Hàm số Logarit tiet 80- 89

Giáo án: Đại số và giải tích 11
Ngày soạn:
Ngày giảng:
Ch ơng VI : hàm số lôgarít
Tiết 81 - hàm số ngợc
I - Mục đích, yêu cầu:
HS hiểu định nghĩa hàm số ngợc, biết cách tìm hàm số ngợc của một hàm số đơn
giản, vẽ đồ thị của hàm số ngợc; biết dùng điều kiện đủ để chứng minh một hàm số là có
hàm số ngợc.
II - Tiến hành:
A - ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số .
B - Chuẩn bị kiến thức.
1. Hãy nêu định nghĩa hàm số
:f X R
.
2. Thế nào là TXĐ, TGT của hàm số f.
C - Giảng bài mới:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV hớng dẫn HS xây dựng kiến thức mới.
Cho tập hợp
{ }
2; 1; 0;1; 2X =

Hãy tìm tập giá trị Y
1
, Y
2
tơng ứng của các
hàm số
1
:f X Ă

( )
2
1
x f x x=a
và
2
:f X R

( )
2
2x f x x=a

Có nhận xét gì về sự tơng ứng giữa các phân
tử của TXĐ và TGT của
1 2
,f f ?

Các sự tơng ứng
1 1
:g Y X

( )
1
:y x f x y=a
HS suy nghĩ và trả lời.


{ }
1

0, 1, 4Y =

{ }
2
4, 2, 0, 2, 4Y =

Giữa
X
và
2
Y
các phân tử có sự tơng ứng
1 - 1.


1
g
không là hàm số vì
( )
1
:x f x y=
không
duy nhất.
125
Giáo án: Đại số và giải tích 11
Hoạt động của GV Hoạt động của HS

2 2
:g Y X

( )
2
:y x f x y=a
có phải là hàm số không? Vì sao?
GV khẳng định: Khi đó g
2
gọi là hàm số ngợc của
hàm số f
2
.

Hãy phát biểu định nghĩa hàm số ngợc?
GV chính xác hóa.
1. Định nghĩa:
Cho hàm số f : X

R
x
a
y = f(x)
với tập xác định X và tập giá trị Y.

{ }
( )
| : ( )Y y R x X f x y= =
Nếu với mọi giá trị y

Y, có một và chỉ một x

X

sao cho f(x) = y thì bằng cách cho tơng ứng với mỗi
y

Y phần tử duy nhất x

X đó, ta xác định đợc
hàm số g : Y

R
y
a
x = g(y) (sao cho f(x) = y)
Hàm số g xác định nh trên đợc gọi là hàm số ngợc
của hàm số f.
* Theo ngôn ngữ phơng trình thì hàm số
( )
y f x=
có hàm số ngợc khi phơng trình
( )
f x y=
có
nghiệm duy nhất,

y

Y.
* Về mặt hình học thì
hàm số
( )
y f x=

có
hàm số ngợc khi mỗi đ-
ờng thẳng

Oy cắt đồ
thị
( )
y f x=
tại một
điểm duy nhất.
GV nêu ví dụ.
Ví dụ 1: Tìm hàm số ngợc của hàm số
2y x=
.
(nêu cụ thể các bớc làm)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số
2
y x=
không
có hàm số ngợc.
2
g
là hàm số.
HS phát biểu định nghĩa theo ý hiểu.
HS theo dõi và ghi chép.
Quan sát hình vẽ.
HS suy nghĩ và giải cụ thể.
Ví dụ 1:
+ TXĐ: R , TGT: R
+

,y R
duy nhất
x R
để 2x = y
Vậy hàm số ngợc là
2
x
y = .
Ví dụ 2:
+ TXĐ:
R
, TGT:
R
+
126
Giáo án: Đại số và giải tích 11
Hoạt động của GV Hoạt động của HS

Quan hệ giữa TXĐ, TGT của hàm số
( )
y f x=
với TXĐ,
TGT của hàm số ngợc của nó?

