Giao trinh bai tap bài tập ôn cuối kì p2 thầy lộc

1. Tìm a, α để VCB sau tương đương axα, khi
x→0

f ( x ) = ( x 2 + 1) sin x − tan x
1
a. a = ,α = 3
2
1
b. a = − ,α = 3
2
c. a = 1,α = 2
d. Các câu trên đều sai.
2. Tìm a, α để VCB sau tương đương axα, khi
x→0
2

f ( x ) = x + x − ln(1 + x )
3
a. a = ,α = 2
2
b. a = 1,α = 2
1
c. a = ,α = 2
2

d. Các câu trên đều sai.

3. Tính giới hạn lim

x →2

a.

x 2 − 6x + 8
x3 − 2x 2 + 2x − 4

1
2

1
3
c. −1
d. 1
3
t
4. Cho x(t ) = t + 1, y (t ) = te , tính y ′( x )
tại x = 0
1
a.
3
b. 1
1
c. −
3
d. 0
b. −

5. Tìm a, α để VCB sau tương đương axα, khi
x→0

f ( x ) = cos x − cosh x

1
a. a = ,α = 2
2
b. a = −1,α = 2

1
2

c. a = − ,α = 2
d. Các câu trên đều sai.

π 

6

6. Cho f ( x ) = 1 − cos x , tính f ′ 

1

a.

3 −1

b. 1

1

c.

2

(

)

3 −1

d. Các câu khác sai
7. Tìm a, α để VCB sau tương đương axα, khi
x→0

f ( x ) = tan ( x 2 + 1)sin x 
a. a = 1,α = 3
b. a = 2,α = 1
c. a = 1,α = 1
d. Các câu trên đều sai.
8. Tìm a, α để VCB sau tương đương axα, khi
x→0

f ( x ) = 1 − 2 x 2 − 3 1 − 3x 2
a. a = 2,α = 2
1
b. a = ,α = 2
2
1
c. a = ,α = 4
2

d. Các câu trên đều sai.
9. Tìm a, α để VCB sau tương đương axα, khi

x→0

f ( x ) = 1 − 2 x 2 − 3 1 − 3x 3
a. a = 1,α = 2
b. a = 1,α = 3
c. a = −1,α = 2
d. Các câu trên đều sai.
10. Tìm a, α để VCB sau tương đương axα, khi
x→0+
3

f (x) = x + x3 + x − 3 x
1
a. a = 1,α =
2
1


1
6

b. a = 1,α =

−3
128
c. 2
b.

1
3

d. Các câu trên đều sai.

d. Các câu trên đều sai.
11. Tìm a, α để VCL sau tương đương axα, khi
x→+∞

16. Tính đạo hàm cấp 4 của f ( x ) =

c. a = −1,α =

3

f (x) = x + x3 + x − 3 x
1
a. a = −1,α =
3
3
b. a = 1,α =
2
1
c. a = 1,α =
2

d. Các câu trên đều sai.
12. Tìm a, α để VCL sau tương đương axα, khi
x→+∞

f ( x ) = x − sin x
a. a = 1,α = 1

1
b. a = ,α = 3
6
c. a = −1,α = 1
d. Các câu trên đều sai.
13. Tìm a, α để VCL sau tương đương axα, khi
x→+∞

(

)

f ( x ) = ln e x − 1

a. Không tìm được a và α
b. a = 1,α = 1

x = 0 là
a. Không tồn tại.

1
5
1
c.
120
b.

d. Các câu khác sai
17. Tính đạo hàm cấp 2 của

π
π

f ( x ) = sin  2 x +  tại x =
3
6

a. 2 3
b. 4 3
c. −4 3
d. Các câu trên sai
3x − x 3
18. Tính giới hạn lim
x →3 x − 3
a. 27(ln 3 − 1 )
b. Không tồn tại ghạn
c. 27ln 3
d. Các câu trên đều sai.
19. Tính

x

c. f ( x ) ∼ e
d. Các câu trên đều sai.
2
14. Đạo hàm cấp ba của f ( x ) = cos( x − x )
tại x = 0 là
a. −6
b. 6
c. −2

d. −12
15. Tìm đạo hàm cấp 4 của
f ( x ) = 4 + 3 x 2 tại x = 0 là

−9
a.
64

sin x
tại
x

2 n + cos n
lim
n→∞
n4
0
2
+∞

a.
b.
c.
d. Không tồn tại
20. Cho

f (x) = 2x.arcsinx . Giá trị d 2 f (0) là

a. 4dx

2

b. 2dx

2

c. 4d 0

2

2

d. 2d x
21. Khai triển Taylor đến cấp 2 của

f ( x) = 4 x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1 với x 0 = 1 là
2


2

2

a. 6 + 16( x − 1) + 15( x − 1) + o(( x − 1) )
2

2

b. 1 − 2 x + 3 x + o( x )
c.

