Giao trinh bai tap báo cáo mẫu matlab giải tích 1

BÀI TẬP CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
I.

Tính các đạo hàm cấp 1

1 / y | x  1 |  | x  1 |
2 / y  ( x 2  x )sin x  cos x
3/ y 

3

x2  1  3

4 / x  t 2 et , y  2te2t
5 / y  f ( x2 )
6 / y  f ( e x ).e f ( x )
7 / y  f (sin 2 x )  f (cos x 2 )

3 3

x  x 1

HD:
 2 x, x  1

1 / y | x  1 |  | x  1 | 2, 1  x  1
2 x,1  x


2/ y e

sin x  cos x  ln  x2  x 

 3 2
3 2

3 3


3 3
 

3 / ln y  ln 
x  1  3   ln 
x  x  1   y  y. ln 
x  1  3   ln 
x  x  1 







 
II.

Tính đạo hàm cấp 1 tại điểm x0 tương ứng

 x 2  1, x  0
1/ y  

, x0  0
 2 x  2, x  0
 x, x  0
2 / f ( x)  
, x0  0
ln(1  x ), x  0
 x 2 e  x 2 ,| x | 1

3 / f ( x)  
, x0  1
 1 e ,| x | 1
III.

Tính đạo hàm hàm ngược của các hàm sau

1 / y  x  ln x
2/ y 

x2
1  x2

3 / y  2e  x  e 2 x
4 / y  sinh x
IV.

Tính đạo hàm đến cấp tương ứng

1 / f ( x )  x x , f 
2 / f  ln(sin x  cos x ), f 

9/ y 

1
x 1
2

, y (n)
x

3 / x  et cos t , y  et sin t , y 

10 / y 

4 / f ( x )  sinh( x 2  1), f 

11 / y  ( x 2  x ) sin 3x, y ( n )

5 / f ( x )  e2 x ( x 2  x  2), f ( n )
6 / y  ln( f ( x )), y 

12 / y  (2 x 2  1)e2 x , y ( n )

2

7 / y  e f ( x ) , y 
8 / y  sin( f ( x )  f (2 x  1)), y 

x  3x  2
2

, y (n)

13 / y  sin 4 x  cos4 x, y ( n )
x 1
14 / y 
, y (10)
x 1


15 / y 

3

x2  1 x3  x

, y

(2 x  1)2 4 x 4  x 2

16 / y  ( x 2  x ) x

2

x

19 / y  ln( e f ( x )  e  f ( x ) ), y , y 
20 / y  f (ln x ), y 

, y

17 / y  f ( e x )  e f ( x ) , y , y 
V.

Tính vi phân đến cấp tương ứng

1 / y  ln | x 2  3x  2 |, d 2 y





2 / y  x2  1

 

tan x





4 / y  sh x 3  3x , d 2 y
5 / y  arcsin  f (2 x  1)  , dy

, dy



6 / y  3 2 x  3, d 4 y

3 / y  sin f x 2  2 x , dy
VI.

1
18 / y  f ( ), y , y 
x

Công thức Taylor – Maclaurint
1. Bài có hướng dẫn

x4  1
,n  4
x2  1
( x 2  1)( x 2  1)  2
1
f1 ( x ) 
 x2  1  2 2
 x 2  1  2 1  x 2  x 4  0( x 4 )
2
x 1
x 1
 1  x 2  2 x 4  0( x 4 )
f1 ( x ) 









f 2 ( x )  ln x  x 2  1 , n  5
f 2 

1
x 1
2

 1

1 2 3 4
x  x  0( x 4 )
2
8

t
t
1
3
1
3 5


 f 2 ( x )   f 2 (t )dt    1  t 2  t 4  0(t 4 )  dt  x  x 3 
x  0( x 5 )
2
8
6
40


0
0

n  3, f 3 ( x ) 

x

1
2



 x 1

 1  ( x  x 2 )  ( x  x 2 )2  ( x  x 2 )3  0( x 3 )

