Giáo trình bài tập 3 đạo hàm và vi phân

Câu 1

Nhiệt – Trắc nghiệm
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen


Câu 1

dQ = CdT
Q = C∫dT = CΔT

TL: C
Gọi T là nhiệt độ sau cùng của hệ.
Vật B tỏa một lượng nhiệt: QB = CB(T − 450)
Vật A hấp thụ một lượng nhiệt:
QA = CA(T − 300)
Hệ cách nhiệt: QB + QA = 0
CB(T − 450) + CA(T − 300) = 0
(CA + CB)T = 450CB + 300CA
3CAT = 1200CA ⇒ T = 400K

Nhiệt dung vật B lớn gấp đôi nhiệt dung vật A.
Lúc đầu A ở 300K và B ở 450K. Hai vật được
đặt tiếp xúc nhiệt với nhau trong một bình
cách nhiệt. Nhiệt độ sau cùng của hai vật là:
A. 200K
C. 400K
E. 600K

B. 300K

D. 450 K

Câu 2
Một chất khí thực hiện năm chu trình trên
hình vẽ. Công thực hiện trong chu trình nào có
giá trị lớn nhất?


Câu 2

Câu 3

TL: D
Công do khí thực hiện khi chu trình hướng
theo chiều kim đồng hồ: C, D và E.
|Công| = diện tích giới hạn trong đường cong
chu trình.
Chu trình D có diện tích lớn nhất.

Một khí lý tưởng gồm N phân tử lưỡng nguyên
tử ở nhiệt độ T. Nếu số phân tử tăng gấp đôi
nhưng nhiệt độ không đổi, nội năng của khí
tăng thêm một lượng:
A. 0
C. (3/2)NkT
E. 3NkT

B. (1/2)NkT
D. (5/2)NkT

Câu 3

Câu 4

TL: D
Chất khí có thêm N phân tử.
Mỗi phân tử lưỡng nguyên tử ở nhiệt độ
không quá cao có động năng:
(i/2)kT = (5/2)kT
Do đó nội năng chất khí tăng thêm một lượng:
(5/2)NkT

Công W được cung cấp cho một khí lý tưởng
lưỡng nguyên tử trong điều kiện cách nhiệt.
Động năng quay của chất khí tăng thêm một
lượng:
A. 0
C. 2W/3
E. W

B. W/3
D. 2W/5


Câu 4
TL: D
Trong điều kiện cách nhiệt:
ΔU = (5/2)NkΔT = W
⇒ NkΔT = 2W/5
Mặt khác: Uq = (iq/2) NkT

ΔUq = (iq/2)NkΔT
Biết rằng iq = 2, suy ra:
ΔUq = NkΔT = 2W/5

Câu 5
TL: D
Khi có ma sát công biến thành nhiệt.
Ngược lại nhiệt không thể biến hoàn toàn
thành công được.
Do đó quá trình có ma sát không thể là quá
trình thuận nghịch.

Câu 5
Phát biểu nào sau đây là sai đối với một quá
trình thuận nghịch:
A. hệ luôn ở trạng thái gần cân bằng.
B. quá trình có thể đảo ngược, đi qua các trạng
thái giống như trước.
C. quá trình được biểu diễn bằng một một
đường cong trong giản đồ P-V.
D. hệ chịu tác động của lực ma sát.
E. quá trình diễn biến chậm, không có ma sát.

Câu 6
Độ biến thiên entropy bằng không trong:
A. các quá trình thuận nghịch đoạn nhiệt.
B. các quá trình thuận nghịch đẳng nhiệt.
C. các quá trình thuận nghịch trong đó không
có trao đổi công.
D. các quá trình thuận nghịch đẳng áp.

E. tất cả các quá trình đoạn nhiệt.


Câu 6

Câu 7

TL: A
Định luật 2 Nhiệt Động Lực Học:
Trong một hệ cô lập (cách nhiệt) entropy
không đổi trong các quá trình thuận nghịch.
⇒ Entropy không đổi trong các quá trình đoạn
nhiệt thuận nghịch.

Trong quá trình nào sau đây chất khí có độ
biến thiên entropy bằng không:

Câu 7

Câu 8

TL: D
A, B và C đều sai vì chỉ trong các quá trình
đoạn nhiệt thuận nghịch thì entropy mới
không thay đổi.
Tuy nhiên mọi chu trình đều có ΔS = 0, vì
entropy là hàm trạng thái:
Hệ trở lại trạng thái ban đầu thì entropy cũng
trở lại giá trị ban đầu.

Một mol khí lý tưởng dãn nở thuận nghịch và
đẳng nhiệt ở nhiệt độ T cho đến khi thể tích
tăng gấp đôi. Độ biến thiên entropy của khí
trong quá trình này là:

A. quá trình đẳng áp.
B. quá trình đẳng tích.
C. quá trình đẳng nhiệt.
D. tất cả các chu trình.
E. không có lựa chọn nào đúng.