2

6 + 16( x − 1) + 15( x − 1) + o ( x )
2

d. 1 − 2 x + 3 x + o(( x − 1) )
3

22. Tính lim

1 + 3x 2 − 1 + 2 x 2
x4

x →0

a. − ∞
b. 0

π

( x = 2)
2
a. y ′(2) = −1
b. y ′(2) = 1
c. y ′(2) = −2
d. y ′(2) = 2
28. Cho f ( x ) = 2 x.arcsin x . Giá trị của
d 2 f (0) là

2
c. −
3
1
d. −
2

23. Đạo hàm cấp 3 của

f ( x) = ( x 2 + 1) cos 2 x tại π / 2 là
a. − 3π
b. 12π
c. − 12π
d. Các câu khác sai.
3

3

2

24. Cho x (t ) = t + t , y (t ) = t + 3t + t , đạo
hàm cấp 2 của y theo x tại x = 0
a. 2
b. − 6
c. 6
d. − 2
25. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = −2
 2

 x + 4 x , x ≤ −2

f ( x) = 
sinh( x + 2) − ax , x > −2
a. a = −2
5
b. a = −
2
c. a = 0
d. Không tồn tại a
26. Tìm y ′(0) nếu y ( x ) là hàm ẩn xác định
2

bởi pt: y ( y + 1) + x ( x + 1) = 0
a. 0
b. 1
c. − 1
d. 2

x (t ) = 4cos t − 2cos 2t, y (t ) = 4sin t − 2sin 2t
, tính y '( x ) tại t =

2

2

27. Cho hàm tham số

a. 4dx

2

b. 2dx

2

2
2
c. 2d 0
d. 4d x
n 2
29. Tính lim 2n + ln n
x →∞
a. +∞
b. 0
c. 1
d. 2
6
4
2 n 2 + n − 3 − n3 + 3n − 2
30. Tính lim
n →+∞
n
a. 1
b. 0
c. 2
d. +∞
31. Khi x → +∞ , VCL nào sau đây có bậc cao
nhất
a. x ln x
1
b. e x ln x

2
c. x ln x

d.

x
ln x

32. Khai triển Maclaurin của

f ( x ) = ( x + 1)ln(1 + x 2 + 2 x ) đến x 3 là
2

3

3

a. 2 x + x − 3 x + o( x )
2

b. 2 x + x −

x3
+ o( x 3 )
3
3


5x3
c. 2 x + x −

+ o( x 3 )
3
2
3
2
d. 2 x + x − 3 x + o( x )
2

3

33. Tính lim

1 + x2 − 1 + 2x2
x4

x →0

c. 0
d. Các câu khác sai.
34. Khai triển Maclaurin của
f ( x ) = 1 + sin x − cos x đến x3
1
3
1 3
a.
x + x2 −
x + o( x 3 )
2
8
48

1
1
1 3
x + x2 −
x + o( x 3 )
b.
2
8
48
1
3 2 1 3
c.
x + x + x + o( x 3 )
2
8
16
1
3 2 1 3
d.
x + x + x + o( x 3 )
2
8
16
2

có

36. Hàm số y = x 2 ln x
a. Đạt cực tiểu tại 1 / e
b. Đạt cực đại tại 1 / e

c. Đạt cực tiểu tại 0 và không có cực trị
tạ i 1 / e
d. Đạt cực tiểu tại 0 và cực đại tại
1/ e
37. Hệ số góc của tiệm cận xiên của đường
3

4

4
c. y = −1

π

2
39. Xét tiệm cận đứng của hàm số

2
3

35. Đồ thị của hàm số y = xe − x
a. 3 điểm uốn
b. 2 điểm uốn
c. 1 điểm uốn
d. Không có điểm uốn

b. y =

π

π

d. y = −

a. − ∞
b. −

a. y = −

cong y = x 3 − 3x + 2 là
a. k = 1
b. k = 2
c. k = -2
d. k = ±1
38. Tiệm cận ngang của đường cong
1− x
y = arctan
là
1+ x

y = ( x − 1)1/ x
a. Chỉ có x = 1
b. x=0, x = -1
c. Chỉ có x = 0
d. Không có tiệm cận đứng

