Nghiên cứu ứng dụng công nghệ mạng nơ ron tế bào vào giải phương trình truyền nhiệt ba chiều

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng
dẫn của TS. Vũ Đức Thái. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung
thực, bảo đảm tính khách quan, luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ
tại bất kỳ hội đồng nào và chưa hề được công bố trên bất kỳ phương tiện nào
khác. Các tài liệu tham khảo có nguồn gốc xuất xứ rõ ràng.
Tác giả xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.

Thái nguyên, ngày 24 tháng 6 năm 2016
Tác giả luận văn

Đỗ Anh Tuấn


LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS. Vũ Đức Thái đã trực tiếp giao
cho em đề tài, tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho em hoàn thành
luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, các cán bộ nhân viên
phòng Đào tạo, Lãnh đạo Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền
thông đã giúp đỡ tạo điều kiện cho em hoàn thành bản luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của gia đình, bạn
bè và tập thể lớp Cao học K13C đã cổ vũ động viên tôi hoàn thành tốt luận
văn của mình.

Thái nguyên, ngày 24 tháng 6 năm 2016
Học viên

Đỗ Anh Tuấn

i

MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ
MỤC LỤC..........................................................................................................i
DANH MỤC CAC TỪ VIẾT TẮT .................................................................iii
DANH MỤC CAC HINH ...............................................................................iv
DANH MỤC CAC BẢNG ...............................................................................v
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
CHƯƠNG I GIỚI THIỆU BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT ............................. 2
1.1. Phương trình vi phân và phương trình vi phân đạo hàm riêng.................. 2
1.1.1. Các dạng phương trình đạo hàm riêng giải trên CNN ........................... 2
1.1.2. Điều kiện biên và điều kiện ban đầu ..................................................... 3
1.1.3. Ổn định nghiệm phương trình đạo hàm riêng giải trên CNN................. 3
1.1.4. Phương pháp sai phân Taylor ............................................................... 8
1.2. Các khái niệm cơ bản về công nghệ mạng nơron tế bào ........................ 11
1.2.1. Kiến trúc, mô hình toán học của mạng................................................ 11
1.2.2. Một số ứng dụng của công nghệ CNN ................................................ 13
1.3. Giới thiệu một số phương trình đạo hàm riêng giải trên CNN ............... 16
1.3.1. Phương trình Burger ........................................................................... 16
1.3.2. Phương trình Navier-Stokes................................................................ 18
1.3.3. Phương trình truyền sóng âm .............................................................. 21
1.4. Kết luận ................................................................................................. 22
CHƯƠNG II CÔNG NGHỆ CNN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN NHIỆT 3 CHIỀU ......................................................................... 23
2.1. Mối quan hệ giữa mạng CNN và phương trình đạo hàm riêng ............... 23
2.2. Phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng bằng công nghệ mạng
nơron tế bào ................................................................................................. 27

ii

2.2.1. Mẫu và thiết kế mẫu ........................................................................... 27
2.2.2. Mẫu và sự ổn định của mạng CNN ..................................................... 29
2.3. Phương trình truyền nhiệt 3 chiều và các ràng buộc .............................. 30
2.4. Giải phương trình truyền nhiệt 3 chiều bằng CNN................................. 33
2.4.1. Phân tích sai phân Taylor phương trình truyền nhiệt 3 chiều .............. 33
2.4.2. Thiết kế mẫu CNN cho phương trình truyền nhiệt 3 chiều .................. 34
2.4.3. Kiến trúc điện tử cuả mạng nơ ron giải phương trình truyền nhiệt 3 chiều.... 35
2.4.4. Lưu đồ thuật toán tính toán trên CNN................................................. 37
2.5. Kết luận ................................................................................................. 39
CHƯƠNG III CÀI ĐẶT TÍNH TOÁN MÔ PHỎNG ................................... 40
3.1. Xây dựng tham số cho phương trình truyền nhiệt 3 chiều ...................... 40
3.1.1. Các thông số vật lý của phương trình................................................. 40
3.2 Thiết kế thuật toán tính toán ................................................................... 40
3.3 Cài đặt chương trình và thử nghiệm........................................................ 41
3.4 Đánh giá kết quả tính toán ...................................................................... 48
3.5 Kết luận .................................................................................................. 48
KẾT LUẬN.................................................................................................. 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 51


iii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt

Tiếng Anh

Tiếng Việt

CNN Cellular Neural Network

Công nghệ mạng nơron tế bào

PDE

Phương trình đạo hàm riêng

Partial Difference Equation

FPGA Field Programmable Logic Array Ma trận cổng logic lập trình được

VLSI Very Large Scale Intergrated

VHDL

Chip tích hợp mật độ cao

VHSIC hardware description

Ngôn ngữ đặc tả phần cứng dùng

language

lập trình cấu hình chip FPGA

iv

DANH MỤC CÁC HÌNH
Trang
Hình 1.1 Kiến trúc CNN chuẩn .................................................................

12

Hình 1.2 Một cell của CNN tuyến tính đơn giản .......................................

12

Hình 1.3 Minh họa kết quả giải phương trình ...........................................

17

Hình 1.4 Mô hình mẫu của phương trình truyền âm 3D ………………..