Cho hàm số
( )
y f x=
có hàm số ngợc là
( )
y g x=

.
Khi đó hàm số ngợc của hàm số
( )
y g x=
có tồn tại
không? Nếu có thì là hàm số ngợc đó nh thế nào?
GV nêu thành chú ý.
Chú ý :
+ Tập xác định của hàm số ngợc y = g(x) là tập giá
trị Y của hàm số y = f(x), tập giá trị của hàm số ngợc
là tập xác định X của hàm số y = f(x).
+ Hàm số ngợc của hàm số y = g(x) là hàm số y =
f(x). Ta nói y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số ngợc
nhau.
2. Điều kiện đủ để có hàm số ng ợc :
GV yêu cầu HS: Quan sát đồ thị của một số hàm số
sau đây và cho biết hàm số nào có hàm số ngợc? Vì
sao?

Có nhận xét gì về sự biến thiên của hàm số đó? Hãy
tổng quát hóa.
GV nêu thành định lý.
Định lý: Mọi hàm số đồng biến (hay nghịch biến)
trên TXĐ của nó đều có hàm số ngợc.
+ y R
+
ta có
2
x y x y= =
.

hàm số
2
y x=
không có hàm số
ngợc.

TXĐ của
( )
y f x=
là TGT của hàm
số ngợc và TGT của
( )
y f x=
là TXĐ
của hàm số ngợc.

Hàm số ngợc của
( )
y g x=
là
hàm số
( )
y f x=
.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời: Hàm số có
đồ thị c) là hàm số có hàm số ngợc
vì mỗi đờng thẳng

Oy chỉ cắt đồ
thị tại một điểm.
- Hàm số có đồ thị c) nghịch biến
trên TXĐ.
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch
biến trên TXĐ thì có hàm số ngợc.
HS tự đọc chứng minh định lý,
SGK (trang 157 + 158).
127
c)
a) b)
Giáo án: Đại số và giải tích 11
Hoạt động của GV Hoạt động của HS

Vậy muốn chứng minh một hàm số không có hàm
số ngợc thì làm nh thế nào?
3. Đồ thị của hàm số ng ợc :
GV nêu định lý.
Định lý : Đồ thị của 2 hàm số ngợc nhau y = f(x)
và y = g(x) là đối xứng nhau qua đờng phân giác
thứ nhất (y = x).

Chứng minh rằng hàm số đó không
đơn điệu trên TXĐ của nó.
HS theo dõi và ghi chép.
HS tự đọc SGK (trang 158) phần
chứng minh định lý.
C - H ớng dẫn công việc ở nhà:
Đề bài Hớng dẫn - Đáp số
Bài 1 (159). Tìm hàm số ngợc của:

a)
5
3y x
=
b)
( )
1
1
1
x
y x
x

=
+
Bài 2 (159). Chứng minh rằng hàm số sau không
có hàm số ngợc:
2
2 2y x x= +
.
Bài 3 (159). Cho hàm số
( )
2
3y f x x x= =
với
tập xác định D =
3
;
2

+



.
a) Tìm TGT.
b) Chứng minh rằng hàm số có hàm số ngợc.
Tìm hàm số ngợc.
Bài 4 (159). Cho hàm số
( )
siny f x x
= =
có tập
xác định : D =
;
2 2





.
Chứng minh rằng hàm số trên có hàm số ngợc.
Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số ngợc.
a)
5
3y x
= +
b)
( )

1
1
1
x
y x
x
+
=

a) Tập giá trị: T =
9
;
4

+



b)
3 4 9
2 2
x
y
+
= +
.
Vì hàm số đó đồng biến trên D.
TXĐ
: , : ;
2 2

R TGT





.