40. Tìm α để lim an = +∞ , với
n →∞

3

an =

5

8n 3 + n + 1 − n 4 − 3n 2 + n − 2
nα + 2

α < −6 / 5
α < −1
−6 / 5 < α < −1
V ớ i mọ i α
sinh( x 1 + x 2 ), x ≤ 0

41. Cho f ( x ) = 
, tìm
2
2 x − x , x > 0
a.
b.
c.
d.

f+′ (0), f−′ (0)
a. f+′ (0) = 1, f−′ (0) = 0
b. f+′ (0) = 0, f−′ (0) = 1
c. f+′ (0) = 1, f−′ (0) = 2
a. f+′ (0) = 2, f−′ (0) = 1
42. Tìm a để hàm số y = a 2 cos x + 2 cos
cực đại tại x =

x
đạt
2

π

3
a. Không tồn tại a
b. a = 1 / 3
c. a = ±1 / 4 3
d. a = 3 / 2

43. Tính

lim

x →+∞

a.
b.
c.
d.

ln(1 + 2 x + e x )
x + ex

0
1
+∞

2

4


n4 + 3−n

n →∞

a.
b.
c.
d.

50. Đạo hàm cấp 4 của

2n + (n + 1)cosn

44. Tinh lim

+∞
0
không tồn tại
2

2
45. Cho f ( x ) = x.e x −1 . Giá trị d 2 f (−1) là

a. −10dx 2
b. 2dx 2

c. 2e −1dx 2
d. −10e −1dx 2
46. Cho f ( x ) = 1 − x 2 arcsin x . Giá trị của
df (1 / 2) là

π

a. −

dx

6 3

π

a.

dx

b.

3 3

ln 3 n

c.

π

47. Tính lim

sin n
2
n →∞ n 4
a. + ∞
b.

d.

π
2

n →∞

3
2

lim an = −∞ nếu α > 1

n →∞

lim an = 0 nếu α > 1

n →∞

lim an = 0 nếu α > −

n →∞
n →∞

3

1 − 3x 2 − 1
2x
2
b. e sin x
c. tan x − sin x
x2

lim an = −∞ nếu α > −

(

3
2

)

53. Tính lim n n 2 − 1

c. 0
d. Không tồn tại.
48. Khi x → 0 , VCB nào sau đây có bậc thấp
nhất
a.

trình x.2 xy + ( x − 1)y − 2 = 0 . Tìm y’(1)
3 − 2ln2
a.
−2ln2
3 + 2ln2

b.
2ln 2
3 − 2ln2
c.
2ln 2
−3 − 2ln2
d.
2ln2
52. Cho dãy {an } ,

3

an = nα −1  n5 + n − n5 − 2n  , kết luận


nào dưới đây là đúng

 π

b.  −
+ 1 dx
 3 3 
 π

c.  −
+ 1  dx
 6 3 
d. −

f ( x ) = ( x 2 + 2 x )cos( x 2 + x ) tại 0 là

a. -60
b. 0
c. 60
d. 120
51. Cho hàm số y = y(x) xác định từ phương

a.
b.
c.
d.

0
ln 2
∞
Các câu khác sai

54. Tính lim

x →+∞

x

d. e − e
49. Khi x → 0 , VCB nào sau đây có bậc thấp
nhất

a.
b.
c.
d.

x sinh 2 x − ( 2 x − 1) cos x
x2 + x + 1

+∞
0
Không tồn tại.

−∞

a. e 2 x sin2 x
b. (cos x )tan x − 1
c.

x + x2 + x x

d. x
5


1 + arctan2 x − 3 cos x

55. Tính lim

x

x →0

2

2

a.
b.
c.
d.

π
2

, tính y ′( x ) tại x = 0

a. e
b. −1

y′ ( 0 ) = 0

c. 1
d. Các câu khác sai.
(10 )

4

(0) với f ( x ) = ( x + 1)ln(1 + x )

4
15
2
b.
15

a.

c. −

4
15

d. Các câu khác sai.
58. Cho f ( x ) =
a.
b.
c.