21

Hinh 2.1 Mạch CNN hai lớp. Lớp u có ảnh hưởng đến lớp v ..................

24

Hình 2.2 Lưới sai phân 2 chiều ..................................................................

24

Hình 2.3 Mô hình mạch cho bài toán giải hệ PDE ....................................

27

Hình 2.4 Các mẫu đảm bảo điều kiện ổn định của mạng CNN .................

29

Hình 2.5 Các mẫu CNN .............................................................................

30

Hình 2.6 Sai phân bài toán truyền nhiệt tổng quát ..................................

34

Hình 2.7: Sơ đồ khối CNN 3D cho giải phương trình truyền nhiệt .........

36

Hình 2.8 Khối xử lý số học của mạng CNN giải PT truyền nhiệt ...........

37

Hình 2.9 Thuật toán tính toán trên mạng nơ ron tế bào ...........................

38

Hình 3.1 Lưới giá trị các tế bào lớp 1 thời điểm ban đầu ..........................

42

Hình 3.2: Lưới giá trị các tế bào lớp 1 sau thời gian t=5s........................

44

Hình 3.3 Lưới giá trị các tế bào lớp 2 khởi tạo ban đầu ............................

45

Hình 3.4: Lưới giá trị các tế bào lớp 2 sau thời gian t=5s........................

47


v

DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 3.1 Các tham số vật lý cho bài toán truyền nhiệt

40

Bảng 3.2: Giá trị nhiệt độ các tế bào lớp 1 thời điểm ban đầu

42

Bảng 3.3 Giá tri nhiệt độ các tế bào tính được ở lớp 1 sau thời gian t

44

Bảng 3.4 Giá trị nhiệt độ các tế bào lớp 2 thời điểm ban đầu

45

Bảng 3.5 Giá trị nhiệt độ các tế bào tính được ở lớp 2 sau thời gian
t=5s

47


1

MỞ ĐẦU
Trong nhiều bài toán khoa học các đại lượng biến thiên phức tạp theo
nhiều tham số không gian, thời gian và các điều kiện ràng buộc của các quy
luật tự nhiên, định luật vật lý, hóa học.... Để giải quyết các bài toán trên
thường đưa đến việc giải phương trình vi phân, thậm chí là phương trình vi
phân đạo hàm riêng.
Phương trình vi phân có nhiều loại, có nhiều cách giải khác nhau như:
phương pháp giải tích, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân,
phương pháp không lưới. Để giải trên máy vi tính hoặc các công cụ tính toán
chuyên dụng ta phải rời rạc hóa mô hình liên tục với các công thức sai phân.
Các máy vi tính hiện nay có thể giải được nhưng với tốc độ hạn chế, một số
trường hợp không đáp ứng được với ứng dụng trong thời gian thực.
Công nghệ mạng nơron tế bào (CNN) là mô hình tính toán song song vật
lý với các mảng các chip có mật độ lớn thực hiện tính toán đồng thời [10,11].
Việc áp dụng công nghệ mạng nơron tế bào vào giải phương trình đạo hàm riêng
đạt được tốc độ tính toán rất cao đáp ứng nhu cầu cho các bài toán trong thời
gian thực.
Nhằm tìm hiểu và nắm bắt, vận dụng kiến thức vào giải quyết một bài

toán cụ thể, được sự đồng ý của giáo viên hướng dẫn, em chọn đề tài:
“NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ MẠNG NƠRON TẾ BÀO
VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 3 CHIỀU”. Mục tiêu của
luận văn là tìm hiểu những nội dung lý thuyết cơ bản về công nghệ CNN và
phương trình truyền nhiệt. Nghiên cứu một dạng phương trình truyền nhiệt
trong không gian 3 chiều, phân tích, thiết kế mạng CNN dựa trên việc phân
tích thiết kế mẫu cho các phương trình. Cài đặt chương trình mô phỏng tính
toán đưa ra kết quả tính toán giải phương trình với một số giá trị biên, giá trị
ban đầu giả định. Nội dung luận văn gồm các nội dung sau:


2

CHƯƠNG I
GIỚI THIỆU BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT

1.1. Phương trình vi phân và phương trình vi phân đạo hàm riêng
1.1.1. Các dạng phương trình đạo hàm riêng giải trên CNN
Định nghĩa 1.1: Phương trình đạo hàm riêng là phương trình có chứa đạo
hàm riêng của hai hay nhiều hơn hai biến phải tìm [8].
Ví dụ:

u u u


0
x y z

(1.1)

2u 2u 2u


u
x2 y2 z2

(1.2)

(1.1) và (1.2) là các phương trình đạo hàm riêng của hàm chưa biết là
u(x,y,z);
Cấp của phương trình: là cấp của đạo hàm cấp cao nhất. Ví dụ cấp của
phương trình (1.1) là cấp 1; cấp của phương trình (1.2) là cấp 2.
Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm
và các đạo hàm của nó chỉ xuất hiện với luỹ thừa bậc nhất và không có tích
của chúng với nhau.
Dạng tổng quát của phương trình tuyến tính cấp hai đối với hàm hai
biến x,y là:
2u
2u
2u
u
u
A(x, y) 2  2B(x, y)
 C(x, y) 2  D(x, y)  E(x, y) F(x, y)u  G(x, y)
x
xy
y
x
y

(1.3)

Nếu G(x,y)  0 thì phương trình gọi là thuần nhất, ngược lại gọi là không
thuần nhất.
Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: Là mọi hàm mà khi thay nó
vào phương trình ta được một đồng nhất thức.


