Dự báo chuỗi thời gian mờ dựa trên đại số gia tử với khoảng giải nghĩa tối ưu

i
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới TS.Vũ Như Lân, người
đã hướng dẫn khoa học, đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi thực hiện luận văn.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô trường Đại Học Công nghệ Tin và Truyền
Thông Thái Nguyên đã giảng dạy và truyền kiến thức cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè và đồng nghiệp đã tạo mọi điều
kiện giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân và các bạn bè chia sẽ,
gúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã hết sức cố gắng hoàn thành luận văn với tất cả sự nỗ lực
của bản thân, nhưng luận văn vẫn còn những thiếu sót. Kính mong nhận
được những ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô và bạn bè, đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!


ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan: Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của cá
nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Vũ Như Lân.
Các số liệu, những kết luận nghiên cứu được trình bày trong luận văn
này trung thực và chưa từng được công bố dưới bất cứ hình thức nào.
Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình.
Học viên

Bùi Đăng Khoa


iii
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ..................................................................................................... i

LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................... ii
MỤC LỤC ........................................................................................................ iii
DANH MỤC HÌNH ẢNH ...................................................................................v
DANH MỤC BẢNG BIỂU ............................................................................... vi
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT ........................................................................... vii
PHẦN 1: MỞ ĐẦU .............................................................................................1
PHẦN 2: NỘI DUNG .........................................................................................4
CHƯƠNG 1: LOGIC MỜ VÀ ĐẠI SỐ GIA TỬ .................................................4
1.1 Tập mờ và các phép tính trên tập mờ ........................................................4
1.1.1 Định nghĩa tập mờ .............................................................................4
1.1.2 Các phép toán trên tập mờ .................................................................5
1.1.3. Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ .........................................................9
1.2. Đại số gia tử ......................................................................................... 12
1.2.1. Cơ sở lý thuyết ................................................................................ 12
1.2.2. Mô hình tính toán của ĐSGT ........................................................... 17
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .................................................................................. 19
CHƯƠNG 2: CÁC MÔ HÌNH DỰ BÁO CHUỖI THỜI GIAN MỜ ................. 20
2.1 Mô hình dự báo chuỗi thời gian mờ của Song và Chissom...................... 20
Bước 1 Xác định tập nền ........................................................................... 20
Bước 2 Chia miền xác định của tập nền thành những khoảng bằng nhau .. 21
Bước 3. Xây dựng các tập mờ trên tập nền ................................................ 21
Bước 4. Mờ hóa chuỗi dữ liệu ................................................................... 22
Bước 5. Xác định các quan hệ mờ ............................................................ 22
Bước 6. Dự báo bằng phương trình Ai=Ai 1* R, ở đây ký hiệu * là toán tử
max-min .................................................................................................... 25
Bước 7. Giải mờ các kết quả dự báo. ......................................................... 26
2.2 Mô hình dự báo chuỗi thời gian mờ của Chen ........................................ 27


iv

Bước 1. Chia miền xác định của tập nền thành những khoảng bằng nhau. . 28
Bước 2. Xây dựng các tập mờ trên tập nền. ............................................... 28
Bước 3. Mờ hóa chuỗi dữ liệu. .................................................................. 29
Bước 4. Xác định các quan hệ mờ ............................................................. 31
Bước 5. Tạo lập nhóm quan hệ mờ ............................................................ 31
Bước 6. Giải mờ đầu ra dự báo.................................................................. 31
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 .................................................................................. 36
CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH DỰ BÁO TỐI ƯU ..................................................... 37
3.1 Phép ngữ nghĩa hóa, phép giải nghĩa và khoảng giải nghĩa trong mô hình
dự báo dựa trên ĐSGT .................................................................................. 37
3.2 Mô hình dự báo chuỗi thời gian mờ dựa trên ĐSGT ................................ 39
3.3 Mô hình dự báo chuỗi thời gian mờ với khoảng giải nghĩa tối ưu ............ 48
3.4 So sánh các mô hình dự báo .................................................................... 50
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 .................................................................................. 51
PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN .......................................... 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 53
PHỤ LỤC.......................................................................................................... 56


v
DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1. Hàm liên thuộc của tập mờ “x gần 1” ........................................ 4
Hình 1.2. Một số dạng hàm liên thuộc của tập mờ ...................................... 5
Hình 1.3. Giao của hai tập mờ .................................................................... 6
Hình 1.4. Phép hợp của hai tập mờ ............................................................. 7
Hình 2.1: Số sinh viên nhập học thực tế và số sinh viên nhập học dự báo 26
Hình 2.2. Dữ liệu tuyển sinh thực tế và dữ liệu tuyển sinh dự báo ............ 35