 1  x  x 2  x 2  2 x 3  x 3  O ( x 3 )  1  x  x 3  0( x 3 )

n  3, f 4 ( x )  ln

2x  1
5 x 

 ln(2 x  1)  ln(2  5 x )  ln(2 x  1)  ln 2  ln 1 

2  5x
2 


1
1


 5 x 1 5 x 2 1 5 x 3

  2 x  (2 x ) 2  (2 x )3  0( x 3 )   ln 2  
 (
)  (
)  0( x 3 ) 
2
3
2 2
3 2


 2

9
9
189 3
  ln 2  x  x 2 
x  0( x 3 )
2
8
24


x
x 1

X 2
1
f5 ( x ) X  x  2
 1
 1  1  X  X 2  X 3  0( X 3 )
X 1
X 1

n  3, x0  2, f5 ( x ) 



 2  ( x  2)  ( x  2) 2  ( x  2)3  0 ( x  2)3
n  6, x0  1, f 6 ( x )  e x
f 6 ( x )  e( x 1)

2

1

2



2x 2





1
1


 e 1  ( x  1)2  ( x  1) 4  ( x  1)6  0 ( x  1)6 
2!
3!



n  4, x0  1, f 7 ( x ) 

x 1
1 
 1
 ( x  1) 


x  5x  6
 x 3 x 2
2

 1 1
1 
1 1 
 1

f 7 ( x ) X  x  1X 



 X
31 X 
 4 1 X
 X  4 X  3
4
3

2
3
2
3

 X

X X X
X X X
3
3
 1         0( X )    1         0( X ) 

 3

4 4 4
3  3  3




1 
1

1 
1 1
 1
1
 1
    X   2  2  X 2   3  3  X 3   4  4  X 4  0( X 4 )
4 
4 
4 
3 4
3
3
3

X

4



1
42  32
43  33
44  34
2
3
( x  1) 
(
x


1)

(
x

1)

( x  1) 4  0 ( x  1) 4
2
3
4
3.4
12
12
12





2. Bài tập: Khai triển Taylor các hàm sau tại x0 đến cấp n tương ứng

1. f1 ( x ) 

1  x  x2
, x0  0, n  4
1  x  x2
2

2. f 2 ( x )  e2 x  x , x0  0, n  5 . Tính f 2(4) (0)

3. f 3 ( x )  ln(cos x ), x0  0, n  6
4. f 4 ( x )  tan x, x0  0, n  5
5. f5 ( x )  ecos x , x0  0, n  4

x3  2 x2  1
6. f 6 ( x )  2
, x0  2, n  3 . Tính f 6(3) (2)
x  6x  5
VII.

Tính giới hạn
1. Bài có hướng dẫn
2

1
2
1 4




x   x  x3  O( x3 ) 
x 2   x 2  x. x 3 
x  O( x6 ) 
2
2
x  sin x
3!
6
36


  lim


L1  lim 2 2
 lim
4
4
x  0 x sin x
x 0
x 0
x
x
2
1 4
1 4
x. x 3 
x  O( x6 )
x
1
36
3
 lim 6

lim

x 0
x 0 x4
3
x4

2


1 
ex  1  x
ex  1  x
ex  1
x
1
1
L2  lim   x

lim

lim

lim
 lim


x
x 0  x
x 0 2 x
x 0 2 x
x. x
2
e  1  x  0 x(e  1) x  0

 1
L3  lim  2  cot 2

x 0  x

 1 cos2 x 
sin 2 x  x 2 cos2 x

x   lim  2 

lim

sin 2 x  x  0
x 2 . sin 2 x
 x 0  x
2

1
1




x  x3  O( x3 )   x 2 1  x 2  O( x 2 ) 

2
2
2
sin x  x cos x
6
2




 lim
 lim 
2 2
2 2
x 0
x

0
x .x
x .x
1
1 6
1
2 4
 x4 
x  x 2 .x 2  x 2 . x 4  O( x6 )
x
2
36
4
3
 lim 3

li
m

4
4
x 0

x 0 x
3
x
x 
1 x
 1
L4  lim 

 1
  lim
 ln x
ln x  x 1 ln(1  ( x  1))
x 1 



L5  lim x 
x 0

L6  lim x

1
2x x
e



 lim

x 0

1
ln( x  e2 x )
x
e

1

ln x

ln( e x 1)

ln( e x 1)

x  0

 lim e
x  0



ln( x  e2 x )
e x0 x
lim

 lim

x  0



ln x
e ln x

lim

2

1 2 e2 x

 e x0 x  e

2x

 e3

e



1  1 x 2  1 x 4  O( x 4 )  1  1 x 2
cos x  1  1 x 2
2!
4!
2
2
L7  lim
 lim
4
4

x 0
x

0
x
x
4
4
1 x  O( x )
1
 lim 24

4
x 0
24
x
1

L8  lim
x 



 tan x   2 x

2

 lim e(  2 x ) ln(tan x )  lim e
x 

(  2 x )

