SKKN đạt giải A cấp huyện: Rèn luyện khả năng tư duy logic thông qua dạy học chứng minh toán học đối với học sinh Trường THCS Nga Thạch

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Tốn học là mơn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực
khác nhau. Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học
phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm
chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để
nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh.
Trong q trình giảng dạy mơn Tốn cấp THCS hơn 10 năm qua và cả trong
quá trình tự học, tự rèn bản thân, tơi thường xun quan sát, tìm hiểu những khó
khăn, vướng mắc của học sinh cũng như của bản thân mình trong việc nâng cao
năng lực tư duy toán học. Dưới sự giúp đỡ của các đồng nghiệp và sự nỗ lực không
ngừng của bản thân tôi đã gặt hái được kết quả đáng mừng trong việc rèn luyện khả
năng tư duy toán học cho đối tượng học sinh THCS thuộc các lớp mà tôi đã giảng
dạy ở trường mình thơng qua loại tốn chứng minh. Những kết quả thu được báo
hiệu phương pháp thực hiện mang tính khả thi cao nên tơi mạnh dạn hồn thành
bản sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện khả năng tư duy logic thơng qua dạy học
chứng minh tốn học đối với học sinh Trường THCS Nga Thạch.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trong cuộc sống hằng ngày, mỗi chúng ta ai cũng có sự so sánh, phán đốn,
suy lý trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về hiện tượng sự vật xung quanh. Đó chính
là tư duy lơgic. Tư duy lôgic là suy nghĩ, nhận xét, đánh giá một cách chính xác,
lập luận có căn cứ. Như vậy tính lơgic là bắt buộc đối với mọi khoa học.Và Tốn
học là một nghành khoa học lí thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ nghiêm
ngặt các quy luật của tư duy lơgic hình thức.Có nghĩa là khi xây dựng Tốn học,
người ta dùng suy diễn lơgic, nói rõ hơn là phương pháp tiên đề. Theo phương pháp
đó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng các quy tắc
lôgic để định nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các vấn đề khác. Vì thế
Tốn học được coi là mơn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn
1

luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương
pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thơng minh và sáng tạo.
Bởi vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của việc giảng dạy tốn
học ở trường phổ thơng đó là "Dạy suy nghĩ". Phải có sự suy nghĩ chính xác thì
mọi hoạt động mới mang lại hiệu quả như mong muốn được. Hoạt động học tập
mơn tốn lại càng cần đến sự suy nghĩ chính xác tối đa. Như vậy rèn luyện khả
năng tư duy lôgic cho học sinh trong q trình dạy tốn là một vấn đề tối thiểu cần
thiết và rất đáng để đầu tư công sức.
II. THỰC TRẠNG
Trong mỗi giờ lên lớp ngay từ khi tiếp nhận giảng dạy đầu năm học tôi
thường xuyên quan tâm để ý đến các câu trả lời, cách diễn đạt, trình bày của các
em trong mỗi vấn đề, mỗi câu hỏi mà tôi nêu ra. Kết quả cho thấy ở đa số học
sinh thể hiện rõ sự non yếu, thiếu chặt chẽ . Các em thiếu hẳn kỹ năng phân chia
vấn đề để xem xét một cách đầy đủ các khả năng có thể xảy ra . Đặc biệt là khâu
trình bày tự luận ở các bài tốn địi hỏi suy luận, chứng minh cho thấy học sinh
vấp phải nhiều sai lầm mà nguyên nhân chủ yếu là do khả năng tư duy lơgic tốn
học cịn non kém.
Khơng chỉ bản thân tôi mà qua trao đổi với nhiều đồng nghiệp ở các đon vị
bạn đều phản ánh thực trạng chung như thế. Thực tế khi tham gia chấm bài các
đợt khảo sát chất lượng, thi chọn học sinh giỏi cũng gặp những sai lầm tương tự
do quá trình tư duy khơng hợp lơgic mang lại.
Vì vậy, tơi chọn lựa đề tài " Rèn luyện khả năng tư duy lôgic thông qua dạy
học chứng minh toán học đối với học sinh Trường THCS Nga Thạch ".
III.CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
- CÁC GIẢI PHÁP
1. Nghiên cứu về mặt lý luận các khái niệm liên quan đến khả năng tư duy
lơgic, tư duy lơgic tốn học.
2. Khả năng tư duy lơgic tốn học trong học sinh THCS.
2