3

Ví dụ:

u(x,y) = x + y – 2z là nghiệm của phương trình (1.1),
hàm u = ex+3y32z là nghiệm của phương trình (1.2).

1.1.2. Điều kiện biên và điều kiện ban đầu
* Điều kiện ban đầu và điều kiện tham số đầu vào:
Trong vật lý ta biết rằng muốn xác định được nhiệt độ tại mọi điểm
trong vật ở mọi thời điểm, ngoài phương trình (1.3) ta còn cần phải biết phân
bố nhiệt độ trong vật ở thời điểm đầu và chế độ nhiệt độ ở biên S của vật.
* Điều kiện biên có thể cho bằng nhiều cách
- Cho biết nhiệt độ tại mỗi điểm P của biên S u | S   1 ( P, t )
- Tại mọi điểm của biên S cho biết dòng nhiệt q  k
biên

u
n

(1.4)

u
vậy ta có điều kiện
n

  2 ( P, t )

(1.5)

S

Trong đó  2 ( P, t ) 

 q ( P, t )
là một hàm cho trước.
k

- Trên biên S của vật có sự trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh, mà
nhiệt độ của nó là u0 thì ta có điều kiện biên sau:
 u

 n  h(u  u 0 )  0

S

Nếu biên S cách nhiệt thì h  0 suy ra 1.6 trở thành

.
(1.6)
u
n

0
S

Như vậy bài toán truyền nhiệt trong một vật rắn, đồng chất truyền nhiệt
đẳng hướng đặt ra như sau: Tìm nghiệm của phương trình (1.3) thoả mãn điều
kiện đầu u t 0   ( x, y, z ) và một trong các điều kiện biên.
1.1.3. Ổn định nghiệm phương trình đạo hàm riêng giải trên CNN
Khi thực thi giải trên CNN vấn đề ổn định còn đặt ra ra hệ điện tử làm
việc sao cho ổn định về điện. Ta biết mạch điện tử là hệ phi tuyến các tham số
như dòng điện, điện áp là đại lượng biến thiên theo thời gian t. Nếu không có


4

giá trị chặn thì các điện áp, dòng điện tăng theo thời gian đến lúc nào đó làm
cháy mạch điện [4].
Do vậy, nghiên cứu sự ổn định của CNN giải PDE ta phải nghiên cứu
mối liên hệ ổn định giữa phương trình toán học mô tả bài toán và phương
trình mô tả hệ CNN sao cho hai phương trình này đồng nhất.
- Sự ổn định của nghiệm phương trình đạo hàm riêng
Trước khi giải phương trình vi phân nói chung và phương trình đạo
hàm riêng ta cần nghiên cứu sự ổn định của nghiệm [9]. Sự ổn định này phụ
thuộc vào điều kiện biên và điều kiện ban đầu của hệ. Nếu các điều kiện này
không thích hợp quá trình giải sẽ không thực hiện được. Hoặc là không hội tụ
hoặc là cho kết quả không chính xác. Tuy nhiên, mỗi bài toán có các dạng giá
trị biên khác nhau, cho đến nay việc nghiên cứu về biên của phương trình vi
phân còn là đề tài đang được nghiên cứu. Về mặt ứng dụng, khi giải phương
trình nào ta tập trung vào xác định biên cho phương trình đó và xác định tập
giá trị biên thích hợp để giải.

- Sự ổn định của mạng CNN
Trước khi phát minh ra nguyên lý công nghệ CNN, đã nhiều mô hình
máy tính song song được đề xuất và thiết kế phần cứng. Tuy nhiên do tính
phức tạp và tương tác động giữa điện thế của các phần tử xử lý trong mạch
làm cho hệ làm việc không ổn định. Mặt khác khi số phần tử tăng lên dòng
điện và điện áp vượt qua giới hạn làm việc của mạch gây quá tải và phá hỏng
các linh kiện của mạch điện. Do vậy, ngay từ khi đưa ra mô hình hoạt động
của CNN Chua và Lyang đã tính toán chứng minh chặt chẽ về toán học để
đảm bảo cho độ bền của mạch và mạch hoạt động ổn định [12].
Định lý 1.1: Với mọi trường hợp, điện áp trạng thái của CNN vxij luôn luôn
có giới hạn bị chặn bởi một giá trị vmax có thể tính toán được theo công thức
vmax  1  Rx | I |  Rx

max [|A(i,j;k,l)|+|B(i,j;k,l)|]

1i  M,1i  N

(1.7)


5

Chứng minh:
Ta viết lại phương trình trạng thái theo dạng:
dvxij
dt



^

1
vxij (t )  fij (t )  gij (u )  I
Rx C

(1.8a)

với
f ij (t ) 

^
1
1
1
A(i, j; k , l )v ykl ; gfij (u ) 
B(i, j; k , l )vukl ; I 


C
C C ( k ,l )Nr (i , j )
C C ( k ,l )Nr (i , j )