A. R ln 2
C. 0
E. 2R

B. (ln 2)/T
D. RT ln 2


Câu 8

Câu 9

TL: A
Quá trình đẳng nhiệt nên:
∆S = ∫

1 kg nước được nung nóng từ 0°C đến 100°C.
Nhiệt dung riêng của nước là 4,18 J/g.K. Độ
biến thiên entropy của nước trong quá trình

này bằng:

dQ Q
=
T T

∆U = 0 = Q + W
2V0

Q = −W = ∫ PdV = RT

∫
V0

dV
= RT ln2
V

A. 2,6 kJ/K
B. 3,9 kJ/K
C. 1,3 kJ/K
D. 0
E. Không có lựa chọn nào đúng.

∆S = R ln2

Câu 9

Câu 10

TL: C
Chọn một quá trình nung nóng chậm để có thể
coi là thuận nghịch, ta có:

Áp suất của chất khí lên thành bình có nguyên
nhân là:

T
dQ
dT
∆S = ∫
= mc ∫
= mc ln f
T
T
Ti
∆S = 1000( g ) .4,18 ( J g.K ) .ln

c=

1 dQ
→ dQ = mcdT
m dT

373
= 1,3( kJ K )
273

A. sự thay đổi động năng của các phân tử khí
khi va chạm vào thành bình.

B. sự thay đổi động lượng của các phân tử khí
khi va chạm vào thành bình.
C. lực đẩy giữa các phân tử khí.
D. va chạm giữa các phân tử khí.
E. một nguyên nhân khác.


Câu 10
TL: B

Một bình khí chứa N phân tử khí với vận tốc
v1, v2, v3, ... vN. Vận tốc căn quân phương của
các phân tử khí trong bình này là:

Câu 11
TL: C

Câu 11

Câu 12
Nếu các phân tử khí trong một bình khí hydro
và một bình khí oxy có cùng vận tốc căn quân
phương thì:
A. hai bình có áp suất như nhau.
B. khí hydro ở nhiệt độ cao hơn.
C. khí hydro có áp suất lớn hơn.
D. hai bình có nhiệt độ như nhau.
E. khí oxy ở nhiệt độ cao hơn.

Câu 12
TL: E

Câu 13
Nhiệt dung mol đẳng áp của một phân tử khí
lưỡng nguyên tử ở nhiệt độ không quá cao là:

Vận tốc căn quân phương:
vc =

3kT
m

với cùng vận tốc vc, hydro nhẹ hơn phải ở
nhiệt độ thấp hơn.

A. 2R
B. (5/2)R
C. 3R
D. (7/2)R
E. 4R

Câu 13
TL: D
Nhiệt dung mol đẳng tích: CV = (i/2)R
Nhiệt dung mol đẳng áp: CP = CV + R
Khí lưỡng nguyên tử ở nhiệt độ không quá
cao:
i=5
⇒ CP = (7/2)R

Câu 14
Số bậc tự do của một phân tử khí oxy ở nhiệt
độ cao là:
A. 1
B. 3
C. 6
D. 8
E. 9


Câu 15

Câu 14
TL: C
3 tịnh tiến, 2 quay và 1 dao động

Một khí đơn nguyên tử lúc đầu ở trạng thái Pi,
Vi. Sau khi trải qua một quá trình thì có áp suất
Pf, thể tích Vf. Kết luận nào sau đây là đúng:
A. Công thực hiện bởi khí là: W = Pf V f − PV
i i
B. Độ biến đổi nội năng của khí:
5
( Pf V f − PVi i )
2
1
C. Nhiệt lượng khí nhận được: Q =
( Pf V f − PVi i )
Nk

D. Tất cả các câu trên đều sai.
∆U =

Trả lời câu 15

Câu 16

• Công: W = − ∫ PdV
• Câu A sai.
• Độ biến thiên nội năng:
3  P V PV  3
∆U = nCV ∆T = n R  f f − i i  = ( Pf V f − PV
i i)
nR  2
2  nR
• Câu B sai.
• Nhiệt lượng:
 P V PV  C
Q = nC ∆T = nC  f f − i i  = ( Pf V f − PV
i i)
nR
nR
R


• Câu C sai.

Độ biến thiên entropy ở đoạn giữa hai quá
trình đoạn nhiệt của chu trình Carnot bằng 1
(kcal/K). Hiệu số nhiệt độ giữa hai đường

đẳng nhiệt là 100°C. Nhiệt lượng đã chuyển
hóa thành công trong chu trình này là:
A.
B.
C.
D.