−1
1

Không tồn tại
Đáp số khác

61. Cho dãy số {an } thỏa an +1 = 2 + an
Biết dãy đã cho hội tụ, tính giới hạn của
dãy.
a. 2
b.

2

c.

2+ 2

d.
2 + 2 + 2 + ...
62. Tìm khai triển Maclaurin cấp 3 của hàm số

x 2 − 3x

f (x) =

4
10
f ( ) ( 0 ) = − × 10 !
15

1
(1 − x )2

, tính f

9!
29
9
210
9!

210
9!
d. −
210

x − arcsin x
59. Tính lim
x → 0 sin x − tan x
a. 1
b. 0

(8) −1
( )

−1

x

x →0


57. Tìm f

(1 + )

60. Tính lim

d. Các câu khác sai.
56. Cho x (t ) = ln(1 + sin t ), y = ln(cos t ) ,

π

d. Các câu khác sai
1

+1
2 x
x

5
a.
6
7
b.
6
3
c.
2

−

1
3

c.

x 2 + 3x + 3
4
2
a. − x + x 2 + x 3 + o x 3
3
3
4
2
b. − x + x 2 − x 3 + o x 3

3
3
4 2
c. − x + x − x 3 + o x 3
3
4 2 2 3
d. − x − x + x + o x 3
3
3
63. Tìm miền xác định của f ( x ) = arcsin(ln x )

( )
( )
( )
( )

a. e −π / 2 , eπ / 2 


b. ( 0,+∞ )

c.

( 0,1]

d. e −1, e 



(

2

64. Tính lim cos x + sin x
x →0
1
a. e 2
−

1
2

−

1
4

b. e
c. e

)

x +1
2
x − 3x tan x

d. e −1

6

65. Tính

( −1)n 4n − 3n +1
lim
n →∞ 3n + 2 − ( −1)n +1 4n +1

c. Không tồn tại
3
7
d. a = , b =
10
10

a. 0
1
b.
4
c. Không tồn tại.
1
d. −
4
66. Cho hàm ẩn y = y ( x ) xác định từ phương
x
trình ln
+ y 2 − y + x = 0 . Biết y (1) = 0 ,
x+y
′
tính y (1)
1

a. −
2
b. 0
c. 2
1
d.
2
67. Tìm α để g ( x ) = xα đồng bậc với
3
3
f ( x ) = x 3 / 2  x 4 + 3x 2 − x 4 − x  khi


x → +∞
5
a.
6
17
b.
6
4
c.
3
d. 1

7
68. Tính f ( ) ( −2) với f ( x ) = ln( 2 x + 5)

a.

27
7

b. 27 6 !
c. −27.6 !
d. 27.7 !
69. Tìm các hằng số a, b để
f ( x ) = ( x + 1)ln(1 + x ) xấp xỉ bằng
g ( x ) = (a + b )x + ( 2a − 3b )x 2 khi x → 0
7
3
a. a = , b =
10
10
1
b. a = 1, b =
2

7


Bài tập KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. TÌM CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ SAU

x 3
− x
3
2. y = ( x + 2 ) | x − 3 |

1. y =

3. y = ( x − 3) x
4. y = 3 x + 1 − 3 x − 1

1

+ e
x


5. y = ln 

(

6. y = ln 1 + e

−x

)

7. y = 2 x + 2 − 3 3 ( x + 1)
8. y =

3

2

x3 − 3x 2

B. TÌM TIỆM CẬN CỦA CÁC ĐƯỜNG CONG SAU

1. y =

3

x3 − 3x 2

1

+ e
x

1

3. y = x ln  + e 
x

2. y = ln 

4. y = 2 x +

ln ( x + 1)

x2
1− x
5. y = arctan
1+ x
6. y = x.e

−3/ x

1/ x

7. y = (1 + x )
8. y =

x
ln x
1/ x

9. y = e


C. VẼ ĐỒ THỊ

x2
1. y = 2
x −4
ln x
2. y =
x
3. y = 2 x + 2 − 3 3 ( x + 1)
4. y = ( x + 1) ln

2

2

( x + 1)

3 −x

5. y = x .e

2 1/ x

6. y = x .e

7. y = ln x − x + 1
D. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT
2

[ ]

1. y = x ln x, x ∈ e,9

2. y = ( 2 x − 3) | 3 − 5 x |, x ∈ [1,2]
3. y = ( 2 x − 3) | 3 − 5 x |, x ∈ [ −1, 2]

x 3
− x
3
x
5. y = − 3 x , x ∈ [ 0,1]
3
4. y =


-1-

Tích Phân Bất Định –Xác Định.