2. sin (  x ) cot(  x )
2
2



x 

2

 lim e
x 



2



2

cos2 x. tan x
2

 lim e
x 

(  2 x ) 2



2

2

2

2

(  2 x ) (  x )
2
2.(  x )2

ln(tan x )
1
(  2 x )

 lim e
x 



2

 e0  1

2

1  x cos x  1  2 x
x 0
ln( x  1)  x

L9  lim

1
1 1 1


1 2
1  x 1  0. x  O ( x )    1  2 x  . .(  1)(2 x ) 2  O ( x 2 ) 
x
2
2
2
2

  lim 2
 lim
 1
1 2
x 0
x 0 1 2
2
( x  x  O ( x ))  x
 x
2
2

1
1
1
1 1 1 2




1  x  x 2  x3  O( x3 )   x 1  x 
x  O( x 2 )   1

e  x 1 x 1
2
6
2
22 2



L10  lim
 lim 
x  0 sin xchx  shx
x 0 
1 3
1 2
1 3
3 
3
3  

3 
 x  x  O ( x )   1  x  0. x  O ( x )    x  x  O ( x ) 
6
2
6


 

1 3 1 3
x  x  O( x3 )
7
6
8
 lim

1
1
x 0 1 3
20
 x  x3  x3  O( x3 )
2
6
6
x

2. Bài tập

1 



16. lim  x  x 2 ln  1   
x 
x  


sin x  x
x  0 x  tan x
x cot x  1
2. lim
x 0
x2

1. lim

17. lim

x 1

18. lim  2  x 

a x  a sin x

3. lim

a x  xa
( a  0)
xa x  a

5. lim

1

(1  x ) x  e
x
x 0
1 
1
7. lim   x

x 0  x e  1 
6. lim

8. lim

(a  x ) x  a x
x2

x 0

9. lim

cos x  e

x

x

x
2

tan 2 x



4

 tan x 
20. lim 

x  a  tan a 

cot( x  a )

x ln x

x 

 ln x  x
1

( a  0)

 sin x  x 2
22. lim 

x 0  x 
 1
23. lim  ln 
x

x  0 

2

e x sin x  x ( x  1)

x 0

19. lim  tan x 

21. lim

x4

x 0

10. lim

 x2

tan

x 1

x3

x 0

1
x 1 x

3

x

24. lim x x
x  0

25. lim  cot x 

sin x

x 0

11. lim

1  (cos x )sin x
26. lim

x2

x 0

x 

3

12. lim

x 0

13. lim

sin(sin x )  x 1  x 2
x5
cos(sin x )  cos x
x4

x 0
3

14. lim
x 

tan x  1

2
4 2 sin x  1

ln(cos ax )
x  0 ln(cos bx )

15. lim



x 1  x 1  2 x



x3

x 1


27. lim  x 3  x 2   e x  x 6  1 
2
x   

ln x
28. lim
x  x 4
29. lim

xn

x  e ax

30. lim

x 

( a  0).

1  x  sin x cos x

 x  sin x cos x  esin x


VIII.

Khảo sát hàm y=f(x)
1. Bài có hướng dẫn
Khảo sát và dựng đồ thị hàm y  x 

x2  1

MXĐ: ( , 1)  (1, )
Tiệm cận:

lim y  1, lim y  1 : Hàm không có TCĐ

x 1

x 1

1
lim y  lim  x 2  1  x   lim
 0 : Hàm có TCN y=0
 x  x 2  1  x
x 
x  


y
x2  1 
2




  2,
lim y  lim  x  1  x   , lim
 lim 1 
2 

x 
x  
x  x
x  
x


Hàm có TCX y=2x
1
lim  y  2 x   lim  x 2  1  x   lim
0
 x  x 2  1  x
x 
x  
Cực trị: y   1 

x
x2  1

 y   0, x  0

Suy ra 
 y   0, x  0
BBT: Tự làm
Đồ thị :

2. Bài tập: Trong bài giảng



x2  1  x
x2  1