4,18 × 105 (J)
418 (J)
105 (J)
4,18 × 103 (J)

1 cal = 4,18 J


Trả lời câu 16 - 1

Trả lời câu 16 - 2

• Trong cả chu trình ΔS = 0
• Entropy không đổi trong hai quá trình đoạn
nhiệt,
• ΔS = độ biến thiên entropy trong hai quá
trình đẳng nhiệt:
∆S = ∆S1 + ∆S2
• Suy ra:

• Tổng nhiệt trao đổi trong chu trình = nhiệt
trao đổi trong hai quá trình đẳng nhiệt:
Q = Q1 + Q2 = T1∆S1 + T2∆S2

= T1∆S1 − T2∆S1 = (T1 − T2 ) ∆S1

(

)

Q = 100(K ) 4,18 × 103 J K = 4,18 × 105 ( J K )

• Câu trả lời đúng là A.

∆S2 = −∆S1

Quá trình đẳng nhiệt: ∆S = ∫

Đoạn nhiệt dQ = 0 ⇒dS = 0

Câu 17

Trả lời câu 17 - 1

Một động cơ nhiệt có tác
②
nhân là 1 mol khí lý tưởng P2
hoạt động theo chu trình
1
2
như hình bên (quá trình 2-3:
đoạn nhiệt). Chứng tỏ rằng P1 ① 3
hiệu suất của động cơ là:
e =1+γ

P1 (V1 − V2 )
V1 ( P2 − P1 )

γ là hệ số đoạn nhiệt của khí.

dQ 1
Q
= ∫ dQ =
T T
T

V1

• Quá trình 1 là đẳng tích
P2
nên W1 = 0:
Q1 = ∆U1 = CV (T2 − T1 )
③

 PV PV 
= CV  2 1 − 1 1 
R 
 R

V2

Q1 =

CV

V1 ( P2 − P1 ) > 0
R

• Hệ nhận nhiệt Qh = Q1.

②
1

2

P1 ①

3

V1

③
V2


• Quá trình 3: nén đẳng áp
W3 = −P1 (V1 − V2 )
Q3 = ∆U3 − W3

∆U3 = CV (T1 − T3 )
 PV PV 
= CV  1 1 − 1 2 
R 
 R

Trả lời câu 17 - 2

Trả lời câu 17 - 3
• Hiệu suất của động cơ:

②

P2
1

2

P1 ①

3

V1

③

e =1−

Qc
Qh

V2

e =1+γ

C

C

Q3 =  V + 1  P1 (V1 − V2 ) = P P1 (V1 − V2 ) < 0
R
 R


CP
P1 (V1 − V2 )
R
=1+
CV
V (P − P )
R 1 2 1

P1 (V1 − V2 )
V1 ( P2 − P1 )

• Hệ tỏa nhiệt Qc = Q3.

Câu 18
Xét một động cơ dùng tác
nhân khí lý tưởng lưỡng
nguyên tử hoạt động theo
chu trình Stirling gồm hai
đường đẳng nhiệt và hai
đường đẳng tích.
Động cơ hoạt động giữa hai
nguồn có nhiệt độ Th =
95°C và Tc = 24°C. Cho biết

VC/VD = 5, tìm hiệu suất của
động cơ.

Trả lời câu 18 - 1
A

B
Th
D

C

Tc

• Công trong quá trình nở
đẳng nhiệt:
WAB = −nRTh lnVB VA
• và trong quá trình nén
đẳng nhiệt:
WCD = −nRTc lnVD VC

A

B
Th
D

C

Tc

• Ta có:
VB VA = VC VD
• Vậy công toàn phần: W = −nR (Th − Tc ) lnVB VA


Trả lời câu 18 - 2

Trả lời câu 18 - 3

• Nhiệt nhận trong quá trình nở đẳng nhiệt:
QAB = −WAB = nRTh lnVB VA
• và trong quá trình nung nóng đẳng tích DA:
QAD = ∆U AD = nCV (Th − Tc )
• Nhiệt nhận trong cả chu trình Q = QAB + QAD:
Q = nRTh lnVB VA + nCV (Th − Tc )

• Hay:
W
(Th − Tc ) lnVB VA
e=
=
Q Th lnVB VA + ( CV R )(Th − Tc )
• Ta lại có:
CV
CV
1
=
=
R C P − CV γ − 1

• Vậy:
γ =7 5
Th − Tc ) lnVB VA
(
e=
Th lnVB VA + (Th − Tc ) ( γ − 1 )
e = 0,15

• Hiệu suất:
e=

W
Q

=

nR (Th − Tc ) lnVB VA
nRTh lnVB VA + nCV (Th − Tc )

Câu 19
Cho 100g nước đá ở T0 = 0°C vào một bình
cách nhiệt đựng 400g nước ở nhiệt độ T1 =
40°C. Cho biết nhiệt dung riêng của nước c =
4,18 J/g.°C, nhiệt nóng chảy nước đá λ = 333
J/g.
(a) Tính nhiệt độ cuối cùng sau khi quá trình
cân bằng.
(b) Tính độ biến thiên entropy của quá trình
trên.