3. Tìm hiểu mối quan hệ giữa khả năng tư duy lơgic và kết quả học tập mơn
Tốn ở học sinh THCS.
4. Tìm hiểu cơ chế hình thành và phát triển kỹ năng tư duy lơgic tốn học
trong học tập mơn Tốn.
5. Nghiên cứu nội dung, mục tiêu, chuẩn chương trình sách giáo khoa và
đặc biệt quan tâm đến nội dung dạy học mơn Tốn mà trong đó ẩn chứa nhiều
nhất khả năng phát triển tốt tư duy lơgic tốn học cho học sinh. Thu thập, phân
tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh
THCS tại các lớp mình giảng dạy
6. Phân tích những thành công, thất bại và nguyên nhân của những thành
cơng thất bại đó từ đó rút kinh nghiệm, lựa chọn và cải tạo các biện pháp hình
thành và phát triển khả năng tư duy lơgic tốn học cho học sinh sao cho hiệu quả
nhất.
-TỔ CHỨC THỰC HIỆN
I. Làm rõ các khái niệm.
1.Tư duy lơgic như đã nói ở trên là "chìa khố" để tối ưu hố khả năng phát
triển cá nhân và khả năng hoạch định công vịêc một cách có hiệu quả.
2. Chứng minh tốn học là thao tác lơgic dùng để lập luận tính đúng đắn của
một phát biểu, một tính chất hay mệnh đề nào đó.
3. Rèn luyện khả năng tư duy lơgic trong học tốn là rèn luyện khả năng linh
hoạt, sáng tạo trong suy nghĩ, khả năng phân tích, suy luận, chứng minh một tình
huống, một vấn đề tốn học hoặc vấn đề thực tiễn chặt chẽ, từ đó đưa ra chọn lựa
hợp lý các phương án giải quyết một cách nhạy bén, sắc sảo, phù hợp và tối ưu
nhất.
II. Khả năng tư duy lơgic tốn học của học sinh của trường sở tại nói
riêng, học sinh THCS nói chung.
Các em thiếu hẳn kỹ năng phân chia vấn đề để xem xét một cách đầy đủ các
khả năng có thể xảy ra
3

Chẳng hạn:
• Khi dạy khái niệm số nguyên tố, hợp số cho học sinh lớp 6 thì các em
đều biết:

"Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1

và chính nó"
Và " Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước"
Tuy nhiên khi hỏi học sinh:
" Chứng minh một số là số nguyên tố ta làm thế nào ? "
Học sinh chỉ trả lời được:
" Muốn chứng minh một số là số nguyên tố ta chứng tỏ nó là hợp số"
Như vậy học sinh đã tỏ rõ khiếm khuyết trong việc phân tích cấu trúc lơgic
của khái niệm dẫn đến trả lời thiếu chặt chẽ yêu cầu chứng minh của bài tốn.
• Hoặc khi gặp bài tốn:
Cho số : 6 *
Tìm * để 6 * chia hết cho 2, cho 3 và cho 5.
Khơng ít học sinh lần lượt xét * để 6 * chia hết cho 2. Rồi lại xét * để 6 * chia
hết cho 3 .....
Trong trường hợp này học sinh khơng phân tích được bản chất của dấu phẩy
(,) cũng như từ "và" của bài tốn. Thực ra chúng là phép hội trong lơgic tốn học.
• Đơn giản như khi ta cho học sinh viết gọn bằng kí hiệu câu diễn đạt sau:
"x là số lớn hơn 3 và bé hơn 4".
Trong thực tế ban đầu học sinh đều viết:

x > 3 và x <4 . Thậm chí có em

cịn viết sai: x < 3 > 4

(Yếu tố lơgic tốn "ngầm" chứa ở đây là " tuyển của hai hàm mệnh đề" một vấn đề rất cơ bản của lơgic tốn học. Tuy nhiên vì lý do sư phạm nên giáo
viên khơng thể trình bày tường minh được mà phải khéo léo hướng dẫn bằng
ngôn ngữ dễ hiểu hơn, phù hợp với học sinh hơn).

