Giao trinh bai tap đề ôn cuối kì 2014 2015

Đề ôn CHK - 2014
ĐỀ SỐ 1
2

Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

xe x , x > 0,
6 − (x + 2)2 , x ≤ 0.
π

√
3

Câu 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =
0
+∞

Câu 3: Tính tích phân suy rộng I =
e

x(ln3 x

xm
dx.
1 − cos2 x

dx
.
+ ln2 x + lnx)

Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra khi miền phẳng giới hạn bởi các đường y = (x + 1)2 − 1, y =

0, x = 2, quay quanh trục Ox.
Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y +

y
= x2 y 2 cos x
x

Câu 6: Tìm nghiệm riêng của phương trình y” + 4y = sin 2x + 1 thoả điều kiện y(0) = 1/4, y (0) = 0.
Câu 7: Giải hệ phương trình

x (t) = x + 8y + e2t ,
y (t) = 2x + y − 1.

ĐỀ SỐ 2:
ln2 |x|
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
x2
1

lnx

Câu 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =

x(1 − x)α

0
0

Câu 3: Tính tích phân suy rộng I =

dx.

lnn (1 + x)dx.

−1

Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra quay khi miền phẳng giới hạn bởi các đường xy = 1, y =
x, x = 9y, quay quanh trục Oy.
Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình : (x2 + y 2 )dx + (xy + x2 )dy = 0
1
Câu 6: Tìm nghiệm riêng của phương trình y + 4y + 4y = e2x + x thoả điều kiện y(0) = , y (0) = 0.
4
Câu 7: Giải hệ phương trình

x = x − 2y + t2 + 1
y = 2x + 5y + t2 t

1


Hướng dẫn và đáp số
ĐỀ SỐ 1
2

xe x , x > 0,
6 − (x + 2)2 , x ≤ 0.

Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
2

a. Khảo sát hàm y = xe x , x > 0
2
ex
Tiệm cận : lim+ y = lim+ 1 = +∞ : Hàm có TCĐ x = 0
x→0

x→0

x

y
2
lim y = +∞; lim
= 1; lim (y − x) = lim x e x − 1 = 2 : Hàm có TCX y = x + 2
x→+∞
x→+∞ x
x→+∞
x→+∞
2 x − 2
Cực trị: y = e x
;y = 0 ↔ x = 2
x
b. Bảng biến thiên: Gộp chung cả phần parabol y = 6 − (x + 2)2 , x ≥ 0
−∞

x

−2

f (x)

+

0
−

0

6

f (x) −∞

2
−

||

0

+∞

2 ||

+∞
+

+∞

2e

Vẽ đồ thị theo thứ tự:
Vẽ tiệm cận
Xác định các điểm cực trị
Vẽ
π

√
3

Câu 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =
0
π
2

xm
dx.
1 − cos2 x

xm
√
dx +
3
1 − cos2 x

I=
0

xm

Khi x → 0 : f (x) ∼

3

Khi x → π : f (x) =

1

=

x

2

2. x2

2
−m
3

π

√
3
π
2

. Tp HT khi và chỉ khi
xm

3

1 − cos(π − x) 3 1 + cos(π − x)

Vậy tp đã cho HT với m > −

xm
dx
1 − cos2 x
2
1
−m<1↔m>−
3
3
πm

∼
3

1
3
+∞

Câu 3: Tính tích phân suy rộng I =
e

dx
.
x(ln3 x + ln2 x + lnx)

dx
Đặt t = ln x → dt =

. Ta được tpsr loại 1 của hàm hữu tỉ:
x
+∞

I=

√
√
dt
π 3
= ln 3 −
t + t2 + t3
8

1

2

2

2. (π−x)
2

=

πm
2

(π − x) 3

. Tp HT ∀m


Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra khi miền phẳng giới hạn bởi các đường y = (x + 1)2 − 1, y =
0, x = 2, quay quanh trục Ox.
2

1 − (x + 1)2

Vx = π

2

dx =

512
π
15

−2

y
= x2 y 2 cos x
x
Đây là pt Bernulli, ta giải bằng cách đặt z = y −1 → y = −z y 2 và thay vào pt đã cho:

Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y +

1
z − z = −x2 cos x ⇒ z = e

x

1
dx
x

(−x2 cos x)e−

1
dx
x

dx + C

⇒y=

1
x (−x sin x − cos x + C)