vi
DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 1.1 : Các cặp T - chuẩn và T - đối chuẩn. .......................................... 8
Bảng 1.2. Một số phép kéo theo mờ thông dụng......................................... 9
Bảng 2.1: Chuyển đổi các giá trị lịch sử thành giá trị ngôn ngữ................ 23
Bảng 2.2: Xác địnhcác quan hệ thành viên ............................................... 25
Bảng 2.3:Mờ hóa chuỗi dữ liệu ................................................................ 30
Bảng 2.4: Quan hệ logic mờ của dữ liệu tuyển sinh.................................. 31
Bảng 2.5: Các nhóm quan hệ logic mờ .................................................... 31
Bảng 2.6. Bảng kết quả dự báo ................................................................. 35
Bảng 3.1 Giá trị đầu và giá trị cuối của các đoạn giải nghĩa được chọn .... 45
Bảng 3.3: Kết quả tính toán dự báo tối ưu số sinh viên nhập học tại trường
đại học Alabama từ 1971 đến 1992 theo tiếp cận ĐSGT .......................... 49
Bảng 3.4 : So sánh các kết quả mô hình dự báo tối ưu theo tiếp cận ĐSGT
và các kết quả mô hình dự báo cải tiến khác . .......................................... 50


vii
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

ĐSGT

Đại số gia tử

NQHNN

Nhóm quan hệ ngữ nghĩa

1
PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, có rất nhiều tác giả trên thế giới quan tâm
nghiên cứu mô hình dự báo chuỗi thời gian mờ do Song & Chissom [2,3,4]
đưa ra trên tạp chí “Fuzzy Sets and Systems” năm 1993 và được Chen [3,5]
cải tiến vào năm 1996. Nhiều nghiên cứu ứng dụng dự báo có giá trị thực tế
đã được thực hiện trên cơ sở phương pháp luận dự báo theo mô hình chuỗi
thời gian mờ nêu trên. Tuy nhiên, độ chính xác của dự báo trên quan điểm
xem xét chuỗi thời gian theo tiếp cận mờ của Song & Chissom còn chưa
cao do phụ thuộc vào nhiều yếu tố. Vì vậy cho đến nay, mô hình dự báo
chuỗi thời gian mờ luôn được nhiều chuyên gia trên thế giới và Việt Nam
[1] cải tiến để có được kết quả tốt hơn.
Đại số gia tử ( ĐSGT ) là một tiếp cận mới được các tác giả N.C.Ho
và W. Wechler xây dựng vào những năm 1990, 1992 [15] khi đưa ra một
mô hình tính toán hoàn toàn khác biệt so với tiếp cận mờ. Những ứng dụng
của tiếp cận ĐSGT cho một số bài toán cụ thể trong lĩnh vực công nghệ
thông tin và điều khiển đã mang lại một số kết quả quan trọng khẳng định
tính ưu việt của tiếp cận này so với tiếp cận mờ truyền thống [7].
Đề tài luận văn là sự tiếp tục những thử nghiệm mới cho những
nghiên cứu ứng dụng ĐSGT cho lĩnh vực dự báo chuỗi thời gian. Đây là
lĩnh vực ứng dụng hoàn toàn mới đối với ĐSGT, vì vậy tôi chọn đề tài
nghiên cứu này để có thể hiểu sâu hơn về ĐSGT và hiệu quả ứng dụng của
nó trong mô hình dự báo chuỗi thời gian mờ.


2
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
2.1. Đối tượng

Tập trung nghiên cứu mô hình dự báo chuỗi thời gian mờ của Song &
Chissom và Chen. Từ đó đưa ra mô hình dự báo chuối thời gian mờ với
khoảng giải nghĩa tối ưu.
2.2 Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu mô hình dự báo chuỗi thời gian mờ của Song & Chissom.
Nghiên cứu mô hình dự báo cải tiến của Chen.
Nghiên cứu tiếp cận ĐSGT: Lý thuyết và mô hình tính toán ứng dụng
trong bài toán dự báo chuỗi thời gian mờ.
Nghiên cứu đề xuất mô hình dự báo chuỗi thời gian mờ theo tiếp cận
đại số gia tử với khoảng giải nghĩa tối ưu.
Ứng dụng mô hình dự báo mới theo tiếp cận ĐSGT cho chuỗi dữ liệu
đã và đang được sử dụng nhiều ở trên thế giới cũng như ở Việt Nam hiện
nay. Qua đó so sánh kết quả của mô hình dự báo sử dụng ĐSGT với các mô
hình dự báo khác để có thể thấy rõ hiệu quả của tiếp cận ĐSGT trong bài
toán dự báo chuỗi thời gian mờ.
3. Hướng nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu lôgic mờ: phép mờ hóa, suy luận mờ và phép giải mờ.
Nghiên cứu tiếp cận mờ trong vấn đề dự báo chuỗi thời gian mờ.
Nghiên cứu tiếp cận ĐSGT trong bài toán dự báo chuỗi thời gian mờ.
Nghiên cứu khoảng giải nghĩa và khả năng tối ưu.
Xây dựng chương trình tính toán trên MATLAB cho mô hình dự báo
chuỗi thời gian mờ dựa trên ĐSGT với khoảng giải nghĩa tối ưu.