4


• Ngay cả ở học sinh lớp 8, nếu không chú ý đến việc rèn luyện tư duy
lơgic thì sai lầm vẫn diễn ra thường xuyên. Thí dụ khi giải phương trình

( 2 x − 3)( x + 7 ) = 0

tích số:

Tơi đã gặp học sinh trình bày như sau:

( 2 x − 3)( x + 7 ) = 0

⇒

2 x − 3 = 0

x + 7 = 0

⇒

3

x =
2


 x = −7

Rõ ràng học sinh đã mắc cả lỗi về sử dụng dấu " ⇒ " cả lỗi về dấu " { "
( Thực chất của dấu " ⇒ " là phép "Kéo theo" , dấu " { " hay liên từ "và " là
"Phép tuyển" trong lôgic tốn học )
• Khơng chỉ có ở số học và đại số,trong hình học, học sinh cũng mắc
nhiều lỗi khơng kém.Thí dụ:
Từ kết luận " Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB"
Nhiều học sinh đã kết luận " Nếu MA = MB thì M là trung điểm của đoạn
thẳng AB".
Hoặc từ tính chất: "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau". Nhiều học sinh đã
sai lầm rút ra kết luận: "Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh"
Trong cả hai tình huống hình học trên học sinh đã sử dụng quy tắc suy
diễn không hợp lôgic.
v.v và v.v...
Khi trình bày mơn Tốn cấp THCS, do đặc điểm lứa tuổi và yêu cầu của cấp học
người ta có phần châm chước, nhân nhượng về tính lơgic. Cụ thể là : Mô tả(không
định nghĩa) một số khái niệm không phải là nguyên thuỷ, thừa nhận (không chứng
minh ) một số mệnh đề không phải là tiên đề, hoặc chấp nhận một số chứng minh
chưa chặt chẽ. Tuy vậy, nhìn chung chương trình tốn THCS vẫn mang tính lơgic,
hệ thống: Tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, kiến thức được sắp xếp như một
chuỗi mắt xích liên kết với nhau chặt chẽ. Bởi thế học sinh muốn lĩnh hội được các
kiến thức tốn học thì phải có trình độ phát triển tư duy phù hợp với yêu cầu của
5


chương trình. Cụ thể là phải nhận thức được mối liên hệ giữa các mệnh đề toán
học, biết suy luận để tìm ra những tính chất mới từ những tính chất đã biết, vận
dụng các kiến thức đó để giải các bài tập đa dạng. Như vậy, rõ ràng học sinh phải

biết phân tích cấu trúc của các định nghĩa khái niệm, các mệnh đề, biết vận dụng
kiến thức thông qua việc sử dụng các quy tắc suy luận lôgic mà trong sách giáo
khoa lại thể hiện dưới dạng không tường minh. Bằng chứng cụ thể là trong chương
trình tốn ở trường THCS rất nhiều kí hiệu và ngơn ngữ lơgic tốn đã được đưa
vào sử dụng(Chẳng hạn: ∀, ∃, ⇒, ⇐, ⇔, ≡ ... , mệnh đề đảo, phản đảo, mệnh đề phủ
định, chứng minh phản chứng... ), tuy nhiên vì lí do sư phạm, trong chương trình
khơng có chương nào, thậm chí khơng có bài nào dạy riêng về vấn đề lơgic tốn
học. Các kí hiệu và ngơn ngữ, liên từ lơgic tốn được giới thiệu và hình thành dần
dần trong quá trình học tập các phần kiến thức liên quan.(Khi nào cần đến chúng
thì giới thiệu, cung cấp và hướng dẫn sử dụng). Các phương pháp suy luận, chứng
minh, các quy tắc kết luận lôgic thông thường chỉ được hình thành một cách "ngấm
ngầm " thơng qua hàng loạt những hoạt động cụ thể chứa đựng chúng trong q
trình học tập bộ mơn.
Do đó, trong điều kiện tôn trọng nội dung sách giáo khoa và kế hoạch dạy học đã
quy định hiện hành, đồng thời để đảm bảo tính vừa sức với đối tượng học sinh
THCS, muốn cho học sinh học tốn có hiệu quả thì người thầy giáo dạy toán phải
khéo léo dạy cho học sinh cách tư duy lôgic. Khả năng tư duy lôgic không chỉ là
cái đích cần đạt mà cịn là phương tiện giúp học sinh học tốt mơn tốn. Tuy nhiên,
như đã trình bày, vì kiến thức về lơgic tốn học chỉ "chạy ngầm " trong sách giáo
khoa nên mặc dù cả thầy và trò đều sử dụng đến một cách thường xun nhưng vì
khơng nhấn mạnh, khơng làm "nổi " lên do đó chưa đọng lại trong trí óc các em và
cũng chưa hình thành được thói quen sử dụng và rèn luyện nó.
Nhận thức rõ vai trị to lớn, tầm quan trọng hàng đầu của tư duy lôgic đối
với hiệu quả học tập mơn tốn của học sinh phổ thơng nói chung, học sinh THCS
nói riêng nên trong q trình dạy học mơn Tốn đặc biệt là loại tốn chứng minh,
6