Bài 1: Tính nguyên hàm hàm hữu tỷ:
dx

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫(

x2 − x − 6
dx

x3 + 6 x 2 + 11x + 6
x2 − 5 x + 9

x2 − 5 x + 6
x2 − 5 x + 9
x2 − 6 x + 8
3

dx

dx

2

2

dx

( x + 3)( x − x + 1)
1
2

dx

)(

2

x − 4x + 3 x + 4x + 5

)

dx

5 x2 + 6 x + 9
( x − 3)2 ( x + 1)2
3x + 5
( x 2 + 2 x)2

dx

dx

(

)

x 4 x3 + 1

∫(
∫
∫

2

x 2dx
10

x − 1)
3

x3 + 1

dx
2

x4 − 1

2

2x + x + 5x + 1

x( x + 1)

∫
∫

∫
∫

x4

dx

8( x3 − 1)
3

4x − x

dx

dx


-2-

Bài tập 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến:

∫
∫(
∫
∫
∫
∫(
∫
∫
∫

∫

ex

e

2x

dx

−1
2

cos 2 x + sin 2 x ) dx

1 + sin 3 x
cos 2 3x

dx

xdx
2

sin(2 x + 1)

sin 3 3 x cos3 xdx
x2
11

2 x − 1)

dx

dx
sinh x.cosh x
5

x 5 − x 2 dx
e x dx
e2 x − 2

arcsin x + x
1 − x2

dx

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

x2
1− x

2

e2 x
x

dx

dx

e +1
dx
x x2 − 1
1+ x
dx
1+ x
sin 3 x
dx
cos x
x2 + 1
dx
x
dx
x2 4 − x2
1 − x 2 dx

3 1 − ln x

x

dx

2
esin x sin 2 xdx


-3Bài 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến:

∫
∫
∫
∫

x+2

dx

2

x −1
e

x

x

1 − e dx
ax

1 + a2 x

dx

xdx
4 − x4

∫
∫
∫
∫

x2
1+ x

6

dx
2

x
 x
− 
 e a − e a  dx





arcsin x
1− x

2

dx

x − arctan 2 x
1 + 4 x2

dx

Bài 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần:

∫
∫
∫
∫
∫(
∫
∫

x arcsin xdx
x sin x cos xdx
x arctan xdx
2

2

x ln xdx

)

x 2 + 5 x + 6 e x dx
x

e

x

dx

ln x
x3

dx

∫
∫
∫
∫
∫
∫

ln  x + x 2 + 1  dx


x2 − 2 x + 5
ex
xdx
sin 2 x
e x sin xdx
sin ( ln x ) dx

xe x cos xdx

dx


-4-

Bài 5: Tính các nguyên hàm các hàm số vô tỷ sau:

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫(

dx
2 x2 + 3x + 4
dx
x − x2
3x − 6
x2 − 4 x + 5
2x − 8
1 − x − x2

dx

dx

xdx
5x2 − 2 x + 1
dx

x 1 − x2
dx

x x2 + x − 1
dx
x − 1) x 2 − 2

∫(
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

dx
x + 1) x 2 + 2 x
x − x 2 dx
2 − x − x 2 dx
xdx

x4 − 4 x2 + 3
cos xdx

sin 2 x − 6sin x + 12
e x dx
1 + e x + e2 x
sin xdx
cos 2 x + 4cos x + 1
ln xdx

x 1 − 4ln x − ln 2 x


-5Bài tập 6: Tính nguyên hàm các hàm số vô tỷ sau:
x −1
x3dx
x
dx
x +1
x −1

∫
∫
∫
∫
∫

3

x +1
dx
x −1
x+3

x

2

dx

2x + 3

x +1 − x −1
dx
x +1 + x −1
xdx
4 x3 (1 − x )