3
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Nghiên cứu mô hình dự báo
chuỗi thời gian mờ theo tiếp cận mờ của Song & Chissom, Chen và tiếp
cận đại số gia tử.
- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: Nghiên cứu xây dựng

chương trình tính toán ứng dụng mô hình dự báo chuỗi thời gian mờ với
khoảng giải nghĩa tối ưu trên MATLAB theo tiếp cận ĐSGT và so sánh với
các mô hình dự báo khác.
- Phương pháp trao đổi khoa học: Thảo luận, xemina, lấy ý kiến
chuyên gia, công bố các kết quả nghiên cứu trên tạp chí khoa học.
5. Ý nghĩa khoa học của luận văn
- Mở rộng ứng dụng của tiếp cận ĐSGT trong lĩnh vực dự báo

6. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn được chia làm 3 chương:
+ Chương 1: Logic mờ và Đại số gia tử
+ Chương 2: Các mô hình dự báo chuỗi thời gian mờ
+ Chương 3: Mô hình dự báo tối ưu


4
PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: LOGIC MỜ VÀ ĐẠI SỐ GIA TỬ
1.1 Tập mờ và các phép tính trên tập mờ
1.1.1 Định nghĩa tập mờ
Định nghĩa: Cho Ω( Ω ≠ ) là không gian nền, một tập mờ A trên Ω
được xác định bởi hàm thuộc( membership function):

A: Ω [0,1]
0  A(x)  1

A(x) : Chỉ độ thuộc (membership degree) của phần tử x vào tập mờ A
(để cho đơn giản trong cách viết, sau này ta ký hiệu A(x) thay cho hàm

A(x) )

Khoảng xác định của hàm A(x) là đoạn [0,1], trong đó giá trị 0 chỉ
mức độ không thuộc về còn giá trị 1 chỉ mức độ thuộc về hoàn toàn.
Ví dụ 1: Hàm liên tục của tập mờ A “tập các số thực gần 1” được định
nghĩa như sau: A(x) = e

a( x1)2

Hình 1.1. Hàm liên thuộc của tập mờ “x gần 1”
Ví dụ 2: Một số dạng hàm liên thuộc liên tục khác
Triangle(x, a, b, c) = max(min(

xa cx
,1,
),0)
ba cb

Trapezoid(x, a, b, c ,d) = max(min(

xa d x
,1,
),0)
ba d c


5

Gaussian(x,  , c, )= e
Bell(x, a, b, c) =

c))2

( x
1

xc
1
a

2b

Hình 1.2. Một số dạng hàm liên thuộc của tập mờ
1.1.2 Các phép toán trên tập mờ
Phép bù của tập mờ
Định nghĩa 1.1: (Hàm phủ định): Hàm n: [0,1] không tăng thỏa mãn
các điều kiện n(0) = 1, n(1) = 0 được gọi là hàm phủ định (negation
function).
Định nghĩa 1.2: (Phần bù của một tập mờ): Cho n là hàm phủ định,
phần bù Ac của tập mờ A là một tập mờ với hàm thuộc được xác định bởi:
Ac(x) = n(A(x)), với mỗi x 
Phép giao hai tập mờ
Định nghĩa 1.3: ( T - chuẩn): Hàm T: [0,1]2  [0,1] là phép bội
(T - chuẩn) khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện sau:


6

1.T(1, x) = x, với mọi 0  x  1.
2.T có tính giao hoán : T(x,y) = T(y,x), với mọi 0  x, y 1.
3. T không giảm: T(x,y)=T(u,v), với mọi x  u, y v.
4. T có tính kết hợp: T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z), với mọi 0  x,y, z 1.
Định nghĩa 1.4: (Phép giao hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên

cùng không gian nền  với hàm thuộc A(x), B(x) tương ứng. Cho T là một
T-Chuẩn. Phép giao của hai tập mờ A,B là một tập mờ (ký hiệu (ATB))
trên  với hàm thuộc cho bởi biểu thức:
(ATB)(x) = T(A(x), B(x)), với mỗi x  
Ví dụ:
- Với T(x,y)=min(x,y)ta có: (ATB)(x) = min(A(x),B(x))
- Với T(x,y) = x,y ta có (ATB)(x) = A(x).B(x) (tích đại số)
Ta có thể biểu diễn phép giao của hai tập mờ qua hai hàm
T(x,y)=min(x,y) và T(x,y) = x.y theo các đồ thị hình 1.3 sau đây:
Hình a: Hàm thuộc của hai tập mờ A và B
Hình b: Giao của hai tập mờ theo T(x,y)=min(x,y)
Hình c: Giao của hai tập mờ theo T(x,y)=x.y