tôi luôn để ý đến khả năng tư duy lôgic của các em và so sánh các cách làm khác
nhau của giáo viên tác động như thế nào đến khả năng ấy. Tôi đã phát hiện ra

rằng khi học loại tốn chứng minh địi hỏi các em phải có kỹ năng tư duy lơgic
chặt chẽ và đó cũng là mơi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ năng này cho các
em .
III. Tìm hiểu thực tế mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết
quả học tập mơn Tốn ở học sinh THCS.
Khi tìm hiểu thực tế tơi thấy: Những học sinh học tốt mơn Tốn là những
em có khả năng tư duy lơgic. Ngược lại, nếu được rèn luyện thường xuyên khả
năng này thì hiệu quả học tập mơn Tốn được nâng lên rõ rệt. Đặc biệt những học
sinh làm tốt dạng bài toán chứng minh là những em thực sự có có khả năng tư
duy lơgic.
IV.Phân tích những nội dung chương trình sách giáo khoa THCS có
thể thực hiện hoạt động rèn luyện tư duy lơgic cho các em.
Nhìn chung hầu hết các nội dung trong chương trình sách giáo khoa đều
"ngầm chứa" yếu tố tư duy lôgic. Trong dạy học khái niệm, định lý, dạy học luyện
tập hay bài tập tổng hợp và ôn tập chương đều địi hỏi giáo viên phải có ý thức
khai thác và rèn luyện thường xuyên để có thể tìm chọn biện pháp tốt nhất phù
hợp với đối tượng học sinh mà mình giảng dạy. Tuy nhiên về mặt lý luận cũng
như thực tiễn giảng dạy bộ môn cho thấy qua hoạt động suy luận, chứng minh
tốn học thì khả năng tư duy lôgic của học sinh được rèn luyện tốt nhất.
V. Thu thập, phân tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện
pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy.
Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và nhiệt tình trao đổi học hỏi về
chun mơn cũng như sự bền bỉ kiên trì tìm kiếm, thể nghiệm, lựa chọn ...tơi rút
ra các biện pháp như sau để rèn luyện cho học sinh THCS có tư duy logic tốn
học tốt qua loại tốn chứng minh.

7


1. Trước hết cho học sinh tiếp cận với phương pháp chứng minh trực

tiếp.
Có nhiều phương pháp chứng minh. Tuy nhiên đầu tiên giáo viên cần cho
học sinh tiếp xúc, làm quen và rèn luyện phương pháp chứng minh trực tiếp. Để
có hiệu quả, giáo viên cần chú trọng việc giúp đỡ học sinh rèn khả năng chuyển
đổi ngôn ngữ của bài tốn. Sau đó dần dần hình thành ở các em kỹ năng sử dụng
các kết luận lôgic tuân theo các quy tắc lôgic.
1.1 Rèn luyện khả năng chuyển đổi ngơn ngữ của bài tốn từ lời sang kí
hiệu, hình vẽ và ngược lại.
Việc phiên dịch bài tốn từ ngơn ngữ thơng thường sang kí hiệu tốn học,
hình vẽ và ngược lại có một ý nghĩa hết sức quan trọng. Không những giúp cho
các em nắm chắc cấu trúc của bài tốn (cái cho biết, cái phải tìm) mà còn giúp các
em dễ dàng phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, từ đó tìm được hướng
huy động các kiến thức có liên quan. Như vậy cũng góp phần cho việc rèn luyện
khả năng tư duy có lơgic.
Dẫn chứng:
Ví dụ 1:
Ngay từ bài tốn "Vỡ lịng" sau:
"Chứng minh rằng: Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau".
Trước hết rèn cho học sinh biết vẽ hình và diễn đạt nội dung bài tốn bằng
kí hiệu (ở bài tốn này chính là giả thiết, kết luận)

D

C

A

B k

GT

ABCD là hình chữ nhật

KL

AC = BD

8


Hay: ( Nếu ABCD là hình chữ nhật ) ⇒ (AC = BD)
Với cách viết đó học sinh thấy rõ cấu trúc bài toán và "Khoanh vùng" kiến
thức cần huy động. Như thế ít nhất các em cũng đã suy nghĩ một cách hợp lí.
Hay ở bài tốn phức tạp hơn một chút:
1.2.Giúp học sinh nắm vững bản chất lôgic của loại toán chứng minh trực
tiếp.
Các thao tác kết luận lôgic theo những quy tắc thông thường không được
dạy tường minh ở trong chương trình THCS.Vì vậy học sinh lĩnh hội chúng một
cách ẩn tàng thông qua những trường hợp cụ thể. Thường dùng nhiều nhất là quy
tắc có sơ đồ sau:
từ A suy ra B, A đúng thì B đúng
1.3. Hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ phân tích bài tốn từ đó trình bày
tốt lời giải.
Ngồi ra, khi học sinh bước đầu nắm bắt được tinh thần của phương pháp
chứng minh này giáo viên có thể trình bày dưới dạng một sơ đồ để giúp
học sinh nhìn rõ hơn q trình suy luận Và cũng chính từ sơ đồ này học
sinh học được kỹ năng phân tích để trình bày bài giải một cách lơgic.
Ví dụ 2:
Chứng minh định lý về đường trung bình của một tam giác:
"Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của một tam giác và song