(1.8b)

các phương trình (1.8a) là phương trình vi phân có nghiệm:
t

^

vxij (t )  vxij (0)e t / RxC   e (t  ) / RxC [f ij ( )+g ij (u )  I ]d
0

như vậy thì:
t

| vxij (t ) || vxij (0)e

 t / Rx C

^

|  |  e  (t  ) / RxC [f ij ( )+g ij (u )  I ]d |
0

t

^

| vxij (0) | e  t / RxC   e  (t  ) / RxC [|f ij ( )|+|gij (u ) |  | I |]d
0

t

^

| vxij (0) | e  t / RxC  [Fij  Gij  | I |+  e  (t  ) / RxC d
0

^

| vxij (0) |  Rx C+[Fij  Gij  | I |

với
Fij  max | fij (t ) |

1
| v ykl (t ) |
 | A(i, j; k , l ) | max
t
C C ( k ,l )Nr ( i , j )

Gij  max | gij (u ) |

1
 | B(i, j; k , l ) | muax | vukl (t ) |
C C ( k ,l )Nr (i , j )

t

và
u

vì | vxij (0) | và | vuij | theo điều kiện | vyij (t ) | 1 ta có:
| vxij (t ) || vxij (0) |  Rx [



C(k,l)N r ( i , j )

 1  Rx [



C(k,l)N r ( i , j )

^

(| A(i, j; k , l ) | max | v ykl (t ) |  | B(i, j; k , l ) | max | vukl (t ) |  | I | ]
t

u

^

| A(i, j; k , l ) |  | B(i, j; k , l ) |  | I | ]


6

đặt:



vmax  max[1+R x | I |  Rx
ij

(| A(i, j; k , l ) |  | B(i, j; k , l ) | ]

C ( k ,l )N r ( i , j )

vì vmax không phụ thuộc vào thời gian t và vị trí (i,j) của từng tế bào, nên tổng

quát ta có:
max | vxij | vmax với mọi i,j mà 1  i  M ;1  i  N
t

Định lý trên giúp ta tính toán được giá trị vmax theo công thức (1.7) khi biết
Rx, C, I và các giá trị của A, B.
Trong quá trình xử lý khi thiết lập các giá trị ban đầu cho hệ, hệ CNN
có sự biến thiên quá độ của dòng điện, điện áp trong toàn mạch. Tuy vậy với
kiến trúc mảng các tế bào phức tạp có sự trao đổi tương tác về điện ta cần
đảm bảo sau thời gian quá độ của mạch điện, trạng thái của mạch phải trở về
ổn định. Người ta đã chứng minh sự hội tụ của mạch CNN dựa trên phương
pháp của Lyapunov về sự hội tụ của mạch phi tuyến [4,12].
Định nghĩa 1.2: Dạng hàm Lyapunov E(t) của CNN là hàm vô hướng:
E (t )  

1
1
A(i, j; k , l )v yij (t )v ykl (t ) 


2 ( i , j ) ( k ,l )
2 Rx

v

yij

(t ) 2

(i , j )

(1.9)

   B(i, j; k , l )v yij (t )vukl (t )   Iv yij (t )
( i , j ) ( k ,l )

(i , j )

để ý rằng hàm Lyapunov E(t) trên là hàm của điện áp vào vu và điện áp ra vy
vì những điện áp này ảnh hưởng đến sự hội tụ và quá trình lan truyền trong
mạng. Nếu E(t) tăng liên tục sẽ gây ra điện áp trong mạch sẽ lớn đến vô cùng
phá vỡ mọi phần tử trong mạch. Nếu E(t) giảm liên tục năng lượng trong
mạch không đảm bảo độ lớn và không tồn tại. Hàm E(t) cũng có thể coi là
hàm mô tả năng lượng của mạch CNN. Định lý sau chứng minh cho sự hội tụ
của hàm E(t).
Định lý 1.2: Hàm E(t) định nghĩa trong (1.9) bị chặn bởi Emax:
max | E (t ) | Emax
t


7

khi
Emax 

1
1
| A(i, j; k , l ) |    | B(i, j; k , l ) | MN (
 | I |)



2 ( i , j ) ( k ,l )
2 Rx
( i , j ) ( k ,l )

với MxN là số tế bào trong mạch CNN.
Chứng minh:
Từ định nghĩa (1.2) ta có
| E (t ) |

1
1
| A(i, j; k , l ) || v yij (t ) || v ykl (t ) | 


2 ( i , j ) ( k ,l )
2 Rx

2
ij

v

(1.10)

(i , j )

   | B (i, j; k , l ) | | v yij (t ) || vukl |   | I || v yij |
( i , j ) ( k ,l )

(i , j )

vì | vuij (t ) | 1 theo điều kiện | vyij (t ) | 1 ta có:
| E (t ) |

1
1
| A(i, j; k , l ) |
   | B (i, j; k , l ) |  MN | I |


2 ( i , j ) ( k ,l )
2 Rx (i , j ) ( k ,l )

Như vậy chứng minh được rằng E(t) bị chặn. Ta còn chứng minh được E(t)
đơn điệu tăng.
Định lý 1.3: Hàm vô hướng là hàm đơn điệu tăng, hay:
dE (t )
0
dt

(1.11)