Hình 1.3. Giao của hai tập mờ


7
Phép hợp hai tập mờ
Định nghĩa 1.5: (T - đối chuẩn): Hàm S:[0,1]2 được gọi là phép tuyển
(T-đối chuẩn) nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1. S(0,x) = x, với mọi 0  x  1.
2. S có tính giao hoán : S(x,y)= S(y,x) với mọi 0  x , y  1.
3. S không giảm: S(x,y)= S(u,v), với mọi x  u, y  v.
4. S có tính kết hợp: S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),z) với mọi 0  x, y, z1.
Định nghĩa 1.6: (phép hợp hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên
cùng không gian nền  với hàm thuộc A(x), B(x) tương ứng. Cho S là một
T - đối chuẩn. Phép hợp của hai tập mờ A, B là một tập mờ ( kí hiệu
ASB)) trên  với hàm thuộc cho bởi biểu thức:
(ASB)(x)=S(A(x),B(x)), với mỗi x
Ví dụ:

 Với S(x,y) = max(x,y): (ASB)(x)= max(A(x), B(x))
 Với S(x,y) = x + y – x.y: (ASB)(x)= A(x) + B(x) – A(x) .B(x)
 Ta có thể biểu diễn phép hợp của hai tập mờ qua hai hàm
S(x,y)=max(x,y) và S(x,y)=x+y – x.y theo các đồ thị hình 1.4 sau đây:
 Hình a: Hàm thuộc của hai tập mờ A, B
 Hình b: Hợp của hai tập mờ theo S(x,y) = max(x,y)
 Hình c: Hợp của hai tập mờ theo S(x,y) = x + y – x.y

Hình 1.4. Phép hợp của hai tập mờ


8
Luật De Morgan
Cho T là T - chuẩn, S là T - đối chuẩn và n là phép phủ định mạnh.
Khi đó bộ ba(T, S,n) là bộ ba De Morgan nếu:
n(S(x,y)) = T(n,(x),n(y))
Với phép phủ định n(n-1) = 1- x, chúng ta có một số cặp T-chuẩn và
T-đối chuẩn thoả mãn luật DeMorgan trong sau:
Bảng 1.1 : Các cặp T - chuẩn và T - đối chuẩn.
STT

T(x,y)

S(x,y)

1

Min(x,y)

Max(x,y)

2

x.y

x+ y – x.y

3

Max(x + y -1, 0)

Min(x + y,1)

4

Min0(x,y)=  0min( x, y)if

5
6
7

x + y >1



Z(x,y) =

 min( x, y )if
0


H ( x, y ) 

Else

max(x,y)=1

Else

x. y
,y0
  (1   )( x  y  xy )



Y ( x, y )  1  min 1, (1  x ) P

1

 P , p  0

Max1(x,y)=  0max( x, y)if


Max1(x,y)=  0max( x, y)if


H ( x , y ) 

x + y <1

Else
min(x,y)=0

Else

x  y  ( 2   ) x. y
,y0
1  (1   ) x. y

YP ( x, y )  min(1, P x P  y P

, p  0

Phép kéo theo
Cho (T, S, n) là một bộ ba De Morgan với n là phép phủ định, phép
kéo theo lS(x,y) hay xy được xác định trên khoảng [0,1]2 được định nghĩa
bằng biểu thức sau đây:
lS(x,y) = S(T(x,y),n(x))
Bảng 1.2 dưới đây sẽ liệt kê một số phép kéo theo mờ hay được sử
dụng nhất.


9
Bảng 1.2. Một số phép kéo theo mờ thông dụng
STT Tên

Biểu thức xác định

1

Early Zadeh

xy = max(1-x,min(x,y))

2

Lukasiewicz

xy = min(1,1- x+y)

3

Mandani

xy = min(x,y)

Larsen

xy = x.y

Standard Strict

1 if
xy = 0 other

Godel

if
xy = 1y

other

4

5

6





x y

x y

if x y

Gaines


xy = 1y
 x

8

Kleene – Dienes

xy = max(1 –x,y)

9

Kleene – Dienes –Lukasiwicz

xy = 1- x + y

10

Yager

xy = yx

7

other

1.1.3. Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ
Suy luận xấp xỉ hay còn gọi là suy luận mờ - đó là quá trình
suy ra những kết luận dưới dạng các mệnh đề trong điều kiện các quy tắc,
các luật, các dữ liệu đầu vào cho trước cũng không hoàn toàn xác định.
Mô hình mờ
Mô hình mờ chính là một tập các luật dạng mệnh đề “If…then…”,
trong đó phần “If” được gọi là mệnh đề điều kiện hay tiền đề, còn phần
“then” được gọi là phần kết luận.