128
Giáo án: Đại số và giải tích 11
Ngày soạn:
Ngày giảng:
Tiết 82, 83 -hàm số logarit
I - Mục đích, yêu cầu:
HS nắm vững định nghĩa và các tính chất của hàm số logarit, các định lý về
logarit; định nghĩa logarit thập phân và logarit tự nhiên.
HS biết cách vẽ đồ thị của một số hàm logarit đơn giản, biến đổi các biểu thức có
chứa lũy thừa và logarit.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
A - ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số .
B - Kiểm tra bài cũ:
GV nêu câu hỏi:
1. Nêu định nghĩa hàm số ngợc.
2. Đồ thị của hàm số ngợc.
3. CMR hàm số
( )
0 1
x
y a a= <

có hàm số ngợc.
C - Giảng bài mới:
1. Định nghĩa:
GV: Nh trên ta đã chứng minh đợc hàm số
( )
0 1
x
y a a= <
có hàm số ngợc, hàm số ngợc
đó đợc gọi là hàm số logarit.
GV: Nêu định nghĩa.
Định nghĩa: Hàm số ngợc của hàm số y = a
x
là
hàm số logarit cơ số a và đợc kí hiệu là
log
a
y x
=
(đọc là logarit cơ số a của x).
GV nêu câu hỏi:
Từ định nghĩa hãy nêu tập xác định, tập giá trị của
hàm số logarit.
Cho
log
a
y x
=
, hãy tính x theo y.
GV chính xác hóa thành nhận xét.

Nhận xét:
log
.
a
x
y
x a a
= =
HS suy nghĩ và trả lời.
3. Hàm số
( )
0 1
x
y a a= <
đơn điệu
trên tập xác định: R nên có hàm số ng-
ợc.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời.
Hàm số
log
a
y x
=
có TXĐ:
*
R
+
, TGT: R.

log
y
a
y x x a
= =
129
log
y
a
y x x a= =
Giáo án: Đại số và giải tích 11
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV nêu ví dụ.
Ví dụ: Tính:
a)
log 1
a
b)
log
a
a
c)
3
1
log
9
d)
1
2
log 16

2. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số
log
a
y x
=
:
GV nêu yêu cầu:
Hãy lập bảng biến thiên và vẽ dạng đồ thị hàm số
x
y a
=
(với a > 1).
Từ đó suy ra bảng biến thiên và dạng đồ thị của hàm
số
log
a
y x=
(với a > 1).
Tơng tự cho trờng hợp: 0 < a < 1.
GV chính xác hóa.
Bảng biến thiên của hàm số
log
a
y x
=
:
* a > 1:
* 0 < a < 1:
Dạng đồ thị của hàm số
log

a
y x
=
: (cột bên)
3. Các tính chất cơ bản của logarit:
GV nêu các yêu cầu:
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
a) Đặt
log 1 1 0
y
a
y a y
= = =
.
Vậy
log 1 0
a
=
.
b) Tơng tự có
log 1
a
a =
.
c)
3
1
log 2
9
=

.
d)
1
2
log 16 4
=
.
HS suy nghĩ và thực hiện các yêu
cầu.
HS suy nghĩ và trả lời.
130
x0 1 a +
+
1
0
-
x 0 a 1 +
+
1
0
-
x
y
O
log
a
y x=
y = a
x
log

a
y x=
x
y = a
x
y
O
Giáo án: Đại số và giải tích 11
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Xét hàm số
( )
log 0 1
a
y x a= <
hãy:
1/ Tìm tập xác định của hàm số đó.
2/ Tìm TGT của hàm số đó.
3/ Điểm mà

đồ thị
log
a
y x
=
luôn đi qua.
4/ Sự biến thiên.
5/
( )
1 2 1 2
log log ? , 0

= >
a a
x x x x
6/ Với những giá trị nào của x thì đồ thị
log
a
y x
=
nằm phía trên, phía dới trục ox.
7/ Tính liên tục của hàm số
log
a
y x
=
.
4. Các định lý về logarit:
GV: Từ định nghĩa có định lý 1 sau:
Định lý 1:
0, 1a a >
có:
GV yêu cầu HS chứng minh.
GV nêu định lý 2.
Định lý 2:
(
1 2
0, 0x x> >
)
GV yêu cầu HS chứng minh.
(lu ý: có nhiều cách chứng minh)