song với cạnh thứ hai thì cũng đi qua trung điểm của cạnh thứ ba".
* Vẽ hình và phân tích làm rõ cấu trúc của mệnh đề cần chứng minh có
dạng:
(AD = DB) và (DE // BC) ⇒ (AE = EC)

( Liên từ "và" thực chất là

"phép hội" trong lơgic tốn học )

9


Hìnhvẽ

A

D

B

E

F

C

* Xây dựng sơ đồ giúp học sinh nhìn thấy rõ q trình suy luận
Ví dụ 3:
"Nếu hai số ngun a, b chia hết cho số nguyên m thì a + b chia hết cho
m".

* Hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ chứng minh như sau
a:m

(Với a,b,m ∈ Z)

b:m

(GT)

(Khái niệm)

(GT)
(Khái niệm)

a = m.k

b = m.q
(k ∈ Z) )

(q∈ Z)

a + b = m.k +m.q
(Tính chất phân phối của phép
nhân đối với phép cộng)
a + b = m(k +q)
(khái niệm )
a+b:m

(KL)
10

Nhờ cách phân tích này, học sinh tìm cách giải bài tốn một cách có cơ sở
hơn, khi trình bày cũng chặt chẽ hơn. Như vậy các em đã bước đầu biết suy nghĩ,
phân tích bài tốn để tìm cách giải một cách lôgic.
Sau khi học sinh nắm được cách tư duy và phân tích bài tốn như hướng dẫn
trên giáo viên cho các em làm các bài tập củng cố kỹ năng :
Bài tập tương tự:
Hãy trình bày chi tiết phép chứng minh các mệnh đề sau dưới dạng một sơ đồ:
a) Các đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng
nhau.
b) Nếu hai góc có cạnh tương ứng vng góc thì chúng bằng nhau nếu cả hai
góc đều nhọn.
Cùng với việc nhấn mạnh và làm nổi bật quy tắc thông dụng là từ A suy ra
B, A đúng thì B đúng
thơng qua các ví dụ cụ thể giúp học sinh lĩnh hội một cách ẩn tàng, giáo viên cần
quan tâm đến việc dùng những ví dụ cụ thể để giúp các em có thêm vốn tri thức
phương pháp về các cách chứng minh khác như bác bỏ một mệnh đề hoặc chứng
minh gián tiếp.
2. Hướng dẫn học sinh phương pháp bác bỏ mệnh đề .
Về phương pháp, thì bác bỏ mệnh đề A chính là phải xác định rằng A là sai
bằng cách vạch rõ rằng từ A (và một số mệnh đề đã được thừa nhận là đúng) lấy
làm tiền đề, có thể rút ra kết luận lôgic là một mệnh đề sai B. Mệnh đề B sai do đó
mệnh đề A sai.Tuy nhiên vẫn phải thơng qua hệ thống ví dụ để hình thành
phương pháp.
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng kết luận sau là sai: "Mọi số đều bằng bình phương của
nó"
* Trước hết cần giúp các em viết gọn bằng kí hiệu: ∀ x (x2 = x).

11

* Cho học sinh tìm giá trị cụ thể của x mà tại đó mệnh đề trên sai (chẳng hạn
x = 2 ) khi đó mệnh đề B là: 22 = 2. Nhưng do 22 = 4 nên mệnh đề trên là sai.
Ta nói rằng cách làm trên là chỉ ra một phản thí dụ.
Ví dụ 5:
Chứng tỏ mệnh đề sau là sai: "Có một hình đa giác lồi có 4 góc nhọn".
Giáo viên có thể phân tích cho học sinh rõ cách suy luận như sau:
Có 1 đa giác lồi có 4 góc nhọn