Chứng minh:
Vi phân hàm E(t) theo thời gian t ,lấy đạo hàm vyij(t) của vế phải theo vxij(t) và
vi phân vxij(t) theo t ta được::
dvyij dvxij (t )
dE (t )
    A(i, j; k , l )
vykl (t )

dt
dvxij dt
( i , j ) ( k ,l )
1

Rx

dv yij dvxij (t )

 dv

(i , j )

xij

dt

v yij    B(i, j; k , l )
( i , j ) ( k ,l )

dvyij dvxij (t )
dvxij

dt

vukl 

dvyij dvxij (t )

 I dv

(i, j )

Với giả sử các điều kiện đối xứng của CNN
ta thấy:
dv yij
dvxij

1 | vxij | 1

0 | vxij | 1

và

vxij  vyij ,

| vxij | 1

xij

dt

(1.12)


8

theo các định nghĩa về CNN ta có thể coi:
A(i, j; k , l )  0; B(i, j; k , l )  0 với C (k , l ) N r (i, j )

từ (1.11), (1.12) thì:
dvyij dvxij (t )
dE (t )
1
 
[ 
A(i, j; k , l )vykl (t )  vyij (t )
dt
dt C ( k ,l )Nr (i, j )
Rx
( i , j ) dvxij




B(i, j; k , l )vukl  I ]

C ( k ,l )Nr ( i , j )



|vxij | 1





dvxij (t )
dt



[

A(i, j; k , l )v ykl (t ) 

C ( k ,l )Nr ( i , j )

1
vxij (t )
Rx

B(i, j; k , l )vukl  I ]

C ( k ,l )Nr (i , j )

thay thế phương trình trên với giả sử C>0, ta được:
dv xij (t )2
dE (t )
   C[
]0
dt
dt
|v xij |1

định lý được chứng minh.
Từ hai định lý trên chúng ta rút ra một kết luận quan trọng ở định lý sau
Định lý 1.4: Với bất kỳ đầu vào vu và trạng thái vx của CNN chúng ta có:
lim E (t )  const.
t 

dE (t )
0
t 
dt

và

lim

Chứng minh:
Từ định lý ta chứng minh được E(t) bị chặn tăng đơn điệu theo t do đó
hiển nhiên sẽ hội tụ đến một giá trị chặn và đạo hàm theo thời gian bằng 0.
1.1.4. Phương pháp sai phân Taylor
Xét các phương pháp tìm nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng
các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm đối với một số ít
trường hợp. Còn đại đa số trường hợp khác, đặc biệt là đối với các bài toán có
hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì
nghiệm tường minh của bài toán không có, hoặc có nhưng rất phức tạp. Trong


9

những trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào các phương pháp giải
gần đúng. Để giải quyết vấn đề nêu trên thì trong phạm vi luận văn đưa ra
phương pháp sai phân để giải quyết vấn đề nêu trên. Để tiện trình bày phương
pháp ta xét một bài toán cụ thể sau [6].
* Đặt bài toán.
Cho các số a,b với aQT  a  x  b ; 0  t  T  ;

QT  a  x  b ; 0  t  T  .

Tìm hàm số u ( x, t ) thoả mãn
u  2 u
Lu 

 f ( x, t )
t x 2

(x, t )  QT

u ( x ,0 )  g ( x )

a xb

u(a, t)  ga (t) u(b, t)  gb (t)

0t T

Lưới sai phân.
Chọn hai số nguyên N  1 , M  1 và đặt
h

ba
N

xi  a  ih

i  0,1,2,....,N



T
M

t j  j.

j  0,1,2,....,M

Ta chia miền QT thành ô bởi những đường thẳng x  xi , t  t j , mỗi điểm

x , t  được gọi là một nút và ký hiệu là i , j  . Mục tiêu của phương pháp là
i

j

tìm nghiệm gần đúng của bài toán tại các nút i , j  .
h gọi là bước đi không gian.
 gọi là bước đi thời gian.

Tập tất cả các nút i , j  tạo thành một lưới sai phân trên QT .
Xấp xỉ các đạo hàm.
Áp dụng công thức Taylor ta có


10

u( xi , t j 1 )  u( xi , t j 1 )
2



u
( xi , t j )  O( )
t

u( xi1, t j )  2u( xi , t j )  u( xi1, t j )
h2



(1.13)

2u
( xi , t j )  O(h2 )
2
x

(1.14)

Từ đó ta thấy có nhiều cách xấp xỉ đạo hàm dẫn đến có nhiều phương án khác
nhau để thay thế bài toán vi phân bởi bài toán sai phân.
- Bài toán sai phân.
Bài toán đặt ra là phải tìm nghiệm gần đúng v i j  u ( x i , t j ) .
* Xuất phát từ

u( xi , t j 1 )  u( xi , t j )





u
( xi , t j )  O( )
t

u( xi1, t j )  2u( xi , t j )  u( xi 1, t j )



h2

2u
( xi , t j )  O(h2 )
x2

suy ra
u( xi , t j 1 )  u( xi , t j )





u ( xi 1 , t j )  2u ( xi , t j )  u ( xi 1 , t j )
h2



u

2u
 ( xi , t j )  2 ( xi , t j )  O(  h2 ) .
t
x

Để tính vij ta đưa về bài toán sai phân sau:
v i j 1  v i j



v i j1  2 v i j  v ij1

 f ( xi , t j )
h2

i  1..N  1, j  0..M  1

vi0  g ( xi ) i  1 .. N  1
v0j  g a (t j ) vNj  g b (t j )

đặt  


h

2

( 



h

2

j  1..M


1
)
2

thì được viết thành

Từ (1.14) ta thấy nếu biết ba điểm vij1 , vij , vij1 thì tính được vij 1 với các
điều kiện đầu cho giá trị ở lớp thời gian đầu tiên j  0 , các giá trị trên biên
cho ở (1.13) .


