Giao trinh bai tap bài tập

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

Nguyễn Hồng Lộc
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP. HCM — 2013.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2013.

1 / 10


Câu 1
Tính tích phân kép √
I =
|(y − x)(y + 3x)|dxdy với
D

D = {x 2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2013.

2 / 10

Câu 1
Tính tích phân kép √
I =
|(y − x)(y + 3x)|dxdy với
D

D = {x 2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}
Để phá dấu trị tuyệt đối, chia D làm 2 miền, một
miền hàm dưới dấu trị tuyệt đối > 0 và miền còn
lại hàm < √
0
y ≥ 0} ,
D1 = {−x 3 ≤ y ≤ x, x 2 + y 2 ≤ 1, √
D2 = D − D1,f (x, y ) = (y − x)(y + 3x)
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2013.

2 / 10


I =−

f (x, y )dxdy +
D1

D2

I = −2

f (x, y )dxdy +
D1

I =
2π/3

−2
π/4
π

f (x, y )dxdy
f (x, y )dxdy
D

√
d ϕ (rsinϕ − rcosϕ)(rsinϕ + 3rcosϕ)rdr
1

0
1

d ϕ (rsinϕ − rcosϕ)(rsinϕ +

+
0

√

3rcosϕ)rdr

0

I = ...
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2013.

3 / 10


Câu 2
Tính tích phân mặt loại hai
(x 3 +1)dydz +(y 3 +2)dzdx +(z 3 +3)dxdy ,

I =
S

với S là phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 2z, bị cắt
bởi mặt phẳng z = 1, lấy phần z 1, mặt phía
trên theo hướng trục Oz.

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2013.

4 / 10


Áp dụng công thức trực tiếp sẽ khó vì hàm z rút
ra phức tạp. Ở đây ta áp dụng công thức G-O
nhưng mặt chưa kín nên ta phải thêm vào để được
mặt kín, thêm vào mặt S1 : {z = 1, x 2 + y 2 ≤ 1}
hướng xuống theo hướng trục Oz.Chú ý hướng của
mặt S1, chọn hướng xuống để toàn bộ mặt hướng
ra ngoài.(z=1 nên dz=0)
I =
−
=
− 4dxdy
S+S1

S1
2

I =3

S+S1
2

S1
2

(x + y + z )dxdydz + 4
V

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

dxdy = ...

Dxy
ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2013.

5 / 10


Câu 3
∞

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

(2n + 1)!
n
2
n=1 3 .(n!)

TP. HCM — 2013.

6 / 10


Câu 3
∞

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

(2n + 1)!
n
2
n=1 3 .(n!)

an+1
n→∞ an
(2n + 3)!
3n .(n!)2
D = lim n+1
n→∞ 3
.((n + 1)!)2 (2n + 1)!
(2n + 2)(2n + 3)
D = lim
= 4/3 > 1
n→∞
3n2
Theo dấu hiệu D’Alambert chuỗi này phân kỳ.
D = lim

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2013.

6 / 10


Câu 4
Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
n2
∞
n
+
1
(−1)n n
n+3
n=1

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2013.

7 / 10


Câu 4
Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

n2
∞
n
+
1
(−1)n n
n+3
n=1
n2

n+1
n+3
|an | = e −2 < 1

an = (−1)n n
C = lim

n→∞

n

Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi này hội tụ tuyệt đối.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2013.

7 / 10

Câu 5
∞

Tính tổng của chuỗi số S =

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

1
1
n
n=1 3 (n + 2 )

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2013.

8 / 10


Câu 5
∞

1
1
n
n=1 3 (n + 2 )
√
∞
∞

1
2 3
√
S=
=
1
n
2n+1 (2n + 1)
n=1 3 (n + 2 )
n=1 ( 3)
√ ∞ x 2n+1
S(x) = 2 3
, x = √13
n=1 2n + 1
Chia cho (2n+1) nghĩ đến nguyên hàm của xn2,
∞
1
n
2
n=0 x . Thay x bởi x :
1−x =
∞
1
2n
=
2
n=0 x .Lấy nguyên hàm
1−x
Tính tổng của chuỗi số S =

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2013.

8 / 10


2n+1

∞ x
1
+ C = 1−x
2 dx =
n=0 2n+1
Thay x = 0 vào 2 vế, ta được C=0
1+x
x 2n+1
Do đó: 12 ln| 1−x
|= ∞
n=0 2n+1
2n+1
∞
√
x
S(x) = 2 3(
− x)
2n
+

1
√ n=0
1+x
| − x)
S(x) = 2 3( 12 ln| 1−x
1
√ 1 1+ √3
S = 2 3( 2 ln| 1− √1 | − √13 )
1+x
1
ln|
2
1−x |

3

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2013.

9 / 10


THANK YOU FOR ATTENTION

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2013.

10 / 10