R

⇓

⇓

Đa giác đó có 4 góc ngồi là 4 góc tù
⇓

Tổng các góc ngồi của đa giác đó lớn hơn 4 góc vng

S1
⇓

S

Theo phân tích trên ta có:
R ⇒ S1 và S1 ⇒ S, do đó R ⇒ S (Đây là quy tắc bắc cầu của phép kéo theo
(Suy ra)).
S là mệnh đề sai (Trái với định lý đã biết): Tổng các góc ngồi của một đa

giác lồi bao giờ cũng bằng 4 góc vng, vậy R cũng sai. Trong nhiều trường hơp
để chứng minh mệnh đề Q nào đó, người ta tìm cách bác bỏ mệnh đề phủ định
của Q. Nếu phủ định của Q sai thì Q đúng. Làm như thế có nghĩa là chứng minh
gián tiếp mệnh đề Q hay còn gọi là chứng minh phản chứng.
3. Hướng dẫn học sinh phương pháp chứng minh phản chứng.
Chẳng hạn qua ví dụ sau giáo viên hướng dẫn cho các em cách suy luận hợp
lý trong giải tốn.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: "Nếu hai đường thẳng cùng vng góc với đường
thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau".

12


Về mặt lơgic mệnh đề cần chứng minh có dạng : P và Q ⇒ R Vì vậy giáo viên
cần làm cho học sinh thấy rõ cấu trúc: (a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ⇒(a // b) thông qua
cách viết : (a ⊥ c) và (b ⊥ c) suy ra (a//b)
Để chứng minh gián tiếp ta hướng dẫn học sinh phân tích mối quan hệ giữa a
và b. Xét các khả năng xảy ra trong bài toán:
- a // b
- a cắt b
Từ đó lập phủ định của mệnh đề này, tức là:
(a ⊥ c) và (b ⊥ c) suy ra (a không song song với b) (giả sử a cắt b tại I )
Ta có

a⊥b
b⊥c

a cắt b tại I

⇒ Qua I có hai đường thẳng a, b cùng

vng góc với c (S)

Mệnh đề S sai vì trái với định lý đã được chứng minh (Qua một điểm cho
trước, có thể dựng được một và chỉ một đường thẳng vng góc với một đường
thẳng cho trước). S sai, vậy : (a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ∧ (akhong // b) là sai
Do đó (a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ⇒(a // b) là đúng.
Trong một số trường hợp ta cần hướng dẫn cho học sinh chứng minh trực tiếp
mệnh đề phản đảo của mệnh đề đã cho.
Ví dụ 7:

Chứng minh rằng: "Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn

là cạnh lớn hơn".
Về mặt lơgic ta có thể viết gọn: ( B > C ) ⇒ (AC > AB) (Theo hình vẽ)

13


A

C

B

Về phương pháp giáo viên hướng dẫn học sinh xét các khả năng xảy ra về
quan hệ giữa AC và AB:
AC = AB
AC < AB
AC > AB

Từ đó suy ra cần chứng minh :
(AC không lớn hơn AB) ⇒ ( B khơng lớn hơn C )
Hình thành sơ đồ sau giúp học sinh nắm được qúa trình suy luận(Sơ đồ ):
AC không lớn hơn AB (AC ≤ AB)

AC < AB
(Định lý thuận)
B
AC = AB
(Định lý thuận)
B=C

B không lớn hơn C ( B ≤ C )

14


Sơ đồ
Lưu ý:
- Cần giúp học sinh thấy rõ phép chứng minh trực tiếp (phản chứng) và phép
chứng minh gián tiếp không tách rời nhau. Trong chứng minh gián tiếp một mệnh
đề nào đó, ta thường phải chứng minh trực tiếp một mệnh đề trung gian, cũng như
trong chứng minh trực tiếp một mệnh đề nào đó nhiều khi ta phải chứng minh một
số mệnh đề trung gian bằng phản chứng.
- Thông thường phương pháp chứng minh gián tiếp hay được dùng để chứng
minh các định lý đảo(Dựa vào kết quả của định lý thuận) và khi chứng minh các
mệnh đề có dạng " Có ít nhất một .... "...
Sau việc hướng dẫn qua ví dụ cụ thể giáo viên cần cho các em được thử sức
bằng các bài tập tương tự:

Bài tập tương tự:
1. Hãy trình bày thành sơ đồ phép chứng minh bằng phản chứng các mệnh đề
sau đây và xét xem ta đã dùng hình thức nào (Bác bỏ phủ định của mệnh đề phải
chứng minh hay chứng minh mệnh đề phản đảo):
a) Nếu tích của hai số nguyên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.
b) Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau.
c) Khơng có số hữu tỉ nào bình phương lên lại bằng 2.
d) Ở nước Việt Nam có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh, giờ sinh.
• Ngồi ra, cũng cần để ý rằng, trong giải toán các em thường mắc nhiều
sai lầm do vận dụng sai quy tắc lơgic. Vì thế khơng thể xem nhẹ vấn đề
này,giáo viên cần thống kê các sai lầm của học sinh qua các bài kiểm
tra, các lần trình bày bài làm của các em và rút ra những sai lầm cơ bản
nhất liên quan đến khả năng tư duy lơgic từ đó giúp các em tránh sai
lầm đó.
15


4. Giúp học sinh tránh mắc sai lầm trong sử dụng các quy tắc lơgic khi giải
tốn.
4.1 Chẳng hạn khi giải bài toán sau:
Chứng minh hằng đẳng thức:

ac + bx + a.x + bc
x+c
=
ay + 2bx + 2a.x + by 2 x + y

(1)

Một học sinh làm như sau:
Thực vậy, từ (1) ta suy ra :
(ac + bx + a.x + bc)(2 x + y ) = ( x + c )(ay + 2bx + 2a.x + by )

(2)

Bỏ dấu ngoặc ta được:
2ac.x + 2bx 2 + 2a.x 2 + 2bcx + acy + bxy + a.xy + bcy =
a.xy + 2bx 2 + 2a.x 2 + bxy + acy + 2bcx + 2ac.x + bcy

(3) đúng, vậy (1) đúng .

(3)

(điều phải chứng minh)

Cần phân tích cho học sinh thấy sự suy luận không hợp lôgic:
(1) ⇒ (3), (3) đúng, vậy (1) đúng.
Ở đây các phép biến đổi là tương đương nên phải nói:
(1) ⇔ (3), (3) đúng, vậy (1) đúng.
Như thế trong toàn bộ lời giải chỉ cần thay:
"Từ (1) suy ra (2)" bởi " (1) tương đương với (2)"
4.2. Khi giải bài toán sau:
Cho một tam giác ABC với trực tâm H và HC = AB.
Chứng minh rằng góc C = 450
Một học sinh đã giải như sau:
C

B'
l

A

H

C'

B

Thực vậy nếu BB' và CC' là các đường cao của tam giác ABC (Hình vẽ) thì:
16


ΔABB' = Δ HCB' Vì là các tam giác vng có cạnh huyền AB = HC và
ABB' = ACC'(hai góc cùng phụ với góc BAC). Suy ra BB' = B'C, tức là :
Δ BB'C là tam giác vuông cân và ACB = 450.
Như vậy ta đã chứng minh được rằng: Nếu một tam giác có khoảng cách từ
trực tâm đến một đỉnh bằng chiều dài cạnh đối diện thì góc ở đỉnh đó bằng 450.
Sai lầm của học sinh là trong trường hợp C là góc tù thì khơng áp dụng được
các lý luận trong chứng minh đã xét. Vì:
Nếu C tù thì ta có Δ ABB' = ΔHCB' (hình sau)
Từ đó suy ra: AB' = B'C , v à ΔAB'C là tam giác vng cân
Do đó ACB' = 450 và ACB = 1350
Hình vẽ:
H

B'
C
G

B
C'

A

Như vậy trong khi hướng dẫn học sinh giải, cần lưu ý các em phân chian xem
xét tất cả các trường hợp xảy ra rồi mới kết luận.
4.3 Khi giải bài tập sau:
Với những giá trị nào của a , b ta có bất đẳng thức:

a b
+ > 2?
b a

Học sinh giải:
a2 + b2 > 2ab
a2 - ab > ab - b2
a(a - b) > b(a - b)
a>b
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với a > b.
Như vậy sai lầm của học sinh là do trong suy luận đã dựa vào tiền đề sai.
17


Tóm lại: Những sai lầm của học sinh trong giải tốn là rất nhiều song phổ
biến có thể là do suy luận không hợp lôgic như áp dụng sai quy tắc lơgic(4.1)
hoặc dùng quy nạp khơng hồn (4.2) tồn hay dựa vào tiền đề sai (4.3)...
Giáo viên cũng có thể cho học sinh phát hiện ra sai lầm trong cách giải bài
tốn để các em khơng chỉ rèn tốt tư duy lơgic mà cịn tránh được nhiều sai sót
trong học toán và cả trong vận dụng thực tế.