GV đặt câu hỏi:
1/ TXĐ:
*
R
+
.
2/ TGT: R.
3/
log 1 0
a
=
đồ thị
log
a
y x
=
luôn đi qua
điểm (0 ; 1),

a.
4/ Hàm số đồng biến khi a > 1,
nghịch biến khi
0 1a
< <
.
5/
1 2 1 2
log log
= =
a a

x x x x
6/ a > 0 thì
log
a
x
> 0 khi x > 1,

log
a
x
< 0 khi 0 < x < 1.
0 < a < 1 thì
log
a
x
> 0 khi 0 < x < 1,

log
a
x
< 0 khi x > 1.
7/ Hàm số
log
a
y x=
liên tục trên
*
R
+
.

HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và chứng minh.

log
log
a
x
y
a
y x x a a
= = =

log
x x y
a
y a a a x y
= = =
hay
log
x
a
x a=
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và chứng minh.
Đặt
( )
1 1 2 2 1 2
log , log , log .
a a a
y x y x y x x

= = =
ta có:
1 2 1 2
1 2 1 2
, ,
y y y y y
x a x a x x a a
+
= = = =

1 2
y y y
= +
đpcm.
HS suy nghĩ và trả lời.
131
( )
1 2 1 2
log . log log
a a a
x x x x= +
log
*
,
a
x
x a x R
+
=
log ,

x
a
x a x R
=
Giáo án: Đại số và giải tích 11
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Nếu bỏ điều kiện
1 2
, 0x x >
thì định lý trên thay đổi nh
thế nào?
Quy tắc trong định lý 2 có đúng cho n số x
1
, ..., x
n
> 0 đ-
ợc không? Hãy mở rộng.
GV nêu định lý 3.
Định lý 3: với
1
2
0
0
x
x
>


>

.
GV yêu cầu HS chứng minh.
GV đặt câu hỏi: Bỏ điều kiện x
1
> 0, x
2
> 0 thì định lý phải
thay đổi nh thế nào?

GV nêu định lý 4.
Định lý 4:
GV yêu cầu HS chứng minh (có nhiều cách).
GV nêu chú ý và hệ quả.
Chú ý: x < 0 thì
2
2
log log 2 log
k
k
a a a
x x k x= =
Hệ quả:
1
log log
n
a a
x x
n
=
GV nêu định lý 5.

Định lý 5 (công thức đổi cơ số):

(với x > 0, 0 < a 1, 0 < b 1)
GV yêu cầu HS chứng minh định lý.
GV yêu cầu HS đặc biệt hoá cho trờng hợp x = a.
GV chính xác hóa thành hệ quả1.
Hệ quả 1:

( )
1 2
1 2 1 2
0, 0
log . log log
a a a
x x
x x x x
< <



= +



( )
1 1
log .. log .. log
a n a a n
x x x x= + +
HS theo dõi và ghi chép.

HS chứng minh tơng tự định lý 2.
1
1 2
2
log log log
a a a
x
x x
x
=
,
1
2
0
0
x
x
<


<

HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và chứng minh.
Đặt
log
y
a
x y x a
= =

log
y
a
x a y x


= =
đpcm
HS theo dõi và ghi chép.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và chứng minh định
lý.
định lý
log log .log
a b a
x x b =
log
log log
b
x
a a
b x= =
luôn đúng
đpcm.
132
1
1 2
2
log log log=

a a a
x
x x
x
b a b
a
1
log log .log 1
log
a hay b a
b
= =
log
log
log
a
b
a
x
x
b
=
log log , 0
a a
x x x


= >
Giáo án: Đại số và giải tích 11
Hoạt động của GV Hoạt động của HS

GV nêu hệ quả 2 và yêu cầu HS chứng minh.
Hệ quả 2:
GV yêu cầu HS chứng minh hệ quả 2.
5. Logarit thập phân và logarit tự nhiên:
GV nêu định nghĩa.
Định nghĩa:
* Logarit thập phân là logarit cơ số 10.
Kí hiệu là lgx (x > 0).
* Logarit tự nhiên là logarit cơ số e. Kí
hiệu là lgx (x > 0).
GV: Logarit thập phân vàlogarit tự nhiên đợc
ứng dụng để tính toán bằng máy tính.
GV đặt câu hỏi: Nêu tính chất của logarit thập
phân và logarit tự nhiên.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và chứng minh.
x = 1 VT = VP
x 1
a
1
log
log
x
x
a