Trả lời câu 19 – 1

Bình cách nhiệt

Nước
đá 0°C
(1)

Nước 40°C
Qin,1

Nước 0°C
(2)

(3)

Qout
Qin,2

Nước Tf°C

Nước Tf°C

|Qout| = Qin,1 + Qin,2


•

•

•

•

Trả lời câu 19 – 2
Nhiệt do nước ở 40°C tỏa ra:
Qout = m1c ( 40 − T f )
Nhiệt do nước đá ở 0°C hấp thụ để chuyển
thành nước cũng ở 0°C:
Qin ,1 = m0λ
Nhiệt do nước ở 0°C hấp thụ:
Qin ,2 = m0c (T f − 0)

Trả lời câu 19 – 3
•

•

Hệ cách nhiệt nên |Qout | = Qin:
m1c ( 40 − T f ) = m0λ + m0cT f
⇒ T f = 16°C

Tìm độ biến thiên entropy khi nước đá có
khối lượng m0 ở 0°C tan thành nước ở 0°C.
Xét một quá trình tan chảy thật chậm để có
thể coi là thuận nghịch, ta có:
dQ
Quá trình tan chảy
∆S1 = ∫
T0

xảy ra ở nhiệt độ
không đổi T0 = 0°C
Qin ,1
1
∆S1 = ∫ dQ =
T0
T0
mλ
∆S1 = 0
T0

Trả lời câu 19 – 4
•

•

•

Tìm độ biến thiên entropy của một vật khối
lượng m khi nhiệt độ thay đổi từ Ti đến Tf.
Đặt vật tiếp xúc với một bình điều nhiệt và
thay đổi nhiệt độ của bình điều nhiệt thật
chậm. Khi đó quá trình thay đổi nhiệt độ có
thể coi là thuận nghịch.
Độ biến thiên entropy của vật:
T

f
T
dQ

dT
∆S = ∫
= mc ∫
= mc ln f
T
T
Ti
Ti

•

c là nhiệt dung riêng của vật.

Trả lời câu 19 – 5
•

Áp dụng hệ thức trên cho các quá trình thay
đổi nhiệt độ đang xét ta có:
T

f
T
dQ
dT
∆S 2 = ∫
= m0c ∫
= m0c ln f 100g nước ở 0°C →Tf
T
T
T0

T0

T

f
T
dQ
dT
∆S3 = ∫
= m1c ∫
= m1c ln f 400g nước ở 40°C →Tf
T
T
T1
T1

•

Độ biến thiên entropy toàn phần:
∆S = ∆S1 + ∆S 2 + ∆S3

∆S = 12( J K )


Câu 20

Trả lời câu 20 – 1

Một tủ lạnh có hiệu suất bằng 3,00. Nhiệt độ
ngăn đá là −20,0°C, và nhiệt độ phòng là

22,0°C. Mỗi phút tủ có thể chuyển 30,0g nước
ở 22,0°C thành 30g nước đá ở −20,0°C.
Tìm công suất cung cấp cho tủ lạnh.
Nhiệt dung riêng của nước

Q1
Nước ở
22°C

Nước ở
0°C
Q2

4186 J/kg.°C

Nhiệt dung riêng của nước đá 2090 J/kg.°C
Nhiệt đóng băng của nước

•

W =
•

•

Nước đá
ở 0°C

3,33×105 J/kg

Trả lời câu 20 – 2
Công cung cấp cho tủ lạnh:

Nước đá
ở −20°C

Trả lời câu 20 – 3
•

Qc
K

Nhiệt bơm ra để biến 30g nước ở 0°C thành
nước đá ở 0°C:

Q2 = mH2O L

Trong đó |Qc| là nhiệt bơm ra khỏi tủ:
Qc = Q1 + Q2 + Q3
Nhiệt bơm ra để làm lạnh 30g nước từ 22°C
xuống 0°C:

Q3

Q2 = 0,03 × 3,33.105 = 9990 ( J )
•

Nhiệt bơm ra để làm lạnh 30g nước đá ở 0°C
xuống –20°C:

Q1 = mH2OcH2O ∆T

Q3 = micecice ∆T

Q1 = 0,03 × 4186 × 22 = 2763( J )

Q3 = 0,03 × 2090 × 20 = 1254 ( J )


•

Trả lời câu 20 – 4
Vậy nhiệt bơm ra (trong mỗi phút) là:
Qc = 2763 + 9990 + 1254 = 14007 ( J )

•

Công cung cấp trong mỗi phút:

•

= 4669( J )
K
3
Suy ra công suất cung cấp:

Qc

W =

P=

=

W
t

=

14007 ( J )

4669( J )
= 77,8 (W )
60( s )