Bài tập:
Cho bài toán: Chứng minh rằng

a+b
≥ ab ( với a,b là số dương)
2

Chỉ ra sai lầm trong cách giải sau:
2

a+b
"Muốn chứng minh (1) thì phải chứng minh 
 ≥ ab
 2 

(2)

Muốn chứng minh (2) thì phải chứng minh (a+b)2 - 4ab ≥ 0 (3)
Muốn chứng minh (2) thì phải chứng minh a2+b2 - 2ab ≥ 0
Hay

(a - b )2 ≥ 0

(4)
(5)

(5) đúng. Điều phải chứng minh"
VI. Kết quả thực nghiệm
Qua quá trình thực hiện nêu trên đối với học sinh thuộc các khối lớp tại trường
mà tôi trực tiếp giảng dạy trong những năm qua đã cho thấy kết quả rõ nét.

1.Các em bớt lúng túng trước những bài toán đặc biệt là dạng toán chứng
minh(trong các bài kiểm tra, bài thi với dạng toán này các em tỏ ra vân dụng tốt).
2.Biết chọn lựa phương pháp giải phù hợp với bài toán sao cho nhắn gọn dễ
hiểu nhất. Ch ứng tỏ bước đầu các em biết phân loại các bài toán chứng minh.
3.Khắc phục các lỗi khi phát biểu cũng như trình bày lời giải các bài tốn
4. Khả năng tư duy toán học nâng lên rõ rệt. Khả năng tư duy lôgic các vấn đề
trong đời sống hàng ngày cũng được cải thiện.
5. Hứng thú môn học được ghi nhận rõ nét. Các em tỏ ra mong chờ giờ học
toán hơn trước đây.
18


6. Các em học sinh ở các lớp thuộc các năm học tôi trực tiếp giảng dạy và áp
dụng cách làm này đều học mơn Tốn rất tốt trong đó các khoá học sinh ra
trường các năm học trước đạt kết quả rất cao.
VII. Đúc rút kinh nghiệm
Tôi chọn đề tài này nhằm góp thêm một hướng đi, một cách làm có hiệu quả
đối với nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh kỹ năng tư duy lơgic nói chung, kỹ năng
tư duy lơgic tốn học nói riêng thơng qua loại toán chứng minh ở THCS. Đồng
thời với cách làm này khi học sinh có được khả năng tư duy lơgic tốt thì càng góp
phần kích thích sự hứng thú và làm tăng lịng say mê mơn Tốn ở các em.
Để học sinh có được khả năng tư duy lơgic tốt thơng qua dạy tốn nhất là loại
tốn chứng minh cần lưu ý các vấn đề sau:
1. Tìm hiểu và nắm vững khung chương trình Tốn THCS để từ đó đưa ra cho
học sinh các bài tập, các ví dụ phù hợp đảm bảo tính vừa sức.
2. Nghiên cứu kỹ các yếu tố lơgic trong chương trình Tốn THCS.
3.Nắm vững khả năng thực tế của học sinh trong vấn đề tư duy lơgic nói
chung và tư duy lơgic tốn nói riêng . Từ đó có sự điều chỉnh hợp lý các biện
pháp thực hiện nhằm mang lại hiệu quả cao nhất.
4. Trong quá trình áp dụng các biện pháp cần chú ý nâng dần mức độ khó cho

phù hợp với quá trình phát triển tư duy của học sinh.
5. Nếu điều kiện cho phép có thể thực hiện như một chuyên đề bồi dưỡng
Toán cho học sinh.
6. Đây là một vấn đề địi hỏi sự tích luỹ lâu dài và bền bỉ do đó cần đến sự trau
dồi thường xuyên của cả thầy và trị, tuyệt đối khơng thể nóng vội.

19


C. KẾT LUẬN
Trên đây tơi mới chỉ trình bày một số phương pháp giúp nâng cao khả năng
tư duy lôgic cho học sinh thơng qua dạy chứng minh tốn học. Các nội dung tốn
học khác hồn tồn có thể làm được điều này nếu giáo viên biết cách khai thác
yếu tố lơgic trong mỗi dạng tốn.
Với kinh nghiệm ít ỏi trong cơng tác chun mơn và sự nhiệt tình vì chất
lượng học tập của học sinh thân yêu, tôi đã viết ra những cách làm, hướng suy
nghĩ của bản thân và khơng thể tránh khỏi thiếu sót. Vì thế tơi rất mong cũng có
nhiều đồng nghiệp và các cấp chuyên mơn quan tâm đến vấn đề này đồng thời
góp ý bổ sung để tơi có hướng đi tốt hơn trong "sự nghiệp trồng người".
Xin chân thành cảm ơn !

20


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh hóa, ngày 12 tháng 4 năm 2015
CAM KẾT KHÔNG COPY

Mai Văn Sơn

21