= =

1 1
log
log
a
x
x
a

= =
đpcm.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời : có các tính chất
của logarit với cơ số a > 1.
D - H ớng dẫn công việc ở nhà:
* Xem lại lý thuyết, ghi nhớ định nghĩa và các tính chất của logarit.
* Làm các bài tập 1 9 (SGK trang 168, 169).
133
a
1
log log
a
x x


=
Giáo án: Đại số và giải tích 11
Ngày soạn:
Ngày giảng:
Tiết 84, 85 bài tập
I - Mục đích, yêu cầu:

Củng cố cho HS định nghĩa và các tính chất của hàm số logarit, các định lý về
logarit; định nghĩa logarit thập phân và logarit tự nhiên.
Hớng dẫn HS biết cách vẽ đồ thị của một số hàm logarit đơn giản, rèn cho HS có
kỹ năng biến đổi các biểu thức có chứa lũy thừa và logarit.
II - Tiến hành:
A - ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số .
B - Kiểm tra bài cũ:
C - Chữa bài tập:
Đề bài Hớng dẫn - Đáp số
Bài 3(168). Tính :

2
1
4
5
27
) log 4
) log 2
1
) log
25
) log 9
a
b
c
d
Bài 4(169). Tìm giá trị bằng số của các biểu thức:

3 4
1

3
) log ) log
a a
a a b a
Bài 5 (169). Tìm x biết:

0,1 81
1
) log 2 ) log
2
) log 7 1 ) log 8 3
= =
= =
x
x
a x b x
c d
Bài 6(169). Tìm giá trị bằng số của các biểu thức :
9
2
3
8
log 2log 3
log 2
log 27
) 4 ) 27
) 9 ) 4
a b
c d

) 2
1
)
2
) 2
2
)
3
a
b
c
d



1 1
) )
3 12
a b

) 100 ) 9
1
) ) 4
7
= =
= =
a x b x
c x d x
) 9 ) 2 2
) 16 ) 9

a b
c d
e) 1/3 f) 1/12
134
Giáo án: Đại số và giải tích 11
3 4
1
3
) log ) log
a a
a a b a
Đề bài Hớng dẫn - Đáp số
Bài 7(169). Tìm giá trị bằng số của các biểu thức :

( )
2
log 4
log 2
4log 5
log 1
) )
) 2 )
a
a
a
a
a a b a
c a d a
Bài 8(169). Các logarit sau dơng hay âm ?

2
0,2
5
1
5
) log 5
) log 0,8
) log 2
) log 7
a
b
c
d
Bài 9(169). So sánh các số sau đây :

6
6
3 4
3
0,1 0,2
3 5
4 2
1
log
log 3
2
1
) log 4 ; log
3
) log 2 ; log 0,34

2 3
) log ; log
5 4
) 2 ; 3
a
b
c
d

) 2 ) 16
) 1 ) 25
a b
c d

2
0,2
5
1
5
) log 5 0
) log 0,8 0
) log 2 0
) log 7 0
a
b
c
d
>
>
>

<
6
6
3 4
3
0,1 0,2
3 5
4 2
1
log
log 3
2
1
) log 4 0 log
3
) log 2 0 log 0,34
2 3
) log 0 log
5 4
) 2 1 3
a
b
c
d
> >
< <
> >
> >
D - H ớng dẫn công việc ở nhà:
* Xem lại lý thuyết, ghi nhớ định nghĩa và các tính chất của logarit.

* Hoàn thành các bài còn lại.
* Đọc trớc bài: Phơng trình - hệ phơng trình - bất phơng trình mũ và logarit
135