∫
∫
∫
∫(
∫

Bài 7: Tính nguyên hàm các hàm vô tỷ sau:

dx
x +1 +

( x + 1)3

dx
x+3x

x +1 + 2
2

x + 1) − x + 1

xdx
x+2

dx


-6-

∫
∫(
∫
∫
∫
∫

dx

x5 x 2 − 1
dx
3

x + 1)

x2 + 2x

x2 + x + 1
2

dx

x x − x +1
x
dx
4− x

x

x2 + 1

x x4 + 1

∫
∫
∫
∫(
∫

x 2 x 2 + 4dx

dx

x 2dx
x2 − x + 1
x5dx
1 − x2

dx
2 x − 3) 4 x − x 2
x6dx
1 + x2

x 2 + k dx

Bài 10: Tính nguyên hàm:
cos 2 x
dx
∫ tan xdx ∫ tan xdx ∫ sin 6 x dx
∫ sin 2 x cos3 x
dx
dx
dx
∫ sin x cos3 x
∫ tan x ∫ sin x
∫ sin x sin 2 x sin 3xdx
dx
3sin x + 2cos x
dx
∫ 1 + sin x + cos x ∫ 3cos x + 2sin x dx
∫ sin 2 x − 5sin x cos x
1 − sin x + cos x
dx
dx
dx
2
2
∫ 1 + sin x − cos x ∫ sinh x cosh x

∫ sinh x cosh 2 x
dx
dx
sinh xdx
dx
∫ 2sinh x + 3cosh x ∫ 2 tanh x − 1
∫ cosh 2 x
∫ sin 3 x cos5 x
4

5

sin x cos3 x
dx
∫ cos2 + 1 dx ∫ sin x sin ( x + 1)
Bài 11: Tính tích phân xác định sau:


-7-

∫

5

π

2
0

∫

x dx

2

0

∫

9

π

2
0

5 3

(1 + x )

∫

4

0

15

x dx

2
5

0

(1 + x )

x
ln 5 e
dx
ex −1
dx
2cos x + 3 ∫0
ex + 3

sin x cos xdx
2cos 2 x + 3sin 2 x

∫

8 2

3

∫

2

x 1 + x dx
dx

2

0

5

( x + 1)

x +1 +

π

π

2

2

sin x sin 2 x
∫π 1 + e x dx

−

∫
π

2

3

∫

π

4
0

∫

16

1

x sin x
dx
cos3 x
arctan

cos3 x
dx
3
sin x

4

Tích Phân Suy Rộng
Bài 1: Xét sự hội tụ của tích phân sau:
1

∫
0
1

∫
0

∫

0 3

∫

1

x − x2
xdx

x + 3 x5 + x 2
dx

1 − x4
dx
x ( e x − e− x )

1 − x4
2 dx
∫1 ln x
+∝
dx

0 3

∫

−1

1

+∞

π

+∞

 1 
sin
∫0  cos x  dx

1

dx
∫0 ln x
2

dx

0

dx

1

∫

+∝

x2 + 3 x4 + 1

∫ sin xdx
0

∫
0

cos x
dx
x

∫
0 3

x 2 dx
2 5

(1 − x )

x − 1dx


-8Bài 2: Tính tích phân suy rộng sau:

∫

1

−∝

+∞

et dt

∫

dx
∫−∝ x 2 + 2 x + 2
+∞
1
∫3 ( x + 1)( x − 2) dx
+∞

+∞

1

∫ ( x − 1)( x + 2)( x + 3) dx
2

+∞

(5 x − 3)

dx
2
+ 2 x − 1)

∫ ( x − 2)(3x
3

+∞

∫
2

+∞

∫
0

+∞

∫
1

+∞

∫
0

+∞

∫

1

+∞

2

( x + 1)
dx
x( x − 1)2

+∞

∫e

(x

2

+ 1)

2

1
2

0

( x)

+∞

−2 x

dx

0

+∞

∫e
0

∫
0

∫
0

+∞

∫
1

+∞

∫
0

dx

1
dx
x + 1)

∫ cosh
∫ xe

dx
+1

4x

2x
dx
4x + 1
dx
ex − 1
dx
sinh x
xdx
2x

dx

2

1

+∞

+∞

dx
2

+ ex

∫ x(ln

x+3
dx
x( x 2 + x + 1)

x 2 + 12

x

0

+∞

x2
dx
x6 + 1

1

+∞

1

dx
x2 + x + 2

∫ ( 2 x + 3)
1

0

dx
e x + e− x

dx


-9+∞

∫x

2

x −1

1

+∞

2

∫x
1

2

+∞

(

0

∫ (x

−∞

2

x2 − 1

1
1

x2 + 1 + x

+∞

dx

∫x
dx

∫

dx
x −1

2

xdx
x3 − 1

∫

1 − x2

−1

dx
(1 + x) x

∫

dx

∫ (4 − x)