11

* Nếu ta xuất phát từ

u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )





u
( xi , t j 1 )  O ( )

t

u ( xi 1 , t j 1 )  2u ( xi , t j 1 )  u ( xi 1 , t j 1 )
h2

thì ta có

u( xi , t j 1 )  u( xi , t j )








 2u
( xi , t j 1 )  O( h 2 )
2
x

u( xi 1 , t j 1 )  2u( xi , t j 1 )  u( xi 1 , t j 1 )
h2



u
 2u
( xi , t j 1 )  2 ( xi , t j 1 )  O (  h 2 )
t

x

Từ đó ta có bài toán sai phân sau:
vij 1  vij





vij11  2vij 1  vij11
 f ( xi , t j 1 )
h2

vi0  g(xi )

v0j  ga(tj ) vNj  gb(tj )

Đặt  


h2

i  1 .. N  1 , j  0 .. M  1

i  1..N  1

j 1..M

ta đưa hệ về dạng sau:

 vij11  (1 2 )vij1   vij11  vij  f (xi , t j1 )
v0j 1  0.v1j 1

0.vNj 11

i  1..N  1, j  0..M  1

 g a (t j 1 )

j  0..M  1

 vNj 1  gb (t j 1 )

j  0..M 1

j1 j1 j1
Từ hệ trên ta thấy nếu biết vij thì ta tính được vi1 ,vi , vi1 với vi0  g( xi )

Việc giải hệ này được thực hiện bằng phương pháp truy đuổi ba đường chéo.
1.2. Các khái niệm cơ bản về công nghệ mạng nơron tế bào
1.2.1. Kiến trúc, mô hình toán học của mạng
Kiến trúc mạng CNN hiện nay đã phát triển có nhiều mô hình đa dạng,
tuỳ thuộc mỗi bài toán xử lý mạng có thể là một chiều, hai chiều, ba chiều
hình cầu, lục giác…, đây là vấn đề khác nhau cơ bản giữa máy tính PC với
máy tính CNN-UM [10,11].


12

Để đơn giản, ta xét kiến trúc CNN chuẩn, một kiến trúc CNN chuẩn

bao gồm một mảng hình chữ nhật MxN các tế bào (cell) C(i,j) với toạ độ Đề
các (i,j); i = 1,…,M; j = 1,…,N (Hình 1.1).

Hình 1.1 Kiến trúc CNN chuẩn

Mỗi tế bào là một phần tử xử lý C(i,j) và liên kết chỉ ra tương tác giữa
các cell. Một trong những đặc trưng của CNN là mỗi tế bào là một hệ thống
động, phi tuyến nhưng từng cặp là tuyến tính. Nói cách khác mảng là phi
tuyến, nhưng cấu trúc không gian của nó là tuyến tính.
vxij

vuij

Eij

I


C

vyij

Rx
Ry



Ixu(ij,kl)

Ixy(ij,kl)

Iyx

Hình 1.2 Một tế bào của CNN tuyến tính đơn giản

Một ví dụ điển hình của ô C(i,j) của CNN được chỉ ra trong hình 1.2.
Các thông số vxij, vyij vuij lần lượt là trạng thái, đầu ra, đầu vào của điện áp.
Với điện áp trạng thái vxij được giả sử rằng điều kiện ban đầu có độ lớn nhỏ
hơn hay bằng 1. Điện áp vào vuij giả sử là hằng số với độ lớn nhỏ hơn hay
bằng 1. Mỗi cell C(i,j) chứa một điện áp nguồn độc lập Eij, một nguồn dòng


13

độc lập I, 1 tụ tuyến tính C, 2 trở tuyến tính Rx và Ry. Ixy(i,j;k,l) và Ixu(i,j;k,l)
là nguồn dòng điều khiển điện áp tuyến tính với đặc tính Ixy(i,j:k,l) = Aij,kl vykl
và Ixu(i,j:k,l) = Bij,kl vukl đối với mọi C(k,l) Nr(i,j). Phần tử phi tuyến duy
nhất trong mỗi một cell là nguồn dòng điều khiển điện áp ngược.
Ixy = (1/R)f(vxy). Cặp hệ số Aij,kl và Bij,kl được gọi là hệ số hồi tiếp mẫu và hệ
số điều khiển mẫu. Chúng ta giả sử rằng mọi cell đều có cùng tham số và như
vậy có cùng mẫu (biến không gian). Tên gọi mẫu vô tính được sử dụng để
nhấn mạnh đặc trưng này của biến. Điều này có nghĩa là tập 2.(2r+1)2 +1 số
thực Aij,kl và Bij,kl xác định hoàn toàn hoạt động của hệ CNN hai chiều có độ
lớn bất kỳ. Các mẫu có thể được diễn tả bằng dạng thu gọn bởi các bảng hoặc
ma trận.
1.2.2. Một số ứng dụng của công nghệ CNN
Các ứng dụng của công nghệ CNN được chia thành các nhóm chính [1,2]:
- Các ứng dụng xử lý ảnh tốc độ cao: Đây là một trong những ứng dụng chủ
yếu trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống mà các hệ camera thông thường
không đáp ứng được.