10
Một mô hình mờ ở dạng tổng quát là một tập các mệnh đề If-then, và
để cho gọn chúng ta gọi là các luật, mà phần tiền đề của mỗi luật là một
điều kiện phức được viết như sau:

If X1 = A11 and ... and Xm = A1mthen Y = B1
If X1 = A21 and ... and Xm = A2mthen Y = B2

(1.1)

..........
If X1 = An1 and ... and Xm = Anmthen Y = Bn
ở đây X1, X2, …,Xm và Y là các biến ngôn ngữ, Aij, Bi (i = 1,…, n;
j=1,…, m) là các giá trị ngôn ngữ tương ứng.
Mô hình (1.1) được gọi là bộ nhớ mờ liên hợp (Fuzzy Associate
Memory – FAM) vì nó biểu diễn tri thức của chuyên gia trong lĩnh vực ứng
dụng nào đó đang xét.
Bài toán lập luận mờ được phát biểu như sau: Cho mô hình mờ (1.1),
với giá trị đầu vào Xj = A0j, j = 1,…,m. Hãy tính giá trị đầu ra Y = B0
Phương pháp lập luận mờ
Từ những năm 70 các phương pháp lập luận mờ đã được phát triển mạnh
mẽ và được ứng dụng nhiều trong các hệ chuyên gia mờ, điều khiển mờ.
Theo cách tiếp cận của lý thuyết tập mờ, các phương pháp lập luận mờ
nói chung được mô tả dựa trên hai dạng mô hình sau.
Mô hình hội: Xem mô hình mờ (1.1) như là hội của các mệnh đề ifthen
- Ngữ nghĩa của các giá trị ngôn ngữ của các biến ngôn ngữ trong mô
hình mờ được biểu thị bằng các tập mờ tương ứng của chúng.
- Từ các luật mờ dạng câu if-then, xây dựng quan hệ mờ R như sau:
+ Sử dụng phép hội các điều kiện ở tiền đề, mỗi câu if-then xem như
là một phép kéo theo I(s,t), một phép 2-ngôi trong [0,1], lưu ý rằng giá trị s
phụ thuộc m biến đầu vào.


11
+ Vì (1.1) được xem là mô hình hội, R được tính bằng hội của các

biểu thức phép kéo theo đã xây dựng.
- Khi đó ứng với vectơ đầu vào A0, giá trị của biến đầu ra được tính
theo công thức B0 = A0*R, trong đó * là một phép hợp thành nào đó.
Mô hình tuyển: Xem (1.1) như là tuyển của các mệnh đề if-then
- Phương pháp tiến hành giống như trên cho đến bước xây dựng được
các phép kéo theo Ij(s,t) cho mỗi mệnh đề if-then trong (1.1), j = 1, ..., n.
- Với vectơ đầu vào A0, giá trị của biến đầu ra B0j dựa trên luật thứ j
được tính theo công thức B0j = A0* Ij(s,t), trong đó  là một phép hợp thành
nào đó.
- Cuối cùng, giá trị đầu ra của mô hình mờ (1.1) được tính bằng tuyển
của các B0j, j = 1, ..., n.
Một cách tổng quát, các phép tuyển và hội được xây dựng dựa trên các
phép t-norm và s-norm.
Tuy ý tưởng chung về lược đồ phương pháp lập luận mờ là giống
nhau, nhưng những phương pháp lập luận sẽ khác nhau ở cánh thức mô
phỏng mô hình mờ và cách xác định các phép t-norm và s-norm.
Hiệu quả của phương pháp lập luận mờ nói chung phụ thuộc nhiều
yếu tố rất căn bản chẳng hạn như:
- Lựa chọn tập mờ (bài toán xây dựng các hàm thuộc).
- Bài toán lựa chọn phép kết nhập.
- Xây dựng quan hệ mờ mô phỏng tốt nhất mô hình mờ (bài toán lựa
chọn phép kéo theo).
- Khử mờ (bài toán lựa chọn chiến lược khử mờ).
- Luật hợp thành (max-min, min-max, t-norm, s-norm, …).
Đó chính là những khó khăn không nhỏ khi xây dựng phương pháp
giải bài toán lập luận mờ. Các phương pháp lập luận mờ có rất nhiều ứng