2

2

+∞

1

dx

)

∫

2

(2 −

3

)

x − x3 dx
5

0

x3

dx
+ x + 1)3

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị α để tích phân suy rộng sau hội tụ:
+∞

∫

1
+∞

1

 e3/ x − 1 
ln 1 +
 dx

α



∫ (2 + x)

arctan 3 x
α

∫

∫ (x

dx

0
+∞

∫

1

dx
x 2 + 2 xα

1
+∞

∫

1
1

∫ x + 2x dx

∫

1

0

α

0

π

sin x cos xdx

( x3 − 1)α

5

dx

x − x +1

3

1

β

)

+ ln(1 + x 2 ) x5α

dx

dx
x
α
e +x

α

4

∫ ( x + sin x ) x

x

π

) dx

dx

7

1
+∞

1
+∞

∫

α

ex − 1

0
1

0
+∞

∫

(

ln 1 + x

∫ sin

dx
α

0

x

∫

+∝

0

α

eα x − 1 + x
dx
cosh x − cos x

β

xα ( 1 − x ) dx


- 10 -

Ứng Dụng Tích Phân
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
1. y = 4 x − x 2 và Ox
2. y = ln x, Oy, x = e
3. x = y 2 , y = 1, x = 8
3

5. y = x , y = 8, x = 0
2

7. y = 2 x − x , y = − x
1
x2
,
y
=
2
1 + x2
Bài 2: Tính độ dài đường cong:
1. y 2 = x3 , x = 4

9. y =

3. y = e x , x = 0...1

4. xy = 4, x = 1, x = 3, y = 0
6. x 2 + y 2 = 8, y 2 = 2 x (tính riêng từng phần)

x2

8. y = x , y = , y = 2 x
2
2

10. y = e x , y = e − x , x = 1>0
2. y = 2 x , x = 0..1

4. y = ln x, x = 3... 8
1
1
5. y = arcsin e− x , x = 0...1
6. x = y 2 − ln y, y = 1...e
4
2
Bài 3: Tính vật thể khi cho miền phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục toạ độ
tương ứng:
x3
1. y = ( 0 ≤ x ≤ a ) , ox
2. y = sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy
3
2 y = x 2
4
3. y = x sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy
2 x + 2 y − 3 = 0
Bài 5: Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay quanh các đường sau quanh trục tương ứng:
x3
1. y = ( 0 ≤ x ≤ a ) , ox
2. y = x sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy
3

( )


- 11 -

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CẤP 1
1.xyy ′ = y 2 + 2 x 2
y

2.xy ′ = xe
1+ x 2

3.e

x

+y

e2 x
tgydx =
dy
x −1

4.y ′ = 2 x−y
5.( x + y − 4)dy + ( x + y − 2)dx = 0
6.y ′ cos x + y = 1− sin x
7.y ′( x + y 2 ) = y
8.4 xy ′ + 3 y = −e x x 4 y 5
9.y ln3 y + y ′ x + 1 = 0

10.y ′ = e x +y + e x −y
11.( x 4 + 6 x 2 y 2 + y 4 )dx + 4 xy ( x 2 + y 2 )dy = 0
12.(2 x + y + 1)dx + ( x + 2y − 1)dy = 0,
13.y ′ +

xy

= arcsin x + x
1− x 2
14.y = xy ′ + y ′ ln y
15.ydx + ( x + x 2 y 2 )dy = 0
1
16.y ′ =
1− xy


- 12 -

17.( x 2 ln y − x )y ′ = y
18.y ′x 3 sin y + 2y = xy ′
19.y ′ =
20.

y2
2 xy + 3

y ′ 2x y
arctgx
−
=

4
y 1+ x 2
1+ x 2


- 13 -

x
1
= − ( y 2 + 2y ).x −1
2
2
dy
dx
cos y − sin y − 1
22.y ′ =
→
=
cos x − sin x + 1 cos y − sin y − 1 cos x − sin x − 1
y
y
3 sin(3 )
x
x
23.3 y sin(3 y )dx + ( y − 3 xs in(3 y )dy = 0 → y ′ =
x
x
y
y
3 sin(3 ) −

x
x
y
1+
x+y
x
24.y ′ =
→ y′ =
y
x−y
1−
x
21.( y 2 + 2y + x 2 )y ′ + 2 x = 0 → x ′ +