- Các ứng dụng đòi hỏi xử lý dữ liệu lớn trong thời gian thực: giải phương
trình vi phân đạo hàm riêng, tạo sóng phi tuyến, xử lý dòng tín hiệu video, tối
ưu hoá hệ thống truyền dữ liệu băng hẹp, điều khiển các hệ chuyển mạch
ATM, .v.v…
- Trong công nghiệp và giao thông vận tải-ô tô:
 Phân tích bề mặt nhãn in, dệt, phân tích kết cấu sợi tốc độ cao, kiểm tra
các lỗi và vị trí lỗi của các sản phẩm, các nhãn, rubăng, vải… ngay trong quá
trình sản xuất.
 Kiểm tra bề mặt trong công nghiệp chế tạo giấy, nhôm, sắt, các chỗ rối,
các chỗ rách, hỏng, những chỗ nhăn, các vết đen của giấy có thể được nhận ra


14

và xác định vị trí trong quá trình sản xuất. Cần nhấn mạnh rằng việc kiểm tra
này là kiểm tra không tiếp xúc.
 Phát hiện ánh sáng có thời gian tồn tại ngắn: dùng khi cần kiểm tra độ
cách điện cho sứ ở điện áp cao cũng như kiểm tra xuất hiện tia lửa điện khi
đóng điện. Trong những loại hình công việc này các camera CNN có thể phân
loại tia lửa điện với tốc độ hơn 50.000fps.
 Phân tích hình dáng và kích thước: Kiểm tra, phân loại số lượng lớn
các vật nhỏ như các viên thuốc, hạt ngũ cốc, các đai ốc, đinh ốc .v.v…
 Đo tốc độ và giám sát kích thước những vật chuyển động nhanh không
cần tiếp cận.
 Trong công nghệ ô tô: dùng các sensor phân tích tình huống trong chế
độ thời gian thực, làm sensor thông minh điều khiển các túi khí bảo vệ, các
gương chiếu hậu thông minh.
- Trong y tế: phân tích thời gian thực chuỗi DNA, điện tâm đồ 2D thời gian
thực, điện tâm đồ 3D trực tuyến, chế tạo mắt nhân tạo.
- Trong quân sự:

 Sử dụng trong các thiết bị không người lái.
 Theo dõi nhiều đối tượng: có thể thực hiện hợp nhất các ảnh từ nhiều
nguồn camera khác nhau trong thời gian thực, phát hiện mục tiêu di động.
Nhận dạng đa mục tiêu trong lĩnh vực giám sát và an ninh.
 Phân tích địa hình thời gian thực .v.v…
Trong xu thế hiện nay các ngành khoa học đều có sự đan xen, thừa kế lẫn
nhau. Do tiềm năng về năng lực tính toán và khả năng ứng dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống, công nghệ CNN đã ngày càng thu hút
được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu khoa học trên thế giới. Các
hướng nghiên cứu trong thời gian tới về công nghệ CNN vẫn bao gồm cả lý


15

thuyết và thực nghiệm, cả cơ bản và ứng dụng, ngoài các vấn đề đang thực
hiện sẽ có thêm các hướng sau:
- Các thuật toán CNN phục vụ cho nghiên cứu miễn dịch.
- Các nguyên lý xử lý cặp sóng cho các ứng dụng dò tìm mục tiêu khó khăn.
- Camera võng mạc, có thể đảo mắt trơn tru, lập trình được và hiển thị thời
gian thực việc nhận biết mục tiêu.
- Công nghệ nano thực hiện các mảng sensor ứng dụng riêng và các nguyên
tắc tính toán sóng tế bào bao gồm các mảng transito nano từ, các mảng hoá.
- Mã hoá và đo nội dung thông tin trong các luồng không gian-thời gian và
các bước xử lý.
- Khai thác nguyên tắc của sự tăng độ nhạy của cảm giác trong cả thời gian và
không gian.
- Các nguyên tắc xử lý xúc giác tương tác và các hệ thống mô phỏng cho các
tác vụ khó như cầm giữ các đối tượng mỏng manh, mở các trang sách của
quyển sách… thính giác động tìm nhận ra các hiệu ứng âm thanh bất thường
cũng như các cảm nhận sự bùng nổ, gãy vỡ…

- Quan sát mức độ rộng hoặc toàn cầu. Mạng sensor kích hoạt di động phân
bố trong không gian.
- Trí thông minh nhân tạo qua tổng hợp nhiều sensor, ví dụ nhận dạng viết
bằng tay qua các mẫu hình thái ngôn ngữ.
- Trong xu thế hiện nay các ngành khoa học đều có sự đan xen, thừa kế lẫn
nhau. Do tiềm năng về năng lực tính toán và khả năng ứng dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống, công nghệ CNN đã ngày càng thu hút
được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu khoa học trên thế giới. Các
hướng nghiên cứu trong thời gian tới về công nghệ CNN vẫn bao gồm cả lý
thuyết và thực nghiệm, cả cơ bản và ứng dụng, ngoài các vấn đề đang thực
hiện sẽ có thêm các hướng sau:


16

- Các thuật toán CNN phục vụ cho nghiên cứu miễn dịch.
- Các nguyên lý xử lý cặp sóng cho các ứng dụng dò tìm mục tiêu khó khăn.
- Camera võng mạc, có thể đảo mắt trơn tru, lập trình được và hiển thị thời
gian thực việc nhận biết mục tiêu.
- Công nghệ nano thực hiện các mảng sensor ứng dụng riêng và các nguyên
tắc tính toán sóng tế bào bao gồm các mảng transito nano từ, các mảng hoá.
- Mã hoá và đo nội dung thông tin trong các luồng không gian-thời gian và
các bước xử lý.
- Khai thác nguyên tắc của sự tăng độ nhạy của cảm giác trong cả thời gian và
không gian.
- Các nguyên tắc xử lý xúc giác tương tác và các hệ thống mô phỏng cho các
tác vụ khó như cầm giữ các đối tượng mỏng manh, mở các trang sách của
quyển sách… thính giác động tìm nhận ra các hiệu ứng âm thanh bất thường
cũng như các cảm nhận sự bùng nổ, gãy vỡ…
- Quan sát mức độ rộng hoặc toàn cầu. Mạng sensor kích hoạt di động phân

bố trong không gian.
- Trí thông minh nhân tạo qua tổng hợp nhiều sensor, ví dụ nhận dạng viết
bằng tay qua các mẫu hình thái ngôn ngữ.
1.3. Giới thiệu một số phương trình đạo hàm riêng giải trên CNN
1.3.1. Phương trình Burger
Phương trình Burger là phương trình phi tuyến mô tả mật độ của các
hạt chất lỏng chuyển động hỗn độn do nội năng phân tử trong khối chất lỏng
[11]. Giả thiết vận tốc các hạt tăng lên tỷ lệ với mật độ của các hạt. Phương
trình mô tả như sau :
u ( x, t ) 1  2u ( x, t )
u ( x, t )

 u ( x, t )
 F ( x, t )
2
t
R x
x

(1.15)


17

trong đó hàm u(x,t) là mật độ trung bình của các hạt trong hệ tọa độ 0x là hàm
của biến không gian x và biến thời gian t. F(x,t) là hàm đã biết đặc trưng cho
nguồn nhiệt bên ngoài trao đổi với khối chất lỏng, nếu F(x,t) =0 coi như khối
chất lỏng không trao đổi nhiệt với bên ngoài. Khai triển Taylor cho phương
trình Burger ta được dạng sai phân:
dui (t ) 1 ui1 (t )  2ui (t )  ui1 (t ) ui (t )[ui1 (t )  ui1 (t )



 Fi (t )
dt
R
(x) 2
2x

(1.16)

Từ đó ta thu được các mẫu sau :
Mẫu tuyến tính:
Alin  [

1
Rx 2

(

1
2

)
Rc Rx 2

1
]
Rx 2

Mẫu phi tuyến:

Anl  [

1
2x

0

1
] ; B  [0
2x

fi

0]

Với điều kiện biên của bài toán x0 = -10; xN =10; R=30; bước không gian
x=0,05; bước thời gian t=0.00001 (s), kết quả được minh họa trong hình
1.5.
Như vậy, về mạch điện CNN chúng ta phải thiết kế một hệ CNN tuyến
tính và một hệ CNN phi tuyến ứng với hai mẫu tuyến tính và phi tuyến.

Hình 1.3 Minh họa kết quả giải phương trình


18

1.3.2. Phương trình Navier-Stokes
Phương trình này mô tả dòng chảy của chất lỏng không chịu nén (đàn
hồi) có dạng [11]:
u

1
 UgradU  f gradp   2u
t


(1.17)

Trong đó u là véc tơ vận tốc tổng hợp trong hệ tọa độ hai chiều 0xy thì phân
tích thanh hai thành phần u, v theo trục 0x, 0y tương ứng; gọi áp lực p là một
đại lượng vô hướng; f là ngoại lực tác dụng vào dòng chảy cũng được phân
tích theo hai trục là fx và fy. Bài toán này chúng ta có ba nghiệm hàm u, v, p là
vận tốc dòng chảy theo chiều 0x, 0y và áp suất dòng chảy.
Với vận tốc u tách thành hai thành phần:
Theo phương 0x:
u
u
u
1 p
 2u  2u
u v
 fx 
( 2  2 )
t
x
y
 x
x y

(1.18a)

Theo phương 0y:
v
v
v
1 p
 2v  2v
u v
 fy 
( 2  2 )
t
x
y
 y
x y

(1.18b)

Áp suất p là đại lượng vô hướng được tính:
 2 p  [

 2u 2
 2 (uv)  2v 2

2
 2]
x 2
xy
y

(1.19)

Do dòng chảy không chịu nén và chảy liên tục trong toàn không gian của hệ
tọa độ, ta có phương trình liên tục:
u v

0
x y

(1.20)

u
u
u
1 p
 2u  2u
 u  v  f x 
( 2  2 )
t
x
y
 x
x y

(1.21)

Biến đổi (1.18a) ta có:

mà:

u

u
u
u
u
v
 u  v  0
x
y
x
y