0 thoả mÃn điều kiện đầu bài.

Bài toán 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.

Phơng pháp áp dụng
Bằng việc xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b], ta có:
a. NÕu f'(x) = 0, ∀x∈[a; b] ⇔ Hµm sè f(x) là hàm hằng trên [a; b]
f(x) = f(x0) với x0∈[a; b].
b. NÕu f'(x) ≥ 0, ∀x∈[a; b] ⇔ Hµm số f(x) đồng biến trên [a; b]
f(a) f(x) ≤ f(b).
c. NÕu f'(x) ≤ 0, ∀x∈[a; b] ⇔ Hµm số f(x) nghịch biến trên [a; b]
f(b) f(x) ≤ f(a).
 π π
VÝ dơ 1:
Cho hµm sè f:  ; ữ Ă xác định bởi:
4 4
x
f(x) = cosx + sinx.tan .
2
a. Tính đạo hàm của hàm số f.
b. Tính giá trị của f(x).

Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.
24



Gi¶i
a. Ta cã:
1
1
sin x.
x
x
f’(x) = −sinx + cosx.tan + 2
cos2
2
2
x 1
sin .
x
x
= −sinx + cosx.tan +
2 cos x = −sinx + (cosx + 1)tan
2
2
2
x
x
= −sinx + 2cos .sin = −sinx + sinx = 0.
2
2
b. Ta cã thÓ lùa cän mätt trong hai c¸ch sau:

C¸ch 1: Tõ a) suy ra r»ng hàm số f lấy giá trị không đổi trên Ă và do đó:
f(x) = f(0) = cos0 + sin0.tan0 = 1.
Cách 2: Thực hiện phép biến đổi:
x
x
x
x
f(x) = cosx + 2sin .cos .tan = cosx + 2sin2
2
2
2
2
= cosx + 1 − cosx = 1.

Cho hµm sè f(x) = 2sinx + tanx – 3x.

VÝ dơ 2:

 π
a. Chøng minh r»ng hµm số đồng biến trên nửa khoảng 0; ữ.
2
π
b. Chøng minh r»ng 2sinx + tanx > 3x víi mäi x ∈  0; ÷ .
 2

 Híng dÉn:
 Gi¶i
a. Ta cã:

f '(x) = 2 cos x +

1
2 cos3 x − 3cos2 x + 1
−3 =
cos2 x
cos2 x

(2 cos x + 1)(cos x − 1)2
 π
> 0, ∀x ∈ 0; ữ
2
cos x
2

Hàm số đồng biến trên 0; ữ.
2
b. Do đó:


f(x) > f(0) = 0, ∀x ∈  0; ÷ ⇔ 2sin x + tan x > 3x, ∀x ∈  0; ÷.
 2
 2
=


25