12
dụng trong thực tiễn như trong xây dựng các hệ chuyên gia, các hệ trợ giúp

quyết định, các hệ điều khiển mờ.
1.2. Đại số gia tử
Để xây dựng phương pháp luận tính toán nhằm giải quyết vấn đề mô
phỏng các quá trình tư duy, suy luận của con người chúng ta phải thiết lập
ánh xạ: gán mỗi khái niệm mờ một tập mờ trong không gian tất cả các hàm
F(U, [0, 1]). Nghĩa là ta mượn cấu trúc tính toán rất phong phú của tập
để mô phỏng phương pháp lập luận của con người thường vẫn được thực
hiện trên nền ngôn ngữ tự nhiên.
Vậy một vấn đề đặt ra là liệu bản thân ngôn ngữ có cấu trúc tính toán
không? Nếu có thì các phương pháp lập luận xây dựng trên đó đem lại
những lợi ích gì? Thông qua lý thuyết về đại số gia tử ta có thể thấy rằng
tập các giá trị của một biến ngôn ngữ (biến mà giá trị của nó được lấy trong
miền ngôn ngữ) là một cấu trúc đại số đủ mạnh để tính toán.
Lý thuyết đại số gia tử đã cố gắng nhúng tập ngôn ngữ vào một cấu
trúc đại số thích hợp và tìm cách xem chúng như là một đại số để tiên đề
hóa sao cho cấu trúc thu được mô phỏng tốt ngữ nghĩa ngôn ngữ.
1.2.1. Cơ sở lý thuyết
1.2.1.1 Định nghĩa đại số gia tử
Xét một tập giá trị ngôn ngữ là miền của biến ngôn ngữ (linguistic
domain) của biến chân lý TRUTH gồm các từ sau:
T = dom(TRUTH) = {true, false, very true, very false, more true, more
false, approximately true, approximately false, little true, little false, less
true, less false, very more true, very more false, very possible true, very
possible false, very more true, very more false, …}
Khi đó miền ngôn ngữ T = dom(TRUTH) có thể biểu thị như là một
cấu trúc đại số AT = (T, G, H, ≤), trong đó:


13
ƒ T: Là tập cơ sở của AT.

ƒ G: Là tập các từ nguyên thủy (tập các phần tử sinh: true, false).
ƒ H: Là tập các toán tử một ngôi, gọi là các gia tử (các trạng từ nhấn).
ƒ ≤: Là biểu thị quan hệ thứ tự trên các từ (các khái niệm mờ), nó
được “cảm sinh” từ ngữ nghĩa tự nhiên. Ví dụ: dựa trên ngữ nghĩa, các
quan hệ thứ tự sau là đúng: false≤ true, more true ≤ very true, very false ≤
more false, possible true ≤ true, false ≤ possible false, …
Ta luôn giả thiết rằng các gia tử trong H là các toán tử thứ tự, nghĩa là
(h  H, h: T  T), (x  T) {hx ≤ x hoặc hx ≥ x}.
Hai gia tử h, k H được gọi là ngược nhau nếu (x  T) {hx ≤ x khi
và chỉ khi kx ≥ x} và chúng được gọi là tương thích nhau nếu (x  T) {hx
≤ x khi và chỉ khi kx ≤ x}.
Ta ký hiệu h ≥ k nếu h, k tương thích nhau và (x  T) {hx ≤ kx ≤ x
hoặc hx ≥ kx ≥ x}.
Ngoài ra, tập H còn có thể được phân hoạch thành hai tập H+ và Hvới các gia tử trong tập H+ hay H- là tương thích nhau, mỗi phần tử trong
H+ cũng ngược với bất kỳ phần tử nào trong H- và ngược lại.
Giả sử trong tập H+ có phần tử V (ngầm định là very – rất) và trong
tập H- có phần tử L (ngầm định là less – ít) là phần tử lớn nhất thì phần tử
sinh g  G là dương nếu g ≤ Vg và là âm nếu g ≥ Vg (hoặc g  G là âm
nếu g ≥ Lg và là âm nếu g ≤ Lg).
Một gia tử h dương (hoặc âm) đối với một gia tử k nếu (x  T) {hkx ≤
kx ≤ x hoặc hkx ≥ kx ≥ x} (hoặc (x  T) { kx ≤ hkx ≤ x hoặc kx ≥ hkx ≥ x}).
T được sinh ra từ G bởi các gia tử trong H. Như vậy mỗi phần tử của T
sẽ có dạng biểu diễn là x = hnhn-1h…h1u, u  G.
Tập tất cả các phần tử được sinh ra từ phần tử x có dạng biểu diễn là H(x).
Nếu G chỉ có đúng 2 từ nguyên thủy mờ, thì một được gọi là phần tử


14
sinh dương ký hiệu là t, một được gọi là phần tử sinh âm ký hiệu là f và ta
có f < t (Trong ví dụ trên, t tương ứng với true là dương, còn f tương ứng