Câu 6: Tìm nghiệm riêng của phương trình y” + 4y = sin 2x + 1 thoả điều kiện y(0) = 1/4, y (0) = 0.
ytn = C1 cos 2x + C2 sin 2x
yr = x(a cos 2x + b sin 2x) + c
yr

ax cos 2x + bx sin 2x + c

yr

cos 2x(a + 2bx) + sin 2x(b − 2ax)

yr

cos 2x(4b − 4ax) + sin 2x(−4a − 4bx)

VT

cos 2x(4b) + sin 2x(−4a)

ytq =C1 cos 2x + C2 sin 2x −

1
x
cos 2x +
4
4

Câu 7: Giải hệ phương trình
x (t) = x + 8y + e2t ,
=⇔
y (t) = 2x + y − 1.

(D − 1)x − 8y = e2t (1),
−2x + (D − 1)y = −1(2).

Khử x bằng cách nhân pt (1) với 2, pt (2) với (D-1) và cộng 2 vế 2 pt với nhau:
−16 + (D − 1)2 y = 2e2t +(D−1)(−1) ↔ y”−2y −15y = 2e2t +1 ↔ y = C1 e3t +C2 e−5t −
Tính x từ pt (2)
1
2
16

x = (y − y + 1) = 2C1 e3t − 4C2 e−5t − e2t +
2
15
15
ĐỀ SỐ 2:
ln2 |x|
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
x2
MXĐ: x = 0
Nhận xét: Hàm đã cho là hàm chẵn, ta chỉ cần khảo sát với x > 0
Tiệm cận :
lim y = +∞ ⇒ TCĐ : x = 0.
x→0

2 ln |x|
= 0 ⇒ TCN : y = 0
x→∞ 2x2

lim y = lim

x→∞

Cực trị :
2x ln |x| − 2x ln2 |x|
ln |x|(1 − ln |x|)
y =
=2
; y = 0 ↔ x = 1, e
4
x

x3
3

2 2t 1
e −
15
15


Bảng biến thiên
x 0
y

||

y

||+∞

1

e

− 0 +

0

0

1

e2

+∞
−
0

Vẽ đồ thị bên phải, sau đó lấy đối xứng qua trục Oy
Câu 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân
1
2

1

lnx

I=
0

x(1 − x)α

1

lnx

dx =
0

x(1 − x)α

lnx

dx +
1
2

x(1 − x)α

dx

1
. Khi x → 0+ : f (x) ∼ √ . Tp HT
x
1
Khi x → 1− : f (x) ∼
. Tp HT khi và chỉ khi α < 2
(1 − x)α
Vậy tp đã cho HT khi và chỉ khi α < 2
0

Câu 3: Tính tích phân suy rộng I =

lnn (1 + x)dx.

−1

Đặt t = ln(1 + x) → x = et − 1, dx = et dt. = Ta được tp
0

tn et dt = tn et − ntn−1 et + n(n − 1)tn−1 et + ... + (−1)n−1 .n!.t.et + (−1)n .n!.et

I=

0
−∞

−∞

Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra quay khi miền phẳng giới hạn bởi các đường
xy = 1, y = x, x = 9y, quay quanh trục Oy.
Vẽ miền D: xy = 1 là hyperbol có 2 nửa đối xứng ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba.
Do vậy, ta tính phần phía trên trục Ox quay, rồi nhân với 2
 1

3
1 x
x
dx + x
−
dx
Vy = 2.2π  x x −
9
x 9
0

1

Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình : (x2 + y 2 )dx + (xy + x2 )dy = 0
Đây là pt đẳng cấp bậc 2
y2
1+ 2

x

2

1 + xy 2
y
+
+1 y =0⇒y =−
x
1 + xy

y
→ y = u + u x, rồi thay vào pt trên, biến đổi để được pt tách biến
x
√
udu
y 2 + x2 + xy
3
2y + x
√ =C −x
=
−dx
⇒
ln
−
arctan
u2 + u + 1
x2
3
x 3

Đặt u =

Câu 6: Tìm nghiệm riêng của phương trình y + 4y + 4y = e2x + x thoả điều kiện y(0) =
1
, y (0) = 0.
4
x = x − 2y + t2 + 1
Câu 7: Giải hệ phương trình
y = 2x + 5y + t2 − t
4

=