25.2 xdx = ( x 2 + y 2 − 2y )dy → 2( xdx + ydy ) = ( x 2 + y 2 )dy
→ 2d ( x 2 + y 2 ) = ( x 2 + y 2 )dy , dat : u = x 2 + y 2
y
y2
26.y ′ −
=
x −1 x −1
27.y ′ + y = e
28.y ′ −

x

2

y ( pt − Bernoulli , α = 1
2

y
= x ln x
x ln x

29.(e x sin y + x )dx + (e x cos y + y )dy = 0

30.2( x + y )y ′ = ( x + y )2 + 1, dat : u = x + y
31.y ′ − y = 3e x y 2 ( pt − Bernoulli , α = 2)
2

2 3

32.(1 + 2 x )y ′ + 2 xy = (1+ 2 x ) → y ′ + y

2x
1+ 2 x

2

=

(1+ 2 x 2 )3
1+ 2x 2


- 14 -

33.xy ′ = y cosln

y
y
y
→ y ′ = cosln
x
x
x

34.(2 x 2 y ln y − x )y ′ = y ( pt − Bernoulli − x = x ( y ))
35.y cos xdx + sin xdy = cos 2 xdx (PTVPTP )
2y
36.e y dx + ( xe y − 2y )dy = 0 → x ′ + x =
ey
1
arcsin x
=
37.y ′ 1 + x 2 + y = acr sin x → y ′ + y
1+ x 2
1+ x2
38.y ′ − 2ytgx + y 2 sin2 x = 0( pt − Bernoulli )
y
y
39.x 2 y ′ − y 2 − xy = x 2 → y ′ = 1 + + ( )2
x
x


- 15 -

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

1.y ′′ − 5 y ′ + 6 y = x cos x, y r = ax + b )cos x + (cx + d )sin x
2.y ′′ − 5 y ′ + 4 y = ( x 2 + 1)sin x, y r = (ax 2 + bx + c )cos x + (dx 2 + ex + f )sin x
3.y ′′ − 5 y ′ + 6 y = xe 2 x , y r = xe 2 x (ax + b )
4.y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 2e2 x , y r = x 2e2 x .a
5.y ′′ + 4 y = cos 2 x + x sin2 x, y r = (ax + b )cos 2 x + (cx + d ) sin 2x
6.y ′′ − 6 y ′ + 9 y = xe3 x + cos 2 x,
y r 1 = (ax + b )e3 x , y r 2 = a cos 2 x + b sin 2 x
7.y ′′ + y = tgx,giai bang pp bien thien hang so
8.y ′′ + 9 y = 2sin x sin 2 x(= cosx - cos3x),
y r 1 = a cos x + b sin x, y r 2 = x (a cos3 x + b sin3 x )
9.y ′′ + 5 y ′ + 6 y =

1
1+ e

2x

,giai bang pp bien thien hang so

10.x 2 y ′′ + xy ′ + y = sin(2ln x ), pt − Euler
11.x 2 y ′′ + 3 xy ′ + y = 1 , pt − Euler
x
x3
2 ′′
′
12.x y − 3 xy + 4 y =
, pt − Euler
2

13.(4 x − 1)2 y ′′ − 2(4 x − 1)y ′ + 8 y = 0, dat : 4 x − 1 = et

14.x 2 y ′′ − xy ′ + y = cosln x, pt − Euler


- 16 -

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU BẰNG
PHƯƠNG PHÁP KHỬ
 dx
 = 2 x + y
 dt
1.
, x ′′ − 4 x ′ + 3 x = 0
 dy
 = x + 2y
 dt
 dx
 = 4 x + 6 y
 dt
2.
, x ′′ − 22 x ′ + 20 x = 6t
 dy
 = 2 x + 3 y + t
 dt
 dx
 = x + et
 dt
3.
,
 dy
 = y + t

 dt
 dx
x
 = −2 + 1
t
 dt
4.
, t 2 x ′′ + 2tx ′ − 2 x = 0,
 dy
2x
−1
 = x + y +
t
 dt
 dx dy
 +
= 2 x + 6 y − cos t
dt
dt
5.
, x ′′ − 4 x ′ = 2cos t + 7 sin t
 dy
 = x + 3 y + sin t
 dt