với false là âm).
Định nghĩa đại số gia tử:
Một cấu trúc đại số AT = (T, G, H, ≤) với H được phân hoặch thành
H+ và H- các gia tử ngược nhau được gọi là một đại số gia tử nếu nó thỏa
mãn các tiên đề sau:
(1) Mỗi gia tử hoặc là dương hoặc là âm đối với bất kỳ một gia tử nào
khác, kể cả với chính nó.
(2) Nếu hai khái niệm u và v là độc lập nhau, nghĩa là uH(v) và
vH(u), thì (xH(u)) {xH(v)}. Ngoài ra nếu u và v là không sánh được
thì bất kỳ xH(u) cũng không sánh được với bất kỳ yH(v). (H(u) là tập
các giá trị được sinh ra do tác động của các gia tử của H vào u).
(3) Nếu x ≠ hx thì xH(hx) và nếu h ≠ k và hx ≤ kx thì h’hx ≤ k’kx,
với mọi gia tử h, k, h’ và k’. Hơn nữa nếu hx ≠ kx thì hx và kx là độc lập.
(4) Nếu uH(v) và u ≤ v (hoặc u ≥ v) thì u ≤ hv (hoặc u ≥ hv) đối với
mọi gia tử h.
Định nghĩa trên mới chỉ dựa vào các tính chất ngữ nghĩa và di truyền
ngữ nghĩa của ngôn ngữ nhưng đã tạo ra cấu trúc đủ mạnh làm cơ sở logic
cho lập luận xấp xỉ.
Xét đại số gia tử AT có đúng 3 phần tử sinh: dương, âm và một phần
tử trung hòa w nằm giữa hai phần tử sinh kia và có tính chất hw = w, với
mọi hH. Một phần tử y được gọi là phần tử đối nghịch của phần tử x nếu
có tồn tại một biểu diễn của x có dạng x = hn…h1g, w ≠ g  G, sao cho
y = hn…h1g’, với w ≠ g’G và g’≠g (nói cách khác: hai phần tử của đại số
gia tử được gọi là đối nghịch nhau nếu chúng có dạng biểu diễn với cùng
một dãy các gia tử nhưng phần tử sinh của chúng khác nhau, một cái là


15
dương và một cái là âm).
Đặc biệt phần đối nghịch của w được định nghĩa chính là w. Phần tử

đối nghịch của x được ký hiệu là –x với chỉ số nếu cần thiết. Nhìn chung
một phần tử có thể có nhiều phần tử đối nghịch.
Nếu mỗi phần tử của T chỉ có duy nhất một phần tử đối nghịch thì AT
được gọi là đại số gia tử đối xứng. Khi đó ta có đặc trưng sau đây:
1.2.1.2 Các định lý
Định lý 1: Một đại số gia tử AT là đối xứng nếu với mọi x, x là điểm
dừng khi và chỉ khi –x cũng là điểm dừng.
Định lý trên chứng tỏ rằng đại số gia tử đối xứng, dù chỉ dựa trên các
tính chất tự nhiên của khái niệm ngôn ngữ cũng có những tính chất rất quan
trọng và đủ phong phú để xây dựng và phát triển một cơ sở logic cho lập
luận xấp xỉ. Rõ ràng nó sẽ là một logic không kinh điển (non-classical
logic). Ngoài ra có thể thấy rằng tập G là đại số gia tử đối xứng con của AT
và nó thỏa mãn các tính chất của đại số cho logic 3-trị. Với những lý do đó
có thể xem mỗi một đại số gia tử đối xứng là một cơ sở đại số cho một
logic các giá trị ngôn ngữ. Định lý tiếp theo nói về mối quan hệ với miền
[0, 1].
Định lý 2: Nếu tập các toán tử (gia tử) H+ và H- có quan hệ thứ tự sắp
xếp tuyến tính thì có tồn tại một đẳng cấu từ đại số gia tử đối xứng:
AT = (T, G, H, -, , , , ≤) vào cấu trúc logic đa trị tựa trên đoạn
[0, 1] sao cho:
(1)Bảo toàn quan hệ thứ tự.
(2)(u  v) = max{(u), (u  v)} = min{(u), (v)}.
(3)(u  v) = max{1-(u), (v)} và (-u) = 1-(u).


16
Cần lưu ý rằng cấu trúc logic đa trị tựa trên đoạn [0, 1] là cơ sở để xây
dựng và phát triển logic mờ và lập luận mờ. Vì vậy sự “tương đồng” dựa
trên định lý trên chứng tỏ thêm giá trị của cách tiếp cận đại số này.
Định lý 3: Có tồn tại một hệ tiên đề hoá sao cho mỗi miền ngôn ngữ

AT của biến ngôn ngữ trở thành dàn đầy đủ (complete lattice) có một phần
tử 0, một phần tử đơn vị 1 và một phần tử trung hoà. Như vậy phép tuyển
 và hội  logic có thể định nghĩa được trong cấu trúc này. Hơn nữa, nếu
AT là một đại số gia tử đối xứng thì trong cấu trúc đó ta có thể định nghĩa
phép phủ định –, phép kéo theo  và ta có:
(1)– hx = h –x,hH.
(2)– –hx = x, –1=0, –0=1 và –w = w.
(3)–(xy) = (–x–y) và –(xy) = (–x–y).
(4)x–x ≤ y–y, x, yT.
(5)x–x ≤ w≤y–y.
(6)x>y khi và chỉ khi x<–y.
(7)xy = –x–y.
(8)x(yz) = y(xz).
(9)xy ≥ x’y’ khi và chỉ khi x≤x’ và/hoặc y≥y’.
(10)1x = x, x1 = 1, 0x = 1 và x0 = –x.
(11)xy ≥ w khi và chỉ khi hoặc x≤w hoặc y≥w.
(12)xy ≤ w khi và chỉ khi hoặc y≤w hoặc x≥w.
(13)xy = 1 khi và chỉ khi hoặc x=0 hoặc y=1.
Các kết quả mở rộng đối với các toán tử sup, inf, gọi là đại số gia tử
mở rộng đối xứng, đồng thời mịn hoá đại số gia tử, đưa thêm các toán tử
hoặc, và liên kết các gia tử tạo thành các gia tử mới. Nhưng vấn đề tiếp tục
này được quan tâm ở đây là trong các ví dụ trên thường đề cập đến biến


17
chân lý, có miền giá trị được sắp xếp thứ tự khá rõ, trong khi với các khái
niệm ngôn ngữ mà con người tiếp xúc hàng ngày thì không được như vậy.
Hoặc bản thân một số gia tử như có thể, ít nhiều, xấp xỉ cũng không sánh
được với nhau, trong khi suy luận rất cần sự sắp xếp đó.
1.2.2. Mô hình tính toán của ĐSGT

Đại số gia tử cung cấp một mô hình xử lý các đại lượng không chắc
chắn khá hiệu quả cho nhiều bài toán ứng dụng. Có thể thấy rõ rằng các giá
trị ngôn ngữ với ngữ nghĩa vốn có thứ tự chặt chẽ trong biến ngôn ngữ đã
được mô tả bằng một cấu trúc đại số gia tử [15, 16], từ đó tạo ra môi trường
tính toán, suy luận tốt cho nhiều ứng dụng.
Gọi AX = ( X, G, C, H,  ) là một cấu trúc đại số, với X là tập nền của
AX; G = {c-, c+} là tập các phần tử sinh; C = {0, W, 1}, trong đó 0, W và 1
tương ứng là những phần tử đặc trưng cận trái (tuyệt đối nhỏ), trung hòa và
cận phải (tuyệt đối lớn); H là tập các toán tử một ngôi được gọi là các gia
tử;  là biểu thị quan hệ thứ tự trên các giá trị ngôn ngữ. Gọi H- là tập hợp
các gia tử âm và H+ là tập hợp các gia tử dương của AX.
Ký hiệu H- = {h-1, h-2, …h-q}, trong đó h-1 < h-2 < … < h-q và
H+ = {h1, h2, …, hp}, trong đó h1 < h2 < … < hp.
Định nghĩa 3.1: Độ đo tính mờ
fm: X  [0, 1] gọi là độ đo tính mờ nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
fm(c-)+fm(c+) = 1 và



hH

fm(hx) = fm(x), với x  X.

Với các phần tử 0, W và 1, fm(0) = fm(W) = fm(1) = 0.
Và với x,y  X, hH,

fm( hx) fm( hy )

fm( x )
fm( y )

(2.1)
(2.2)
(2.3)

Đẳng thức (2.3) không phụ thuộc vào các phần tử x, y và do đó ta có
thể ký hiệu là (h) và đây là độ đo tính mờ của gia tử h. Tính chất của
fm(x) và (h) như sau:


18
fm(hx) = (h)fm(x), xX

(2.4)

p



fm( hi c)  fm(c) , với c{c-, c+}

(2.5)

fm( hi x)  fm( x)

(2.6)

i  q ,i  0
p



i  q ,i  0
q

p

  (hi )   và

i 1

  (h )   , với ,  > 0 và + = 1
i

(2.7)

i 1

Định nghĩa 3.2: Hàm dấu
Hàm Sign: X{-1, 0, 1} là một ánh xạ được gọi là hàm dấu với h,
h'H và c {c-, c+} trong đó:
Sign(c-) = -1, Sign(c+) = +1;

(2.8)

Sign(hc) = - Sign(c), nếu h là âm đối với c;

(2.9)

Sign(hc) = + Sign(c), nếu h là dương đối với c;

(2.10)

Sign(h'hx) = -Sign(hx), nếu h’hx ≠ hx và h' là âm đối với h; (2.11)
Sign(h'hx) = + Sign(hx), nếu h’hx ≠ hx và h' là dương đối với h;(2.12)
Sign(h'hx) = 0 nếu h’hx = hx.

(2.13)

Gọi fm là một độ đo tính mờ trên X, ánh xạ ngữ nghĩa định lượng
:X[0,1], được sinh ra bởi fm trên X, được xác định như sau:
v(W)    fm(c  ),

(2.14)

v(c  )     fm(c  )   fm(c  ) ,

(2.15)

v(c  )     fm(c  )  1   fm(c  )

(2.16)

j

v(hj x)  v( x)  sign(hj x){i sign ( j ) fm(hi x)   (h j x) fm(h j x)}

1
2

với  (h j x)  [1  Sign(h j x) sign(hp h j x)(    )] { ,  } ,
j  [-q^p], j  0.

(2.17)
(2.18)